Resumo Cap 9 Castellan

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Cap 9 - 
 
1 
Capítulo 9 – Propriedades da Entropia e o Terceiro Princípio 
da Termodinâmica 
 
 
ATKINS, Peter; P.W. Physical Chemistry. Editora LTC. 5ª ed. 
CASTELLAN, Gilbert. Fundamentos de Físico-Química. Editora 
LTC 1986. 1ª ed. 12ª reimpressão. 527p. 
 
 
9.1 Propriedades da Entropia 
 
 Eq. 9.1 = 
 
 Função de estado 
 Propriedade Extensiva 
 Diferencial Exata 
 
 
 
9.2 Condições de Estabilidade Térmica e Mecânica de Um 
Sistema 
 
Cv = (+) sempre! (para substância pura, único estado) 
K = (+) sempre! (para substância pura, único estado) 
 
Atenção! 
- Se Cv < 0? (volume constante) 
- Se muito quente  dQV > 0 (vizinhanças  sistema) 
 
Pela definição: CvdT = d/ Qv 
 
 dQv = (+) 
Se Cv = (-) 
dT =( - )!!!! ↓T !!! abaixamento da temperatura com entrada de calor 
T
QddS vRe/≡
∫
/2
1 T
Qd rev (9.2) ∆S = S2 – S1 = 
 Cap 9 - 
 
2 
 
 
 
 
Se a temperatura T é constante: 
- Supor à temperatura T constante, descompressão, com dV = (-) 
- Se κ < 0, para satisfazer a relação dp < 0! A pressão continuaria 
a cair!  COLAPSO! 
 
9.3 Variações de Entropia em Transformações Isotérmicas 
 
A temperatura constante: (9.4) 
 
Á pressão constante: Qrev ⇒ Qp = ∆H 
 
 
VAPORIZAÇÃO: (9.5) 
 
Mudanças de Estado: Temperatura Constante = Temperatura de 
Equilíbrio 
 
FUSÃO: (9.6) 
 
Para qualquer mudança de fase, na temperatura de equilíbrio, Te: 
 
 
 
 
9.4 Um Pouco de Matemática. Mais Propriedades das 
Diferencias Exatas. A Regra Cíclica 
 
dy
y
fdx
x
fdfyxf
∂
∂
+
∂
∂
=→),( (9.10) 
T
p
V
V
K 





∂
∂
−=
1
(9.3) 
KVdVdp −=
T
QS rev=∆
eb
vap
vap T
H
S
∆
=∆
fus
fus
fus T
H
S
∆
=∆
eT
HS ∆=∆ (9.7) 
 Cap 9 - 
 
3 
( ) ( )yfexf ∂∂∂∂ são funções de x e y 
y
fyxN
x
fyxM
∂
∂
=
∂
∂
= ),(;),( (9.11) 
 
 
 
Possibilidades para Derivada Segunda ƒ(x, y) 
 
 
 
Mas: 
yx
f
xy
f
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 (9.13) Regra de Schwarz 
 
 
Derivando (M) em relação à (y) e (N) em relação à (x): 
 
 
 
 
 (9.14) Derivadas Cruzadas 
 
 
Pela equação: dU=TdS – pdV e aplicando a igualdade das 
derivadas cruzadas: 
VS S
p
V
T






∂
−∂
=





∂
∂ )(
 ⇒ 
VS S
p
V
T






∂
∂
−=





∂
∂
 (9.15) 
 
Uma das relações de Maxwell 
dyyxNdxyxMdf ),(),( += (9.12) 
2
222
2
2
y
f
yx
f
xy
f
x
f
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
yx
f
x
N
xy
f
y
M
yx
∂∂
∂
=





∂
∂
∂∂
∂
=





∂
∂ 22 ,
yx
x
N
y
M






∂
∂
=





∂
∂
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4 
 A igualdade 
yx x
N
y
M






∂
∂
=





∂
∂ advém do fato que ƒ(x, y) é uma 
diferencial EXATA. A recíproca também é verdadeira: 
 
R(x,y) dx + Q(x,y) dy (9.16) 
 
 
Esta seria uma diferencial exata SE e SOMENTE SE: 
 
 (9.17) → dy = Rdx + Qdy 
 
Atenção! 
Se a equação (9.17) não for satisfeita, então tal função g(x, y) não 
existe e a expressão diferencial (9.16) é uma diferencial NÃO-
EXATA! 
 
9.4.1 Regra Cíclica 
 
 
dy
y
zdx
x
zdz
xy






∂
∂
+





∂
∂
= 
 
Se z é constante , dz = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (9.19) 
x
Q
y
R
∂
∂
=
∂
∂
z = z(x, y) 
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5 
Regra Cíclica  T, p, V 
 p TV 
 V Tp 
Observação: 
Não há necessidade de decorar! 
 
x y z x y z 
z x y y z x 
 
 
yz
x






∂
∂
zx
y






∂
∂
xy
z






∂
∂
= -1 
zy
x






∂
∂
xz
y






∂
∂
yx
z






∂
∂
= -1 
 
Regra Cíclica para T, V, p: 
 
 
 Pela definição de α e κ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.5 Relação entre ∆S e Variações de Outras Propriedades do 
Sistema 
 
T
QddS rev/= (9.21) 
 
(9.20) 
1−=





∂
∂






∂
∂






∂
∂
VTp
T
p
p
V
V
T
�
𝜕𝑝
𝜕𝑇
�
𝑣
= 𝛼
𝜅
 
 Cap 9 - 
 
6 
Se ocorrer trabalho apenas do tipo (p-V) e pop = p (pressão 
constante): 
 
pdVdUdQrev += (9.22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação (9.23): T
1
 e T
p
 são sempre (+) 
Se V cte dV = 0 
Logo se 
 
Se U cte dU = 0 
 
 
 
9.6 A S como função da Temperatura e do Volume 
 
dV
V
SdT
T
SdS
TV






∂
∂
+





∂
∂
= (9.24) 
 
Para transformação reversível = dU = Qrev – pdV 
 
 Qrev = dU + pdV 
 
(9.23) 
 
Equação Fundamental!!! 
Comportamento característico para S 
LAB → T,p,V 
 
9.23 f : 
 
 T,p 
 T,V 
pdVTdSdUou
dV
T
pdU
T
dS
dS
T
pdV
T
dU
T
dQT rev
−=
+=
=+=⇒÷
1
↑↑ dSdU
dV
T
pdU
T
dS += 1
Logo se ↑↑ dSdV 
 
d/
d/
 Cap 9 - 
 
7 
 
Mas U = U(T,V) → 
 
 
 
dV
V
UdTCdU
T
V 





∂
∂
+= (9.25) 
 
Substituindo 9.25 em 9.23, obtemos: 
 
dV
T
pdV
V
U
TT
dTCdS
T
V +





∂
∂
+=
1
 
 
dVp
V
U
TT
dTCdS
T
V






+





∂
∂
+=
1
 (9.26) 
 
dV
V
SdT
T
SdS
TV






∂
∂
+





∂
∂
=
 
 
Eq. 9.26 é idêntica a 9.24, logo: 
 






+





∂
∂
=





∂
∂
=





∂
∂
p
V
U
TV
S
T
C
T
S
TT
V
V
1 
 
CV 
(9.27) 
(9.28) 
dV
V
UdT
T
UdU
TV






∂
∂
+





∂
∂
=
(9.24) 
 Cap 9 - 
 
8 
Como T
CV sempre (+) ↑↑+= TSdT
dS )( 
 
Exemplo 9.2: n = 1, Argônio; V = cte, T1 = 300K a T2 = 500K ; 
 ∆S = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
C
TTV
S V
∂
∂
=





∂∂
∂ 12
 , mas 
V
V dT
UC 




 ∂= 
TV
U
TTV
S
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22 1
 
 
 
Derivando Eq. 9.28 em relação a T, mantendo V constante ⇒ 
 






+





∂
∂
=





∂
∂ p
V
U
TV
S
TT
1
 = 9.28 
 
 (II) 
 
 
S = S(T,V) , dS = diferencial exata 
Derivadas segundas mistas = iguais ! 
RCV 2
3
= 
(9.29) 
Derivando em relação a V mantendo T = constante 
Kmol
JR
T
TCdT
T
CS V
T
T
V 37,6
300
500ln
2
3ln
1
2
2
1
===∫=∆T
C
T
S V
V
=





∂
∂










∂
∂
+−



∂∂
∂
+





∂
∂
=
∂∂
∂
TV V
Up
TTV
U
T
p
TTV
S
2
22 11
(I) 
 Cap 9 - 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas 





+





∂
∂
=





∂
∂ p
V
UT
V
S
TT
 (9.28), comparando 9.28 com 9.30 ⇒ 
obtem-se: 
 
VT T
p
V
S






∂
∂
=





∂
∂
 (9.31) 
 
κ
α
=





∂
∂
TV
S
 (9.32) 
 
 
 
 
Derivada total = d(S) = S(T,V) 
 
 
 
 
 
 
Pela eq. 9.23 κ
α
=





∂
∂
VT
p
 
κ = sempre (+) 
=





∂
∂
TV
S
 depende do sinal de α 
H2O = 0ºC a 4ºC (exceção à regra) 
↑↑ VS 
( T = Constante) 
T
CV
 κ
α
 
dV
V
SdT
T
SdS
TV






∂
∂
+





∂
∂
=
 Cap 9 - 
 
10 
 
 (9.33) 
 
 
 
 
 
 
9.7 A entropia como uma função da temperatura e da pressão 
 
S = S (T,p) → diferencial total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Aplicável a qualquer substância 
• Sendo α e κ muito pequenos para sólidos e líquidos =




∂
∂
TV
S
 desprezível. 
dV
T
p
T
Qd
T
dU
pdVQddU
VdppdVdHdU
v
v
−
/
=
−/=
−−=
Re
Re
 
dS 
(9.35) Outra versão da eq. fundamental. 
dVdT
T
CdS V
κ
α
+=
dp
p
SdT
T
SdS
TV






∂
∂
+





∂
∂
= (9.34) 
pVHUpVUH −=⇒+=
 Cap 9 - 
 
11 
dp
p
HdTCdHpTHH
T
p 





∂
∂
+=⇒= ),( (9.36) 
 
dpV
p
H
TT
dTC
dS
dp
T
Vdp
p
H
T
dTC
T
dS
T
p
T
p








−





∂
∂
+=
−





∂
∂
+=
1
11
 
Comparando 9.34 e 9.37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
T
p
p
C
TTp
S






∂
∂
=
∂∂
∂ 12
 
→ 





∂∂
∂
=
∂∂
∂
Tp
H
TTp
S 22 1
 (a) 
→ Derivando a eq. 9.39 em relação a T, com p = constante 
 
 (b) 
 
(9.37) 
• Derivando em relação a p 
mantendo e T constante. 
• =
T
C p (+) ↑S com ↑T 
• Para obter uma relação mais simples 
→ derivadas segundas mistas 
(cruzadas) 
dpV
p
H
T
dT
T
C
dS
dp
p
SdT
T
SdS
T
p
p






−





∂
∂
+




=






∂
∂
+





∂
∂
=
1
T
C
T
S p
p
=





∂
∂ (9.38) 






−





∂
∂
=





∂
∂ V
p
H
Tp
S
TT
1 (9.39) 






−





∂
∂
−











∂
∂
−
∂∂
∂
=
∂∂
∂ V
p
H
TT
V
pT
H
TTp
S
Tp
2
22 11
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12 
 
Sendo (a) = (b) 
 
 
 
 
 
→ Substituindo esse resultado (9.40) na eq. 9.39 obtemos : 
 
pTpT T
V
p
S
T
VT
p
ST 





∂
∂
−=





∂
∂
⇒





∂
∂
−=





∂
∂
 
 
Mas αα VT
V
p
SV
T
V
pTp
−=





∂
∂
−=





∂
∂
⇒=





∂
∂
 (9.41) 
 
Substituindo as eq. 9.38 e 9.41 na eq. 9.34, obtemos: 
 
 (9.34) 
(9.38) 
 
 
(9.41) (9.42) 
 
 
9.7.1 Variação da Entropia de um líquido com a pressão 
 
α = para sólidos ≈ 10-4 K-1 ou < 
 Para líquidos ≈ 10-3 K-1 ou < 
(9.40) 
pTTp
Tp
Tp
T
VTV
p
HV
p
H
TT
V
T
V
p
H
TT
V
T
V
p
H
TT
V
pT
H
TTp
H
T






∂
∂
−=−





∂
∂
⇒





−





∂
∂
=





∂
∂
−






−





∂
∂
−





∂
∂
−=






−





∂
∂
−











∂
∂
−
∂∂
∂
=





∂∂
∂
2
2
2
22
11
110
111
dp
p
SdT
T
SdS
TV






∂
∂
+





∂
∂
=
T
C
T
S p
p
=





∂
∂
αV
p
S
T
−=





∂
∂
dpVdT
T
C
dS p α−=
 Cap 9 - 
 
13 
Se líquido com V = 100 ml/mol = 100 x 10-6 m3/mol = 10-4 m3/mol 
 
∆S = ? Se p = 1 atm → 2 atm = ∆p = 1 atm ≈ 105 Pa com T 
constante 
( )
KmolJS
PaKmolmpVdpVS
p
p
01,0
101010 51334
2
1
−=∆
⋅⋅−=∆−=−=∆ −−−∫ αα
 
 
• Para ∆S = 1J ⇒ ∆p = 100 atm ! 
Cotidiano = ∆p = pequeno = ∆S = desprezível para sólidos e 
líquidos. 
 
Obs.: Calcular ∆S para gás: 
• Para gás = ∆p = 1 atm ⇒ 1 atm → 2 atm = ∆S = -5,76J , 
portando para gases 
Tp
S






∂
∂
não é desprezível. 
 
9.8 A dependência da Entropia com a temperatura 
 
 
 
Se p constante : dTT
SdS
p






∂
∂
= 
 
• Definição de entropia = T
dQdS vRe= 
• Se p = constante pv dQdQ =⇒ Re 
 dT
dQC pp = 
 
dp
p
SdT
T
SdS
Tp






∂
∂
+





∂
∂
=
TdSdTCp =
v
pp
dQTdS
dQdTC
Re=
= ⇒ 
 Cap 9 - 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 (9.44) 
 
 
Exemplo 9.3 = 1 mol Au(sólido) = 25ºC → 100ºC a p constante 
SCalcularTKmolJC p ∆+= ,00519,07,23)/(
 
 
 
 
 
 
 
 
9.9 Variações de Entropia no gás Ideal 
 
dV
T
p
T
dTCdSdV
T
pdS
T
dTC
dTCdUmasdV
T
pdS
T
dU
dV
T
p
T
dQ
T
dUTpdVdQdU
VV
V
rev
rev
+=⇒−=
=−=
−=⇒÷⇒−=
,
 
 
 
Para gás Ideal = 
 (9.46) 
 
T
C
T
SoudT
T
C
dS x
x
p =





∂
∂
=
 
(9.43) 
(9.45) 
p
p
V
V T
STCou
T
STC 





∂
∂
=





∂
∂
=
( )
KmolJS
S
dT
T
T
T
dTC
S
T
T
p
/71,5
15,29815,37300519,0
15,298
15,373ln7,23
00519,07,2315,373
15,298
2
1
+=∆
=−+=∆
∫ 




 +=∫=∆
V
nRTp =
V
nRdV
T
dTCdSdV
T
nRT
T
dTCdS VV +=⇒+=
 Cap 9 - 
 
15 
Comparando com a eq. 9.24: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A T constante (isotérmica) 
↑↑ VcomS 
• Para variações finitas = 
 
• Se CV constante ⇒ 
1
2
1
2 lnln
V
VnR
T
TCS V +=∆ 
 
Entropia do Gás Ideal em função de T e p 
 
 
 
 
 
VdppdVdHpdVdQrev −−=− 
 
 , 
dp
T
V
T
dTC
dS p −= , p
nRTV = 
 
 
(9.44) 
 
(9.48) 
pdVdQdU
VdppdVdHdU
rev −=
−−=
 
V
nR
V
S
T
C
T
S
dV
V
nRdTT
CdS
dV
V
SdT
T
SdS
T
V
V
V
TV
=





∂
∂
=





∂
∂





+




=






∂
∂
+





∂
∂
=
(9.47) 
∫ ∫+=∆
2
1
2
1
T
T
V
V
V
V
dVnR
T
dTCS
pVHUpVUH −=→+=
dTCdH
VdpdHdQ
p
rev
=
−= dp
T
V
T
dHdST −=⇒÷
p
nRdpdT
T
C
dSdp
T
nRT
T
dTC
dS pp −=⇒−=
 Cap 9 - 
 
16 
 
 
Comparando com 9.34 = dpp
SdT
T
SdS
Tp






∂
∂
+





∂
∂
= (9.49) 
 
 
 
 
Para variação finita, a eq. 9.49 resulta ⇒ 
 
 
 
 
Exemplo 9.4: n = 1, Gás Ideal, RC p 2
5
= 
Estado (1) = 20ºC , 1 atm 293K, 1 atm 
Estado (2) = 50ºC , 8 atm 323K, 8 atm 
KmolJRS
atm
atmR
K
KR
p
pR
T
TCS p
/26,15836,1
1
8ln
15,293
15,323ln
2
5
lnln
1
2
1
2
−=−=∆






−





=






−=∆
 
 
 
9.9.1 Estado padrão para a entropia de um gás Ideal 
 
• A temperatura constante a eq. 9.50 → 
 
• Integrando de p = 1 atm a p qualquer ⇒ 
(9.38) (9.50) 
(9.51) 
T
C
T
S p
p
=





∂
∂
p
nR
p
S
T
−=





∂
∂






−





=∆
1
2
1
2 lnln
p
pnR
T
TCS p
dp
p
RSd −=
 Cap 9 - 
 
17 
 
 
 ⇒ (9.52) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.10 O terceiro princípio da termodinâmica 
 
Sólido (0K,p) → Sólido (T,p) p = constante 
 
• ∫∫ +=→=−=∆
T
po
T
T
p
T dTT
C
SSdT
T
C
SSS
0
0
0
0 (9.54) 
• ∫ +=
T
p dT
T
C
0
),( pois ↑TS com ↑T portanto 0SST > ; S0 = 
menor valor algébrico. 
• 1913 = Max Planck = sugeriu = S0 = 0 para todas as substâncias 
puras e cristalinas. (Este é o 3º princípio da Termodinâmica ). 
 
 
 
∫−=−=∫
p
o
p
S
S p
dpRSSdS
1
1
2
1 atm
pRSS op 1
ln−=−
pRSS o ln−=− (9.53) 
 Cap 9 - 
 
18 
3º Princípio = A entropia de uma substância pura e 
perfeitamente cristalina é zero no zero absoluto de 
temperatura. 
 
 
• A equação 9.54 se torna = (9.55) 
 
• Se a pressão = 1 atm = 
o
TS 
 
- Para Líquido = (9.56) 
 
- Para Gás = 
(9.57) 
 
• Transições de fases cristalinas 
 
 
• Cp sólidos = até centésimos do 0K (pouco usual) 
• Comumente = até T’ (10 a 15K) 
Sólidos = seguem a LEI DE BEBYE ⇒ (9.58) 
onde a = constante para cada sólido. E Cp e CV são indistinguíveis. 
 
∴ Lei de Debye = (9.58) = usada para avaliar a integral Cp de 0K 
a T’ 
 
• A constante (a) = 
 
• Acima de T’, a integração se faz graficamnete. 
 
 
 
 
= medir na Tequilíbrio 
= medir as Cp, ∆Htransição 
 
∫=
T
p
T T
dTC
S
0
∫ ∫+
∆
+=
1
0
)()(
T T
T
lp
F
o
Fus
o
spo
T
F
dT
T
C
T
HdT
T
C
S
∫+
∆
+∫ ∫+
∆
+=
T
T
o
sp
ebul
o
vap
T
T
T
T
o
lp
F
o
Fusspo
T
ebul
ebul
F
dT
T
C
T
H
dT
T
C
T
HdT
T
C
S )()()(
1
0
3aTCV =
( )
( )
'
'
'
3 TamedidasCCT
TC
Vp
p →=
∫=∫∫ =
T
T
p
T
T
p
T
T
p TCTdCdT
T
C
'
10
''
)(log303,2)(ln
 Cap 9 - 
 
19 
 
 
Teorema de Calor de Nernst (1906) 
 
“ Em qualquer reação química que envolva apenas sólidos puros e 
cristalinos, a variação de entropia é nula, 0K. 
 
3º Princípio 
 
 
 
• Considerações gerais = 
 
(1) Sgases > Sliq > Ssólidos ⇒ Eq. 9.57 
 
(2) Sgás aumenta com o ln da massa 
 
 
(3) Gases de mesma massa = Cp (rotac.) 
 
• Ne → HF ≠ 27,45 J/Kmol = + 2 graus de liberdade 
• HF → H2O ≠ 15,06 J/Kmol = + 1 grau de liberdade 
• H2O ≈ NH3 = 3 graus de liberdade = ~ mesma S. 
Fig. 9.3 = Cp x log10T 
 
Área sob a curva = valor da Integral. 
(12K → 298K) 
Área x 2,303 = molKJS o ./6,32298 = 
= É específico = 0 K! 
= ∴ não é generalização 
= só para substancias PURAS e CRISTALINAS. 
= exceções = estatística. 
 
→ gases monoatômicos 
→ série gdiat. = HF, HCl, HBr, HI 
Ne18, HF18, H2O18 
 34 41 45 
 Cap 9 - 
 
20 
• Moléculas com mesma massa, mesma Cp mas formatos 
diferentes ⇒ quanto mais simétrico, < S. 
 
 
 
 
 
(4) Sólidos = unidade simples = Cp = vibracional (só) 
Ligações + firmes = ALTA ENERGIA DE COESÃO ⇒ 
menor Cp ⇒ MENOR CP 
Diamante = alta coesão = baixa S 
Silício = baixa coesão = alta S 
 
(5) Sólidos = com 2,3, ... unidades simples = S α 2,3, α a Sunid 
∴∆S/partículas α mesma para diversas substâncias. 
 
(6) Sólido = unidades complexas = Forças de Van der Waals → 
forças fracas (coesão) ⇒ Sgrande. 
 
(7) Sólido – cristais com unidades complexas = S↑ Cp é maior 
devido aos graus de liberdade. 
 
(8) TABELA 9.1 = PÁG. 198. 
 
 
N2 – CO 
45,7 47,3 
23,03 23,76 
 
NH3 – CH4 
46 44 
23,173 22,389 
 
(cal/K) 
(R) 
 Cap 9 - 
 
21 
 
 Cap 9 - 
 
22 
9.11 Variações de entropia nas reações químicas. 
 
- ∆Sº para reação química = cálculos para tabela 9.1 (semelhante 
aos cálculos de ∆Hº. 
Diferença = Sºelementos ≠ 0 !! (3º princípio, 1 atm, 298K) 
 Fe2O3 (s) + 3H2 (g) → 2Fe (s) + 3H2O (l) 
 
∆Sº = Sº(final) – Sº(inicial) ⇒ (9.59) 
 
∆Sº = 2Sº(Fe,s) + 3Sº (H2O,l) – Sº(Fe2O3,s) – 3Sº(H2,g) (9.60) 
 
Tab. 9.1 ⇒ 
∆S = R[2(3,28) + 3(8,41310 – 10,51 – 3(15,7041)] 
 = -25,82R = -25,82 (8,314 J/K.mol) = - 214,7 J/K.mol 
 
 Cu2O(s) + C(s) → 2Cu(s) + CO(g) ∆Sº298 = + 158 J/K.mol 
 
 Para outras temperaturas ⇒ ∆S para reações a qualquer 
temperatura. 
 
∆Sº = Sº(prod) – Sº(reag) 
 
Derivando em relação a T ⇒ ( p = constante) 
p
reag
p
prod
p T
S
T
S
T
S








∂
∂
−







∂
∂
=





∂
∆∂ 000
 
 
 (9.61) 
 
 
 
 
 
T
C
T
C reagpprodp
0
.
0
. −= 
 Cap 9 - 
 
23 
Na forma diferencial e integrando ⇒ 
 
∫
∫ ∫
∆
+∆=∆
∆
=∆
T
T
p
TT
T
T
T
T
p
dT
T
C
SS
dT
T
C
Sd
0
0
0 0
0
00
0
0 )(
 (9.62) 
Tab. (9.1) Tab. (7.1)