Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Gabarito da Prova P11 de Ca´lculo II - prof a Simone Batista. 1a Questa˜o: (valor 1 ponto) Determine uma func¸a˜o vetorial que parametriza a curva obtida pela intersecc¸a˜o do parabolo´ide y = 4x2 + z2 e do cilindro parabo´lico z = x2. Resoluc¸a˜o: y = 4x 2 + z2 z = x2 ⇒ y = 4x2 + (x2)2 = 4x2 + x4 ⇒ x = x y = 4x2 + x4 z = x2 ⇒ x = t y = 4t2 + t4 z = t2 r(t) = ( t , 4t2 + t4 , t2 ) ou r(t) = t~i+ (4t2 + t4)~j + t2 ~k 2a Questa˜o: (valor 5,5 pontos) Dada a curva r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k e o ponto P = (1,−1, 5), determine: (a) (valor 0,5 ponto) Dois pontos que pertencem a` curva e um ponto que na˜o pertence a` curva. (b) (valor 0,5 ponto) A curvatura da curva no ponto P . (c) (valor 0,5 ponto) A torc¸a˜o da curva no ponto P . (d) (valor 0,5 ponto) A reta tangente a` curva no ponto P . (e) (valor 0,5 ponto) O Vetor Tangente Unita´rio ~T da curva no ponto P . (f) (valor 0,5 ponto) O Vetor Normal Unita´rio ~N da curva no ponto P . (g) (valor 0,5 ponto) O Vetor Binormal ~B da curva no ponto P . (h) (valor 0,5 ponto) O plano osculador da curva no ponto P . (i) (valor 0,5 ponto) O plano normal da curva no ponto P . (j) (valor 0,5 ponto) O c´ırculo osculador da curva no ponto P . (k) (valor 0,5 ponto) O cosseno do aˆngulo entre os vetores r e r′ no ponto P . Resoluc¸a˜o: Primeiramente, vamos observar que o ponto P = (1,−1, 5) pertence a curva r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k : t2 2 + 1 2 = 1 ⇒ t 2 2 = 1− 1 2 ⇒ t 2 2 = 1 2 ⇒ t2 = 1 ⇒ t = 1 ou t = −1 t3 3 − 2 3 = −1 ⇒ t 3 3 = −1 + 2 3 ⇒ t 3 3 = −3 + 2 3 ⇒ t 3 3 = − −1 3 ⇒ t3 = −1 ⇒ t = −1 5 = 5 ⇒ ∀t ∈ R Portanto: t = −1 . r(−1) = ( (−1)2 2 + 1 2 ) ~i+ ( (−1)3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k = ( 1 2 + 1 2 ) ~i+ ( − 1 3 − 2 3 ) ~j + 5~k = 1~i− 1~j + 5~k = (1,−1, 5) r(−1) = (1,−1, 5) . 1 Resoluc¸a˜o: (a) (valor 0,5 ponto) Dois pontos que pertencem a` curva e um ponto que na˜o pertence a` curva. Como: C : r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k Enta˜o: r(0) = ( 1 2 ) ~i+ ( − 2 3 ) ~j + 5~k ⇒ ( 12 , − 23 , 5 ) ∈ C r(1) = (1)~i+ ( − 1 3 ) ~j + 5~k ⇒ ( 1 , − 13 , 5 ) ∈ C r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ︸ ︷︷ ︸ Positivo ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k ⇒ (−1 , 0 , 0 ) /∈ C Resoluc¸a˜o: (b) (valor 0,5 ponto) A curvatura da curva no ponto P . Vamos usar: k = |r′(t)× r′′(t)| |r′(t)|3 : r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k ⇒ r′(t) = ( t , t2 , 0 ) ⇒ r′′(t) = ( 1 , 2t , 0 ) |r′(t)| = √ t2 + t4 ⇒ |r(t)|3 = (√ t2 + t4 )3 r′(t)× r′′(t) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k t t2 0 1 2t 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0~i+ 0~j + 2t2 ~k − t2 ~k − 0~j − 0~i = ( 0 , 0 , t2 ) ⇒ | r′(t)× r′′(t) | = t2 k(t) = t2(√ t2 + t4 )3 No ponto P = (1,−1, 5) temos t = −1: k(−1) = (−1) 2(√ (−1)2 + (−1)4 )3 = 1(√ 2 )3 = 12√2 = √ 2 4 A curvatura no ponto P e´ k = 1 2 √ 2 . 2 Resoluc¸a˜o: (c) (valor 0,5 ponto) A torc¸a˜o da curva no ponto P . Vamos usar: τ = [u′(t)× r′′(t) ].u′′′(t) | r′(t)× r′′(t) |2 Como: r′(t)× r′′(t) = ( 0 , 0 , t2 ) e r′′′(t) = ( 0 , 2 , 0 ) , temos: τ = [u′(t)× r′′(t) ].u′′′(t) | r′(t)× r′′(t) |2 = ( 0 , 0 , t2 ) . ( 0 , 2 , 0 ) ( t2 )2 = 0t4 = 0 A torc¸a˜o no ponto P e´ τ = 0 . Resoluc¸a˜o: (d) (valor 0,5 ponto) A reta tangente a` curva no ponto P . Reta: r(λ) = P + λ ~V , onde P e´ um ponto da reta e ~V e´ o vetor diretor. Reta Tangente a curva : r(λ) = r(t0) + λ ~r′(to) , onde r(t0) e´ um ponto da reta (e da curva) e ~r′(t0) e´ o vetor diretor. r(−1) = ( 1 , −1 , 5 ) e r′(t) = ( t , t2 , 0 ) ⇒ r′(−1) = ( − 1 , 1 , 0 ) Reta Tangente a` curva no ponto P : r(λ) = ( 1 , −1 , 5 ) + λ ( − 1 , 1 , 0 ) = ( 1− λ , −1 + λ , 5 ) Reta Tangente a` curva no ponto P : r(λ) = ( 1− λ , −1 + λ , 5 ) . Resoluc¸a˜o: (e) (valor 0,5 ponto) O Vetor Tangente Unita´rio ~T da curva no ponto P . Como: r′(t) = ( t , t2 , 0 ) e |r′(t)| = √ t2 + t4, temos: ~T (t) = r′(t) |r′(t)| = ( t , t2 , 0 ) √ t2 + t4 = ( t√ t2 + t4 , t2√ t2 + t4 , 0 ) ⇒ ~T (−1) = ( − 1√ 2 , 1√ 2 , 0 ) Vetor Tangente Unita´rio no ponto P : ~T (−1) = ( −1√ 2 , 1√ 2 , 0 ) . Resoluc¸a˜o: (f) (valor 0,5 ponto) O Vetor Normal Unita´rio ~N da curva no ponto P . Como: ~N(t) = ~T ′(t) | ~T ′(t)| , temos que derivar ~T (t) = ( t√ t2 + t4 , t2√ t2 + t4 , 0 ) 3 ~T ′(t) = 1. √ t2 + t4 − t. 1 2 √ t2 + t4 (2t+ 4t3)(√ t2 + t4 )2 , 2t. √ t2 + t4 − t2. 1 2 √ t2 + t4 (2t+ 4t3)(√ t2 + t4 )2 , 0 ~T ′(t) = √ t2 + t4 − t(2t+ 4t 3) 2 √ t2 + t4(√ t2 + t4 )2 , 2t. √ t2 + t4 − t 2(2t+ 4t3) 2 √ t2 + t4(√ t2 + t4 )2 , 0 ~T ′(t) = 2 (√ t2 + t4 )2 − t(2t+ 4t3) 2 √ t2 + t4(√ t2 + t4 )2 , 4t (√ t2 + t4 )2 − t2(2t+ 4t3) 2 √ t2 + t4(√ t2 + t4 )2 , 0 ~T ′(t) = 2 (√ t2 + t4 )2 − t(2t+ 4t3) 2 √ t2 + t4 1(√ t2 + t4 )2 , 4t (√ t2 + t4 )2 − t2(2t+ 4t3) 2 √ t2 + t4 1(√ t2 + t4 )2 , 0 ~T ′(t) = 2(t2 + t4)− (2t2 + 4t4) 2 (√ t2 + t4 )3 , 4t(t2 + t4)− (2t3 + 4t5) 2 (√ t2 + t4 )3 , 0 ~T ′(t) = 2t2 + 2t4 − 2t2 − 4t4 2 (√ t2 + t4 )3 , 4t3 + 4t5 − 2t3 − 4t5 2 (√ t2 + t4 )3 , 0 ~T ′(t) = −2t2 2 (√ t2 + t4 )3 , 2t3 2 (√ t2 + t4 )3 , 0 = −t2(√ t2 + t4 )3 , t3(√ t2 + t4 )3 , 0 ~T ′(−1) = −(−1)2(√ (−1)2 + (−1)4 )3 , (−1)3(√ (−1)2 + (−1)4 )3 , 0 = −1(√ 2 )3 , −1(√ 2 )3 , 0 = ( −1 2 √ 2 , −1 2 √ 2 , 0 ) ~T ′(−1) = ( −1 2 √ 2 , −1 2 √ 2 , 0 ) |T ′(−1)| = ∣∣∣∣( −12√2 , −12√2 , 0 )∣∣∣∣ = √ 1 8 + 1 8 + 0 = √ 2 8 = √ 1 4 = 1 2 Vetor Normal Unita´rio no ponto P : ~N(−1) = ( −1√ 2 , −1√ 2 , 0 ) . Resoluc¸a˜o: (g) (valor 0,5 ponto) O Vetor Binormal ~B da curva no ponto P . 4 ~B(−1) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k −1√ 2 1√ 2 0 −1√ 2 −1√ 2 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0~i+ 0~j + 1 2 ~k + 1 2 ~k − 0~j − 0~i = ( 0 , 0 , 1 ) Vetor Binormal Unita´rio no ponto P : ~B(−1) = ( 0 , 0 , 1 ) . Resoluc¸a˜o: (h) (valor 0,5 ponto) O plano osculador da curva no ponto P . Sabemos que o vetor binormal ~B = ( 0 , 0 , 1 ) e´ ortogonal (forma 90◦) ao plano osculador. Assim, plano osculador em P : 0x+ 0y + 1z + d = 0. Sabemos que o ponto P = ( 1 , −1 , 5 ) pertence ao plano osculador (em P ). Assim, 0 (1) + 0 (−1) + 1(5) + d = 0 ⇒ d = −5. Plano osculador da curva no ponto P : z − 5 = 0 . Resoluc¸a˜o: (i) (valor 0,5 ponto) O plano normal da curva no ponto P . Sabemos que o vetor tangente ~T = ( −1√ 2 , 1√ 2 , 0 ) e´ ortogonal (forma 90◦) ao plano normal. Assim, plano normal em P : −1√ 2 x+ 1√ 2 y + 0z + d = 0. Sabemos que o ponto P = ( 1 , −1 , 5 ) pertence ao plano normal (em P ). Assim, −1√ 2 (1) + 1√ 2 (−1) + 0(5) + d = 0 ⇒ d = 2√ 2 . Plano normal: −1√ 2 x+ 1√ 2 y + 0z + 2√ 2 = 0 Plano normal: −x+ y + 0z + 2 = 0, ou ainda, x− y + 0z − 2 = 0, Plano normal a` curva no ponto P : x− y − 2 = 0 . Resoluc¸a˜o: (j) (valor 0,5 ponto) O c´ırculo osculador da curva no ponto P . Sabemos que o raio do c´ırculo osculador R = 1 k , onde k e´ a curvatura. 5 EmP , a curvatura e´ k = 1 2 √ 2 . Assim, R = 2 √ 2. O centro do c´ırculo osculador: C = P + 1 k ~N . Assim, C = ( 1 , −1 , 5 ) + 2 √ 2 ( −1√ 2 , −1√ 2 , 0 ) = ( 1 , −1 , 5 ) + ( − 2 , −2 , 0 ) = ( − 1 , −3 , 5 ) . C´ırculo osculador a` curva em P : (x+ 1)2 + (y + 3)2 = (2 √ 2)2 C´ırculo osculador a` curva em P : (x+ 1)2 + (y + 3)2 = 8 . Resoluc¸a˜o: (k) (valor 0,5 ponto) O cosseno do aˆngulo entre os vetores r e r′ no ponto P . Lembrando: r(t) = ( t2 2 + 1 2 ) ~i+ ( t3 3 − 2 3 ) ~j + 5~k ⇒ r′(t) = ( t , t2 , 0 ) ⇒ r′′(t) = ( 1 , 2t , 0 ) r′(−1) = ( − 1 , 1 , 0 ) ⇒ r′′(−1) = ( 1 , −2 , 0 ) Usando cos θ = ~r′(−1). ~r′′(−1) |~r′(−1)| | ~r′′(−1)| , temos: cos θ = ( − 1 , 1 , 0 ) . ( 1 , −2 , 0 ) ∣∣∣( − 1 , 1 , 0)∣∣∣ ∣∣∣( 1 , −2 , 0)∣∣∣ = −1− 2 + 0√2√5 = −3√10 O cosseno do aˆngulo entre os vetores r′ e r′′ em P : cos θ = − 3√ 10 . 3a Questa˜o: (valor 2,0 pontos) Calcule o comprimento da curva s(t) = ( et 2 + e−t 2 , t ) , −1 ≤ t ≤ 0. Resoluc¸a˜o: s(t) = ( et 2 + e−t 2 , t ) ⇒ s′(t) = ( et 2 − e −t 2 , 1 ) ⇒ |s′(t)| = √( et 2 − e −t 2 )2 + (1)2 |s′(t)| = √ e2t 4 − 2 e t 2 e−t 2 + e−2t 4 + 1 = √ e2t 4 − e t.e−t 2 + e−2t 4 + 1 = √ e2t 4 − e 0 2 + e−2t 4 + 1 |s′(t)| = √ e2t 4 − 1 2 + e−2t 4 + 1 = √ e2t 4 + 1 2 + e−2t 4 = √( et 2 + e−t 2 )2 = ( et 2 + e−t 2 ) Como: L = ∫ t1 t0 |s′(t)| dt temos: L = ∫ 0 −1 ( et 2 + e−t 2 ) dt = ( et 2 − e −t 2 )0 −1 = ( e0 2 − e −0 2 ) − ( e(−1) 2 − e −(−1) 2 ) = − e (−1) 2 + e1 2 = − 1 2e + e 2 6 L = ∫ 0 −1 ( et 2 + e−t 2 ) dt == −1 + e2 2e = e2 − 1 2e O comprimento da curva s(t) = ( et 2 + e−t 2 , t ) , −1 ≤ t ≤ 0 e´ e 2 − 1 2e . 4a Questa˜o: (valor 1,5 pontos) A nave do Willian viaja segundo a curva r1(t) = (t+ 1, t 2 + 1) e a nave da Mirian viaja segundo a curva r2(t) = (2t, 2t 2 − t+ 1), determine se as trajeto´rias das naves se intercep – tam e se as naves colidem. Resoluc¸a˜o: r1(t) = (t+ 1, t 2 + 1) e r2(m) = (2m, 2m 2 −m+ 1) t+ 1 = 2m t2 + 1 = 2m2 −m+ 1 Da primeira equac¸a˜o, temos: t = 2m− 1. Substituindo na segunda equac¸a˜o: (2m− 1)2 + 1 = 2m2 −m+ 1 ⇒ 4m2 − 4m+ 1 + 1 = 2m2 −m+ 1 ⇒ ⇒ 2m2 − 3m+ 1 = 0 ⇒ ∆ = (−3)2 − 4(2)(1) = 9− 8 = 1 m = −(−3)± √ 1 2(2) = 3± 1 4 m = 1 ⇒ t = 1 ou m = − 1 2 ⇒ t = 0 r1(1) = (2, 2) e r2(1) = (2, 21) Colisa˜o! r1(0) = (1, 1) e r2 ( 1 2 ) = (1, 1) Intersecc¸a˜o. As tarjeto´rias das naves se interceptam em P = (2, 2) e em Q = (1, 1), e as naves colidem em P = (2, 2) . 7
Compartilhar