CDI 3_Lista 02

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Lista 02
01. Calcule, caso exista, os limites abaixo:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x. sin
1
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y f) lim(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2 h) lim(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
i) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
j) lim
(x,y,z)→(1,2,−1)
(x+ y + 3z)3
(x− 1)(y − 2)(z + 1) k) lim(x,y)→(2,1)
4 + x
2− y l) lim(x,y)→(0,0)
x2 − 2
3 + xy
m) lim
(x,y)→(0,0)
3x3 − 2x2y + 3y2x− 2y3
x2 + y2
n) lim
(x,y)→(0,0)
2x2 − y2
x2 + 2y2
o) lim
(x,y)→(0,0)
3x2y3
2y5 − 2x5
02. Seja f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0. Mostre que quaisquer que sejam a e b,
lim
t→0
f(γ(t)) = 0
b) Calcule lim
t→0
f(δ(t)), onde δ(t) = (t2, t)
c) lim
(x,y)→(0,0)
2xy2
x2 + y4
existe? Justifique.
03. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y2)
x2 + y2
.
04. A func¸a˜o definida por
f(x, y) =
{
x2−y2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0,0)?
05. A func¸a˜o definida por
f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0,0)?
1
06. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das func¸o˜es abaixo:
a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6 b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
c) f(x, y) = ln
x− y
x2 + y2
d) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2
e) f(x, y) =
{ x−3y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
f) f(x, y) =
{
sin(x2+y2)
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
2