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Lista de Exerc´ıcios 1. Sejam X e Y com a distribuic¸a˜o conjunta da tabela abaixo. Mostre que Cov(X,Y)=0, mas X e Y na˜o sa˜o independentes. Y/X -1 0 1 -1 0 1/4 0 0 1/4 0 1/4 1 0 1/4 0 2. Uma companhia eletroˆnica fabrica reatores que tem uma resisteˆncia me´dia de 100 ohms e um desvio-padra˜o de 10 ohms. A distribuic¸a˜o de resisteˆncia e´ normal. Encontra a probabilidade de uma amostra aleato´ria de n=25 resistores ter uma me´dia menor que 95 ohms. 3. Suponha que uma varia´vel aleato´ria X tenha uma distribuic¸a˜o cont´ınua uniforme. f(x) = { 1/2 4 ≤ x ≤ 6 0 caso contra´rio a) Encontre a distribuic¸a˜o da me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n=40. b) Qual a probabilidade da me´dia amostral estar entre 4.8 e 5.2 ? 4. Seja X1, X2, ...X7, uma amostra aleato´ria proveniente de uma populac¸a˜o tendo me´dia µ e variaˆncia σ2. Considere os seguintes estimadores de µ Θˆ1 = X1+X2+...+X7 7 Θˆ2 = 2X1−X6+X4 2 a) Os dois estimadores sa˜o na˜o viesados? b) Qual o melhor estimador? 5. X¯1 e S 2 1 sa˜o a me´dia e a variaˆncia da amostra de uma populac¸a˜o com me´dia µ1 e variaˆncia σ 2 1 . Similarmente, X¯2 e S 2 2 sa˜o a me´dia e a variaˆncia da amostra de uma populac¸a˜o com me´dia µ2 e variaˆncia σ 2 2 . Os tamanhos das amostras sa˜o n1 e n2, respectivamente. a) Mostre que X¯1 − X¯2 e´ um estimador na˜o-viesado para µ1 − µ2 b) Suponha que ambas as populac¸o˜es tenham a mesma variaˆncia, isto e´ σ21 = σ 2 2 = σ 2. Mostre que o estimador S2p e´ na˜o viesado para σ 2 S2p = (n1−1)S21+(n2−1)S22 n1+n2−2 6. Seja X exponencialmente distribu´ıda com paraˆmetro λ. Encontre o esti- mador de ma´xima verossimilhanc¸a para λ. 1
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