Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
1a Lista de Exercı´cios - 2017.2 Geometria Analı´tica - Turmas P4 e P5 Prof. Fa´bio Pereira Lima 1. Considere um triaˆngulo de ve´rtices A,B e C, e sejam E e F os pontos me´dios dos lados AB e BC. a) Explique por que −→ EB= 12 −→ AB e −→ BF = 12 −→ BC. b) Mostre que o segmento de reta que liga E a F e´ paralelo a AC e tem metade de seu comprimento. 2. Sejam A,B,C,D,E e F os seis ve´rtices, em ordem, de um hexa´gono regular. Mostre que −→ AB+ −→ AC+ −→ AD+ −→ AE+ −→ AF = 3 −→ AD. 3. Dado um tetraedro ABCD, seja M um ponto que satisfaz −→ MB+ −→ MC+ −−→ MD=~0. a) Explique por que M pertence a` face BCD. b) Verifique que as coordenadas de −→ AM na base ( −→ AB, −→ AC, −→ AD) sa˜o 13(1,1,1). 4. Seja E = (~e1,~e2,~e3) uma base do espac¸o tridimensional e sejam ~u=~e1+~e2+~e3, ~v=~e1+~e2, ~w=~e1. Verifique que (~u,~v,~w) e´ LI e escreva~e1,~e2 e~e3 como combinac¸o˜es lineares de~u,~v e ~w. 5. Avalie se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta. (i) Se as sequeˆncias de vetores (~u,~v),(~u,~w),(~v,~w) sa˜o LI, podemos afirmar que a sequeˆncia (~u,~v,~w) e´ linearmente independente. (ii) Se a sequeˆncia (~u,~v,~w) e´ LD, sempre podemos escrever ~w como combinac¸a˜o linear dos outros dois vetores. (iii) Dado um triaˆngulo ABC, a sequeˆncia formada por −→ AB, −→ BC e −→ CA e´ LI. 6. Fixada uma base ortonormal, escreva ~w = (−1,−3,2) como combinac¸a˜o linear de dois vetores~u e~v, tais que~u e´ paralelo ao vetor~z= (0,1,3) e~v e´ ortogonal a~z. 7. Verifique que (~u,~v,~w) e´ linearmente independente se, e somente se, (~u+~v,~u+~w,~v+~w) e´ linearmente independente. 1 8. No paralelepı´pedo retaˆngulo da figura abaixo, HG, BC e CG medem, respectivamente, 3, 1 e 2. a) Explique por que ( −→ AB, −→ AE, −→ AD) e´ base. b) A base do item (a) e´ ortonormal? c) Determine as coordenadas de −→ AC, −→ BD e −→ AG em relac¸a˜o a base do item (a). d) Determine o comprimento das diagonais BD e AG. e) E´ possı´vel formar uma base com a sequeˆncia ( −→ AB, −→ AC, −→ AD)? Justifique sua resposta. 9. Calcule m de modo que a sequeˆncia formada por ~u = (1,2,2), ~v = (m− 1,1,m− 2) e ~w = (m+ 1,m− 1,2) seja LD. E´ possı´vel escrever ~u como combinac¸a˜o linear de ~v e ~w? Justifique sua resposta. 10. Sejam OABC um tetraedro e M o ponto me´dio de BC. Explique por que ( −→ OA, −→ OB, −→ OC) e´ base e determine as coordenadas de −→ AM nessa base. 11. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base ortonormal de V3, ~u = (1,−1,3)E , ~v = (2,1,3)E e ~w = (−1,−1,4)E . Determine: a) As coordenadas de~u+~v,~u−2~v,~u+3~v−8~w em relac¸a˜o a base E. b) Obtenha ||~u||, ||~v||, ||~u+~v||, ||~u−2~v||. c) Verifique se~u,~v e ~w sa˜o dois a dois ortogonais. 12. Verifique que a altura do tetraedro ABCD relativa a` base ABC e´ h= ||[−→AB,−→AC,−→AD]||/||−→AB∧−→AC||. 13. Considere os vetores ~u com norma √ 2, ~v com norma √ 3, tais que ang(~u,~v) = 45o. Se ~w=~u∧~v e ~t = pro j~v~u+ pro j~u~v+~w, determine as coordenadas de~t na base β = (~u,~v,~w). 14. Dados ~v = (1,1,1),~w = (0,1,−1) e~t = (2,1,−1), obtenha ~u de norma √5, ortogonal a ~t, tal que (~u,~v,~w) seja LD. Algum destes vetores forma aˆngulo agudo com (−1,0,0)? 15. Dados~u= (1,1,1) e~v= (0,1,2), encontre uma base ortonormal positiva (~a,~b,~c) tal que: 2 (i) ~a e´ paralelo a~u, e os dois teˆm o mesmo sentido; (ii) ~b e´ combinac¸a˜o linear de~u e~v, e a sua primeira coordenada e´ positiva. 16. Dados os vetores linearmente independentes~u e~v, verifique que F = (~u,(~u∧~v)∧~u,~u∧~v) e´ uma base ortogonal (entende-se por base ortogonal uma base cujos vetores sa˜o dois a dois ortogonais). 17. Os vetores~a e~b sa˜o unita´rios e ang(~a,~b) = 30o. O vetor~c, ortogonal a ambos, tem norma 2, e a base (~a,~b,~c) e´ positiva. Sendo ~u um vetor tal que ~u ·~a = 2, ~u ·~b = 1 e ~u ·~c = 1, obtenha a tripla de coordenadas de~u na base (~a,~b,~a∧~b). 18. Na figura abaixo esta´ representado um paralelepı´pedo. Sendo M tal que −→ BM = −→ BG/2, indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor −→ HB/2+ −→ AB/3−−→CD/6. 19. Sejam, em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (0,0,3), B = (3,0,1) e C = (0,3,1). a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles, mas na˜o equila´tero, e determine o cosseno do aˆngulo formado pelos lados congruentes. b) Determine o vetor ~w, tal que −→ AB= ~w+ pro j−→AC −→ AB. 20. Sejam~u e~v dois vetores LI e ~w um vetor na˜o-nulo. Sendo ang(~u,~v) = φ e ang(~u∧~v,~w) = θ , exprima [~u,~v,~w] em func¸a˜o de φ , θ e das normas dos vetores. 21. Sejam~u e~v vetores na˜o-nulos. Para cada caso, ou demonstre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou deˆ um exemplo mostrando que ela e´ falsa. (i) Se~u e~v sa˜o ortogonais, enta˜o 2~u e −3~v tambe´m sa˜o ortogonais. (ii) Se pro j~u~v=~0, enta˜o~v e´ ortogonal a~u. (iii) Se~v e´ paralelo a~u, enta˜o pro j~u~v=~v. (iv) Vale que pro j~vpro j~u~v= (~u ·~v)2 ||~u||2||~v||2~v. 22. Sejam E uma base no espac¸o tridimensional, −→ AB = (√ 3 2 , 1 2 ,0 ) E e −→ AD = (√ 3 2 , 1 2 , √ 3 ) E . O vetor −→ AC = −→ AB+ −→ AD e´ bissetriz do aˆngulo BÂD? 3 23. Sabendo que a medida em radianos do aˆngulo entre~u e~v e´ pi/6 e que ||~u||= 1 e ||~v||= 7, calcule ||~u∧~v|| e ||13~u∧ 34~v||. 24. O paralelepı´pedo ABCDEFGH esta´ representado na figura abaixo. Sejam~e1 = −→ AD,~e2 =−→ AC e~e3 = −→ AF . Determine as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E,F,G e H no sistema de coordenadas (A,~e1,~e2,~e3). 25. Verifique que, se ~u∧~v= ~w∧~t e ~u∧~w=~v∧~t, enta˜o ~u−~t e~v−~w sa˜o linearmente depen- dentes. 26. Considere o paralelepı´pedo abaixo. Em relac¸a˜o a uma base ortonormal positiva, −→ AB = (1,0,1), −→ BE = (1,1,1) e −→ AD= (0,3,3). Calcule: a) a a´rea do triaˆngulo ABD; b) o volume do paralelepı´pedo ABCDEFGH; c) o volume do tetraedro EABD; d) a altura do tetraedro EABD em relac¸a˜o a` face DEB. 27. Em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (1,2,−1),B = (0,1,1) e C = (2,0,0). Mostre que A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero. 28. Dada uma base ortonormal B= (~i,~j,~k), determine~x de norma √ 3, ortogonal a (1,1,0) e a (−1,0,1), e que forma aˆngulo agudo com ~j. 29. Dados os pontos A = (1,−2,3), B = (2,−1,−4), C = (0,2,0) e D = (−1,m,1), calcule o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepı´pedo determinado por−→ AB, −→ AC e −→ AD. 4 30. Verifique as desigualdades abaixo: a) |~u ·~v| ≤ ||~u||||~v|| (Desigualdade de Schwarz). b) ||~u+~v|| ≤ ||~u||+ ||~v|| (Desigualdade triangular). 5
Compartilhar