AD1 CIV 2013.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD1
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Prove que
I =
∫ 4
1
∫ ln 2
ln y
2
1
ex + 1
dx dy = 1− ln 2.
Questa˜o 2 [3,0 pts]: Passe para coordenadas polares e prove que
I =
∫ 1
0
∫ √2−x2
x2
90
√
x2 + y2 dy dx = 4
√
2 + 4 + 15
√
2pi.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Calcule o centro de massa de uma laˆmina que tem a forma do conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 ; x ≤ y ≤ x+ 1 e 0 ≤ x ≤ 1}, sendo que a densidade superficial num ponto e´
igual ao produto das suas coordenadas.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Calcule o volume do so´lido W dado por x2+ y2+ z2 ≤ a2 e z ≥ a
2
, (a > 0).