Lista de Exercícios - Estatística Econômica UFPE

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Lista de Exerc´ıcios
1. Sejam X e Y com a distribuic¸a˜o conjunta da tabela abaixo.
X/Y -2 0 2 4
-1 0,1 0,2 0,1 0,2
1 0,2 0 0,1 0,1
Calcule a Covariaˆncia e a correlac¸a˜o entre X e Y.
Resposta: Cov(X,Y)=-0.4; ρ(X,Y )=-0.17
2. Sorteia-se ao acaso um dentre os nu´meros 9, 12, 18 e 27 e e´ feita a decom-
pisic¸a˜o do nu´mero sorteado em fatores primos. Sejam D e T, as varia´veis
que representam, repectivamente, o nu´mero de vezes em que o 2 e o 3
aparecem na decomposic¸a˜o
A) Obtenha a distribuic¸a˜o conjunta de D e T.
B) Calcule a covariaˆncia e o coeficiente de correlac¸a˜o entre as varia´veis.
Resposta: Cov(D,T)=-1/2; ρ(X,Y ) = −0, 853
3. Um tubo de PVC e´ fabricado com um diaˆmetro me´dio de 1,01 polegadas
e um desvio-padra˜o de 0,003 polegadas. Encontre a probabilidade de uma
amostra aleato´ria de n=9 sec¸o˜es de tudo ter um diaˆmetro me´dia amostral
maior que 1,009 e menor que 1,012 polegadas. Resposta:0,8186
4. Uma fibra sinte´tica usada na fabricac¸a˜o de carpete tem uma resisteˆncia
a trac¸a˜o que e´ normalmente distribu´ıda, com me´dia de 75,5 psi e desvio-
padra˜o de 3,5 psi. Encontre a probabilidade de uma amostra aleato´ria de
n=6 corpos de prova de fibra ter uma resisteˆncia me´dia amostral a trac¸a˜o
que exceda 75,75 psi.Resposta:0,4306
5. A resisteˆncia do concreto a compressa˜o e´ normalmente distribu´ıda com
µ = 2500 psi e σ2 = 50 psi. Encontre a probabilidade de uma amostra
aleato´ria de n=5 ter um diaˆmetro me´dio que esteja entre 2499 psi e 2510
psi. Resposta:0,191
6. Uma populac¸a˜o normal tem me´dia igual a 100 e variaˆncia igual a 25. Qua˜o
grande tem de ser a amostra aleato´ria, se quisermos que o desvio-padra˜o
da me´dia amostral seja igual a 1,5. Resposta:12
7. mostre que
∑n
i=1(Xi− X¯)2/n e´ um estimador viesado para σ2.
1
8. Suponha um experimento constituindo de n provas de Bernoulli, com prob-
abilidade de sucesso p. Seja X o nu´mero de sucessos, e considere os esti-
madores:
pˆ1 = X/n (1)
pˆ2 =
{
1 se a primeira prova resultar sucesso
0 Caso contra´rio
A) Algum dos dois estimadores e´ viesado?
B) Algum dos dois estimadores e´ mais eficiente que o outro?
C) Algum dos dois estimadores e´ consistente?
9. Seja X uma varia´vel aleato´ria com esperanc¸a µ e variaˆncia σ2. Seja
(X1, ..., Xn) uma amostra de X. Verifique que C
∑n−1
i=1 (Xi+1 −Xi)2 con-
stitui um estimador na˜o-viesado de σ2, para uma escolha adequada da
constante C. Determine esse valor de C.
Resposta: C = 12(n−1)
10. Uma varia´vel aleato´ria X tem fdpf(x) = (β + l)xβ , O < x < 1. Calcule
EMV de β, baseada numa amostra Xl, ..., Xn.
Resposta: βˆ = −
(
n∑n
i=1
log(xi)
+ 1
)
11. Suponha que X tenha uma distribuic¸a˜o de Weibull, com fdp
f(x) = (λα)xα−1�−λx
α
, x > 0 (2)
Suponha que α seja conhecido. Determine o EMV λ, baseada em uma
amostra de tamanho n.
Resposta: λˆ = n∑n
i=1
xα
i
2