Resolução Lista 04 CDI 3

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Lista 04
01. Seja F (r, θ) = f(x, y) onde x = r cos θ e y = r sin θ, sendo f(x, y) uma func¸a˜o dife-
rencia´vel dada. Demonstre que:
∂f
∂y
(x, y) =
cos θ
r
∂F
∂θ
(r, θ) + sin θ
∂F
∂r
(r, θ)
02. Seja z = f(u2 + v2, uv), onde f(x, y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel dada. Expresse
∂z
∂u
e
∂z
∂v
em termos das derivadas parciais de f .
03. Seja z = f(u− v, v − u). Mostre que
∂z
∂u
+
∂z
∂v
= 0
04. Calcule ∇f(x, y) sendo f(x, y)=
a) x2y b) ex
2−y2 c)
x
y
d) arctan
x
y
05. Calcule
∂f
∂
→
u
(x0, y0), sendo dados:
a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1; 2) e ~u o versor de 2~i+~j
b) f(x, y) = ex
2−y2 , (x0, y0) = (1; 1) e ~u o versor de 3~i+ 4~j
c) f(x, y) = arctan
x
y
, (x0, y0) = (3; 3) e ~u o versor de
1√
2
~i+
1√
2
~j
d) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1; 1) e ~u o versor de ~i+~j
06. Em que direc¸a˜o e sentido a func¸a˜o dada cresce mais rapidamente no ponto dado?
a) f(x, y) = x2 + xy + y2, em (1; 1)
b) f(x, y) =
√
4− x2 − 2y2, em
(
1;
1
2
)
07. Calcule a derivada direcional de f(x, y) =
2
x2 + y2
, no ponto (−1, 1) e na direc¸a˜o 2~i+3~j