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Lista 1ºunidade GA, UFPE

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1a Lista de Exercı´cios - 2017.2
Geometria Analı´tica - Turmas P4 e P5
Prof. Fa´bio Pereira Lima
1. Considere um triaˆngulo de ve´rtices A,B e C, e sejam E e F os pontos me´dios dos lados
AB e BC.
a) Explique por que
−→
EB= 12
−→
AB e
−→
BF = 12
−→
BC.
b) Mostre que o segmento de reta que liga E a F e´ paralelo a AC e tem metade de seu
comprimento.
2. Sejam A,B,C,D,E e F os seis ve´rtices, em ordem, de um hexa´gono regular. Mostre que
−→
AB+
−→
AC+
−→
AD+
−→
AE+
−→
AF = 3
−→
AD.
3. Dado um tetraedro ABCD, seja M um ponto que satisfaz
−→
MB+
−→
MC+
−−→
MD=~0.
a) Explique por que M pertence a` face BCD.
b) Verifique que as coordenadas de
−→
AM na base (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD) sa˜o 13(1,1,1).
4. Seja E = (~e1,~e2,~e3) uma base do espac¸o tridimensional e sejam
~u=~e1+~e2+~e3,
~v=~e1+~e2,
~w=~e1.
Verifique que (~u,~v,~w) e´ LI e escreva~e1,~e2 e~e3 como combinac¸o˜es lineares de~u,~v e ~w.
5. Avalie se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta.
(i) Se as sequeˆncias de vetores (~u,~v),(~u,~w),(~v,~w) sa˜o LI, podemos afirmar que a sequeˆncia
(~u,~v,~w) e´ linearmente independente.
(ii) Se a sequeˆncia (~u,~v,~w) e´ LD, sempre podemos escrever ~w como combinac¸a˜o linear
dos outros dois vetores.
(iii) Dado um triaˆngulo ABC, a sequeˆncia formada por
−→
AB,
−→
BC e
−→
CA e´ LI.
6. Fixada uma base ortonormal, escreva ~w = (−1,−3,2) como combinac¸a˜o linear de dois
vetores~u e~v, tais que~u e´ paralelo ao vetor~z= (0,1,3) e~v e´ ortogonal a~z.
7. Verifique que (~u,~v,~w) e´ linearmente independente se, e somente se, (~u+~v,~u+~w,~v+~w)
e´ linearmente independente.
1
8. No paralelepı´pedo retaˆngulo da figura abaixo, HG, BC e CG medem, respectivamente, 3,
1 e 2.
a) Explique por que (
−→
AB,
−→
AE,
−→
AD) e´ base.
b) A base do item (a) e´ ortonormal?
c) Determine as coordenadas de
−→
AC,
−→
BD e
−→
AG em relac¸a˜o a base do item (a).
d) Determine o comprimento das diagonais BD e AG.
e) E´ possı´vel formar uma base com a sequeˆncia (
−→
AB,
−→
AC,
−→
AD)? Justifique sua resposta.
9. Calcule m de modo que a sequeˆncia formada por ~u = (1,2,2), ~v = (m− 1,1,m− 2) e
~w = (m+ 1,m− 1,2) seja LD. E´ possı´vel escrever ~u como combinac¸a˜o linear de ~v e ~w?
Justifique sua resposta.
10. Sejam OABC um tetraedro e M o ponto me´dio de BC. Explique por que (
−→
OA,
−→
OB,
−→
OC) e´
base e determine as coordenadas de
−→
AM nessa base.
11. Sejam E = (~e1,~e2,~e3) uma base ortonormal de V3, ~u = (1,−1,3)E , ~v = (2,1,3)E e ~w =
(−1,−1,4)E . Determine:
a) As coordenadas de~u+~v,~u−2~v,~u+3~v−8~w em relac¸a˜o a base E.
b) Obtenha ||~u||, ||~v||, ||~u+~v||, ||~u−2~v||.
c) Verifique se~u,~v e ~w sa˜o dois a dois ortogonais.
12. Verifique que a altura do tetraedro ABCD relativa a` base ABC e´
h= ||[−→AB,−→AC,−→AD]||/||−→AB∧−→AC||.
13. Considere os vetores ~u com norma
√
2, ~v com norma
√
3, tais que ang(~u,~v) = 45o. Se
~w=~u∧~v e
~t = pro j~v~u+ pro j~u~v+~w,
determine as coordenadas de~t na base β = (~u,~v,~w).
14. Dados ~v = (1,1,1),~w = (0,1,−1) e~t = (2,1,−1), obtenha ~u de norma √5, ortogonal a
~t, tal que (~u,~v,~w) seja LD. Algum destes vetores forma aˆngulo agudo com (−1,0,0)?
15. Dados~u= (1,1,1) e~v= (0,1,2), encontre uma base ortonormal positiva (~a,~b,~c) tal que:
2
(i) ~a e´ paralelo a~u, e os dois teˆm o mesmo sentido;
(ii) ~b e´ combinac¸a˜o linear de~u e~v, e a sua primeira coordenada e´ positiva.
16. Dados os vetores linearmente independentes~u e~v, verifique que F = (~u,(~u∧~v)∧~u,~u∧~v)
e´ uma base ortogonal (entende-se por base ortogonal uma base cujos vetores sa˜o dois a
dois ortogonais).
17. Os vetores~a e~b sa˜o unita´rios e ang(~a,~b) = 30o. O vetor~c, ortogonal a ambos, tem norma
2, e a base (~a,~b,~c) e´ positiva. Sendo ~u um vetor tal que ~u ·~a = 2, ~u ·~b = 1 e ~u ·~c = 1,
obtenha a tripla de coordenadas de~u na base (~a,~b,~a∧~b).
18. Na figura abaixo esta´ representado um paralelepı´pedo. Sendo M tal que
−→
BM =
−→
BG/2,
indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor
−→
HB/2+
−→
AB/3−−→CD/6.
19. Sejam, em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (0,0,3), B = (3,0,1) e
C = (0,3,1).
a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles, mas na˜o equila´tero, e determine o cosseno
do aˆngulo formado pelos lados congruentes.
b) Determine o vetor ~w, tal que
−→
AB= ~w+ pro j−→AC
−→
AB.
20. Sejam~u e~v dois vetores LI e ~w um vetor na˜o-nulo. Sendo ang(~u,~v) = φ e ang(~u∧~v,~w) =
θ , exprima [~u,~v,~w] em func¸a˜o de φ , θ e das normas dos vetores.
21. Sejam~u e~v vetores na˜o-nulos. Para cada caso, ou demonstre que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira
ou deˆ um exemplo mostrando que ela e´ falsa.
(i) Se~u e~v sa˜o ortogonais, enta˜o 2~u e −3~v tambe´m sa˜o ortogonais.
(ii) Se pro j~u~v=~0, enta˜o~v e´ ortogonal a~u.
(iii) Se~v e´ paralelo a~u, enta˜o pro j~u~v=~v.
(iv) Vale que
pro j~vpro j~u~v=
(~u ·~v)2
||~u||2||~v||2~v.
22. Sejam E uma base no espac¸o tridimensional,
−→
AB =
(√
3
2 ,
1
2 ,0
)
E
e
−→
AD =
(√
3
2 ,
1
2 ,
√
3
)
E
.
O vetor
−→
AC =
−→
AB+
−→
AD e´ bissetriz do aˆngulo BÂD?
3
23. Sabendo que a medida em radianos do aˆngulo entre~u e~v e´ pi/6 e que ||~u||= 1 e ||~v||= 7,
calcule ||~u∧~v|| e ||13~u∧ 34~v||.
24. O paralelepı´pedo ABCDEFGH esta´ representado na figura abaixo. Sejam~e1 =
−→
AD,~e2 =−→
AC e~e3 =
−→
AF . Determine as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E,F,G e H no sistema de
coordenadas (A,~e1,~e2,~e3).
25. Verifique que, se ~u∧~v= ~w∧~t e ~u∧~w=~v∧~t, enta˜o ~u−~t e~v−~w sa˜o linearmente depen-
dentes.
26. Considere o paralelepı´pedo abaixo. Em relac¸a˜o a uma base ortonormal positiva,
−→
AB =
(1,0,1),
−→
BE = (1,1,1) e
−→
AD= (0,3,3). Calcule:
a) a a´rea do triaˆngulo ABD;
b) o volume do paralelepı´pedo ABCDEFGH;
c) o volume do tetraedro EABD;
d) a altura do tetraedro EABD em relac¸a˜o a` face DEB.
27. Em relac¸a˜o a um sistema ortogonal de coordenadas, A = (1,2,−1),B = (0,1,1) e C =
(2,0,0). Mostre que A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero.
28. Dada uma base ortonormal B= (~i,~j,~k), determine~x de norma
√
3, ortogonal a (1,1,0) e
a (−1,0,1), e que forma aˆngulo agudo com ~j.
29. Dados os pontos A = (1,−2,3), B = (2,−1,−4), C = (0,2,0) e D = (−1,m,1), calcule
o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepı´pedo determinado por−→
AB,
−→
AC e
−→
AD.
4
30. Verifique as desigualdades abaixo:
a) |~u ·~v| ≤ ||~u||||~v|| (Desigualdade de Schwarz).
b) ||~u+~v|| ≤ ||~u||+ ||~v|| (Desigualdade triangular).
5

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