Buscar

Primeira Prova Cálculo 2 Ano 2012.2 Simone

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Gabarito da Prova P11 de Ca´lculo II - prof
a Simone Batista.
1a Questa˜o: (valor 1 ponto) Determine uma func¸a˜o vetorial que parametriza a curva obtida pela
intersecc¸a˜o do parabolo´ide y = 4x2 + z2 e do cilindro parabo´lico z = x2.
Resoluc¸a˜o:
 y = 4x
2 + z2
z = x2
⇒ y = 4x2 + (x2)2 = 4x2 + x4 ⇒

x = x
y = 4x2 + x4
z = x2
⇒

x = t
y = 4t2 + t4
z = t2
r(t) =
(
t , 4t2 + t4 , t2
)
ou r(t) = t~i+ (4t2 + t4)~j + t2 ~k
2a Questa˜o: (valor 5,5 pontos) Dada a curva r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k e o ponto P = (1,−1, 5),
determine:
(a) (valor 0,5 ponto) Dois pontos que pertencem a` curva e um ponto que na˜o pertence a` curva.
(b) (valor 0,5 ponto) A curvatura da curva no ponto P .
(c) (valor 0,5 ponto) A torc¸a˜o da curva no ponto P .
(d) (valor 0,5 ponto) A reta tangente a` curva no ponto P .
(e) (valor 0,5 ponto) O Vetor Tangente Unita´rio ~T da curva no ponto P .
(f) (valor 0,5 ponto) O Vetor Normal Unita´rio ~N da curva no ponto P .
(g) (valor 0,5 ponto) O Vetor Binormal ~B da curva no ponto P .
(h) (valor 0,5 ponto) O plano osculador da curva no ponto P .
(i) (valor 0,5 ponto) O plano normal da curva no ponto P .
(j) (valor 0,5 ponto) O c´ırculo osculador da curva no ponto P .
(k) (valor 0,5 ponto) O cosseno do aˆngulo entre os vetores r e r′ no ponto P .
Resoluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos observar que o ponto P = (1,−1, 5) pertence a curva r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k :
t2
2
+
1
2
= 1 ⇒ t
2
2
= 1− 1
2
⇒ t
2
2
=
1
2
⇒ t2 = 1 ⇒ t = 1 ou t = −1
t3
3
− 2
3
= −1 ⇒ t
3
3
= −1 + 2
3
⇒ t
3
3
=
−3 + 2
3
⇒ t
3
3
= − −1
3
⇒ t3 = −1 ⇒ t = −1
5 = 5 ⇒ ∀t ∈ R
Portanto: t = −1 .
r(−1) =
(
(−1)2
2
+
1
2
)
~i+
(
(−1)3
3
− 2
3
)
~j + 5~k =
(
1
2
+
1
2
)
~i+
(
− 1
3
− 2
3
)
~j + 5~k = 1~i− 1~j + 5~k = (1,−1, 5)
r(−1) = (1,−1, 5) .
1
Resoluc¸a˜o:
(a) (valor 0,5 ponto) Dois pontos que pertencem a` curva e um ponto que na˜o pertence a` curva.
Como: C : r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k
Enta˜o: r(0) =
(
1
2
)
~i+
(
− 2
3
)
~j + 5~k ⇒ ( 12 , − 23 , 5 ) ∈ C
r(1) = (1)~i+
(
− 1
3
)
~j + 5~k ⇒ ( 1 , − 13 , 5 ) ∈ C
r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
︸ ︷︷ ︸
Positivo
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k ⇒ (−1 , 0 , 0 ) /∈ C
Resoluc¸a˜o:
(b) (valor 0,5 ponto) A curvatura da curva no ponto P .
Vamos usar: k =
|r′(t)× r′′(t)|
|r′(t)|3 :
r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k ⇒ r′(t) =
(
t , t2 , 0
)
⇒ r′′(t) =
(
1 , 2t , 0
)
|r′(t)| =
√
t2 + t4 ⇒ |r(t)|3 =
(√
t2 + t4
)3
r′(t)× r′′(t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
t t2 0
1 2t 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0~i+ 0~j + 2t2 ~k − t2 ~k − 0~j − 0~i =
(
0 , 0 , t2
)
⇒ | r′(t)× r′′(t) | = t2
k(t) =
t2(√
t2 + t4
)3
No ponto P = (1,−1, 5) temos t = −1:
k(−1) = (−1)
2(√
(−1)2 + (−1)4
)3 = 1(√
2
)3 = 12√2 =
√
2
4
A curvatura no ponto P e´ k =
1
2
√
2
.
2
Resoluc¸a˜o:
(c) (valor 0,5 ponto) A torc¸a˜o da curva no ponto P .
Vamos usar: τ =
[u′(t)× r′′(t) ].u′′′(t)
| r′(t)× r′′(t) |2
Como: r′(t)× r′′(t) =
(
0 , 0 , t2
)
e r′′′(t) =
(
0 , 2 , 0
)
, temos:
τ =
[u′(t)× r′′(t) ].u′′′(t)
| r′(t)× r′′(t) |2 =
(
0 , 0 , t2
)
.
(
0 , 2 , 0
)
(
t2
)2 = 0t4 = 0
A torc¸a˜o no ponto P e´ τ = 0 .
Resoluc¸a˜o:
(d) (valor 0,5 ponto) A reta tangente a` curva no ponto P .
Reta: r(λ) = P + λ ~V , onde P e´ um ponto da reta e ~V e´ o vetor diretor.
Reta Tangente a curva : r(λ) = r(t0) + λ ~r′(to) , onde r(t0) e´ um ponto da reta (e da curva) e ~r′(t0) e´ o vetor diretor.
r(−1) =
(
1 , −1 , 5
)
e r′(t) =
(
t , t2 , 0
)
⇒ r′(−1) =
(
− 1 , 1 , 0
)
Reta Tangente a` curva no ponto P : r(λ) =
(
1 , −1 , 5
)
+ λ
(
− 1 , 1 , 0
)
=
(
1− λ , −1 + λ , 5
)
Reta Tangente a` curva no ponto P : r(λ) =
(
1− λ , −1 + λ , 5
)
.
Resoluc¸a˜o:
(e) (valor 0,5 ponto) O Vetor Tangente Unita´rio ~T da curva no ponto P .
Como: r′(t) =
(
t , t2 , 0
)
e |r′(t)| =
√
t2 + t4, temos:
~T (t) =
r′(t)
|r′(t)| =
(
t , t2 , 0
)
√
t2 + t4
=
(
t√
t2 + t4
,
t2√
t2 + t4
, 0
)
⇒ ~T (−1) =
(
− 1√
2
,
1√
2
, 0
)
Vetor Tangente Unita´rio no ponto P : ~T (−1) =
( −1√
2
,
1√
2
, 0
)
.
Resoluc¸a˜o:
(f) (valor 0,5 ponto) O Vetor Normal Unita´rio ~N da curva no ponto P .
Como: ~N(t) =
~T ′(t)
| ~T ′(t)| , temos que derivar
~T (t) =
(
t√
t2 + t4
,
t2√
t2 + t4
, 0
)
3
~T ′(t) =
 1.
√
t2 + t4 − t. 1
2
√
t2 + t4
(2t+ 4t3)(√
t2 + t4
)2 , 2t.
√
t2 + t4 − t2. 1
2
√
t2 + t4
(2t+ 4t3)(√
t2 + t4
)2 , 0

~T ′(t) =

√
t2 + t4 − t(2t+ 4t
3)
2
√
t2 + t4(√
t2 + t4
)2 , 2t.
√
t2 + t4 − t
2(2t+ 4t3)
2
√
t2 + t4(√
t2 + t4
)2 , 0

~T ′(t) =

2
(√
t2 + t4
)2
− t(2t+ 4t3)
2
√
t2 + t4(√
t2 + t4
)2 ,
4t
(√
t2 + t4
)2
− t2(2t+ 4t3)
2
√
t2 + t4(√
t2 + t4
)2 , 0

~T ′(t) =
 2
(√
t2 + t4
)2
− t(2t+ 4t3)
2
√
t2 + t4
1(√
t2 + t4
)2 , 4t
(√
t2 + t4
)2
− t2(2t+ 4t3)
2
√
t2 + t4
1(√
t2 + t4
)2 , 0

~T ′(t) =
 2(t2 + t4)− (2t2 + 4t4)
2
(√
t2 + t4
)3 , 4t(t2 + t4)− (2t3 + 4t5)
2
(√
t2 + t4
)3 , 0

~T ′(t) =
 2t2 + 2t4 − 2t2 − 4t4
2
(√
t2 + t4
)3 , 4t3 + 4t5 − 2t3 − 4t5
2
(√
t2 + t4
)3 , 0

~T ′(t) =
 −2t2
2
(√
t2 + t4
)3 , 2t3
2
(√
t2 + t4
)3 , 0
 =
 −t2(√
t2 + t4
)3 , t3(√
t2 + t4
)3 , 0

~T ′(−1) =
 −(−1)2(√
(−1)2 + (−1)4
)3 , (−1)3(√
(−1)2 + (−1)4
)3 , 0
 =
 −1(√
2
)3 , −1(√
2
)3 , 0
 = ( −1
2
√
2
,
−1
2
√
2
, 0
)
~T ′(−1) =
( −1
2
√
2
,
−1
2
√
2
, 0
)
|T ′(−1)| =
∣∣∣∣( −12√2 , −12√2 , 0
)∣∣∣∣ =
√
1
8
+
1
8
+ 0 =
√
2
8
=
√
1
4
=
1
2
Vetor Normal Unita´rio no ponto P : ~N(−1) =
( −1√
2
,
−1√
2
, 0
)
.
Resoluc¸a˜o:
(g) (valor 0,5 ponto) O Vetor Binormal ~B da curva no ponto P .
4
~B(−1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1√
2
1√
2
0
−1√
2
−1√
2
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0~i+ 0~j +
1
2
~k +
1
2
~k − 0~j − 0~i =
(
0 , 0 , 1
)
Vetor Binormal Unita´rio no ponto P : ~B(−1) =
(
0 , 0 , 1
)
.
Resoluc¸a˜o:
(h) (valor 0,5 ponto) O plano osculador da curva no ponto P .
Sabemos que o vetor binormal ~B =
(
0 , 0 , 1
)
e´ ortogonal (forma 90◦) ao plano osculador.
Assim, plano osculador em P : 0x+ 0y + 1z + d = 0.
Sabemos que o ponto P =
(
1 , −1 , 5
)
pertence ao plano osculador (em P ).
Assim, 0 (1) + 0 (−1) + 1(5) + d = 0 ⇒ d = −5.
Plano osculador da curva no ponto P : z − 5 = 0 .
Resoluc¸a˜o:
(i) (valor 0,5 ponto) O plano normal da curva no ponto P .
Sabemos que o vetor tangente ~T =
(
−1√
2
, 1√
2
, 0
)
e´ ortogonal (forma 90◦) ao plano normal.
Assim, plano normal em P :
−1√
2
x+
1√
2
y + 0z + d = 0.
Sabemos que o ponto P =
(
1 , −1 , 5
)
pertence ao plano normal (em P ).
Assim,
−1√
2
(1) +
1√
2
(−1) + 0(5) + d = 0 ⇒ d = 2√
2
.
Plano normal: −1√
2
x+ 1√
2
y + 0z + 2√
2
= 0
Plano normal: −x+ y + 0z + 2 = 0, ou ainda, x− y + 0z − 2 = 0,
Plano normal a` curva no ponto P : x− y − 2 = 0 .
Resoluc¸a˜o:
(j) (valor 0,5 ponto) O c´ırculo osculador da curva no ponto P .
Sabemos que o raio do c´ırculo osculador R =
1
k
, onde k e´ a curvatura.
5
EmP , a curvatura e´ k =
1
2
√
2
. Assim, R = 2
√
2. O centro do c´ırculo osculador: C = P +
1
k
~N .
Assim, C =
(
1 , −1 , 5
)
+ 2
√
2
( −1√
2
,
−1√
2
, 0
)
=
(
1 , −1 , 5
)
+
(
− 2 , −2 , 0
)
=
(
− 1 , −3 , 5
)
.
C´ırculo osculador a` curva em P : (x+ 1)2 + (y + 3)2 = (2
√
2)2
C´ırculo osculador a` curva em P : (x+ 1)2 + (y + 3)2 = 8 .
Resoluc¸a˜o:
(k) (valor 0,5 ponto) O cosseno do aˆngulo entre os vetores r e r′ no ponto P .
Lembrando: r(t) =
(
t2
2
+
1
2
)
~i+
(
t3
3
− 2
3
)
~j + 5~k ⇒ r′(t) =
(
t , t2 , 0
)
⇒ r′′(t) =
(
1 , 2t , 0
)
r′(−1) =
(
− 1 , 1 , 0
)
⇒ r′′(−1) =
(
1 , −2 , 0
)
Usando cos θ =
~r′(−1). ~r′′(−1)
|~r′(−1)| | ~r′′(−1)| , temos: cos θ =
(
− 1 , 1 , 0
)
.
(
1 , −2 , 0
)
∣∣∣( − 1 , 1 , 0)∣∣∣ ∣∣∣( 1 , −2 , 0)∣∣∣ = −1− 2 + 0√2√5 = −3√10
O cosseno do aˆngulo entre os vetores r′ e r′′ em P : cos θ = − 3√
10
.
3a Questa˜o: (valor 2,0 pontos) Calcule o comprimento da curva s(t) =
(
et
2
+
e−t
2
, t
)
, −1 ≤ t ≤ 0.
Resoluc¸a˜o:
s(t) =
(
et
2
+
e−t
2
, t
)
⇒ s′(t) =
(
et
2
− e
−t
2
, 1
)
⇒ |s′(t)| =
√(
et
2
− e
−t
2
)2
+ (1)2
|s′(t)| =
√
e2t
4
− 2 e
t
2
e−t
2
+
e−2t
4
+ 1 =
√
e2t
4
− e
t.e−t
2
+
e−2t
4
+ 1 =
√
e2t
4
− e
0
2
+
e−2t
4
+ 1
|s′(t)| =
√
e2t
4
− 1
2
+
e−2t
4
+ 1 =
√
e2t
4
+
1
2
+
e−2t
4
=
√(
et
2
+
e−t
2
)2
=
(
et
2
+
e−t
2
)
Como: L =
∫ t1
t0
|s′(t)| dt temos:
L =
∫ 0
−1
(
et
2
+
e−t
2
)
dt =
(
et
2
− e
−t
2
)0
−1
=
(
e0
2
− e
−0
2
)
−
(
e(−1)
2
− e
−(−1)
2
)
= − e
(−1)
2
+
e1
2
= − 1
2e
+
e
2
6
L =
∫ 0
−1
(
et
2
+
e−t
2
)
dt ==
−1 + e2
2e
=
e2 − 1
2e
O comprimento da curva s(t) =
(
et
2
+
e−t
2
, t
)
, −1 ≤ t ≤ 0 e´ e
2 − 1
2e
.
4a Questa˜o: (valor 1,5 pontos) A nave do Willian viaja segundo a curva r1(t) = (t+ 1, t
2 + 1) e a nave
da Mirian viaja segundo a curva r2(t) = (2t, 2t
2 − t+ 1), determine se as trajeto´rias das naves se intercep –
tam e se as naves colidem.
Resoluc¸a˜o:
r1(t) = (t+ 1, t
2 + 1) e r2(m) = (2m, 2m
2 −m+ 1)
 t+ 1 = 2m
t2 + 1 = 2m2 −m+ 1
Da primeira equac¸a˜o, temos: t = 2m− 1.
Substituindo na segunda equac¸a˜o: (2m− 1)2 + 1 = 2m2 −m+ 1 ⇒ 4m2 − 4m+ 1 + 1 = 2m2 −m+ 1 ⇒
⇒ 2m2 − 3m+ 1 = 0 ⇒ ∆ = (−3)2 − 4(2)(1) = 9− 8 = 1 m = −(−3)±
√
1
2(2)
=
3± 1
4
m = 1 ⇒ t = 1 ou m = − 1
2
⇒ t = 0
r1(1) = (2, 2) e r2(1) = (2, 21) Colisa˜o!
r1(0) = (1, 1) e r2
(
1
2
)
= (1, 1) Intersecc¸a˜o.
As tarjeto´rias das naves se interceptam em P = (2, 2) e em Q = (1, 1), e as naves colidem em P = (2, 2) .
7

Outros materiais