Somatorio_Estatistica_basica_Conteudo_e_Exercicios

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Profa Gisele Rodrigues Moreira – CCAUFES/Depto Engenharia Rural Página 1 
 
 
 
Profa. Gisele Rodrigues Moreira 
Depto. Eng. Rural. Tel: (28) 3552-8666 
E-mail: gisele.moreira@ufes.br 
 
SOMATÓRIO 
 
 As operações de somatório são de grande importância para a Estatística por facilitar a 
indicação e formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas. 
 
1. SOMATÓRIO 
1.1 Notação de somatório por índice 
Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo (

), que deve ser lido 
SOMATÓRIO ou SOMA DE. 
O símbolo 


n
1i
iX
é usado para representar a soma de todos os valores Xi desde i = 1 até i = n, ou 
seja, por definição: 
 


n
1i
iX
= X1 + X2 + .......+ Xn 
Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xi, com índice i variando de 1 a n”. 
 
O símbolo Xi (lê-se X índice i) representa qualquer um dos n valores, X1, X2,....,Xn, assumidos 
pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados. 
 
Exemplo: Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias: 
 
 
 
10987654321
10
1
i X XXXXXXX X XX 
i
 
X1 X2 X3 ......... ......... ......... ......... ......... ........ X10 
2,47 2,49 2,56 2,56 2,59 2,61 2,62 2,62 2,62 2,70 
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70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,X
10
1
i 

2
i
 
84,5X
10
1
i 2
i
 
 
1.2 Número de termos do somatório (NT) 
 Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. 
 Tem-se duas formas de calcular o NT: 
 
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) 
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) 
 
Em que, 
Ls = limite superior do somatório 
Li = limite inferior do somatório 
r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma) 
 
Ex.: 
SEM RESTRIÇÃO: 
84,5X XXXXXXX X XX 10987654321
10
1
i 2
i
 
NT = 10 – 1 + 1 = 10 
 
COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2): 
81,0X XXXXXX X X 109876542
10
3,1
1
i 2


i
i
 
NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8 
 
1.3 Propriedades 
1ª) 
KNTK
n
I
.
1


, sendo K uma constante e NT = número de termos. 
Ex.: 
202.102).1110(2
10
1

i
 
 
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2ª) 



n
i
i
n
i
i XKXK
11
..
 
Ex.: 
68,184,25.2)70,2...49,247,.()X ....... X X.(2.2.2 1021
1
10
1
522  

n
i
i
i
i XX
 
 
3ª) 



n
I
i
n
I
ii
n
i
i YXYX
111
)(
 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
291712)953()642()()()( 321321
3
1
3
1
3
1
 

YYYXXXYXYX
I
i
I
ii
I
i
 
4ª) 
KNTXKXKX
n
I
i
n
I
n
I
i
n
I
i .)(
1111
 

 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
84,52.1084,252.2)2(
10
1
10
1
10
1
10
1
4 

NTXXX
I
i
II
i
i
i
 
 
5ª) 



n
i
i
n
i
ii
n
i
i YXYX
111
 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
8054209.65.43.332211
1


62YXYXYXYX i
n
i
i
 
0417.2)).(( 321321
11
21 

YYYXXXYX
n
i
i
n
i
i
 
 Logo, 80  204 
  Ao 
i
n
i
iYX
1
 dá-se o nome de SOMA DE PRODUTOS e ao 


n
i
i
n
i
i YX
11
 dá-se o nome de 
PRODUTO DA SOMA. 
 
6ª) 



n
i
i
n
i
i XX
1
2
1
2
)(
 
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Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
81,6670,2...49,247,X ... X X 222
2
10
2
2
2
1
1
2


2
n
i
iX
 
71,667)84,5()( 2
1
2 

2
n
i
iX
 
 Logo, 66,81  667,71 
  Ao


n
i
iX
1
2
dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao 


n
i
iX
1
2)(
 dá-se o nome de 
QUADRADO DA SOMA. 
 
7ª) 

 


n
i i
n
i
i
X
X 1
1
11 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
0387,0
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,
11
1





2n
i
iX
 
87,3
70,2
1
62,2
1
62,2
1
62,2
1
61,2
1
59,2
1
56,2
1
56,2
1
49,2
1
47,2
11
1


n
i iX
 
 Logo, 0,0387  3,87 
 
1.4 Somatório em Tabela de contingência ou Tabela de dupla entrada 
 É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são 
representados em uma tabela de dupla entrada, ou seja, distribuídos em linhas e colunas. 
 Não existe obrigatoriedade que o número de linhas seja igual ao número de colunas. 
Na Tabela 1 tem-se o exemplo de quando os dados de duas variáveis são apresentados em linhas 
(i) e colunas (j). 
 
Tabela 1 – Diagnósticos de depressão em estudantes de acordo com o gênero. 
Gênero (i) 
Depressão (j) 
TOTAL 
Sim Não 
Masculino 36 214 250 
Feminino 62 188 250 
TOTAL 98 402 500 
Fonte: VIEIRA, S. Introdução à estatística. Pág. 30 
 
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 São possíveis somatórios do total geral, por linha e por coluna. 
 
a) TOTAL GERAL: Somar cada uma das combinações ij, ou seja, linhas e colunas. 

 
2
1
2
1
ijX
i j
= X11 + X12 + X21 + X22 

 
2
1
2
1
ijX
i j
= 36 + 214 + 62 + 188 = 500 
 
b) TOTAL DE LINHA: Soma em cada i linha, ou seja, a soma de todos com depressão, por 
gênero. 
Soma na linha 1 (Masculino), ou seja i = 1: 


2
1
1
j
jX
= X11 + X 12 


2
1
1
j
jX
= 36 + 214 = 250 
 
Soma na linha 2 (Feminino), ou seja i = 2: 


2
1
2
j
jX
= X21 + X 22 


2
1
2
j
jX
= 62 + 188 = 250 
 
A soma de todas as linhas corresponde à: 


2
1i
ijX
 = X1j + X2j  j = 1, 2 


2
1i
ijX
 = 250 + 250 = 500 
 
c) TOTAL DE COLUNA: Soma em cada j coluna, ou seja, a soma de todas as pessoas por 
condição da depressão. 
Soma na coluna 1 (Sim), ou seja j = 1: 


2
1
1
i
iX
= X11 + X 21 
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

2
1
1
i
iX
= 36 + 62 = 98 
 
Soma na coluna 2 (Não), ou seja j = 2: 


2
1
2
i
iX
= X12 + X 22 


2
1
2
i
iX
= 214 + 188 = 402 
 
A soma de todas as colunas corresponde à: 


2
1j
ijX
 = Xi1 + Xi2  i = 1, 2 


2
1j
ijX
 = 98 + 402 = 500 
 
Na Tabela 2 tem-se o exemplo de uma variável X, cujos valores dependem da linha e da coluna 
consideradas. Assim X possui dois índices (Xij), sendo que o índice i representa as linhas e o índice 
j representa as colunas. 
 
Tabela 2 - Produtividade (t/ha) de uma forrageira sob o efeito de quatro doses de fósforo em 
combinação com três doses de nitrogênio. 
 
Teor de fósforo (i) 
Teor de nitrogênio (j) 
TOTAL 
1 2 3 
1 4,6 5,0 5,5 15,1 
2 5,0 5,5 6,1 16,6 
3 5,2 5,8 6,4 17,4 
4 6,0 6,2 6,8 19,0 
TOTAL 20,8 22,5 24,8 68,1 
 
Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são 
utilizados para representá-los. Assim dois símbolosde somatórios podem ser utilizados. 
A partir de dados organizados em tabela de dupla entrada é possível obter três tipos de 
somatórios: total, por linha e por coluna. 
 
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b) TOTAL GERAL: Somar cada uma das combinações ij, ou seja, todas a produtividades na 
Tabela 2 

 
4
1i
3
1j
ijX
= X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 + X31 + X32 + X33 + X41 + X42 + X43 

 
4
1i
3
1j
ijX
= 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1 
 
b) TOTAL DE LINHA: Somar cada uma das linhas i, ou seja, o total de cada dose de fósforo. 


4
1i
ijX
= X1j + X 2j + X3j + X 4j  j = 1, 2, 3 


4
1i
ijX
 = (X11 + X12 + X13) + (X21 + X22 + X23) + (X31 + X32 + X33) + (X41 + X42 + X43) = 16,1 + 
16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1 
 
Ou ainda, para fósforo dose 2 (i = 2), a produtividade total é: 


3
1
2
j
jX
 X21 + X22 + X23 = 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6 
 
c) TOTAL DE COLUNA: Somar cada uma das colunas j, ou seja, o total de cada dose de 
nitrogênio. 


3
1j
ijX
= Xi1 + Xi2 + Xi3  i = 1, 2, 3, 4 


3
1j
ijX
= (X11 + X21 + X31 + X41) + (X21 + X22 + X32 + X34) + (X13 + X23 + X33 + X43) 


3
1j
ijX
= 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1 
 
Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j =3), a produtividade total é: 


4
1
3
i
iX
 X13 + X23 + X33 + X43 = 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8 
 
 
 
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Lista de exercícios: 
 
 
1 – Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: X = {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} n = 10 
Calcule: 
a) 


10
1i
iX
 b) 


10
1
2
i
iX
 c) 


10
1
2)(
i
iX
 d) 
110
10
)(
10
1
10
1
2
2





i
i
i
i
X
X
 
e) 



10
1
)4(
i
iX
 f) 210
1
)4(


i
iX
 g) 
110
)4(
10
1
2


i
iX h) 
10
10
1

i
iX
 
2 – Sabendo-se que 
6
5
1

i
iX
e 
12
5
1
2

i
iX
, Calcule: 
a) 



5
1
)54(
i
iX
 b) 



5
1
)2(
i
ii XX
 c) 25
1
)3(


i
iX
 
 
3 – Utilizando os dados da tabela abaixo, calcule: 
 
i 
J 
1 2 3 4 
1 8 7 5 9 
2 4 0 10 2 
a) 


2
1
1
i
iX
 b) 


4
1
1
j
jX
 c) 

 
2
1
4
1i j
ijX
 d) 


 
4
3
1
2
1
j
j i
ijX
 
e) 


3
2
2
j
jX
 f) 



4
2
1 2
1
j
j jX
 
 
4 – Considere os seguintes valores: 
 
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 X6 = 12 X7 = 14 X8 = 16 
Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9 Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 =15 
 
Calcule os seguintes somatórios: 
a) 
)3(
8
1
5
2

 i j
iX
 b) 









8
1
2
2i
i
i Y
X 
 
5 – Se 



3
1
12
i
iX
 



3
1
2
56
i
iX
 e 
31 Y
 
52 Y
 
63 Y
, calcule: 
 9 
a) 


3
1
9
i
 b) 


3
1
12
i
iX
 c) 
)2(
3
1
2
1 
i
X
 d) 
)(
3
1
i
i
iYX

 
 
 
6 – Se X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6 e Y1 = 3, Y2 = 5, Y3 = 6, calcule: 
a) 
)(
3
1
i
i
iYX

 b) 
)5)(2(
3
1


i
i
i YX
 
 
 
7 – Calcule X9 e X21, sabendo-se que: 



50
1
200
i
iX
 



50
1
2
1206
i
iX
 




50
219
1
190
ei
i
iX
 




50
219
1
2
1154
ei
i
iX
 
 
8 – Dados: 
i fi Xi 
1 3 10 
2 5 11 
3 9 15 
4 10 19 
Calcule: a) 


4
1i
iX
 b) 


4
1i
if
 c) 


4
1i
ii Xf
 d) 




4
1
4
1
i
i
i
ii
f
Xf
 
9 - Um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, 
dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma 
idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um 
sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento 
se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o 
momento de se realizar uma nova tosquia, da qual se obtiveram os seguintes resultados, expressos 
em unidade de medida de lã por animal: 
 
TA 
GRUPOS 
Totais 
1 2 3 4 5 6 7 
1 30 32 33 34 29 30 33 221 
2 29 31 34 31 33 33 29 220 
3 43 47 46 47 48 44 47 322 
4 23 25 21 19 20 21 22 151 
Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 
 
Calcular: 
a) 


7
1
2
.
4
1
.
j
j
i
i XX
 b) 

 
4
1
7
1i j
ijX
 c) 

 
4
1
7
1
2
i j
ijX
 
 
d) 

 
4
1
7
1
2)(
i j
ijX
 e) 


4
1
1
i
iX
 f) 


7
1
1
j
jX
 g) 


4
1
2
1
i
iX
 
 
 10 
h) 


7
1
2
1
j
jX
 i) 
2
4
1
7 )(
i
iX
 j) 


4
1
2
7
i
iX
 k) 
2
7
1
4 )(
j
jX
 l) 


7
1
2
4
j
jX
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1 – 
a) 40 b) 240 c) 1600 d) 80/9 e) 0 f) 80 g) 80/9 
h) 4
 
2 – 
a) 1 b) 24 c) 93 
 
 
3 – 
a) 12 b) 29 c) 45 d) 30 e) 10 f) 17/20 
 
4 – 
a) 192 b) 140 
 
5 – 
a) 27 b) 144 c) 50 d) 3X1 + 5X2 + 6X3 
 
6 – 
a) 62 b) 4 
 
7 – 
 X9 = 4 e X21 = 6 
 
8 – 
a) 55 b) 27 c) 410 d) 410/27 
 
9 – 
a) 109142568 b) 914 c) 32050 d) 835396 
e) 125 f) 221 g) 4119 h) 6999 i) 17161 j) 4623 
k) 22801 l) 3281