CálculoIIITesteAem2009208deSetembro - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
60324 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Teste do Grau A – 2009/2 – Prof.
Roge´rio
Nomes: e
1. Encontre uma fo´rmula simples para Sn em func¸a˜o de n e determine se a se´rie converge ou diverge.
Caso convirja, encontre a sua soma.
+∞∑
k=1
1
(k + 8)(k + 9)
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
Caso convirja, calcule a soma da se´rie.
(a)
+∞∑
n=3
[
5
n
− 2 ·
(
3
4
)n]
(b)
+∞∑
n=0
[0, 1 · (0, 2)n + 0, 3 · (0, 4)n]
(c)
+∞∑
n=0
5n
36n+ 216
3. A figura mostra os QUATRO primeiros quadrados de uma sequeˆncia infinita de quadrados.
O quadrado externo tem lado igual a L. Cada um dos quadrados e´ obtido ligando-se os pontos
me´dios dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das a´reas de todos os quadrados da
sequeˆncia infinita.
4. Crie uma se´rie geome´trica da forma
+∞∑
k=2
aqk, de modo que a sua soma seja igual a 2009.
5. Expresse a d´ızima perio´dica 8, 09 200092000920009... = 8, 09 20009 como a raza˜o de dois inteiros.
6. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
+∞∑
n=1
an e´ igual a Sn = 2− 1
n+ 1
, encontre an e
+∞∑
n=1
an.
Sugesta˜o: Lembre que a1 = S1 e an = Sn − Sn−1, para n ≥ 2.
Valor de cada Questa˜o: 1. 0,5 2. 1,5 3. 0,6 4. 0,5 5. 0,4 6. 0,5.