Lista 2 de Lógica Matemática

Prévia do material em texto

Lista 2 de Lógica Matemática 
 
1. (Fuvest-1980) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra. 
 
 
 
Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para 
verificar se tal afirmação é verdadeira 
a) é necessário virar todos os cartões 
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões 
c) é suficiente virar os dois últimos cartões 
d) é suficiente virar os dois cartões do meio 
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão 
 
2. (Fuvest-1977) Em um teste de cinco alternativas, com uma única correta, as alternativas eram: 
A. Racional 
B. Irracional 
C. Inteiro 
D. Real 
E. Complexo 
A alternativa correta era: 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
3. Seja 𝑋 → 𝑌 uma afirmação. Então: 
 A recíproca dessa afirmação é 𝑌 → 𝑋. 
 A inversa dessa afirmação é ¬𝑋 → ¬𝑌 
 A contrapositiva dessa afirmação é ¬𝑌 → ¬𝑋 
a) Prove que 𝑋 → 𝑌 ≡ ¬𝑌 → ¬𝑋. 
b) Prove que 𝑌 → 𝑋 ≡ ¬𝑋 → ¬𝑌. 
c) Prove que 𝑌 → 𝑋 ≢ ¬𝑌 → ¬𝑋. 
d) Prove que 𝑋 → 𝑌 ≢ ¬𝑋 → ¬𝑌. 
 
4. A partir da afirmação: "Um quadrado é um retângulo" enuncie sua recíproca, inversa e 
contrapositiva e avalie se são verdadeiras ou falsas. 
5. Construir uma tabela verdade para cada uma das fórmulas abaixo. 
a) ((𝑥 → 𝑦) ∧ ¬𝑦) → ¬𝑥 
A B 2 3 
b) (𝑥 → 𝑦) → (¬𝑦 → ¬𝑥) 
c) ((𝑥 ∧ ¬𝑦) →⊥) ↔ (𝑥 → 𝑦) 
d) (𝑥 → 𝑦) ↔ (¬𝑥 ∨ 𝑦) 
e) (𝑦 ∧ 𝑥) ∨ (𝑧 → ¬(¬𝑦 ↔ ¬𝑥)) 
6. Na afirmação 𝑋 → 𝑌 se tem que 𝑋 é a hipótese da afirmação e 𝑌 a conclusão da afirmação. A 
tabela abaixo indica quando as condições na hipótese da afirmação são suficientes ou necessárias 
para justificar as condições na conclusão. 
Afirmação: 𝑋 →
𝑌 
Recíproca: 
𝑌 → 𝑋 
Condição suficiente? Condição necessária? 
Verdadeira Falsa Sim Não 
Falsa Verdadeira Não Sim 
Verdadeira Verdadeira Sim Sim 
Falsa Falsa Não Não 
 
Avalie a verdade ou falsidade das frases abaixo indicando se há condição suficiente, 
condição necessária ou ambos: 
a) Se um número inteiro é par então seu quadrado é par 
b) Se 𝑥 = 2 ou 𝑥 e ímpar então 𝑥 é primo. 
c) Se os ângulos forem retos então serão congruentes. 
d) Se 𝑥 𝜖 ℝ então 𝑥 é irracional. 
e) Se 𝑥 𝜖 ℚ então 𝑥 é um número real. 
f) Se 𝑥 é um inteiro ímpar e 𝑦 é um inteiro par então 𝑥𝑦 é um inteiro par. 
g) Se 𝑥 é um inteiro ímpar então seu quadrado é um inteiro ímpar. 
h) Se 𝑥 é um número primo então seu quadrado não é primo. 
i) Se 𝑥 é um inteiro par e 𝑦 é um inteiro par então 𝑥 + 𝑦 é um inteiro par. 
j) Se 𝑥 é um inteiro par e 𝑦 é um inteiro ímpar então 𝑥 + 𝑦 é um inteiro ímpar. 
7. Determine demonstrações para os seguintes sequentes: (" − " é o sinal de negação) 
a) 𝑝 → (𝑝 → 𝑞), 𝑝 ⊢ 𝑞 
b) 𝑞 → (𝑝 → 𝑟), −𝑟, 𝑞 ⊢ −𝑝 
c) 𝑝 → − − 𝑞, 𝑝 ⊢ 𝑞 
d) − − 𝑞 → 𝑝, −𝑝 ⊢ −𝑞 
e) −𝑝 → −𝑞, 𝑞 ⊢ 𝑝 
f) 𝑝 → −𝑞 ⊢ 𝑞 → −𝑝 
g) −𝑝 → 𝑞 ⊢ −𝑞 → 𝑝 
h) −𝑝 → −𝑞 ⊢ 𝑞 → 𝑝 
i) 𝑝 → 𝑞, 𝑞 → 𝑟 ⊢ 𝑝 → 𝑟 
j) 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ⊢ (𝑝 → 𝑞) → (𝑝 → 𝑟) 
k) 𝑝 → (𝑞 → (𝑟 → 𝑠)) ⊢ 𝑟 → (𝑝 → (𝑞 → 𝑠)) 
l) 𝑝 → 𝑞 ⊢ (𝑞 → 𝑟) → (𝑝 → 𝑟) 
m) 𝑝 ⊢ (𝑝 → 𝑞) → 𝑞 
n) 𝑝 ⊢ (−(𝑞 → 𝑟) → −𝑝) → (−𝑟 → −𝑞)