AD1 CIV 2012.2 (Gabarito)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Quando por uma integral dupla se calculou o volume do so´lido sob a
superf´ıcie z = f(x, y), e acima da regia˜o D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais
repetidas:
V =
∫ 2
1
∫ x3
x
f(x, y)dy dx+
∫ 8
2
∫ 8
x
f(x, y)dy dx.
(a) Esboce a regia˜o D e exprima V por uma u´nica integral repetida na ordem de integrac¸a˜o invertida.
(b) Calcule V para f(x, y) = ey
(
x
y
)1/2
.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos V =
∫∫
D1
f(x, y) dx dy +
∫∫
D2
f(x, y) dx dy,
onde D1 e D2 sa˜o regio˜es do tipo I, descritas por
D1 : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x3 , D2 : 2 ≤ x ≤ 8, x ≤ y ≤ 8 ,
cujos esboc¸os sa˜o:
x
y
y
=
x
y = x3
D1
21
1
8
Figura 1: Regia˜o D1
x
y
y
=
x
D2
2 8
2
8
Figura 2: Regia˜o D2
Seja D = Du ∪D2, cujo esboc¸o e´ mostrado na figura 3
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 2
x
y
y
=
x
y = x
x = 3
√
y
y = x3
=⇒ x = 3√y
D
2 81
1
8
Figura 3: Regia˜o D
Enquadrando a regia˜o D como tipo II, temos:
D :
{
1 ≤ y ≤ 8
3
√
y ≤ x ≤ y .
Enta˜o,
V =
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 8
1
∫ y
3
√
y
f(x, y) dx dy.
(b) Temos:
V =
∫∫
D
ey
(
x
y
)1/2
dx dy =
∫ 8
1
∫ y
3
√
y
ey
y1/2
x1/2 dx dy
=
∫ 8
1
ey
y1/2
2
3
[
x3/2
]y
y1/3
dy =
∫ 8
1
ey
y1/2
2
3
[
y3/2 − y1/2] dy
=
2
3
∫ 8
1
ey(y − 1) dy.
Fazendo u = y − 1, dv = ey dy, temos du = dy e v = ey. Logo,∫
ey(y − 1) dy = uv −
∫
v du = (y − 1)ey −
∫
ey dy = (y − 1)ey − ey = (y − 2)ey.
Assim,
V =
2
3
[(y − 2)ey]81 =
2
3
(6e8 + e) = 4e8 +
2
3
e.
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Mostre que
∫∫
D
f(xy) dx dy = (ln 2)
∫ 2
1
f(u) du, onde D e´ a regia˜o do
primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, x = y e y = 4x.
Soluc¸a˜o: Fac¸amos a seguinte mudanc¸a de varia´veis:
u = xy , v =
y
x
.
Temos
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Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 3
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣∣∣∣∣ y x−y
x2
1
x
∣∣∣∣∣ = yx + yx = 2yx = 2v.
Logo,
J =
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
∂(u, v)
∂(x, y)
=
1
2v
.
Com esta mudanc¸a, a regia˜o D e´ transformada na regia˜o Duv limitada por u = 1, u = 2, v = 1 e
v = 4.
u
v
Duv
1 2
1
4
Figura 4: Regia˜o Duv
Pelo teorema da mudanc¸a de varia´veis, temos∫∫
D
f(xy) dx dy =
∫∫
Duv
f(u) |J | du dv =
∫ 2
1
∫ 4
1
f(u)
1
2v
dv du
=
1
2
∫ 2
1
f(u) [ln v]41 du =
1
2
(ln 4− ln 1)
∫ 2
1
f(u) du
=
1
2
2 ln 2
∫ 2
1
f(u) du = ln 2
∫ 2
1
f(u) du.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Use uma integral dupla para calcular o volume do so´lido delimitado pelas
superf´ıcies y = 0, y = 1− x2, x2 + z = 1 e z = 0.
Soluc¸a˜o: Identificac¸a˜o das superf´ıcies:
• y = 0 =⇒ plano coordenado xz;
• y = 1−x2 =⇒ cilindro parabo´lico com geratrizes paralelas ao eixo z e diretriz (para´bola y = 1−x2)
no plano xy;
• z = 1−x2 =⇒ cilindro parabo´lico com geratrizes paralelas ao eixo y e diretriz (para´bola z = 1−x2)
no plano xz.
• z = 0 =⇒ plano coordenado xy.
Assim, o esboc¸o do so´lido e´:
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Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 4
x
y
z
W
1 1
1
piso D
teto
z = f(x, y) = 1− x2
Figura 5: So´lido W
x
y
y = 1− x2
D
1−1
1
Figura 6: Regia˜o D
Temos
V (W ) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D
(1− x2) dx dy
=
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
(1− x2) dy dx =
∫ 1
−1
(1− x2)2 dx
=
∫ 1
−1
(1− 2x2 + x4) dx =
[
x− 2x
3
3
+
x5
5
]1
−1
= 2
(
1− 2
3
+
1
5
)
= 2
15− 10 + 3
15
=
16
15
u.v.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Escreva a integral
I =
∫ 1
0
∫ 1
y
∫ y
0
f(x, y, z) dz dx dy
na ordem dx dy dz. Soluc¸a˜o: Temos que
I =
∫∫∫
W
f(x, y, z) dV =
∫∫
Dxy
∫ y
0
f(x, y, z) dz dx dy
onde W e´ o so´lido dado por
W : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ y,
e Dxy : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, representa a projec¸a˜o de W no plano xy.
x
y
Dxy
1
1
Figura 7: Regia˜o Dxy
z
y
x
Dxy
11
Figura 8: Regia˜o Dxy
De 0 ≤ z ≤ y, vemos que o so´lido W e´ limitado inferiormente pelo plano z = 0 e limitado
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Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 5
superiormente pelo plano z = y. Vamos encontrar a porc¸a˜o do plano z = y que se projeta no plano
xy, segundo a regia˜o triangular Dxy. Vemos que os ve´rtices (0, 0, 0) e (1, 0, 0) de Dxy tambe´m esta˜o
no plano z = y. Vemos tambe´m que o ponto desse plano que se projeta em (1, 1, 0), terceiro ve´rtice
do triaˆngulo Dxy, e´ o ponto (1, 1, 1). Portanto, o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0) e (1, 1, 1) e´
a regia˜o do plano z = y, que se projeta em Dxy. Assim, temos o esboc¸o de W :
z
y
x
W
1
(1, 0, 0)
(1, 1, 0)
(1, 1, 1)
Figura 9: So´lido W
Para escrever a integral I na ordem dx dy dz, devemos projetar W no plano yz.
As projec¸o˜es dos ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1) do so´lido W no plano yz sa˜o (0, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 1, 1).
Da´ı, conclu´ımos que a projec¸a˜o do so´lido W no plano yz e´ a regia˜o triangular Dyz de ve´rtices (0, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 1, 1).
z
y
Dyz
1
1
0
z
=
yy = z y = 1
Figura 10: Regia˜o Dyz
Descrevendo Dyz como uma regia˜o do tipo II, temos:
Dyz :
{
0 ≤ z ≤ 1
z ≤ y ≤ 1.
Por um ponto P = (x, y, z) no interior de W , consideramos um eixo paralelo ao eixo x. Vemos que
esse eixo entra no so´lido W em x = y e sao de W em x = 1. Logo, y ≤ x ≤ 1.
Enta˜o, temos:
I =
∫∫
Dyz
∫ 1
y
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ 1
0
∫ 1
z
∫ 1
y
f(x, y, z) dx dy dz.
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