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Gabarito Lista 2 questões 1 a 15

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GABARITO da 2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis- Prof Simone
1. Seja f(x, y) = ln (x + y − 1).
(a) f(1, 1) = ln 1 = 0. (b) f(1, e) = ln e = 1. (c) f(e, e) = ln (2e− 1) ≈.
(d) Df = {(x, y) ∈ R2 | y > 1− x}.
(e) Imf = R.
2. Seja f(x, y) = x2e3xy.
(a) f(2, 0) = 4. (b) Df = R2. (c) Imf =
[
0 ,+∞
[
.
3. Dada f(x, y) =
√
1 + x− y2:
(a) Df = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ y2 − 1}.
(b) Imf =
[
0 , +∞
[
.
4. Dada f(x, y, z) = e
√
z−x2−y2 :
(a) f(2,−1, 6) = e. (b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≥ x2 + y2}. (c) Imf =
]
0 , +∞
[
.
5. g(x, y, z) = ln (25− x2 − y2 − z2).
(a) g(4,−2, 2) = ln 1 = 0. (b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 < 25}. Imf =
]
−∞ , ln (25)
[
.
1
6. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x, y) =
√
x + y. Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ −x}. (b) f(x, y) = √xy. Df = {(x, y) ∈ R2 |xy ≥ 0}.
(c) g(x, y) = ln (9− x2 − 9y2). (d) f(x, y) = √y − x ln (y + x).
Df = {(x, y) ∈ R2 | x29 + y
2
1 < 1}. Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x e y > −x}.
(e) f(x, y) =
√
1− x2 −
√
1− y2. (f) f(x, y) = √y +
√
25− x2 − y2.
Df = {(x, y) ∈ R2 |x2 ≤ 1 e y2 ≤ 1}. Df = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 25 e y ≥ 0}.
(g) f(x, y)
√
y − x2
1− x2 . (h) f(x, y) = arcsen (x
2 + y2 − 2).
Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x2 e x2 6= 1} Df = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3}.
2
(i) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2. (j) f(x, y, z) =
√
2 + x2 + y2 + z2.
Df = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Df = R3.
(k) f(x, y, z) = ln (16− 4x2 − 4y2 − z2). Df =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x
2
4
+
y2
4
+
z2
16
≤ 1
}
.
7. Esboce o gra´fico da func¸a˜o:
(a) f(x, y) = 3. O gra´fico e´ um plano paralelo ao plano xy com altura z = 3.
3
(b) f(x, y) = y
(c) f(x, y) = 10− 4x− 5y
(d) f(x, y) = cosx
(e) f(x, y) = y2 + 1
4
(f) f(x, y) = 3− x2 − y2
(g) f(x, y) = 4x2 + y2 + 1
5
(h) f(x, y) =
√
16− x2 − 16y2 (i) f(x, y) =
√
x2 + y2
8 Fac¸a a correspondeˆncia entre a func¸a˜o de (a) ate´ (f) e seu gra´fico de I ate´ VI. Justifique sua escolha.
Gra´fico I com a letra (c) f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
.
Justificativa: f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
⇒ f(0, 0) = 1. Observamos que para todas as outras func¸o˜es temos f(0, 0) = 0.
Gra´fico II com a letra (e) f(x, y) = (x− y)2.
Justificativa: f(x, y) = (x− y)2 ⇒ f(x, x) = 0 e f(x,−x) = 4x2 para´bola. Observamos que para todas as outras
func¸o˜es, menos a letra (d), temos f(x, x) 6= 0 e para a letra (d) temos f(x,−x) = 0.
Gra´fico III com a letra (f) f(x, y) = sen (|x|+ |y|).
Justificativa: Tantos ”sobe e desce”do gra´fico indicam que a func¸a˜o deve envolver a func¸a˜o seno ou cosseno em sua
expressa˜o, e a letra (f) e´a u´nica que tem seno em sua expressa˜o.
Gra´fico IV com a letra (d) f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
. Justificativa: f(x, y) = (x2−y2)2 ⇒ f(x, x) = 0 e f(x,−x) = 0.
Gra´fico V com a letra (b) f(x, y) = |xy |. Justificativa: f(x, y) = |xy | ⇒ f(0, y) = 0 e f(x, 0) = 0.
Gra´fico VI com a letra (a) f(x, y) = |x |+ | y |. Justificativa: f(x, y) = |x |+ | y | ⇒ f(0, y) = |y| e f(x, 0) = |x|.
9. Dado o mapa de contorno da func¸a˜o f , estime f(−3, 3) e f(3,−2). O que voceˆ pode dizer sobre a forma do gra´fico ?
f(−3, 3) ≈ 56, pois esta´ entre as curvas de n´ıvel K = 50 e K = 60, mais pro´ximo da curva de n´ıvel K = 60.
Analogamente, f(3,−2) ≈ 35.
O gra´fico deve ser um ”morro”com (0, 0) ponto de ma´ximo local.
Um ”morro”na˜o sime´trico, mais inclinado de um lado que do outro.
6
10. Fac¸a o mapa de contorno da func¸a˜o.
(a) f(x, y) = (y − 2x)2.
Curvas de n´ıvel: (y − 2x)2 = K ⇒ K ≥ 0
K = 0 : (y − 2x)2 = 0 ⇒ y − 2x = 0 ⇒ y = 2x
K = 1 : (y − 2x)2 = 1 ⇒ y − 2x = 1 ou y − 2x = −1 ⇒ y = 2x + 1 ou y + 2x− 1
K = 2 : (y − 2x)2 = 4 ⇒ y − 2x = 2 ou y − 2x = −2 ⇒ y = 2x + 2 ou y + 2x−−2
(b) f(x, y) = x3 − y. (c) f(x, y) = y − lnx
(d) f(x, y) = e
y
x . (e) f(x, y) = yex
(f) f(x, y) = secx. (g) f(x, y) =
√
y2 − x2
7
(h) f(x, y) =
y
x2 + y2
.
y
x2 + y2
= k ⇒
{
se k = 0 ⇒ y = 0
se k 6= 0 ⇒ yk = x2 + y2 ⇒ x2 + y2 − yk = 0 ⇒ (x− 0)2 +
(
y − 12k
)2
= 14k2
Conclusa˜o:
Curva de n´ıvel K = 0: y = 0 reta horizontal (eixo x)
Curva de n´ıvel K 6= 0: (x− 0)2 +
(
y − 1
2k
)2
=
1
4k2
circunfereˆncias de centro
(
0,
1
2k
)
e raio R =
1
2k
.
11. Sera´ gabaritado em sala !
8

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