Derivada das funções logaritimicas e exponenciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Roteiro 3: DERIVADA DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 
 
FUNÇÕES INVERSAS 
Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma 
da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. 
A ideia de resolver uma equação y = f (x) para x como uma função de y, digamos x = g(y), é 
uma das ideias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um 
processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a equação 
𝑦 = 𝑥3 + 1 
 
está explicita para 𝑦 como uma função de 𝑥 (y = f (x)), mas pode ser resolvida para x como 
uma função de y (x = g (y)): 
𝑥 = √𝑦 − 1
3
 
 
A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para 
calcular x se y for conhecido: 
 
 
 
O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções f e 
g, quando uma função y=f(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo, 
consideremos as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 e 𝑔(𝑦) = √𝑦 − 1
3
 discutidas acima. Quando funções 
forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que 
 
A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x)) é 
igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y)) é igual à entrada. 
Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma 
terminologia específica para elas. 
 
Se as funções f e g satisfazem as duas condições: 
 g(f(x)) = x para todo x no domínio de f 
 f(g(y)) = y para todo y no domínio de g 
então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g 
uma inversa de f. 
 
Exemplo 
Confirme cada um dos seguintes itens. 
(a) A inversa de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 é 𝑓−1(𝑥) =
1
2
𝑥 
(b) A inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 é 𝑓−1(𝑥) = 𝑥
1
3⁄ 
 
 
OBSERVAÇÃO: O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente, uma vez que as 
operações de multiplicar por 2 e multiplicar por 
1
2
 em qualquer ordem cancelam uma o efeito 
da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica. 
 
 
UM MÉTODO PARA ACHAR INVERSAS 
Exemplo: Ache a inversa de 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2 
Solução. Podemos achar uma fórmula para 𝑓−1(𝑦) resolvendo a equação 𝑦 = √3𝑥 − 2 para x 
como uma função de y: 
 
da qual tem-se que 
 
 
Falta verificar se o domínio natural associado é o domínio completo para 𝑓−1(𝑦). Para 
determinar se isto é o que acontece, deve-se examinar a imagem de y = f (x) =√3𝑥 − 2. A 
imagem consiste de todos os y no intervalo [
2
3
, ∞), assim este intervalo é também o domínio 
de 𝑓−1(𝑦), logo a inversa de f é dada pela fórmula 
𝑓−1(𝑦) =
1
3
(𝑦2 + 2), 𝑦 ≥
2
3
 
 
OBSERVAÇÃO: Quando uma fórmula para 𝑓−1 for obtida resolvendo-se a equação y = f(x) 
para x como uma função de y, a fórmula resultante tem y como a variável independente. Se for 
preferível ter x como a variável independente para 𝑓−1, então há duas formas: pode-se 
resolver y = f(x) para x com uma função de y, e então substituir y por x na fórmula final para 
𝑓−1, ou então pode-se trocar x e y na equação original e resolver a equação x = f(y) para y em 
termos de x. Neste caso a equação final será y = 𝑓−1(𝑥). 
 
GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS 
Pretende-se explorar as relações entre os gráficos de f e 𝑓−1. Com esse propósito, será 
desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, o que significa 
estarmos comparando os gráficos de y = f(x) e y = 𝑓−1(x). 
 
Se (a,b) for um ponto no gráfico y = f(x), então b = f(a). Isto é equivalente à 
afirmativa que a = 𝑓−1(b), a qual significa que (b,a) é um ponto no gráfico de y = 𝑓−1(x). 
Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de f produz um ponto no 
gráfico de 𝑓−1. Analogamente inverter as coordenadas de um ponto no gráfico de 𝑓−1produz 
um ponto no gráfico de f. 
O efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refletir aquele ponto 
sobre a reta y = x, e logo os gráficos de y = f(x) e y = 𝑓−1(x) são reflexões um do outro em 
relação a esta reta. 
 
 
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES TÊM INVERSAS 
Se o gráfico da função f for sempre crescente ou sempre decrescente sobre o domínio 
de f, então este gráfico pode ser cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal e, 
consequentemente, a função f deve ter uma inversa. Uma forma de dizer se o gráfico de uma 
função é crescente ou decrescente em um intervalo é pelo exame das inclinações de suas retas 
tangentes. O gráfico de f deve ser crescente em qualquer intervalo, onde f '(x)>0 (uma vez que 
as retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer intervalo onde 
f '(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação negativa). 
 
 
Exemplo: O gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 + 1 é sempre crescente em (−∞, ∞), uma vez que 
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 + 1 > 0 para todo x. 
Contudo, não há maneira fácil de resolver a equação 𝑦 = 𝑥5 + 𝑥 + 1 para x em termos de y; 
mesmo sabendo que f tem uma inversa, não podemos produzir uma fórmula para ela. 
 
 
OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade de achar uma 
fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é necessário que se desenvolvam 
formas de achar propriedades de funções, as quais não têm fórmula explícita para se trabalhar 
com elas. 
 
 
Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta 
computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então 
inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os 
logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta 
aplicação na matemática e na ciência. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição: Seja 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Existe uma única função 𝑓, definida e contínua 
em ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ 
 
Propriedades: Sejam 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑥 e 𝑦 reais quaisquer, então: 
(1) 𝑎𝑥𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 
(2) (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥𝑦 
(3) (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 
(4) Se 𝑎 > 1 e 𝑥 < 𝑦, então 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 
(5) Se 0 < 𝑎 < 1 e 𝑥 < 𝑦, então 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 
 
Observação: Das propriedades (4) e (5), tem-se: 
1. A função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 1, é estritamente crescente em ℝ; 
2. A função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 0 < 𝑎 < 1, é estritamente decrescente em ℝ. 
 
 
 
 
Exemplos: Esboce o gráfico de: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b)𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
 
 
A função exponencial de base 𝑒 
(𝑒 ≈ 2,718281), 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 tem um papel 
importante no cálculo diferencial e 
integral. Como 𝑒 > 1, o gráfico de 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 tem o seguinte aspecto: 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Definição: Chamamos de função logarítmica qualquer função de ℝ+
∗ em ℝ definida por: 
  xxf alog
 
com a > 0 e a ≠ 1. 
 
Observações: 
 
baxb xa log
 
 Se a base 
1a
, a função é crescente 
 Se a base 
10  a
, a função é decrescente. 
 
 
 
Propriedades de logaritmos: 
1. 
01log a
 
2. 
1log aa
 
3. 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 
4. 
cbbc aaa logloglog 
 
5. 
cb
c
b
aaa logloglog 
 
6. 
bnb a
n
a loglog 
 
7. 
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
 (mudança de base) 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
Exemplo: Sendo 𝑥 ∈ ℝ+
∗ , esboce o gráfico da função 
  xxf 2log
. Dê o domínio e a 
imagem dessa função. 
 
Exemplo: Sendo𝑥 ∈ ℝ+
∗ , esboce o gráfico da função 
  xxf
2
1log
. Dê o domínio e a 
imagem dessa função. 
 
Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 
chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita 
para a base e escrever log 𝑥 e não log10 𝑥. Mais recentemente, os logaritmos de base dois 
desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem 
naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas 
aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em 
homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos 
logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. 
 
Observação: O logaritmo na base 𝑒 é indicado por ln = log𝑒 . Assim 
y = ln 𝑥 ⇔ 𝑒𝑦 = 𝑥 
 
 
O NÚMERO e COMO LIMITE 
Esta constante 𝑒 ≈ 2, 718282 surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação 
𝑦 = (1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
Os valores de (1 +
1
𝑥
)
𝑥
aproximam-se a e, como mostra a tabela: 
X (1 +
1
𝑥
) (1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
1 2 2,000000 
10 1,1 2,593742 
100 1,01 2,704814 
1000 1,001 2,716924 
10.000 1,0001 2,718146 
100.000 1,00001 2,718268 
1.000.000 1,000001 2,718280 
 
O fato de que y = e, quando 𝑥 → ±∞ é expresso pelo limite 
𝑒 = lim
𝑥→±∞
 (1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
 
Ou, equivalentemente, fazendo ℎ =
1
𝑥
, temos que ℎ → 0 quando 𝑥 → ±∞, então: 
𝑒 = lim
ℎ→0
 (1 + ℎ)
1
ℎ 
 
Demonstração: 
Suponha que 𝑓(𝑥) = ln𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 1/𝑥. Assim 𝑓′(1) = 1. Agora, usamos esse 
fato para expressar o número e como um limite. 
 
Da definição de derivada como limite, temos 
 
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
fhf
f
1
0
0
0
0
0
)1ln(lim
)1ln(
1
lim
)1ln(
lim
)1ln()1ln(
lim
)1()1(
lim)1('













 
 
Como 
)1('f
=1, temos 
h
h
h
1
0
)1ln(lim 

=1 
 
Observando que 
h
h
h
h
h
heeee
h
h
h
1
0
)1ln(
0
)1ln(lim
1 )1ln(limlim
1
1
0 





 
 
Portanto 
h
h
he
1
0
)1ln(lim 

 
 
Observação: A função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é chamada de função exponencial natural. 
Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, a 
relação 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥𝑒𝑦 pode ser expressa como exp(𝑥 + 𝑦)= exp(𝑥) exp(𝑦). 
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função 𝑒𝑥com 
alguma variação do comando EXP. 
 
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE 
 Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma 
y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de 
x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as 
funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, 
a equação 
𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 
não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma 
vez se pode reescrever como 
𝑦 = 
𝑥 − 1
𝑥 + 1
 
 
Assim dizemos que 𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 define y implicitamente como uma função de 
x, sendo 
𝑓(𝑥) = 
𝑥 − 1
𝑥 + 1
 
 
Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por 
exemplo, se resolvermos a equação 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
para y em termos de x, obtemos 𝑦 = ±√1 − 𝑥2; assim, encontramos duas funções que estão 
definidas implicitamente por 𝑥2 + 𝑦2 = 1, isto é 
𝑓1(𝑥) = √1 − 𝑥2 e 𝑓2(𝑥) = −√1 − 𝑥2 
 
Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
 
 𝑦 = √1 − 𝑥2 
 
𝑦 = −√1 − 𝑥2 
 
Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que 
passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. 
Assim fazemos a seguinte definição: 
 
Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o 
gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação. 
Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x. 
Como exemplo temos a equação 𝑥3 + 𝑦3 = 3𝑥𝑦 que pode ser resolvida para y em termos de 
x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a 
equação sen(xy) = y não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método 
elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, 
pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções. 
 
 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de 
diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação 
xy = 1 
Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como 𝑦 =
1
𝑥
 da qual tem-se que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2
 
Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada: podemos diferenciar ambos os lados 
de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado 
temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥𝑦] =
𝑑
𝑑𝑥
[1] 
(
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥]) 𝑦 + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦] = 0 
𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
 
 
Se agora substituirmos 𝑦 =
1
𝑥
 na última expressão, obtemos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2
 
 
Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita. 
 
Exemplo: Use a diferenciação implícita para mostrar que a derivada de 5𝑦2 + sen𝑦 = 𝑥2 é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
10𝑦+cos𝑦
 
 
Note que esta fórmula envolve ambos x e y. A fim de obter uma fórmula para dy/dx que 
envolva apenas x, teríamos que resolver a equação original para y em termos de x e, então, 
substituir em 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
10𝑦+cos𝑦
. Entretanto, isto é impossível de ser feito; assim, somos forçados 
a deixar a fórmula dy/dx em termos de x e y. 
 
Exemplo: Seja a equação 4𝑥2 − 2𝑦2 = 9, mostre que em 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= −
9
𝑦3
. 
Nos Exemplos, os resultados das fórmulas para dy/dx envolvem ambos x e y. Embora seja 
usualmente mais desejável ter a fórmula para dy/dx expressa somente em termos de x, ter a 
fórmula em termos de x e y não é um impedimento para achar as inclinações e as equações 
das retas tangentes, desde que as coordenadas x e y do ponto de tangência sejam conhecidas. 
 
 
DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 
Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais. 
 
 DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado 
diferenciando 
xblog
, onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que 
xblog
é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Usando a definição de derivada, 
obtemos: 
𝑑
𝑑𝑥
[log𝑏 𝑥] = lim
ℎ→0
log𝑏(𝑥 + ℎ) − log𝑏 𝑥
ℎ
 
 = lim
ℎ→0
1
ℎ
log𝑏 (
𝑥 + ℎ
𝑥
) 
 = lim
ℎ→0
1
ℎ
log𝑏 (1 +
ℎ
𝑥
) 
 
Fazendo 𝑣 =
ℎ
𝑥
, temos que ℎ = 𝑣𝑥 e quando ℎ → 0 temos que 𝑣 → 0 
𝑑
𝑑𝑥
[log𝑏 𝑥] = lim
𝑣→0
1
𝑣𝑥
log𝑏(1 + 𝑣) 
 = lim
𝑣→0
1
𝑥
log𝑏(1 + 𝑣)
1
𝑣 
=
1
𝑥
lim
𝑣→0
log𝑏(1 + 𝑣)
1
𝑣 
=
1
𝑥
log𝑏 lim𝑣→0
(1 + 𝑣)
1
𝑣 
 =
1
𝑥
log𝑏 𝑒 
 
Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
[log𝑏 𝑥] =
1
𝑥
log𝑏 𝑒 com 𝑥 > 0 
 
Mas como log𝑏 𝑒 = 
1
ln𝑏
 , temos: 
𝑑
𝑑𝑥
[log𝑏 𝑥] =
1
𝑥ln𝑏
 com 𝑥 > 0 
 
 
 
No caso especial onde b = e, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
[ln𝑥] =
1
𝑥
 com 𝑥 > 0 
 
 
Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada 
para log𝑏 𝑥. Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre 
todos os logaritmos no cálculo. 
 
Exemplo: Mostre que 
𝑑
𝑑𝑥
[ln (𝑥2 + 1)] =
2𝑥
𝑥2+1
 
 
 
Observação: Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para 
converter produtos, quocientes e expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de 
constantes, antes de diferenciar uma função envolvendo logaritmos. 
 
Exemplo: Mostre que 
𝑑
𝑑𝑥
[ln 
𝑥2sen𝑥
√1+𝑥
] =
2
𝑥
+ cotg𝑥 −
1
2(1+𝑥)
 
 
 
 DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA 
Consideremos agora uma técnica chamada diferenciação logarítmica, a qual é útil para 
diferenciar funções compostas de produtos, de quocientes e de potências. 
 
Exemplo: A derivada de 𝑦 =
𝑥2 √7𝑥−14
3
(1+𝑥2)4
 é relativamente difícil de ser calculada diretamente. 
Contudo, se primeiro tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados e, então, usarmos suas 
propriedades, podemos escrever: 
ln𝑦 = 2ln𝑥 +
1
3
ln(7𝑥 − 14) − 4ln (1 + 𝑥2) 
 
Diferenciando ambos os lados em relação a x, resulta 
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
𝑥
+
1
3(𝑥 − 2)
−
8𝑥
1 + 𝑥2
 
 
Assim, resolvendo para dy/dx e usando 𝑦 =
𝑥2 √7𝑥−14
3
(1+𝑥2)4
 obtemos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2 √7𝑥 − 14
3
(1 + 𝑥2)4
(
2
𝑥
+
1
3(𝑥 − 2)
−
8𝑥
1 + 𝑥2
) 
 
OBSERVAÇÃO: Uma vez que 1n y é definido apenas para y > 0, a diferenciação logarítmica 
de y = f(x) é válida apenas nos intervalos onde f(x) for positiva. Assim, a derivada mostrada 
no exemplo é válida no intervalo ( 2, + ∞ ), uma vez que a função dada é positiva para x > 2. 
Contudo, a fórmula é realmente válida também no intervalo ( – ∞, 2). Isso pode ser visto 
tomando-se valores absolutos antes de prosseguir com a diferenciação logarítmica e notando 
que ln|𝑦| está definido para todo y exceto em y = 0. Se fizermos isso e simplificarmos usando 
as propriedades de logaritmos e dos valores absolutos, obteremos 
ln|𝑦| = 2ln|𝑥| +
1
3
ln|7𝑥 − 14| − 4ln |1 + 𝑥2| 
 
Diferenciando ambos os lados em relação a x dá lugar a 
1
|𝑦|
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
|𝑥|
+
1
3|𝑥 − 2|
−
8𝑥
|1 + 𝑥2|
 
 
e, portanto, resulta em 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= |
𝑥2 √7𝑥 − 14
3
(1 + 𝑥2)4
| (
2
|𝑥|
+
1
3|𝑥 − 2|
−
8𝑥
|1 + 𝑥2|
) 
 
Em geral, se a derivada de y = f(x) for obtida por diferenciação logarítmica, então a mesma 
fórmula para dy/dx resultará tomando-se ou não, primeiro, valores absolutos. Assim, uma 
fórmula da derivada obtida por diferenciação logarítmica será válida, exceto nos pontos onde 
f(x) for zero. A fórmula pode ser válida também naqueles pontos, mas não é garantido. 
 
 DERIVADAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Para obter uma fórmula para a derivada de funções exponenciais 𝑦 = 𝑏𝑥 
reescrevemos esta equação como 𝑥 = log𝑏 𝑦 e diferenciamos implicitamente usando 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥] =
𝑑
𝑑𝑥
[ log𝑏 𝑦] 
para obter 
1 =
1
𝑦ln𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
que podemos reescrever como 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦ln𝑏 
Usando o fato de que 𝑦 = 𝑏𝑥, temos 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑏𝑥] = 𝑏𝑥ln𝑏 
Assim, se 𝑏𝑥 for uma função diferenciável, então sua derivada em relação a x é 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑏𝑥] = 𝑏𝑥ln𝑏 
No caso especial onde b = e e como ln𝑒 = 1, temos 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑥] = 𝑒𝑥 
 
Além disso, se u for uma função diferenciável de x, então tem-se a partir de 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑏𝑥] = 𝑏𝑥ln𝑏 e 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑥] = 𝑒𝑥 que 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑏𝑢] = 𝑏𝑢ln𝑏 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 e 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑢] = 𝑒𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
OBSERVAÇÃO: É importante distinguir entre diferenciar 𝑏𝑥 (expoente variável e base 
constante) e 𝑥𝑛 (base variável e expoente constante). 
 
 
Exemplo: Calcule as derivadas a seguir: 
a) 
𝑑
𝑑𝑥
[2sen𝑥] 
 
b) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒−2𝑥] 
 
c) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑥
3
] 
 
d) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒cos (𝑥
2−3)]
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções 
trigonométricas são conhecidas. Problemas deste tipo envolvem a computação de funções 
arco, tais como arcsen x (ou sen−1𝑥), arccos x (ou cos−1𝑥), arctg x (ou tg−1𝑥), e assim por 
diante. Consideremos esta ideia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de 
desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas. 
 
 IDENTIDADES PARA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
Se interpretarmos sen−1𝑥 como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se 
esse ângulo for não negativo, então podemos representar sen−1𝑥 como um ângulo em um 
triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de 
sen−1𝑥 tem comprimento x. 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo sen−1𝑥 tem comprimento 
√1 − 𝑥2. Além disso, a ângulo oposto a sen−1𝑥 é cos−1𝑥, uma vez que o cosseno daquele 
ângulo é x. 
 
 
Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas 
que são válidas para 𝑥 ∈ [−1,1]. 
 
Por exemplo: 
a) sen−1𝑥 + cos−1𝑥 =
𝑥
2
 
b) cos(sen−1𝑥) = √1 − 𝑥2 
c) sen(cos−1𝑥) = √1 − 𝑥2 
d) tg(sen−1𝑥) =
𝑥
√1−𝑥2
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é 
compreender o método usado para obtê-las. 
 
Exemplo 
A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de 𝑦 = sen−1(sen𝑥). Pode se 
pensar que este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que sen−1(sen𝑥) = 𝑥. Por que isto não 
acontece? 
 
Solução 
A relação sen−1(sen𝑥) = 𝑥 é válida no intervalo −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
; logo podemos dizer, 
com certeza, que os gráficos de y = sen−1(sen𝑥) e y = x coincidem neste intervalo. 
Contudo, fora deste intervalo, a relação sen−1(sen𝑥) = 𝑥 não precisa ser válida. Por 
exemplo, se estiver no intervalo 
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
3𝜋
2
, então a quantidade 𝑥 − 𝜋 estará no 
intervalo[−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. Assim 
 sen−1(sen(𝑥 − 𝜋)) = 𝑥 − 𝜋 
 
Desta forma, usando a identidade sen(𝑥 − 𝜋) = −sen𝑥 e o fato de que sen−1𝑥 é uma função 
ímpar, podemos expressar sen−1(sen𝑥) como 
 sen−1(sen𝑥) = sen−1(−sen(𝑥 − 𝜋)) = − sen−1(sen(𝑥 − 𝜋)) = −(𝑥 − 𝜋) 
 
Isso mostra que no intervalo 
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
3𝜋
2
, o gráfico de 𝑦 = sen−1(sen𝑥) coincide com a reta 
𝑦 = −(𝑥 − 𝜋), a qual tem inclinação −1 e um intercepto x em x = π, o que está de acordo 
com o gráfico. 
 
 
 
 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
As fórmulas de derivação das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas 
através da diferenciação implícita. 
Assim, para 𝑦 = sen−1𝑥, reescrevemos esta equação como 𝑥 = sen𝑦 e 
diferenciamos implicitamente: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥] =
𝑑
𝑑𝑥
[sen𝑦] 
1 = cos𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
cos𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
cos (sen−1𝑥)
 
 
Que pode ser simplificada aplicando-se a fórmula cos(sen−1𝑥) = √1 − 𝑥2, 
resultando: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
√1 − 𝑥2
 
 
 
Assim, mostramos que 
𝑑
𝑑𝑥
[sen−1𝑥] =
1
√1 − 𝑥2
 
 
 
Se u for uma função diferenciável de x, então𝑑
𝑑𝑥
[sen−1𝑥] =
1
√1−𝑥2
 e a regra da cadeia 
produzem a seguinte fórmula generalizada da derivada 
𝑑
𝑑𝑥
[sen−1𝑢] =
1
√1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
 
Do mesmo modo, pode-se obter as fórmulas generalizadas de derivadas para outras 
funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1< u < 1, são: 
 
𝑑
𝑑𝑥
[cos−1𝑢] =
−1
√1−𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
[tg−1𝑢] =
1
1+𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
[cotg−1𝑢] =
−1
1+𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
[sec−1𝑢] =
1
|𝑢|√𝑢2−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑
𝑑𝑥
[cossec−1𝑢] =
−1
|𝑢|√𝑢2−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥