Lista de Exercícios de Cálculo I

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Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I - Func¸o˜es de uma varia´vel Real
1. Calcule cada expressa˜o sem usar uma calculadora:
(a) (−3)4
(b) −34
(c) 3−4
(d) 5
23
521
(e)
(
2
3
)−2
(f) 16
−3
4
2. Simplifique cada expressa˜o. Escreva suas respostas sem expoentes negativos.
(a)
√
200−√32
(b) (3a3b3)(4ab2)2
(c)
(
3x
3
2 y3
x2y
−1
2
)−2
3. Expanda e simplifique.
(a) 3(x+ 6) + 4(2x− 5)
(b) (x+ 3)(4x− 5)
(c) (
√
a+
√
b)(
√
a−√b)
(d) (2x+ 3)2
(e) (x+ 2)3
4. Fatore cada expressa˜o.
(a) 4x2 − 25
(b) 2x2 + 5x− 12
(c) x3 − 3x2 − 4x+ 12
(d) x4 + 27x
(e) 3x
3
2 − 9x 12 + 6x−12
(f) x3y − 4xy
5. Simplifique as expresso˜es racionais.
(a) x
2+3x+2
x2−x−2
(b) 2x
2−x−1
x2−9 .
x+3
2x+1
(c) x
2
x2−4 − x+1x+2
(d)
y
x
−x
y
1
y
− 1
x
6. Racionalize a expressa˜o e simplifique.
1
(a)
√
10√
5−2 (b)
√
4+h−2
h
7. Reescreva, completando o quadrado.
(a) x2 + x+ 1 (b) 2x2 − 12x+ 11
8. Resolva a equac¸a˜o. (Encontre apenas as soluc¸o˜es reais.)
(a) x+ 5 = 14− 1
2
x
(b) 2x
x+1
= 2x−1
x
(c) x2 − x− 12 = 0
(d) 2x2 + 4x+ 1 = 0
(e) x4 − 3x2 + 2 = 0
(f) 3|x− 4| = 10
(g) 2x(4− x)−12 − 3√4− x = 0
9. Estude o sinal da expressa˜o.
(a) 3x− 1
(b) 3− x
(c) 2− 3x
(d) x−1
x+2
(e) (2x− 1)(3− 2x)
(f) x(x− 3)
(g) (x− 1)(1 + x)(2− 3x)
(h) (2x− 1)(x2 + 1)
10. Resolva a desigualdade e exprima a soluc¸a˜o em termos de intervalos, quando poss´ıvel.
(a) 2x+ 5 < 3x− 7
(b) 3 ≤ 2x− 3
5
≤ 7
(c) x2 − x− 6 < 0
(d) x2 − 2x− 5 > 3
(e) x(3x− 1) ≤ 4
(f) |x+ 3| < 0, 01
(g) |3x− 7| ≥ 5
(h) | − 11− 7x| > 6
11. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o, utilizando transformac¸o˜es.
(a) y = 4x − 3
(b) y = 4x−3
(c) y = −2−2x
(d) y = 1 + 2ex
(e) y = 1− 1
2
e−x
(f) y = 2(1− ex)
2
12. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, escreva as equac¸o˜es correspondentes aos gra´ficos que
resultam ao
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
(c) refletir em torno do eixo x
(d) refletir em torno do eixo y
(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y
13. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, encontre as equac¸o˜es dos gra´ficos que resultam ao
(a) refletir em torno da reta y = 4
(b) refletir em torno da reta x = 2
14. Encontre o domı´nio de cada func¸a˜o
(a) f(x) =
x+ 1
x3 − 4x
(b) f(x) =
4x
6x2 + 13x− 5
(c) f(x) =
√
2x− 3
x2 − 5x+ 4
(d) f(x) =
√
4x− 3
x2 − 4
(e) f(x) =
1
1 + ex
(f) f(x) =
1
1− ex
(g) g(t) = et − 1
(h) g(t) =
√
1− 2t
15. Encontre a func¸a˜o exponencial f(x) = Cax cujo gra´fico e´ dado.
(a) (b)
16. Suponha que voceˆ receba uma oferta para trabalhar por apenas um meˆs. Qual das seguintes
formas de pagamentos voceˆ prefere?
3
(a) Um milha˜o de do´lares no fim do meˆs.
(b) Um centavo de do´lar no primeiro dia do meˆs, dois centavos no segundo dia, quatro no
terceiro dia, e em geral, 2n−1 centavos de do´lar no n-e´simo dia.
17. (a) O que e´ uma func¸a˜o injetora?
(b) A partir do gra´fico, como dizer se uma func¸a˜o e´ injetora?
18. (a) Seja f uma func¸a˜o injetora com domı´nio A e imagem B. Como e´ definida a func¸a˜o
inversa f−1? Qual o domı´nio de f−1 Qual e´ a imagem de f−1
(b) Se for dada uma fo´mula para f , como voceˆ pode encontrara´ um fo´rmula para f−1?
(c) Se for dado o gra´fico de f , como voceˆ encontrara´ o gra´fico de f−1?
19. A func¸a˜o f e´ dada pelo gra´fico. Determine se f e´ injetora.
(a)
(b)
(c)
(d)
20. A func¸a˜o f e´ dada pela expressa˜o. Determine se f e´ injetora.
(a) f(x) =
1
2
(x+ 5)
(b) f(x) = 1 + 4x− x2
(c) g(x) = |x|
(d) g(x) =
√
x
(e) f(t) e´ a altura de uma bola t segundos
apo´s ser chutada.
(f) f(t) e´ sua altura com t anos de idade.
21. Se f for uma func¸a˜o injetora tal que f(2) = 9, quanto e´ f−1(9)?
4
22. Se g(x) = 3 + x+ ex, ache g−1(4).
23. E´ dado o gra´fico de f .
(a) Por que f e´ injetora?
(b) Determine o domı´nio e a imagem de f−1.
(c) Qual o valor de f−1(2)?
(d) Obtenha uma estimativa para o valor de f−1(0)
24. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) =
√
10− 3x
(b) f(x) = ex
3
(c) y = 2x3 + 3
(d) y = ln(x+ 3)
25. Use o gra´fico dado de f para esboc¸ar o de f−1.
(a) (b)
26. (a) Como esta´ definida a func¸a˜o logar´ıtmica y = loga x?
(b) Qual o domı´nio dessa func¸a˜o?
(c) Qual a imagem dessa func¸a˜o?
5
(d) Esboce a forma geral do gra´fico da func¸a˜o y = loga x se a > 1.
27. Determine se f e´ par, ı´mpar ou nenhuma das duas.
(a) f(x) = 5x3 + 2x
(b) f(x) = |x| − 3
(c) f(x) = (8x3 − 3x2)3
28. Esboce o gra´fico de f(x) =

x+ 2, se x ≤ −1
x3, se |x| < 1
−x+ 3, se x ≥ 1
29. Dadas as func¸o˜es f(x) =
2x
2x− 4 e g(x) =
x
x+ 5
, determine (f + g)(x), (f − g)(x), (f/g)(x)
e os seus respectivos domı´nios.
30. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 − 3x e g(x) = √x+ 2, determine (f ◦ g)(x), (g ◦ f)(x) e os seus
respectivos domı´nios.
31. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o. Na˜o use calculadora.
(a) y = log10 (x+ 5)
(b) y = − lnx
(c) y = ln(−x)
(d) y = ln |x|
32. Determine o domı´nio de f e f−1 e seu domı´nio
(a) f(x) =
√
3− e2x (b) f(x) = ln(2 + lnx)
33. Esboce o gra´fico das func¸o˜es e determine o per´ıodo de cada uma.
(a) cos(pix)
(b) cos
(
x− pi
2
) (c) sen
(
x− pi
4
)
+ 1
(d) 2sen(x+ pi)− 1
6
Respostas
1. (a) 81
(b) −81
(c) 1
81
(d) 25
(e) 9
4
(f) 1
8
2. (a) 6
√
2 (b) 48a5b7 (c) x
9y7
3. (a) 11x− 2
(b) 4x2 + 7x− 15
(c) a− b
(d) 4x2 + 12x+ 9
(e) x3 + 6x2 + 12x+ 8
4. (a) (2x− 5)(2x+ 5)
(b) (2x− 3)(x+ 4)
(c) (x− 3)(x− 2)(x+ 2)
(d) x(x+ 3)(x2 − 3x+ 9)
(e) 3x
−1
2 (x− 1)(x− 2)
(f) xy(x− 2)(x+ 2)
5. (a) x+2
x−2
(b) x−1
x−3
(c) 1
x−2
(d) −(x+ y)
6. (a) 5
√
2 + 2
√
10 (b) 1√
4+h+2
7. (a)
(
x+ 1
2
)2
+ 3
4
(b) 2(x− 3)2 − 7
8. (a) 6
(b) 1
(c) −3, 4
(d) −1± 1
2
√
2
(e) ±1,±√2
(f) 2
3
, 22
3
(g) 12
5
9. (a) 3x− 1 > 0 para x > 1
3
, 3x− 1 < 0 para x < 1
3
e 3x− 1 = 0 para x = 1
3
.
(b) 3− x > 0 para x < 3, 3− x < 0 para x > 3 e 3− x = 0 para x = 3.
(c) 2− 3x > 0 para x < 2
3
, 2− 3x < 0 para x > 2
3
e 2− 3x = 0 para x = 2
3
.
(d)
(e) (2x − 1)(3 − 2x) < 0 para x < 1
2
ou x > 3
2
, (2x − 1)(3 − 2x) > 0 para 1
2
< x < 3
2
e
(2x− 1)(3− 2x) = 0 para x = 1
2
ou x = 3
2
.
(f) (2x− 1)(x2 + 1) > 0 para x > 1
2
, (2x− 1)(x2 + 1) < 0 para x < 1
2
e (2x− 1)(x2 + 1) = 0
para x = 1
2
10.
7
(12,∞)
(a)(b) [9, 19]
(c) (−2, 3)
(d) (−∞,−2) ∪ (4,∞)
(e) [−1, 4
3
]
(f) (−3, 01,−2, 99)
(g) (−∞, 2
3
] ∪ [4,∞)
(h) (−∞, −17
7
) ∪ (−5
7
,∞)
11. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
12. (a) y = ex − 2
(b) y = ex−2
(c) y = −ex
(d) y = e−x
(e) y = −e−x
13. (a) 8− ex (b) e−x+4
14. (a) D(f) = {x ∈ R | x 6= 0, x 6= 2 e
x 6= −2}.
(b) D(f) = {x ∈ R | x 6= 1
3
e x 6= −5
2
}
(c) D(f) = {x ∈ R | x ≥ 3
2
e x 6= 4}
(d) D(f) = {x ∈ R | x ≥ 3
4
e x 6= 2}
(e) (−∞,+∞)
(f) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(g) (−∞,+∞)
(h) (−∞, 0]
8
15. (a) f(x) = 3.2x
(b) f(x) = 2.
(
1
3
)x
16. b) 17.
18.
19. (a) injetora
(b) na˜o e´ injetora
(c) na˜o e´ injetora
(d) injetora
20. (a) injetora
(b) na˜o e´ injetora
(c) na˜o e´ injetora
(d) injetora
(e) na˜o e´ injetora
(f) na˜o e´ injetora
21. f−1(9) = 2
22. g−1(4) = 0
23. -
24. (a) f−1 = −1
3
x2 + 10
3
, x ≥ 0
(b) f−1 = 3
√
lnx
25. a) b)
26. (a) E´ definida como a inversa da func¸a˜o exponencial com base a, isto e´,loga x = y ⇐⇒
ay = x
(b) (0,∞) (c) R (d) -
27. (a) ı´mpar (b) par (c) nem pare nem ı´mpar
9
28.
29. (f + g)(x) =
4x2 − 4x+ 10
2x2 + 6x− 20, D(f + g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
(f − g)(x) = 10− 4x
2x2 + 6x− 20, D(f − g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
(f/g)(x) =
2x+ 10
2x− 4 , D(f/g) = (−∞,−5) ∪ (−5, 2) ∪ (2,∞)
30. (f ◦ g)(x) = x+ 2− 3√x+ 2, D(f ◦ g) = [−2,∞)
(g ◦ f)(x) = √x2 − 3x+ 2, D(g ◦ f) = (−∞, 1] ∪ [2,∞)
31. (a)
(b)
(c)
(d)
32. (a) Domf = (−∞, 1
2
ln3], f−1(x) = 1
2
ln(3− x2), Domf−1 = [0,√3)
(b) -
33. (a)
(b)
(c)
(d)
10