lista 01 de calc II

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ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS
(1) Determine o domı´nio das func¸o˜es dadas:
(a) F (t) =
(
t,
√
t− 1,√5− t) (b)F (t) = ( 5t+ 8
t− 2 ,
√
t− 1,√5− t
)
(c) F (t) =
t− 3
t− 2
~i+ lnt~j + log(9− t2)~k (d) r(t) = cos t~i+ sen t~j + t~k
(2) Calcule os limites:
(a) lim
t→0
(
t
sen t
,
et − 1
t
,
√
5− t
)
(b) lim
t→1
(
e3t−t,
√
t− 1,
√
t− 1
t− 1
)
(c) lim
t→2
cos (t− 2)~i+ sen (2− t)~j + (t− 2)ln(t− 2)~k (d) lim
t→+∞
arctg t~i+ te−3t~j +
ln t
t
~k
(3) Esboce as curvas parametrizadas pela func¸o˜es vetoriais dadas:
(a) F (t) = (t, sen t) (b) F (t) = (sen t, t) (c) F (t) = t3~i+ t2~j
(d) r(t) = (1 + t)~i+ (1− t)~j (e) r(t) = (sen t, 2, cos t) (f) G(t) = t2~i+ t4~j
(g) G(t) = (cos t, sen t, t) (h) H(t) = t~i+ t~j + t~k (i) H(t) = (2+t)~i+(t−2)~j+t~k
(4) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta que liga P e Q:
(a) P = (0, 0) e Q = (1, 2) (b) P = (0, 0, 0) e Q = (1, 2, 3)
(c) P = (1,−1, 6) e Q = (4,−1, 7) (d) P = (4,−1, 7) e Q = (1,−1, 6)
(5) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta que liga P e Q, no sentido de P para Q:
(a) P = (0, 0) e Q = (1, 2) (b) P = (1,−1, 6) e Q = (1, 2, 3)
(6) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta que liga P e Q, no sentido de Q para P :
(a) P = (0, 0) e Q = (1, 2) (b) P = (1,−1, 6) e Q = (1, 2, 3)
(7) Mostre que a curva parametrizada pelas equac¸o˜es

x = t cos t
y = t sen t
z = t
esta´ no cone z2 = x2 + y2.
Use este fato para esboc¸ar a curva.
(8) Em quais pontos a curva r(t) = t~i+ (2t− t2)~k intercepta o parabolo´ide z = x2 + y2?
(9) Em quais pontos a he´lice r(t) = sen t~i+ cos t~j + t~k intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 5?
(10) Mostre que a curva parametrizada por F (t) = (t2, 1 − 3t, 1 + t3) passa pelos pontos P = (1, 4, 0) e Q = (9,−8, 28) e
na˜o passa pelo ponto R = (4, 7,−6).
(11) Determine uma func¸a˜o vetorial que parametriza a curva obtida pela intersecc¸a˜o das duas superf´ıcies dadas:
(a) O cilindro x2 + y2 = 4 e a superf´ıcie z = xy.
(b) O cone z =
√
x2 + y2 e o plano y − z + 1 = 0.
(c) O parabolo´ide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabo´lico y = x2.
2 ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS
(12) Dados dois objetos que caminham ao longo de duas curvas, pode ser importante saber se estes objetos va˜o colidir!
(Por exemplo: um missil vai atingir seu alvo mo´vel? Duas aeronaves va˜o colidir?) Para responder a esta questa˜o, na˜o
basta saber se as curvas se interceptam em algum ponto! Precisamos saber se os dois objetos estara˜o no mesmo ponto
no mesmo instante t. Supondo que as trajeto´rias de duas part´ıculas sa˜o dadas pelas func¸o˜es r1(t) = (t
2, 7t − 12, t2)
e r2(t) = (4t− 3, t2, 5t− 6), para t ≥ 0. Verifique se as part´ıculas colidem!
(13) Duas aeronaves se movem ao longo de curvas espaciais dadas por r1 e r2, responda: As curvas se interceptam? As
aeronaves colidem? Sendo: r1(t) = t~i+ t
2~j + t3 ~k e r2(t) = (1 + 2t)~i+ (1 + 6t)~j + (1 + 14t)~k.
(14) Esboce a curva dada. Calcule a derivada da curva dada. Esboce o vetor posic¸a˜o (r(t0)) e o vetor tangente (r
′(t0)),
para o valor dado de t (t = t0).
(a) r(t) = (t− 2, t2 + 1) e t0 = −1. (b) r(t) = 3 sen t~i+ 2 cos t~j e t0 = pi
4
.
(c) r(t) = (1 + 2 cos t, 2 + sen t) e t0 =
pi
6
.
(15) Determine a derivada da func¸a˜o vetorial:
(a) F (t) =
(
t sen t, t2, t cos (2t)
)
(b) F (t) =
(
tg t, sec t,
1
t
)
(c) r(t) =~i+
√
1− t2~j + e4t ~k (d) r(t) = at cos3t~i+ b sen2t~j + c cos 6t~k
(16) Determine o vetor tangente unita´rio (T (t)) no ponto com valor de paraˆmetro dado (t = t0):
(a) F (t) = 4
√
t~i+ t2~j + t3 ~k e t = 1. (b) r(t) = cos t~i+ 3t~j + 2 sen2t~k e t = 0.
(c) r(t) = 2 cost~i+ 2 sen t~j + tg t~k e t =
pi
4
.
(17) Se r(t) = t~i+ t2~j + t3 ~k, calcular r′(t), T (t), r′′(t), r′(t)× r′′(t) e r′(t).r′′(t).
(18) Se r(t) = t~i+ t2~j + t3 ~k, calcular r(1), r′(1), T (1), r′′(1), r′(1)× r′′(1) e r′(1).r′′(1).
(19) Se r(t) = e2t~i+ e−2t~j + tet ~k, calcular r′(t), T (t), r′′(t), r′(t)× r′′(t) e r′(t).r′′(t).
(20) Se r(t) = e2t~i+ e−2t~j + tet ~k, calcular r(0), r′(0), T (0), r′′(0), r′(0)× r′′(0) e r′(0).r′′(0).
(21) Determine a reta tangente a` curva dada no ponto dado.
(a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1). (b) F (t) = (t2 − 1, t2 + 1, t+ 1); (−1, 1, 1).
(c) r(t) = e−t cos t~i+ e−t sen t~j + e−t ~k; t = 0. (d) y = x2; x = 1.
(22) Dada a curva: r(t) = sen (pit)~i+ 2 sen (pit)~j+ cos (pit)~k, determine o ponto de intersecc¸a˜o das retas tangentes a` curva
nos pontos t = 0 e t = 0, 5 e ilustre a situac¸a˜o esboc¸ando a curvas e as retas tangentes.
(23) As curvas r1(t) = (t, t
2, t3) e r2(t) = (sen t, sen 2t, t) se interceptam na origem. Determine o cosseno do aˆngulo entre
as curvas, no ponto de intersecc¸a˜o.
(24) As curvas r1(t) = (t, 1− t, 3 + t2) e r2(t) = (3− t, t− 2, t2) se interceptam? Determine o cosseno do aˆngulo entre as
curvas, no ponto de intersecc¸a˜o, usando uma calculadora calcule o aˆngulo com precisa˜o de um grau.
(25) Calcule:
(a)
∫ 1
−1
(
3~i− t~j + 5t2 ~k
)
dt (b)
∫ 1
0
(
16t3~i− 9t2~j + 25t4 ~k
)
dt.
(c)
∫ 1
0
( 4
1 + t2
~i+
2t
1 + t2
~j
)
dt. (d)
∫ 2
1
(
t
√
t− 1~i− ln t~j + 5 sen2 t cos t~k
)
dt.
ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS 3
(26) Calcule o comprimento da curva:
(a) r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 5t), −10 ≤ t ≤ 10. (b) F (t) = (
√
2t, et, e−t), t ∈ [0, 1].
(c) r(t) = t2~i+(sen t−t cos t)~j+(cos t+t sen t)~k, 0 ≤ t ≤ pi. (d) G(t) =~i+ t2~j + t3~k, 0 ≤ t ≤ 1.
(27) Encontre o comprimento da curva C intersecc¸a˜o do cilindro parabo´lico x2 = 2y e da superf´ıcie 3z = xy da origem ate´
o ponto (6, 18, 36).
(28) Encontre o comprimento da curva intersecc¸a˜o do cilindro 4x2 + y2 = 4 e do plano x+ y + z = 2.
(29) Reparemetrize a curva em relac¸a˜o ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direc¸a˜o (sentido)
crescente de t.
(a) r(t) = 2t~i+ (1− 3t)~j + (5 + 4t)~k. (b) F (t) =
(
e2tcos(2t), 2, e2tsen(2t)
)
.
(30) Se voceˆ comec¸a no ponto (0, 0, 3) e se move 5 unidades de comprimento ao longo da curva x = 3 sen t, y = 4t,
z = 3 cos t, na direc¸a˜o positiva, onde voceˆ est´a agora?
(31) Reparemetrize a curva r(t) =
(
2
t2 + 1
− 1
)
~i +
2t
t2 + 1
~j em relac¸a˜o ao comprimento de arco, medido a partir do
ponto (1, 0) na direc¸a˜o crescente de t.
(32) Determine os vetores tangente e normal unita´rios (T (t) e N(t)) e encontre a curvatura (k(t)).
(a) r(t) = (2 sen t, 5t, 2 cos t). (b) F (t) = (t2, sen t− t cos t, cos t+ t sen t), t > 0.
(c) r(t) =
1
3
t3~i+ t2~j + 2t~k. (d) G(t) = t2~i+ 2t~j + ln t~k.
(33) Calcule a curvatura:
(a) r(t) = t2~i+ t~j (b) s(t) = 3t~i+ 4 sen t~j + 4 cos t~k (c) y = 2x− x2 (d) y = cosx
(34) Dada uma curva plana parametrizada x = x(t) e y = y(t) prove que: k =
|x˙y¨ − y˙x¨|
[x˙2 + y˙2]
3
2
.
(35) Encontre os vetores tangente e normais unita´rios e o vetor binormal (T,N,B), no ponto indicado:
(a) F (t) =
(
cos (t), sen (t), ln cos(t)
)
; (1, 0, 0) (b) x = t2, y =
2
3
t3, z = t; t0 = 1
(36) Encontre o plano normal e o plano osculador da curva no ponto indicado:
(a) F (t) =
(
2 sen (3t), t, 2 cos (3t)
)
; (0, pi,−2) (b) x = t, y = t2, z = t3; t0 = 0
(37) Determine as equac¸o˜es para os c´ırculos osculadores da elipse 9x2 + 4y2 = 36 nos pontos: P1 = (2, 0), P2 = (0,−2),
P3 = (0, 3) e P4 = (0,−3).
(38) Determine as equac¸o˜es para os c´ırculos osculadores da para´bola y =
x2
2
nos pontos: (0, 0) e
(
1,
1
2
)
.
(39) Em que ponto da curva x = t3, y = 3t, z = t4 o plano normal e´ paralelo ao plano 6x+ 6y − 8z = 1 ?
(40) Determine a velocidade, a acelerac¸a˜o e a velocidade escalar da part´ıcula cuja posic¸a˜o e´ dada:
(a) r(t) = (t2 − 1, t)(b) s(t) = 3cos t~i+ 2sen t~j (c) G(t) = (t, t2, t3)
(d) s(t) = et
(
cos t~i+ sen t~j + t~k
)
(e) R(t) = (t sen t, t cos t, t2) (f) F (t) = t2~i+ ln t~j + t~k
(41) Determine os velocidade e posic¸a˜o de uma part´ıcula, dadas a sua acelerac¸a˜o e suas posic¸a˜o e velocidade iniciais:
4 ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS
(a) a(t) =~i+~j; v(0) = ~k, s(0) =~i. (b) a(t) = (2, 6t, 12t2); v(0) = (1, 0, 0), s(0) = (0, 1,−1).
(42) A func¸a˜o posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada por: s(t) = (t2, 5t, t2 − 16t). Qual sua velocidade escalar mı´nima e quando
e´ atingida?
(43) Um proje´til e´ disparado com velocidade escalar inicial de 500m/s e aˆngulo de levac¸a˜o de 30◦. Determine:
(a) o alcance do proje´til, (b) a altura ma´xima atingida, (c) a velocidade escalar no impacto.
(44) Uma bola e´ atirada em um aˆngulo de elevac¸a˜o de 45◦em relac¸a˜o ao solo. Se a bola cai no solo a uma distaˆncia de
90m, qual a velocidade escalar inicial da bola?
(45) A velocidade de disparo de uma arma e´ de 150m/s. Determine dois aˆngulos de elevac¸a˜o que podem ser utilizados
para atingir um alvo que esta´ a 800m de distaˆncia.
(46) Determine as componentes tangencial e normal do vetor acelerac¸a˜o:
(a) s(t) = (3t− t2)~i+ 3t2~j. (b) r(t) =
(
cos t, sen t, t
)
(c) F (t) = t~i+ cos2 t~j + sen2 t~k
(47) A func¸a˜o posic¸a˜o de uma nave espacial e´: s(t) = (3 + t)~i + (2 + ln t)~j +
(
7− 4
t2 + 1
)
~k e as coordenadas de uma
estac¸a˜o espacial sa˜o: E = (6, 4, 9). O capita˜o quer que a nave ataque a estac¸a˜o espacial. Quando os motores da nave
devem ser desligados?
RESPOSTAS
(1) .
(a) DF =
[
1, 5
]
= {t ∈ R | 1 ≤ t ≤ 5} (b) DF =
[
1, 2
[
∪
]
2, 5
]
= {t ∈ R | 1 ≤ t ≤ 5 e t 6= 2}
(c) DF =
]
− 3, 2
[
∪
]
2, 3
[
(d) Dr = R
(2) .
(a) (1, 1,
√
5) (b)
(
e2, 0,
1
2
)
(c) ~i (d)
pi
2
~i
(3) .
(a) Gra´fico da func¸a˜o y = senx. (b) Gra´fico da func¸a˜o x = sen y.
(c) Gra´fico da func¸a˜o y = ( 3
√
x)2.
(d) reta no plano que passa por P = (0, 0) e Q = (2, 0), ou seja, reta de equac¸a˜o; y = 2− x.
(e) Circunfereˆncia de centro (0, 2, 0) e raio 1 no plano y = 2.
(f) Gra´fico da func¸a˜o y = x2, x ≤ 0. (g) He´lice.
(h) Reta no espac¸o que passa pelos pontos P = (0, 0, 0) e Q = (1, 1, 1).
(i) Reta no espac¸o que passa pelos pontos P = (2,−2, 0) e Q = (4, 0, 2), ou seja, reta de
equac¸a˜o: r(t) = (2,−2, 0) + t(1, 1, 1).
(4) .
(a) S(t) = (t, 2t) (b) S(t) = (t, 2t, 3t) (c) S(t) = (1 + 3t,−1, 6 + t) (d) S(t) = (1 + 3t,−1, 6 + t)
(5) .
(a) S(t) = (t, 2t) (b) S(t) = (1,−1+3t, 6−3t)
(6) .
(a) S(t) = (1− t, 2− 2t) (b) S(t) = (1, 2− 3t, 3 + 3t)
ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS 5
(7) . 
x(t) = t cos t
y(t) = t sen t
z(t) = t
⇒ [x(t)]2 + [y(t)]2 = [t cos t]2 + [t sen t]2 = t2 cos2 t+ t2 sen2 t = t2 (cos2 t+ sen2 t)︸ ︷︷ ︸
=1
= t2 = [z(t)]2
Portanto, para todo t temos [x(t)2 + [y(t)]2 = [z(t)]2, ou seja, todo ponto da curva pertence ao cone x2 + y2 = z2.
(8) Nos pontos: P = (0, 0, 0) e Q = (1, 0, 1).
(9) Nos pontos: P = (sen 2, cos 2, 2) e Q =
(
sen (−2), cos (−2),−2
)
.
(10) .
A curva passa pelo ponto P = (1, 4, 0), pois F (−1) = (1, 4, 0).
A curva passa pelo ponto Q = (9,−8, 28), pois F (−3) = (9,−8, 28).
A curva na˜o passa pelo ponto R = (4, 7,−6), pois na˜o existe t ∈ R que satisfac¸a F (t) = R.
(11) .
(a) Sa(t) = (2 cos t, 2 sen t, 4 cos t sen t) (b) Sb(t) =
(
t,
t2 − 1
2
,
t2 + 1
2
)
(c) Sc(t) = (t, t
2, 4t2 + t4)
(12) As part´ıculas colidem em t = 3 no ponto P = (9, 9, 9).
(13) As curvas se interceptam nos pontos P = (1, 1, 1) e Q = (2, 4, 8), mas as aeronaves na˜o colidem pois na˜o existe t ∈ R
que satisfaz r1(t) = r2(t).
(14) .
(a) A curva e´ a para´bola: y = x2 + 4x+ 5, o vetor posic¸a˜o: r(−1) = (1,−2) e o vetor velocidade: r′(−1) = (−3, 2).
(b) A curva e´ a elipse:
x2
9
+
y2
4
= 1, o vetor posic¸a˜o: r
( pi
4
)
=
(
3
√
2
2
,
√
2
)
e
o vetor velocidade: r′
( pi
4
)
=
(
3
√
2
2
,
√
2
)
.
(c) A curva e´ a elipse:
(x− 1)2
4
+
(y − 2)2
1
= 1, o vetor posic¸a˜o: r
( pi
6
)
=
(
1 +
√
3,
5
2
)
e
o vetor velocidade: r′
( pi
6
)
=
(
−1,
√
3
2
)
.
(15) .
(a) F ′(t) =
(
sen t+t cos t, 2t, cos (2t)−2t sen (2t)
)
. (b) F ′(t) =
(
sec2 t, sec t tg t,− 1
t2
)
.
(c) r′(t) = − t√
1− t2
~j + 4e4t~k.
(d) r′(t) =
[
a cos (3t) + 3at sen (3t)
]
~i+
[
2b sen t cos t
]
~j − 6c sen (6t)~k.
(16) .
(a) T (1) =
(
2√
17
,
2√
17
,
3√
17
)
. (b) T (0) =
(
0,
3
5
,
4
5
)
. (c) T
( pi
4
)
=
(
− 1
2
,
1
2
,
√
2
2
)
.
(17) r′(t) =~i+ 2t~j+ 3t2 ~k, T (t) =
1√
9t4 + 4t2 + 1
(
~i+ 2t~j+ 3t2 ~k
)
, r′′(t) = 2~j+ 6t~k, r′(t)× r′′(t) = 6t2~i− 6t~j+ 2~k,
r′(t).r′′(t) = 18t3 + 4t.
(18) r(1) =~i+~j+~k, r′(1) =~i+ 2~j+ 3~k, T (1) =
1√
14
(
~i+ 2~j+ 3~k
)
, r′′(1) = 2~j+ 6~k, r′(1)× r′′(1) = 6~i− 6~j+ 2~k,
r′(1).r′′(1) = 22.
6 ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS
(19) r′(t) = 2e2t~i− 2e−2t~j + (1 + t)et ~k, T (t) = 1√
4e4t + 4e−4t + t2e2t + 2te2t + e2t
(
2e2t~i− 2e−2t~j + (et + tet)~k
)
,
r′′(t) = 4e2t~i+ 4e−2t~j + (2et + tet)~k, r′(t)× r′′(t) = −(8 + 6t)e−t~i+ 2te3t~j + 16~k,
r′(t).r′′(t) = 8e4t − 8e−4t + 2e2t + 3te2t + t2e2t.
(20) r(0) =~i+~j, r′(0) = 2~i− 2~j + ~k, T ′(0) = 1
3
(
2~i− 2~j + ~k
)
, r′′(0) = 4~i+ 4~j + 2~k,
r′(0)× r′′(0) = −8~i+ 16~k, r′(0).r′′(0) = 2.
(21) .
(a) s(λ) = (1 + 5λ, 1 + 4λ, 1 + 3λ) (b) s(λ) = (−1, 1, 1 + λ)
(c) s(λ) = (1 + 5λ, 1 + 4λ, 1 + 3λ) (d) s(λ) = (1 + λ, 1 + 2λ)
(22) Retas tangentes a curva r(t) = sen (pit)~i+ 2 sen (pit)~j+ cos (pit)~k: No ponto t = 0: s1(λ) = piλ~i+ 2piλ~j+~k; No ponto
t = 0, 5: s2(α) =~i+ 2~j + piα~k; Ponto de intersecc¸a˜o das retas tangentes: s1 ∩ s2 = (1, 2, 1).
(23) Reta tangente a curva r1: s1(λ) = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0). Vetor diretor da reta tangente a r1: ~v1 = (1, 0, 0).
Reta tangente a curva r2: s2(α) = (0, 0, 0) + α(1, 2, 1). Vetor diretor da reta tangente a r2: ~v2 = (1, 2, 1).
Lembrando que, se ~v e ~w sa˜o vetores na˜o nulos, o cosseno entre ~v e ~w e´ dado por: cos θ =
~v.~w
|~v| |~w| , temos:
cos θ =
1√
6
=
√
6
6
. Obs: Aˆngulo entre as curvas θ = arccos
( √
6
6
)
= 65, 91◦ = 1, 15 rad.
(24) As curvas se interceptam: r1 ∩ r2 = (1, 0, 4). Reta tangente a r1: s1(λ) = (1, 0, 4) + λ(1,−1, 2). Reta tangente
a r2: s2(α) = (1, 0, 4) + α(−1, 1, 4). Chamando de θ o aˆngulo entre as curvas em (1, 0, 4), temos: cosθ =
√
3
3
e
θ = arccos
( √
3
3
)
= 54, 74◦ = 0, 95 rad.
(25) .
(a) 6~i+
10
3
~k (b) 4~i− 3~j + 5~k (c) pi~i+ ln2~j (d) 16
15
~i+ (2 ln 2)~j − 5
3
(sen32− sen31)~k
(26) .
(a) 20
√
29u.c. (b)
e2 − 1
e
u.c. (c)
5pi2
2
u.c. (d)
13
√
13− 8
27
u.c.
(27) 42u.c..
(28) L =
∫ 2pi
0
√
5 cos2 t− 2 sen t cos t+ 2 sen2 t dt. Usando uma calculadora ou um softhware obtemos L = 11, 5461
(29) .
(a) r(s) =
(
2√
29
s
)
~i+
(
1− 3√
29
s
)
~j +
(
5 +
4√
29
s
)
~k
(b) F (t) =
[
s√
2
cos
(
ln
(
s√
2
))]
~i+ 2~j +
[
s√
2
sen
(
ln
(
s√
2
))]
~k
(30) (3 sen 1, 2, 3 cos 1)
(31) r(s) = cos s~i+ sen s~j.
(32) .
(a) T (t) =
(
2√
29
cos t,
5√
29
,− 2√
29
cos t
)
, N(t) = (−sen t, 0, cos t), k(t) = 2
29
.
(b) T (t) =
(
2√
5
,
1√
5
sen t,
1√
5
cos t
)
, N(t) = (0, cos t,−sen t), k(t) = 1
5t
.
(c) T (t) =
(
t2
t2 + 2
,
2t
t2 + 2
,
2
t2 + 2
)
, N(t) =
(
2t
t2 + 2
,
2− t2
t2 + 2
,− 2t
t2 + 2
)
, k(t) =
2
(t2 + 2)2
.
(d) T (t) =
(2t2
1 + 2t2
,
2t
1 + 2t2
,
1
1 + 2t2
)
, N(t) =
(
2t
1 + 2t2
,
1− 2t2
1 + 2t2
,− 2t
1 + 2t2
)
, k(t) =
2t
(1 + 2t2)2
.
ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS 7
(33) .
(a) k(t) =
2
(
√
1 + 4t2)3
(b) k(t) =
4
25
(c) k(t) =
√
1 + sen2 x cos2 x
(1 + sen2 x)2
(34) Seja a curva parametrizada r(t) =
(
x(t), y(t)
)
, para facilitar (em termos de notac¸a˜o) usaremos r = (x, y).
Temos: r′ = (x˙, y˙) ⇒ |r′| = √(x˙)2 + (y˙)2 e T = ( x˙√
(x˙)2 + (y˙)2
,
y˙√
(x˙)2 + (y˙)2
)
Derivando, temos: T ′ =
 x¨
√
(x˙)2 + (y˙)2 − x˙(2x˙x¨+2y˙y¨)
2
√
(x˙)2+(y˙)2
[
√
(x˙)2 + (y˙)2 ]2
,
y¨
√
(x˙)2 + (y˙)2 − y˙(2x˙x¨+2y˙y¨)
2
√
(x˙)2+(y˙)2
[
√
(x˙)2 + (y˙)2 ]2

T ′ =
 x¨(x˙)2 + x¨(y˙)2 − (x˙)2x¨− x˙y˙y¨(√
(x˙)2 + (y˙)2
)3 , y¨(x˙)2 + y¨(y˙)2 − y˙x˙x¨− (y˙)2y¨(√
(x˙)2 + (y˙)2
)3
 =
 y˙[x¨y˙ − x˙y¨](√
(x˙)2 + (y˙)2
)3 , −x˙[x¨y˙ − x˙y¨](√
(x˙)2 + (y˙)2
)3

T ′ =
[x˙y¨ − y˙x¨](√
(x˙)2 + (y˙)2
)3 (y˙,−x˙) ⇒ |T ′| =
∣∣∣∣∣∣∣
[x˙y¨ − y˙x¨](√
(x˙)2 + (y˙)2
)3
∣∣∣∣∣∣∣
√
(y˙)2 + (x˙)2 =
|x¨y˙ − x˙y¨|
(x˙)2 + (y˙)2
Como k =
|T ′|
|r′| , temos k =
|x¨y˙ − x˙y¨|
(x˙)2 + (y˙)2
1√
(x˙)2 + (y˙)2
=
|x¨y˙ − x˙y¨|(√
(x˙)2 + (y˙)2
)3 == |x¨y˙ − x˙y¨|[
(x˙)2 + (y˙)2
] 3
2
PS: O dif´ıcil na˜o foi resolver, o dif´ıcil foi digitar tudo isto! kkkkkkk
(35) .
(a) T (0) = (0, 1, 0); N(0) =
(
− 1√
2
, 0,− 1√
2
)
; B(0) =
(
− 1√
2
, 0,
1√
2
)
.
(b) T (1) =
(
2
3
,
2
3
,
1
3
)
; N(1) =
(
− 1
3
,
2
3
,− 2
3
)
; B(1) =
(
− 2
3
,
1
3
,
2
3
)
.;
(36) .
(a) −6x+ y − pi = 0; x+ 6y − 6pi = 0 .
(b) x = 0; z = 0 .
(37) . (
x+
5
2
)2
+ y2 =
81
4
;
(
x− 5
2
)2
+ y2 =
81
4
;
x2 +
(
y − 5
3
)2
=
16
9
; x2 +
(
y +
5
3
)2
=
16
9
.
(38) (x+ 1)2 +
(
y − 5
2
)2
= 8.
(39) P = (−1,−3, 1).
(40) .
8 ECT1212 – 2012.1 – LISTA DE EXERCI´CIOS DE FUNC¸O˜ES VETORIAIS
(a) v(t) = (2t, 1), a(t) = (2, 0), |v(t)| =
√
4t2 + 1.
(b) v(t) = −3 sen t~i+ 2 cos t~j, a(t) = −3 cos t~i− 2 sen t~j, |v(t)| =
√
sen2 t+ 2.
(c) v(t) = (1, 2t, 3t2), a(t) = (0, 2, 6t), |v(t)| =
√
9t2 + 4t+ 1.
(d) v(t) = et(cos t− sen t, sen t+ cos t, t+ 1), a(t) = et(−2 sen t, 2 cos t, t+ 2), |v(t)| = et
√
t2 + 2t+ 3.
(e) v(t) = (sen t+ t cos t, cos t− t sen t, 2t), a(t) = (2 cos t− t sen t,−2 sen t− t cos t, 2), |v(t)| =
√
5t2 + 1.
(f) v(t) = 2t~i+
1
t
~j + t~k, a(t) = 2~i− 1
t2
~j, |v(t)| =
√
4t4 + t2 + 1
t2
.
(41) .
(a) v(t) = t~i+ t~j + ~k, s(t) =
(
t2
2
+ 1
)
~i+
t2
2
~j + t~k.
(b) v(t) = (2t+ 1, 3t2, 4t3), s(t) = (t2 + t, t3 + 1, t4 − 1).
(42) Velocidade escalar mı´nima
√
665u.v. atingida em t = 4u.t.
(43) .
(a) ≈ 22km, (b) ≈ 3km, (c) |v| = 500m/s.
(44) v0 = |v| ≈ 30m/s.
(45) Aˆngulos:

θ1 =
1
2
arcsen
(
8g
225
) ≈ 1
2
arcsen (0, 3484444) ≈ 0, 1818 rad ≈ 10◦
θ2 =
1
2
[
pi − arcsen ( 8g
225
)] ≈ 1
2
[pi − arcsen (0, 3484444)] ≈ 1, 4798 rad ≈ 80◦
.
(46) .
(a) ~a(t) =
(
6t2 + 4t− 6√
10t2 − 12t+ 9
)
~T +
(
18√
10t2 − 12t+ 9
)
~N . (b) ~a(t) = 0 ~T + 1 ~N .
(c) ~a(t) =
[ −8(sen2 t− cos2 t)√
8 sen2 t cos2 t
]
~T +
[
2
√
2(sen2 t− sen2 t)√
8 sen2 t cos2 t
]
~N
(47) t = 1u.t.
FIM