CálculoIIITesteAem20110404 - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97954 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Teste do Grau A – 2011/1 – Prof. Roge´rio
Nomes: e
1. Encontre uma fo´rmula simples para Sn em func¸a˜o de n e determine se a se´rie converge ou diverge.
Caso convirja, encontre a sua soma.
+∞∑
k=3
1
(k + 4)(k + 5)
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a sua resposta.
Caso convirja, calcule a soma da se´rie.
(a)
+∞∑
k=1
[
5
k
− 2 ·
(
3
4
)k]
(b)
+∞∑
k=2
[
0, 4 · (0, 4)k + 1, 9 · (0, 9)k]
3. A figura mostra os QUATRO primeiros quadrados de uma sequeˆncia infinita de quadrados.
O quadrado externo tem lado igual a L. Cada um dos quadrados e´ obtido ligando-se os pontos
me´dios dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das a´reas de todos os quadrados da
sequeˆncia infinita.
4. Sabendo que
+∞∑
k=1
1
k2
=
pi2
6
, obtenha o valor da soma
+∞∑
k=3
1
k2
.
5. Considere a se´rie geome´trica
+∞∑
n=0
2nx−n .
(a) Encontre os valores de x para os quais a se´rie acima converge.
(b) Em seguida, encontre a soma da se´rie (como uma func¸a˜o de x).
(c) Encontre o valor de x de modo que a soma seja igual a ........
6. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
+∞∑
n=1
an e´ igual a Sn = 2− 1
3n
, encontre an e
+∞∑
n=1
an.
Sugesta˜o: Lembre que a1 = S1 e an = Sn − Sn−1, para n ≥ 2.
Valor de cada Questa˜o: 1. 0,4 2. 1,0 3. 0,4 4. 0,3 5. 0,9 6. 0,4.