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2◦ Lista para entregar - Vale 2 pontos
Simone Batista e George Ulguim Pedra
7 de abril de 2014
• Tenha em ma˜os seu nu´mero de matr´ıcula
• Identifique o u´ltimo algarismo
• Responda as questo˜es referentes ao valor encontrado no item b.
Final 0.
64. A temperatura T em uma bola de metal e´ inversamente proporcional a`
distaˆncia ao centro da bola, que tomaremos como a origem. A temperatura no
ponto (1,2,2) e´ de 120◦.
a) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1,2,2) em direc¸a˜o ao ponto (2,1,3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direc¸a˜o de maior crescimento da
temperatura e´ dada por um vetor que aponta para a origem.
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
f) f(x, y) = (x2 + y2)ey
2−x2
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
a) f(x, y) = 1 + 4x − 5y, D e´ a regia˜o triangular fechada com ve´rtices (0,0),
(2,0) e (0,3)
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
a) f(x, y) = x2 + y2, xy = 1
Final 1.
59. Determine a derivada direcional da func¸a˜o no ponto dado n direc¸a˜o do
vetor −→v
a) f(x, y) = 1 + 2x
√
y, P(3,4), −→v = (4,−3)
b) g(p, q) = p4 − p2q3, P(2,1), −→v = −→i + 3−→j
c) f(x, y, z) = xey + yez + zex, P(0,0,0), −→v = (5, 1,−2)
d) g(x, y, z) = (x + 2y + 3z)
3
2 , P(1,1,2), −→v = 2−→j −−→k
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
e) f(x, y) = excosy
1
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
d) f(x, y) = 2x3 + y4, D = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
e) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, x4 + y4 + z4 = 1
Final 2.
65. Suponha que em uma certa regia˜o do espac¸o o potencial ele´tricco V seja
dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = (x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
g) f(x, y, z) = x + 2y, x + y + z = 1, y2 + z2 = 4
Final 3.
62. Determinar a direc¸a˜o onde f(x, y) = x4y−x2y3 decresce mais ra´pido no
ponto (2,-3).
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
a) f(x, y) = 9− 2x + 4y − x2 − 4y2
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
d) f(x, y) = 2x3 + y4, D = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
h) f(x, y, z) = yz + xy, xy = 1, y2 + z2 = 1
Final 4.
61. Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e na direc¸a˜o
que isto ocorre.
a) f(x, y) = y
2
x , P(2,4)
b) f(x, y) = sen(xy), P(1,0)
c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, P(3,6,-2)
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
2
c) f(x, y) = xy − 2x− y
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
d) f(x, y) = 2x3 + y4, D = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
b) f(x, y) = x2y, x2 + y2 = 13
Final 5.
60. Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P(2,8) na direc¸a˜o de
Q(5,4).
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
g) f(x, y) = y2 − 2ycosx, -1 ≤ x ≤ 7.
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = (x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
f) f(x, y, z, t) = x + y + z + t , x2 + y2 + z2 + t2
Final 6.
64. A temperatura T em uma bola de metal e´ inversamente proporcional a`
distaˆncia ao centro da bola, que tomaremos como a origem. A temperatura no
ponto (1,2,2) e´ de 120◦.
a) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1,2,2) em direc¸a˜o ao ponto (2,1,3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direc¸a˜o de maior crescimento da
temperatura e´ dada por um vetor que aponta para a origem.
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
a) f(x, y) = 9− 2x + 4y − x2 − 4y2
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
c) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = (x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
d) f(x, y, z) = xyz, x2 + 2y2 + 3z2 = 6
Final 7.
63. Determinar todos os pontos nos quais a direc¸a˜o de maior variac¸a˜o da
func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y e´ −→i +−→j .
3
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
d) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
a) f(x, y) = 1 + 4x − 5y, D e´ a regia˜o triangular fechada com ve´rtices (0,0),
(2,0) e (0,3)
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
a) f(x, y) = x2 + y2, xy = 1
Final 8.
58. Determine o gradiente de f . Calcule o gradiente no ponto P . Determine
a taxa de variac¸a˜o de f na direc¸a˜o do vetor −→u :
a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P(1,2),−→=( 513 , 1213 )
b) f(x, y, z) = xe2yz, P(3,0,2), −→=( 23 ,− 23 , 13 )
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = (x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
h) f(x, y, z) = yz + xy, xy = 1, y2 + z2 = 1
Final 9.
60. Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P(2,8) na direc¸a˜o
de Q(5,4).
72. Determine os pontos de ma´ximo e´ mı´nimo locais e pontos de sela da
func¸a˜o:
g) f(x, y) = y2 − 2ycosx, -1 ≤ x ≤ 7.
74. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f no conjunto D:
c) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = (x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
80. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximos
e mı´nimos da func¸a˜o dada sujeita a(s) restric¸a˜o (o˜es) dada(s):
c) f(x, y, z) = 2x + 6y + 10z, x2 + y2 + z2 = 35
4