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GABARITO da 2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis- Prof Simone 1. Seja f(x, y) = ln (x + y − 1). (a) f(1, 1) = ln 1 = 0. (b) f(1, e) = ln e = 1. (c) f(e, e) = ln (2e− 1) ≈. (d) Df = {(x, y) ∈ R2 | y > 1− x}. (e) Imf = R. 2. Seja f(x, y) = x2e3xy. (a) f(2, 0) = 4. (b) Df = R2. (c) Imf = [ 0 ,+∞ [ . 3. Dada f(x, y) = √ 1 + x− y2: (a) Df = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ y2 − 1}. (b) Imf = [ 0 , +∞ [ . 4. Dada f(x, y, z) = e √ z−x2−y2 : (a) f(2,−1, 6) = e. (b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≥ x2 + y2}. (c) Imf = ] 0 , +∞ [ . 5. g(x, y, z) = ln (25− x2 − y2 − z2). (a) g(4,−2, 2) = ln 1 = 0. (b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 < 25}. Imf = ] −∞ , ln (25) [ . 1 6. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio das func¸o˜es: (a) f(x, y) = √ x + y. Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ −x}. (b) f(x, y) = √xy. Df = {(x, y) ∈ R2 |xy ≥ 0}. (c) g(x, y) = ln (9− x2 − 9y2). (d) f(x, y) = √y − x ln (y + x). Df = {(x, y) ∈ R2 | x29 + y 2 1 < 1}. Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x e y > −x}. (e) f(x, y) = √ 1− x2 − √ 1− y2. (f) f(x, y) = √y + √ 25− x2 − y2. Df = {(x, y) ∈ R2 |x2 ≤ 1 e y2 ≤ 1}. Df = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 25 e y ≥ 0}. (g) f(x, y) √ y − x2 1− x2 . (h) f(x, y) = arcsen (x 2 + y2 − 2). Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x2 e x2 6= 1} Df = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3}. 2 (i) f(x, y, z) = √ 1− x2 − y2 − z2. (j) f(x, y, z) = √ 2 + x2 + y2 + z2. Df = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Df = R3. (k) f(x, y, z) = ln (16− 4x2 − 4y2 − z2). Df = { (x, y, z) ∈ R3 | x 2 4 + y2 4 + z2 16 ≤ 1 } . 7. Esboce o gra´fico da func¸a˜o: (a) f(x, y) = 3. O gra´fico e´ um plano paralelo ao plano xy com altura z = 3. 3 (b) f(x, y) = y (c) f(x, y) = 10− 4x− 5y (d) f(x, y) = cosx (e) f(x, y) = y2 + 1 4 (f) f(x, y) = 3− x2 − y2 (g) f(x, y) = 4x2 + y2 + 1 5 (h) f(x, y) = √ 16− x2 − 16y2 (i) f(x, y) = √ x2 + y2 8 Fac¸a a correspondeˆncia entre a func¸a˜o de (a) ate´ (f) e seu gra´fico de I ate´ VI. Justifique sua escolha. Gra´fico I com a letra (c) f(x, y) = 1 1 + x2 + y2 . Justificativa: f(x, y) = 1 1 + x2 + y2 ⇒ f(0, 0) = 1. Observamos que para todas as outras func¸o˜es temos f(0, 0) = 0. Gra´fico II com a letra (e) f(x, y) = (x− y)2. Justificativa: f(x, y) = (x− y)2 ⇒ f(x, x) = 0 e f(x,−x) = 4x2 para´bola. Observamos que para todas as outras func¸o˜es, menos a letra (d), temos f(x, x) 6= 0 e para a letra (d) temos f(x,−x) = 0. Gra´fico III com a letra (f) f(x, y) = sen (|x|+ |y|). Justificativa: Tantos ”sobe e desce”do gra´fico indicam que a func¸a˜o deve envolver a func¸a˜o seno ou cosseno em sua expressa˜o, e a letra (f) e´a u´nica que tem seno em sua expressa˜o. Gra´fico IV com a letra (d) f(x, y) = 1 1 + x2 + y2 . Justificativa: f(x, y) = (x2−y2)2 ⇒ f(x, x) = 0 e f(x,−x) = 0. Gra´fico V com a letra (b) f(x, y) = |xy |. Justificativa: f(x, y) = |xy | ⇒ f(0, y) = 0 e f(x, 0) = 0. Gra´fico VI com a letra (a) f(x, y) = |x |+ | y |. Justificativa: f(x, y) = |x |+ | y | ⇒ f(0, y) = |y| e f(x, 0) = |x|. 9. Dado o mapa de contorno da func¸a˜o f , estime f(−3, 3) e f(3,−2). O que voceˆ pode dizer sobre a forma do gra´fico ? f(−3, 3) ≈ 56, pois esta´ entre as curvas de n´ıvel K = 50 e K = 60, mais pro´ximo da curva de n´ıvel K = 60. Analogamente, f(3,−2) ≈ 35. O gra´fico deve ser um ”morro”com (0, 0) ponto de ma´ximo local. Um ”morro”na˜o sime´trico, mais inclinado de um lado que do outro. 6 10. Fac¸a o mapa de contorno da func¸a˜o. (a) f(x, y) = (y − 2x)2. Curvas de n´ıvel: (y − 2x)2 = K ⇒ K ≥ 0 K = 0 : (y − 2x)2 = 0 ⇒ y − 2x = 0 ⇒ y = 2x K = 1 : (y − 2x)2 = 1 ⇒ y − 2x = 1 ou y − 2x = −1 ⇒ y = 2x + 1 ou y + 2x− 1 K = 2 : (y − 2x)2 = 4 ⇒ y − 2x = 2 ou y − 2x = −2 ⇒ y = 2x + 2 ou y + 2x−−2 (b) f(x, y) = x3 − y. (c) f(x, y) = y − lnx (d) f(x, y) = e y x . (e) f(x, y) = yex (f) f(x, y) = secx. (g) f(x, y) = √ y2 − x2 7 (h) f(x, y) = y x2 + y2 . y x2 + y2 = k ⇒ { se k = 0 ⇒ y = 0 se k 6= 0 ⇒ yk = x2 + y2 ⇒ x2 + y2 − yk = 0 ⇒ (x− 0)2 + ( y − 12k )2 = 14k2 Conclusa˜o: Curva de n´ıvel K = 0: y = 0 reta horizontal (eixo x) Curva de n´ıvel K 6= 0: (x− 0)2 + ( y − 1 2k )2 = 1 4k2 circunfereˆncias de centro ( 0, 1 2k ) e raio R = 1 2k . 11. Sera´ gabaritado em sala ! 8
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