calculo para fisica engenharias

Prévia do material em texto

Leandro Tomaz de Araujo &
Andrea Luiza G. Martinho
Ca´lculo para F´ısica
e Engenharias
CB
A
Rio100m
1000m
Volume 1
UFRRJ-2017
2
Suma´rio
1 Conjuntos, Func¸o˜es e Trigonometria 4
1.1 Conjuntos Nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Func¸o˜es de uma Varia´vel real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Definic¸a˜o de Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Func¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Func¸a˜o definida por va´rias sentenc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Func¸a˜o exponencial e logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Limites de func¸o˜es de uma u´nica varia´vel 33
2.1 Noc¸o˜es Intuitivas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Propriedades de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Teorema do Confronto ou Teorema do Sandu´ıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Func¸o˜es Cont´ınuas 45
3.1 Definic¸a˜o de Continuidade de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Propriedades Operato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Limites de Func¸o˜es Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Compostas de Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 A Derivada 51
4.1 Motivac¸a˜o para Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Definic¸a˜o de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Fo´rmulas de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Derivada Impl´ıcita das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Regras de L’Hospital 74
5.1 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Regra de L’ Hospital (1661 - 1704) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Taxas Relacionadas 86
6.1 Derivada como Taxa de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1
2
7 Esboc¸o de Graficos 89
7.1 Func¸o˜es Crescente e Func¸o˜es Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Concavidade e Pontos de Inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3 Ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Aplicac¸o˜es ao Esboc¸o de Gra´ficos de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Ma´ximos e Minimos 103
8.1 Ma´ximos e Mı´nimos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Determinac¸a˜o de Ma´ximos e Mı´nimos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3 Ma´ximos e Mı´nimos Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.4 Otimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9 Integrais Indefinidas 113
9.1 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Integrac¸a˜o Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3 Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.4 Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10 Me´todos de Integrac¸a˜o 133
10.1 Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o Trigonome´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.2 Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11 Integrac¸a˜o Definida 142
11.1 Motivac¸a˜o Geome´trica para Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.2 Interpretac¸a˜o F´ısica da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.3 Definic¸a˜o da Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.4 Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.5 Ca´lculo de A´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Refereˆncias Bibliogra´ficas 156
Prefacio
Estas notas de Aula e´ uma versa˜o reorganizada do Lic¸o˜es de Ca´lculo Diferencial e Integral, volume 1
dedicada aos cursos de F´ısica e Engenharias; e surgiram das disciplinas de Ca´lculo 1 e Matema´tica 1
ministrada pelos autores nos anos de 2009, 2011 e 2012 na Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.
No capitulo 1 apresentaremos uma revisa˜o ba´sica de Func¸o˜es de uma u´nica varia´vel e usaremos
esses conhecimentos adquiridos para apresentar o conceito de Limite e continuidade. A exposic¸a˜o sobre
aplicac¸o˜es de derivada foi fragmentada em va´rios cap´ıtulos o que facilitara´ o estudo por partes dos alunos,
e tambe´m mostrara´ a importaˆncia de cada assunto. Alguns dos teoremas importantes do Ca´lculo 1 como
o Teorema do Valor Intermedia´rio e o teorema do Valor Me´dio para derivadas e integrais foram reunidas
em um apeˆndice.
Finalmente, os autores deixam aqui registrado o agradecimento aos professores do Departamento de
Matema´tica.
Serope´dica, os autores
3
1
Conjuntos, Func¸o˜es e Trigonometria
1.1 Conjuntos Nume´ricos
Conjuntos dos Naturais
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Conjuntos dos Inteiros
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
Conjuntos dos Racionais
Q =
{
p
q
: p, q ∈ Z, q 6= 0
}
Para os nu´meros racionaispodemos fazer o seguinte diagrama, que indica a representac¸a˜o decimal:
racionais
ր
ց
inteiros
fraciona´rios րց
decimal
exato
d´ızima
perio´dica
☞ Exemplo 1.1. Observe a representac¸a˜o decimal dos seguintes nu´meros:
• 6
2
= 3 ;
5
1
= 5
• 7
2
= 3, 5 ;
1
2
= 0, 5
• 1
3
= 0, 333 . . . ;
8
7
= 1, 14285 . . .
Nu´meros Reais
Os nu´meros racionais podem ser representados por pontos de uma reta numerada. Observe que todo
r ∈ Q e´ um ponto da reta; entretanto, nem todo ponto da reta e´ racional.
☞ Exemplo 1.2.
√
2 na˜o e´ racional, mas existe um ponto na reta que o representa, conforme podemos
observar na figura abaixo:
4
1.1. CONJUNTOS NUME´RICOS 5
�
�
�
��
1
1
√
2
Pelo Teorema de Pita´goras
x2 = 12 + 12 =⇒ x2 = 2 =⇒ x =
√
2
Lema 1.1 (Lema de Pita´goras). Na˜o existe x ∈ Q tal que x2 = 2 (isto e´, √2 /∈ Q).
Demonstrac¸a˜o. Suponha que
√
2 ∈ Q enta˜o existe a, b ∈ Z que na˜o possuem fatores em comum tal que
a
b
=
√
2⇒ a
2
b2
= 2⇒ a2 = 2b2 ⇒ a2 e´ par⇒ a e´ par.
Escreva a = 2m (m ∈ Z), temos:
a2 = 2b2 ⇒ (2m)2 = 2b2 ⇒ 4m2 = 2b2 ⇒ 2m2 = b2 ⇒ b2 e´ par⇒ b e´ par.
Logo, a e b sa˜o pares. Absurdo, pois a e b na˜o tem fatores em comum, enta˜o
√
2 /∈ Q.
Assim podemos observar que ha´ pontos na reta que na˜o representam nu´meros racionais. A esses
pontos associamos os nu´meros irracionais. De modo geral, toda raiz na˜o exata bem como todo nu´mero
decimal na˜o exato e na˜o perio´dicos sa˜o irracionais. O conjunto dos nu´meros reais e´ o conjunto formado
por todos os nu´meros racionais e irracionais, ou seja
R = Q ∪ (R−Q)
O diagrama abaixo mostra a relac¸a˜o dos conjuntos estudados.
N Z
Q
R
R−Q
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Pelo que vimos, cada r ∈ R corresponde um P da reta, e cada ponto P da reta corresponde um n ∈
R. (r ↔ P ).
0
Em palavras, a reta real na˜o apresenta buracos e nem falhas; essa e´ uma importante propriedade dos
nu´meros reais.
Intervalos Reais
Sejam a, b ∈ R com a < b. Um intervalo em R e´ um subconjunto de R determinado por desigualdades.
Intervalos Limitados:
1. Intervalo Aberto
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}
2. Intervalo Fechado
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
3. Intervalo aberto a` esquerda e fechado a` direita.
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
6 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
4. Intervalo fechado a` esquerda e aberto a` direita.
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
Nota 1.1. Os nu´meros reais a e b sa˜o denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior
do intervalo.
Intervalos Ilimitados:
• [−∞, a[= {x ∈ R : x < a}
• ]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
• [b,+∞[= {x ∈ R : x ≥ b}
• ]b,+∞[= {x ∈ R : x > b}
• ]−∞,+∞[= R
✍ Exerc´ıcio 1.1. Descrever, usando a notac¸a˜o de conjuntos, os seguintes intervalos:
1. [−2, 7]
2. [−1,+∞[
3. ]− 1, 1[
4. ]−∞, 5]
✍ Exerc´ıcio 1.2. Determine o intervalo correspondente a operac¸a˜o dada:
1. ]− 1, 1] ∩ [1, 3]
2. ]− 4, 4] ∩ [4, 6[
3. ]−∞, 2] ∩ [−2,+∞[
4. [−10, 2] ∪ [−3, 5]
5. ]−∞, 3] ∪ [−1,∞[
6. ]−∞, 3] ∪ [1, 4]
⊲ Observac¸a˜o 1.1. Os s´ımbolos +∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito) sa˜o apenas s´ımbolos e na˜o
devem ser confundidos com nu´meros reais.
1.2 Func¸o˜es de uma Varia´vel real
1.2.1 Definic¸a˜o de Func¸a˜o
O conceito de func¸a˜o e´ um dos mais importantes da matema´tica, e surge toda vez que procuramos
estabelecer uma relac¸a˜o entre duas grandezas varia´veis.
☞ Exemplo 1.3. O volume V da esfera e´ uma func¸a˜o de seu raio R.
V =
4
3
π R3
☞ Exemplo 1.4. A func¸a˜o hora´ria do movimento uniforme:
S = So + V t
V = cte
◮ Definic¸a˜o 1.1. Sejam A e B conjuntos.Uma func¸a˜o e´ uma lei ou uma regra que a cada elemento
x ∈ A associa-se um u´nico elemento y ∈ B. Em simbolos:
∀x ∈ A, ∃ ! y ∈ B |y = f(x)
Em que:
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 7
• x: varia´vel independente
• y: varia´vel dependente x.
f
)) .y
Notac¸a˜o 1.1. Utilizaremos duas notac¸o˜es para uma func¸a˜o, a saber:
1. f : A→ B tal que y = f(x).
2.
f : R −→ R
x 7−→ f(x).
☞ Exemplo 1.5. Observe os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
1.
f : R −→ R
x 7−→ 2x.
2.
f : [0,+∞[ −→ R
x 7−→ √x.
3. f(x) =
{
1, se x ≥ 0,
−1, se x < 0.
4.
f : R −→ R
x 7−→ x2.
Nota 1.2. Neste texto fica estabelecido que A e B sa˜o subconjuntos de R, isto e´, A, B ⊂ R.
Domı´nio e Imagem
◮ Definic¸a˜o 1.2. Seja y = f(x) uma func¸a˜o.
1. O Domı´nio de uma func¸a˜o e´ o conjunto
Dom(f) = {x ∈ R : ∃ f(x)}
2. A Imagem de uma func¸a˜o e´ o conjunto
Im(f) = {f(x) ∈ R : x ∈ Dom(f)}
☞ Exemplo 1.6. Determine o domı´nio e a imagem das func¸o˜es definidas por:
1. f(x) =
√
x− 1
Soluc¸a˜o:
• x− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1; enta˜o
Dom(f) = [1,+∞[.
8 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
• x ≥ 1⇒ x− 1 ≥ 0⇒ √x− 1︸ ︷︷ ︸
f(x)
≥ 0 ≥ 1, enta˜o
Im(f) = [0,∞[.
2. f(x) =
1
x2
Soluc¸a˜o:
Observe que
• x 6= 0, enta˜o
Dom(f) = R.
• x2 > 0 ⇒ 1
x2
> 0, enta˜o
Im(f) =]0,∞[.
✍ Exerc´ıcio 1.3. Nos exemplos anteriores, determine o domı´nio e a imagem.
Nota 1.3. .
1. Seja f : A→ B uma func¸a˜o. O conjunto A = Dom(f) e Im(f) ⊂ B.
2. O conjunto B e´ chamado de Contra-domı´nio.
Gra´fico de uma func¸a˜o
Uma func¸a˜o f : A ⊂ R→ R e´ representada geometricamente no R2.
◮ Definic¸a˜o 1.3. O gra´fico de f e´ o conjunto
Graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ Dom(f)}
O gra´fico de f e´, em geral, uma curva no plano R2.
1.2.2 Func¸o˜es Alge´bricas
Func¸a˜o Constante
A Func¸a˜o Constante e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R
x 7−→ c,
onde c e´ uma constante.
Propriedades:
• Dom(f) = R e Im(f) = {c}
• o gra´fico de f e´ uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (o, c), isto e´, Graf(f) =
{(x, c) : x ∈ R} .
☞ Exemplo 1.7. Sejam as seguintes func¸o˜es.
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 9
1.
f : R −→ R
x 7−→ 2,
2.
f : R −→ R
x 7−→ −1,
Func¸a˜o Identidade
A Func¸a˜o Identidade e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R
x 7−→ x,
Propriedades:
• Dom(f) = R e Im(f) = R
• O gra´fico da func¸a˜o identidade e´ uma reta (bissetrizes do 1o e 3o quadrante).
Func¸a˜o Linear
A Func¸a˜o Linear e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R (a 6= 0)
x 7−→ ax,
Propriedades:
• Dom(f) = R e Im(f) = R (Por queˆ ?)
• o gra´fico da func¸a˜o linear e´ uma reta que passa pela origem.
☞ Exemplo 1.8. Observe as seguintes func¸o˜es:
10 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
1.
f : R −→ R
x 7−→ 2x,
2.
f : R −→ R
x 7−→ −x,
Fato Importante
• a > 0: o gra´fico de f e´ crescente.
• a < 0: o gra´fico de f e´ decrescente.
Func¸a˜o Afim
A Func¸a˜o do 1o Grau (ou afim) e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R (a 6= 0)
x 7−→ ax+ b,
onde a, b ∈ R e a 6= 0.
Propriedades:
• Dom(f) = R e Im(f) = R
• o gra´fico da func¸a˜o afim e´ uma reta que passa por (0, b).
☞ Exemplo 1.9. Construir os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
1. y = 2x+ 1
Soluc¸a˜o:
x y
0 1
-1/2 0
2. y = −3x+ 2
Soluc¸a˜o:
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 11
x y
0 2
2/3 0
Fato Importante:
• a > 0: o gra´fico de f e´ crescente.
• a < 0: o gra´fico de f e´ decrescente.
Casos Particulares:
1. b = 0 ⇒ f(x) = ax (func¸a˜o linear)
2. b = 0 e a = 1 ⇒ f(x) = x (func¸a˜o identidade)
Imagem de uma Func¸a˜o do 1o Grau
O conjunto imagem de uma func¸a˜o do 1o grau f e´ R, ou seja
Im(f) = R
Coeficientes da Func¸a˜o Afim
Seja f : R→ R tal que f(x) = ax+ b (a 6= 0).
◮ Definic¸a˜o 1.4.
1. O coeficiente b da func¸a˜o afim e´ chamado coeficiente linear.
2. O coeficiente a da func¸a˜o afim e´ chamado coeficiente angular ou declive da reta.
Nota 1.4. (0, b) e´ o ponto em que o gra´fico de f corta o eixo y.
✍ Exerc´ıcio 1.4.
1. Mostre que o gra´fico de uma func¸a˜o afim e´
uma reta.
Sugesta˜o: Tome treˆs pontos, e usandosemel-
hanc¸a de triaˆngulo mostre que esta˜o alinha-
dos.
2. Seja y = ax + b (a 6= 0). Mostre que a > 0
(respectivamente a < 0) se, e somente se o
gra´fico de f e´ crescente (respectivamente de-
crescente).
3. Obter a equac¸a˜o da reta que passa pelos pon-
tos (1, 2) e (3,−2).
4. Obter a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto
(1, 3) e tem coeficiente angular.
Estudo do sinal da func¸a˜o do 1o grau
Sabemos que x = − ba e´ o zero da func¸a˜o afim, f(x) = ax + b. Em va´rias ocasio˜es e´ necessa´rio conhecer
os valores de x tais que
f(x) > 0 e f(x) < 0.
✍ Exerc´ıcio 1.5. Estude o sinal das seguintes func¸o˜es:
1. y = 2x+ 1
2. y = 3− x
3. y = 2− x3
4. y = 4 + x
12 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Func¸a˜o Quadra´tica
A Func¸a˜o do 2o grau (ou quadra´tica) e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R
x 7−→ ax2 + bx+ c,
onde a, b e c sa˜o constantes (a 6= 0).
☞ Exemplo 1.10.
• f(x) = x2 − 3x+ 2 onde a = 1, b = −3, c = 2
• f(x) = −3x2 − 5x onde a = −3, b = −5, c = 0
• f(x) = x2 − 4 onde a = 1, b = 0, c = −4
• f(x) = (0, 23)x2 onde a = 0, 23, b = 0, c = 0
Gra´fico de uma Func¸a˜o do 2o Grau
O gra´fico de uma func¸a˜o do 2o grau e´ uma curva aberta chamada de para´bola.
☞ Exemplo 1.11. Construir os gra´ficos das seguintes func¸o˜es do 2o grau:
1. f(x) = x2 − 4x+ 3
Soluc¸a˜o:
x y
0 3
1 0
2 -1
3 0
4 3
Observa-se pelo gra´fico que:
• Im(f) = {y ∈ R|y ≥ −1} = [−1,+∞[
• os zeros de f sa˜o x1 = 1 e x2 = 3
2. f(x) =
−1
2
x2 + x
Soluc¸a˜o:
x y
-2 -4
0 0
1 1/2
2 0
4 -4
Observa-se pelo gra´fico que:
• Im(f) =]−∞, 1/2]
• os zeros de f sa˜o x1 = 0 e x2 = 2
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 13
Concavidade
A para´bola representativa da func¸a˜o quadra´tica y = ax2 + bx + c pode ter concavidade voltada “para
cima”ou “para baixo”, dependendo do sinal de a.
a>0
HH
a<0
��
Fato Importante
• a > 0: concavidade voltada para cima.
• a < 0: concavidade voltada para baixo.
Zeros da Func¸a˜o de 2o Grau
Dada a func¸a˜o do 2o grau f(x) = ax2 + bx+ c, os valores de x tais que f(x) = 0 sa˜o chamados ra´ızes ou
zeros de f(x), basta resolver a equac¸a˜o do 2o grau:
ax2 + bx+ c = 0
Fo´rmula de Ba´skara


∆ = b2 − 4ac
x =
−b±√∆
2a
A ideia para demonstrar esta fo´rmula e´ completar os quadrados.
⊲ Observac¸a˜o 1.2. A existeˆncia de ra´ızes reais para a equac¸a˜o do 2ograu ax2 + bx + c = 0 fica condi-
cionado ao fato √
∆ ∈ R
Assim, temos treˆs fatos a considerar:
1. ∆ > 0 =⇒ x1, x2 ra´ızes reais e distintas
x1 =
−b+√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
2. ∆ = 0 =⇒ x1, x2 ra´ızes reais e iguais
x1 = x2 =
−b
2a
3. ∆ < 0 =⇒ na˜o existem ra´ızes reais.
Logo, o gra´fico e Im(f) dependem do nu´mero a e ∆ = b2 − 4ac.
Ve´rtice da Para´bola
Toda para´bola tem um ponto de ordenada ma´ximo ou de ordenada mı´nimo. A esse ponto chamamos de
vertice da para´bola e denotamos por V (xv, yv).
Fo´rmula do Ve´rtice


xv =
−b
2a
yv =
−∆
4a
14 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Imagem de f
• a > 0⇒ Im(f) =
{
y ∈ R | y ≥ −∆
4a
}
• a < 0⇒ Im(f) =
{
y ∈ R | y ≤ −∆
4a
}
Func¸a˜o Polinomial
A Func¸a˜o Polinomial e´ uma func¸a˜o dada por:
f : R −→ R
x 7−→ anxn + · · ·+ a1 + a0,
onde
• a0, a1, · · · , an ∈ R e an 6= 0
• n = grau do polinoˆmio.
Casos Particulares
• grau 0:
f : R −→ R
x 7−→ a0, (Func¸a˜o Constante)
• grau 1:
f : R −→ R
x 7−→ a1x+ a0. (Func¸a˜o Afim)
• grau 2:
f : R −→ R
x 7−→ a0 + a1x+ a2x2. (Func¸a˜o Quadra´tica)
Alguns Exemplos de Gra´ficos de Func¸o˜es Polinomial de Grau n ≥ 3
☞ Exemplo 1.12. Construir os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) = x3
Soluc¸a˜o:
x y
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
2. f(x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x+ 1)(x− 1)
Soluc¸a˜o:
• Zero de f : x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = −1
• Estudo do Sinal de f
• Im(f) = R
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 15
3. f(x) = x4 − 1
Soluc¸a˜o:
• Zero de f : x1 = −1 , x2 = 1
• Estudo do Sinal de f
Para obter mais precisa˜o no esboc¸o do gra´fico precisamos de uma ferramenta importante do Ca´lculo
Diferencial: A Derivada !
Func¸a˜o Racional
A Func¸a˜o Racional e´ uma func¸a˜o dada por:
f : D(f) −→ R
x 7−→ p(x)q(x) ,
onde
• p(x) , q(x) sa˜o polinoˆmios
• D(f) = {x ∈ R | q(x) 6= 0} o domı´nio de f
☞ Exemplo 1.13. Construir os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) =
1
x
, x 6= 0 (Func¸a˜o Rec´ıproca)
Soluc¸a˜o:
x y
2 1/2
1 1
1/2 2
-1/2 -2
-1 -1
-2 -1/2
2. f(x) =
1 + x
x
= 1 +
1
x
Soluc¸a˜o:
x y
-1 0
1 2
Observe que neste
exemplo, a func¸a˜o e´ uma translac¸a˜o uma unidade para cima da func¸a˜o rec´ıproca.
16 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Operac¸o˜es com Func¸o˜es
Sejam f : A ⊂ R→ R e g : B ⊂ R→ R func¸o˜es tais que A ∩B
1. A soma de f e g e´ dada por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Dom(f + g) = A ∩B
2. O produto de f e g e´ dado por:
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
Dom(f · g) = A ∩B
3. O quociente de f e g e´ dado por:
(f/g)(x) = f(x)g(x)
Dom(f/g) = {x ∈ A ∩B : g(x) 6= 0}
4. O produto de f pela constante K, e´ dado por:
(K · f)(x) = K · f(x)
Dom(K · f) = Dom(f)
☞ Exemplo 1.14. Sejam:
f : [−2, 2] −→ R
x 7−→ √4− x2 e
g : R −→ R
x 7−→ 3x+ 1. .
Determine f + g , f.g , f/g e 2f .
Soluc¸a˜o:
• (f + g)(x) = √4− x2 + (3x+ 1);
Dom(f + g) = [−2, 2]
• (f.g)(x) = √4− x2.(3x+ 1);
Dom(f.g) = [−2, 2]
• (f/g)(x) =
√
4− x2
(3x+ 1)
;
Dom(f/g) = [−2, 2]−
{
1
3
}
• 2(f)(x) = 2√4− x2;
Dom(Kf) = [−2, 2]
Agora, estamos em condic¸o˜es de definir:
◮ Definic¸a˜o 1.5. Uma Func¸a˜o Alge´brica e´ uma func¸a˜o que pode ser expressa em termos de somas,
diferenc¸as, produtos ou poteˆncias de polinoˆmios.
☞ Exemplo 1.15.
• f(x) = 5x4 − 2 3√x+ x(x
2 + 5)√
x
, x ∈ R− {0}
e´ uma func¸a˜o alge´brica
• Func¸o˜es polinomiais, racionais sa˜o func¸o˜es alge´bricas.
Nota 1.5. As func¸o˜es que na˜o sa˜o alge´bricas sa˜o ditas Transcendentes; por exemplo, as func¸o˜es
trigonome´tricas, as func¸o˜es logar´ıtmicas etc.
1.2. FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL REAL 17
1.2.3 Func¸a˜o definida por va´rias sentenc¸as
Uma func¸a˜o f pode ser definida por va´rias sentenc¸as abertas, cada uma das sentenc¸as esta´ definida em
um subconjuntos de Dom(f).
☞ Exemplo 1.16. Construir o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) =
{
1, se x < 0,
x+ 1, se 0 ≤ x < 2
3, se x ≥ 2
Soluc¸a˜o:
• x < 0⇒ f(x) = 1
• 0 ≤ x < 2⇒ f(x) = x+ 1
• x ≥ 2⇒ f(x) = 3
2. f(x) =
{ −x, se x < −1,
x2 − 1, se x ≥ −1
Soluc¸a˜o:
• x < −1⇒ f(x) = −x
• x ≥ −1⇒ f(x) = x2 − 1
✍ Exerc´ıcio 1.6. Seja
f(x) =
{ −x
2 + 1, se x ≤ −2,
x2 + x− 2, se x > −2
Determine os valores do domı´nio que tem igual a 4.
(Resp: x = 2 ou x = −6)
Func¸a˜o Modular
O valor absoluto (ou mo´dulo) de um nu´mero real e´ dado por:
|a| =
{
a, se a ≥ 0,
−a, se a < 0.
Em particular, para todo a ∈ R,
|a| ≥ 0.
A Func¸a˜o Modular e´ uma func¸a˜o dada por:
18 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
f : R −→ R
x 7−→ |x|.
⊲ Observac¸a˜o 1.3. Pela definic¸a˜o de mo´dulo, uma func¸a˜o modular pode ser definida como
f(x) =
{
x, se x ≥ 0,
−x, se x < 0
ou seja, func¸a˜o definida por duas sentenc¸as.
Propriedades:
• Dom(f) = R , Im(f) = [0,∞[
• o gra´fico de f e´ a unia˜o de duas semi retas de origem em (0, 0), que sa˜o as bissetrizes do 1o e 2o
quadrante.
☞ Exemplo 1.17. Contruir os gra´ficos das func¸o˜es definidas em R.
1. f(x) = |2x|
Soluc¸a˜o:
Como
• x ≥ 0⇒ f(x) = 2x
• x < 0⇒ f(x) = −2x
2. f(x) = |x+ 1|
Soluc¸a˜o:
Como
• x ≥ −1⇒ f(x) = x+ 1
• x < −1⇒ f(x) = −x− 1
✍ Exerc´ıcio 1.7. Construir os gra´ficos das seguintes func¸o˜es reais:
1. f(x) = |x| − 3
2. f(x) = |x2 − 1| − 2
3. f(x) = |x+ 1|+ |x− 1|
1.2. FUNC¸O˜ESDE UMA VARIA´VEL REAL 19
Composic¸a˜o de func¸o˜es
◮ Definic¸a˜o 1.6. Sejam f : A→ B e g : B → C. A func¸a˜o composta e´ dada por:
g ◦ f(x) = g(f(x))
Dom(g ◦ f) = {x ∈ A : f(x) ∈ B}
☞ Exemplo 1.18. Sejam:
f : R −→ R
x 7−→ x2 + 1. e
g : R −→ R
x 7−→ x− 1.
Dertemine f ◦ g e Dom(f ◦ g) e g ◦ f e Dom(g ◦ f).
Soluc¸a˜o:
1. f ◦ g(x) = f(x− 2) = (x− 2)2 + 1 = x2 − 4x+ 5
Dom(f ◦ g) = R
2. g ◦ f(x) = g(x2 + 1) = x2 + 1− 2 = x2 − 1
Dom(g ◦ f) = R
☞ Exemplo 1.19. Sejam:
f : R −→ R
x 7−→ x− 2 e
g : R −→ R
x 7−→ x3.
1. Encontre a func¸a˜o composta h = g ◦ f
2. Mostre que x = 2 e´ uma das ra´ızes da equac¸a˜o h(x) = 0.
Soluc¸a˜o:
1. Observe que:
h(x) = g(f(x))
= (x− 2)3
= x3 − 6x2 + 12x− 8
2. Observe que:
h(2) = 23 − 6(2)2 + 12(2)− 8 = 0
Portanto, x = 2 e´ raiz da equac¸a˜o h(x) = 0
☞ Exemplo 1.20. Sejam as func¸o˜es g : R→ R e f : R→ R definidas por:
g(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
x se x < 0
f(x) = x− 3
Encontre a expressa˜o que define h = g ◦ f .
Soluc¸a˜o:
20 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Observe que,
x ≥ 3⇒ f(x) ≥ 0
x < 3⇒ f(x) < 0
Enta˜o,
h(x) = g(x− 3) =
{
(x− 3)2, se x ≥ 3,
x− 3, se x < 3
✍ Exerc´ıcio 1.8. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 3x− 5 e f ◦ g(x) = x2 − 3. Determine a expressa˜o de
g.
⊲ Observac¸a˜o 1.4.
1. A composta g ◦ f so´ esta´ definida quando a Im(f) ⊆ Dom(g).
2. Em geral, f ◦ g 6= g ◦ f , isto e´, a composta de func¸o˜es na˜o e´ comutativa.
3. Sejam f : A→ B , g : B → C , h : C → D . Enta˜o
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)
Func¸a˜o Inversa
◮ Definic¸a˜o 1.7. Seja f : A→ R uma func¸a˜o. Dizemos que g e´ uma func¸a˜o inversa de f quando
1. Dom(g) = Im(f)
2. Im(g) = Dom(f)
3. (g ◦ f)(x) = x (∀x ∈ Dom(f))
4. (f ◦ g)(x) = x (∀x ∈ Dom(f))
Quando f admite inversa, dizemos que f e´ invertivel.
Notac¸a˜o 1.2. g = f−1
☞ Exemplo 1.21. Sejam
f : R −→ R
x 7−→ 3x− 1 e
g : R −→ R
x 7−→ 13 (x+ 1)
Enta˜o para x ∈ R,
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f
(
1
3
(x+ 1)
)
= (x+ 1)− 1 = x
(g ◦ g)(x) = g(f(x))
= g(3x− 1)
=
1
3
(3x− 1 + 1) = x
⊲ Observac¸a˜o 1.5.
1. Uma f : A→ B func¸a˜o e´ invert´ıvel se, e somente se, f e´ bijetora1.
2. O gra´fico de f−1 e´ sime´trico ao gra´fico de f em relac¸a˜o a reta y = x (bissetriz do 1o e 3o quadrante)
3. Se uma func¸a˜o f e´ invert´ıvel, enta˜o existe uma u´nica func¸a˜o g tal que f e g sejam inversas uma
da outra.
4. De 1), toda reta paralela ao eixo x que corta o gra´fico de f m um so´ ponto e´ invert´ıvel. Por exemplo,
a func¸a˜o seno e cosseno.
1Dizemos que uma func¸a˜o f e´ bijetora quando f e´ sobrejetora (isto e´, Im(f) = CD(f)) e injetora (isto e´, x1 6= x2 =⇒
f(x1) 6= f(x2))
1.3. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E LOGARI´TMICA 21
Determinac¸a˜o da Func¸a˜o Inversa
Quando f : A→ B e´ invert´ıvel, podemos determinar a inversa da seguinte maneira:
1. Escreve-se y = f(x)
2. Permuta-se x e y, isto e´, x = f(x)
3. Expressamos y em func¸a˜o de x, isto e´, x = f(x)⇒ y = g(x)
☞ Exemplo 1.22. Seja
f : R −→ R
x 7−→ x2
A func¸a˜o f admite inversa ?
Soluc¸a˜o:
NA˜O, pois uma reta paralela ao eixo de x corta o gra´fico em dois pontos.
Adendo ao Problema
Restringindo o domı´nio de f ao intervalo [0,+∞[ temos
f
∣∣
[0,+∞[ : [0,+∞[ −→ R
x 7−→ x2
Nesse caso, f admite inversa a saber
g = f−1 : [0,+∞[ −→ [0,+∞[
x 7−→ √x
• g ◦ f(x) = g [f(x)] =√f(x) = √x2 = x , x ∈ [0,+∞[
• f ◦ g(x) = f [g(x)] = (g(x))2 = (√x)2 = x , x ∈ [0,+∞[
Portanto, f
∣∣
[0,+∞[ e´ invert´ıvel.
✍ Exerc´ıcio 1.9.
1. Determine as inversas das func¸o˜es dadas, es-
crevendo os respectivos domı´nios e imagens.
(a) f(x) = 1x
(b) f(x) = x+2x+1
(c) f(x) = x4 ; x > 0
(d) f(x) = x2 − 2x ; x > 1
2. Seja
f : [−2, 2] −→ R
x 7−→ √4− x2
A func¸a˜o f admite inversa? Por queˆ?
3. Seja
g : [0, 2] −→ R
x 7−→ √4− x2
A func¸a˜o g admite inversa? Em caso afirma-
tivo, determine g−1.
1.3 Func¸a˜o exponencial e logar´ıtmica
Propriedades de Potenciac¸a˜o
Sejam a ∈ R, m ∈ Z∗+ e n ∈ Z∗. Temos que:
• am · an = am+n
• am : an = am−n
• a−m = 1am =
(
1
a
)m
(a 6= 0)
• (am)n = am·n
• (a · b)m = am · bm
• (ab )m = ambm (b 6= 0)
• ax = ay ⇔ x = y (a > 0 e a 6=
1)
• amn = n√am
22 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Func¸a˜o Exponencial
◮ Definic¸a˜o 1.8. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Uma func¸a˜o exponencial de base a e´ dada por:
f : R −→]0,+∞[
x 7−→ ax
☞ Exemplo 1.23.
• f(x) = 2x , onde a = 2
• f(x) = 10x , onde a = 10
• f(x) = (1/2)x , onde a = (1/2)
• f(x) = ex , onde a = e (no de Euler)
Gra´fico da func¸a˜o exponencial
Analisamos a representac¸a˜o gra´fica das seguintes func¸o˜es.
☞ Exemplo 1.24. Construir o gra´fico das seguinte func¸o˜es:
1. f(x) = 2x
Soluc¸a˜o:
x y
2 4
1 2
0 1
−1 1/2
−2 1/4
2. f(x) = (1/2)x
Soluc¸a˜o:
x y
2 1/4
1 1/2
0 1
−1 2
−2 4
⊲ Observac¸a˜o 1.6.
1. Dom(f) = R, e Im(f) =]0,+∞[ (Por queˆ?)
2. O gra´fico de f esta´ todo acima ao eixo x, pois y = ax > 0 para todo x ∈ R.
3. O gra´fico de f corta o eixo y no ponto de ordenada 1, pois
x = 0⇒ y = a0 = 1
1.3. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E LOGARI´TMICA 23
Propriedades:
• a > 1⇒ f e´ crescente
• 0 < a < 1⇒ f e´ decrescente
☞ Exemplo 1.25 (Exponencial Natural). Considere
exp : R −→]0,+∞[
x 7−→ ex
onde e ∼= 2, 7183... (no irracional) chamado de nu´mero de Euler ou nu´mero de Neper.
✍ Exerc´ıcio 1.10.
1. Contruir o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = (1/3)x
(c) f(x) = 10−x
(d) f(x) = 2x − 3
(e) f(x) = 21−x
(f) f(x) = (1/2)x
2. Determine o Dom(f):
(a) f(x) = 14x−3x
(b) f(x) =
√(
1
3
)x − 3x
Logaritmos
◮ Definic¸a˜o 1.9. Sejam a, b ∈ R tais que 0 < a 6= 1 e b ≥ 0. O Logaritmo de b na basa a e´ dado por:
x = loga b⇔ ax = b
Em que,
• x e´ o logaritmo;
• a e´ a base;
• b e´ o logaritmando,
☞ Exemplo 1.26.
• log2 8 = 3 ,pois 23 = 8
• log3 19 = −2 , pois 3−2 = 1/9
• log5 5 = 1 , pois 51 = 5
• log7 1 = 0 , pois 70 = 1
⊲ Observac¸a˜o 1.7.
24 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
1. O Logaritmo quando existe e u´nico.
2. A operac¸a˜o, pela qual se determina o logar´ıtmo de b numa dada base a, e´ chamada logaritmac¸a˜o e
o resultado dessa operac¸a˜o e´ o logar´ıtmo.
✍ Exerc´ıcio 1.11.
1. Calcule pela definic¸a˜o os seguintes logaritmos:
(a) log2
√
2
(b) log 3√7 49
(c) log100
3
√
10
(d) log 3√5
4
√
5
(e) log√27
3
√
9
2. Usando a definic¸a˜o de logaritmo, calcule x:
(a) log2x 16 = 3
(b) logx2 4 = 1
(c) 3x = 2
(d) 22x+1 = 5
(e) log3(x+ 2) = 2
Consequeˆncias da Definic¸a˜o
Para 0 < a 6= 1, b > 0, seguem da definic¸a˜o de Logaritmo as seguintes propriedades:
1. loga 1 = 0, pois a
0 = 1
2. loga a = 1, pois a
1 = a
3. loga a
r = r, pois x = loga a
r ⇒ ax = ar ⇒ x = r
4. aloga b = b, pois x = loga b⇒ ax = b⇒ aloga x = b
5. loga b = loga c⇔ b = c, pois loga b = loga c
def⇔ aloga c=b (3)⇔ c = b
☞ Exemplo 1.27. Calcule o valor de
8log2 5.
Soluc¸a˜o:
8log2 5 = (23)log2 5
= (2log2 5)3
= 53 = 125
☞ Exemplo 1.28. Calcule o valor de
31+log3 4.
Soluc¸a˜o:
31+log3 4 = 3 · 3log3 4
= 3 · 4 = 12
Condic¸a˜o de Existeˆncia do Logaritmo
• a > 0 e a 6= 1 (da definic¸a˜o).
• b > 0, pois ax > 0 para todo x ∈ R, e ax = b.
☞ Exemplo 1.29. Determine x para que exista, em R,
log4−x(x− 2).
Soluc¸a˜o:
1.3. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E LOGARI´TMICA 25
Pela condic¸a˜o de existeˆncia, temos
• 4− x > 0⇒ x < 4
• 4− x 6= 1⇒ x 6= 3
• x− 2 > 0⇒ x > 2
Logo,
2 < x < 4 e x 6= 3
Leis Operato´rias
Teorema 1.1. Sejam a < a 6= 1, b > 0 e c > 0. Enta˜o
1. loga(b · c) = loga b+ loga c;
2. loga
(
b
c
)
= loga b− loga c; e
3. loga b
α = α · loga b (∀α ∈ R)
✍ Exerc´ıcio 1.12.
1. Desenvolva, aplicando as propriedades do logaritmo com a, b, c positivos
(a)log5
(
5a
bc
)
(b) log3
(
a·b3
c· 3
√
a2
)
2. Se log x = log b+ 2 log c− 13 log a. Determine o valor de x.
Mudanc¸a de Base
Ha´ ocasio˜es que os logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma u´nica base conve-
niente.
Teorema 1.2. Sejam 0 < a 6= 1, b > 0 e 0 < c 6= 1. Enta˜o:
loga b =
logc b
logc a
☞ Exemplo 1.30. Sabendo que log2N = n. Calcule
log4N
2.
Soluc¸a˜o:
log4N
2 =
log2N
2
log2 4
=
log2N
2
log2 2
2
=
n
1
= n
☞ Exemplo 1.31. Sabendo que log202 = a e log20 3 = b. Calcule log6 5
Soluc¸a˜o:
logb 5 =
log20 5
log20 6
=
log20(
20
4 )
log20 6
=
log20 20− log20 4
log20 2 + log20 3
=
1− 2a
a+ b
26 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Func¸a˜o Logar´ıtmica
◮ Definic¸a˜o 1.10. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. A func¸a˜o Logar´ıtmica de base a e´ a func¸a˜o
f : ]0,+∞[ −→ R
x 7−→ loga x,
onde
y = loga x⇔ ay = x
☞ Exemplo 1.32.
• f(x) = loga x , a = 2
• f(x) = log x , a = 10
• f(x) = lnx , a = e (no neper)
Propriedades:
1. Dom(f) = R e Im(f) =]o,+∞[ (Por queˆ?)
2. O gra´fico de f corta o eixo x no ponto de abscissa 1, pois
x = 1⇒ y = loga 1 = 0.
3. Se 0 < a 6= 1, enta˜o f(x) = loga x, x > 0 e g(x) = ax, x ∈ R sa˜o inversas uma da outra. De fato
• Im(f) = Dom(g)
• Im(g) = Dom(f)
• f ◦ g(x) = f [ax] = loga ax = x
• g ◦ f(x) = g[loga x] = aloga x = x
4. O gra´fico de f e´ sime´trico em relac¸a˜o a` reta y = x do gra´fico de g(x) = ax.
1o Caso: a > 1
Note que, neste caso, a func¸a˜o logar´ıtmica e´ crescente, isto e´, para todo x ∈ R∗+,
x1 > x2 ⇔ loga x1 > loga x2.
2o Caso: 0 < a < 1
Note que, neste caso, a func¸a˜o logar´ıtmica e´ decrescente, isto e´, para todo x ∈ R∗+,
x1 > x2 ⇔ loga x1 < loga x2.
Propriedades:
• a > 1⇒ f e´ crescente
• 0 < a < 1⇒ f e´ decrescente
✍ Exerc´ıcio 1.13.
1.4. TRIGONOMETRIA 27
1. Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = loga x
(b) f(x) = log( 12 ) x
2. Determine o Dom(f)
(a) f(x) = log3(12− 5x)
(b) f(x) = log5(x
2 + 8x+ 15)
☞ Exemplo 1.33 (Logar´ıtmo Natural ou Nepe-
riano). Considere
ln : ]0,+∞[ −→ R
x 7−→ loge x = lnx,
onde e ∼= 2, 7183... (no irracional) chamado nu´mero
de Euler ou Neper.
Observe que podemos demonstrar de modo ana´logo as leis operato´rias para o logar´ıtmo natural.
✍ Exerc´ıcio 1.14. Sejam a < a 6= 1, b > 0 e c > 0. Enta˜o
1. ln(b · c) = ln b+ ln c;
2. ln
(
b
c
)
= ln b− ln c; e
3. ln bα = α · ln b (∀α ∈ R)
1.4 Trigonometria
Considere um triaˆngulo retaˆngulo
ab
c
Em que: {
a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto
Teorema 1.3 (Pita´goras). Em todo triaˆngulo retaˆngulo o quadrado da hipotenusa e´ igual a` soma dos
quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
Razo˜es Trigonome´tricas
senα = ba cosecα =
a
b
cos α = ca sec α =
a
c
tgα = bc cotgα =
c
b
C´ırculo Trigonome´trico
Considere um circulo de centro na origem e raio 1.
28 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
A equac¸a˜o da circunfereˆncia e´ dada abaixo:
x2 + y2 = 1.
Esta circunfereˆncia sera´ denominada ciclo ou circunfereˆncia Trigonome´trica.
Propriedades:
• Comprimento do circulo trigonome´trico: 2π
• seno: sen θ = OM = x
• cosseno: cos θ = ON = y
• tangente: tg θ = xy = sen θcos θ
• cossecante: cosec θ = 1y = 1sen θ
• secante: sec θ = 1x = 1cos θ
• cotangente: cotg θ = xy = cos θsen θ = 1tg θ
Relac¸a˜o Fundamental da Trigonometria
sen2 θ + cos2 θ = 1
Outras Relac¸o˜es Fundamentais
1 + tg2 θ = sec2 θ
1 + cotg2 θ = cosec2 θ
Func¸o˜es Perio´dicas
Muitos fenoˆmenos de natureza c´ıclica ou perio´dica sa˜o associados as func¸o˜es trigonome´tricas.
◮ Definic¸a˜o 1.11. Uma func¸a˜o f sera´ perio´dica se existir T 6= 0 tal que:
• x ∈ Domf ⇒ x+ T ∈ Dom(f)
• f(x+ T ) = f(x)
Nota 1.6.
1. O menor T > 0 e´ chamado de per´ıodo de f
2. O gra´fico de f se repete em cada intervalo de comprimento T
Func¸o˜es Trigonome´tricas
O objetivo e´ apresentar as func¸o˜es trigonome´tricas. Ale´m disso, estudaremos as func¸o˜es pares e impares
que sera˜o u´teis em va´rias ocasio˜es.
1.4. TRIGONOMETRIA 29
Func¸a˜o Par e Func¸a˜o Impar
Iniciamos o nosso estudo observando dois exemplos:
☞ Exemplo 1.34.
Seja
f : R −→ R
x 7−→ x2
Observe que para todo x ∈ R temos:
f(−x) = x2 = f(x)
☞ Exemplo 1.35.
Seja
f : R −→ R
x 7−→ x3
Observe que para tod x ∈ R temos:
f(−x) = −x3 = −f(x)
◮ Definic¸a˜o 1.12. Seja f : A ⊂ R→ R uma func¸a˜o.
1. Dizemos que f e´ par se
f(−x) = f(x) (∀x ∈ A)
2. Dizemos que f e´ impar se
f(−x) = −f(x) (∀x ∈ A)
Nota 1.7. Em ambos os casos (1) e (2), devemos entender que
x ∈ Dom(f)⇒ −x ∈ Dom(f)
☞ Exemplo 1.36.
Seja
f : R −→ R
x 7−→ |x|
Note que f e´ uma func¸a˜o par, pois para todo x ∈ R
f(x) = |x| = | − x| = f(−x).
⊲ Observac¸a˜o 1.8. Seja f : A→ B uma func¸a˜o
30 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
• f e´ par ⇒ Graf(f) e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y.
• f e´ impar ⇒ graf(f) e´ sime´trico em relac¸a˜o a origem
Func¸a˜o Seno
A func¸a˜o seno e´ definida por:
f : R −→ R
x 7−→ senx
Propriedades:
• Dom(f) = R , e Im(f) = [−1, 1]
• f e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T = 2π
sen (x+ 2π) = senx (∀x ∈ R)
• f e´ uma func¸a˜o impar
sen (−x) = −senx (∀x ∈ R)
Gra´fico da func¸a˜o seno
x 0 π/2 π 3π/2 2π
senx 0 1 0 −1 0
Func¸a˜o Cosseno
A func¸a˜o cosseno e´ definida por:
f : R −→ R
x 7−→ cos x
Propriedades:
• Dom(f) = R , e Im(f) = [−1, 1]
• f e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T = 2π
cos (x+ 2π) = cos x (∀x ∈ R)
• f e´ uma func¸a˜o par
cos (−x) = cos x (∀x ∈ R)
Gra´fico da func¸a˜o cosseno
x 0 π/2 π 3π/2 2π
cos x 1 0 −1 0 1
1.5. EXERCI´CIOS 31
Func¸a˜o Tangente
A func¸a˜o tangente e´ definida por:
f : A −→ R
x 7−→ tgx
Propriedades:
• Dom(f) = A e Im(f) = R, onde
A = {x ∈ R : cos x 6= 0} =
{
x ∈ R : x = π
2
(2k + 1) , k ∈ Z
}
• f e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T = π, pois para todo x ∈ A,
tg (x+ π) = tgx
• f e´ uma func¸a˜o impar, pois para todo x ∈ A,
tg(−x) = sen(−x)
cos(−x) =
−sen x
cos x
= −tg x
Gra´fico de func¸a˜o tangente
x 0 π/2 π 3π/2 2π
tgx 0 6 ∃ 0 6 ∃ 0
1.5 Exerc´ıcios
1. Expresse o conjunto das soluc¸o˜es das in-
equac¸o˜es dadas em notac¸a˜o de intervalos:
(a) x+ 6 ≤ 6x− 2
(b) (x− 3)(x2 + 5) > 0
(c) x(x2 + 1) ≥ 0
(d) (2x+ 1)(x2 + x+ 1) ≤ 0
(e) xx2+x+1 ≥ 0
(f) x2 − 3x+ 2 < 0
(g) x2 − 9 ≤ 0
(h) 2x−1x+3 > 0
2. Estude o sinal:
(a) 3x+ 1
(b)
2− 3x
x+ 2
(c) (2x− 1)(x2 + 1)
(d)
2− x
3− x
3. Simplifique:
(a)
4x2 − 9
2x+ 3
(b)
1
x2 − 1
x− 1
(c)
(x+ h)2 − x2
h
(d)
x4 − p4
x− p
4. Fatore o polinoˆmio P (x)
(a) P (x) = x3 − 2x2 − x− 2
(b) P (x) = x4 − 3x2 + x2 + 3x− 2
(c) P (x) = x3 + 2x2 − 3x
(d) P (x) = x3 − 1
5. Determine o domı´nio de f(x):
(a) f(x) = 1x−1
(b) f(x) = 2xx2+1
(c) f(x) =
√
x+ 2
(d) y =
√
x−1
x+1
(e) y = 3
√
x2 − x
(f) g(x) =
x+ 1
x2 + x
(g) y =
√
x(2− 3x)
(h) y =
√
x
3
√
x− 1
32 CAPI´TULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
6. Deˆ o domı´nio e esboce o gra´fico.
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = −2x+ 3
(c) f(x) = x2 − 2x+ 3
(d) f(x) = −x2 + x− 1
7. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por
dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) dados, o coe-
ficiente angular da reta. Esboce o gra´fico e
determine o domı´nio e o conjunto imagem:
(a) (x1, y1) = (−3,−5) e (x2, y2) = (−1, 1)
(b) (x1, y1) = (0, 3) e (x2, y2) = (−1, 5)
(c) (x1, y1) = (−3,−1) e (x2, y2) = (2, 3)
(d) (x1, y1) = (0, 0) e (x2, y2) = (−1,−2)
8. Construir o gra´fico das func¸o˜es definidas em
R:
(a) f(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 0,
−x se x < 0.
(b) f(x) =
{ −2x+ 3 se x ≥ 1,
1 se − 1 < x < 1
2 + x se x ≤ −1.
(c) f(x) =
{
x2 − 2x se x ≥ 0,
1− x se x < 0.
(d)f(x) =
{ −2 se x ≤ −2,
x se − 2 < x < 2
2 se x ≥ 2.
9. Encontre os zeros das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x2 − 5x− 3
(b) f(x) = −x2 + 12x− 36
(c) f(x) = x2 + 2x+ 2
10. Determine a imagem das func¸o˜es definidas em
R:
(a) y = x2 − 3x
(b) y = −x2 + 4
11. Nas func¸o˜es abaixo de R em R obter a lei de
correspondeˆncia que define a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) f(x) = 4x−13
(c) f(x) = x3 + 3
(d) f(x) = 3
√
x− 1
(e) f(x) = 3
√
1− x2
12. Nas func¸o˜es que seguem construir num mesmo
plano cartesiano os gra´ficos de f e f−1.
(a)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+ 1.
(b)
f : R −→ R
x 7−→ 2x+43 .
(c)
f : R −→ R
x 7−→ 1− x3.
(d)
f :]−∞, 0] −→]−∞, 1]
x 7−→ 2x+ 1.
(e)
f : R −→ [0,+∞[
x 7−→ 2x.
13. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes
func¸o˜es exponenciais:
(a) y = 3x
(b) y = ( 13 )
x
(c) y = 4x
(d) y = 10x
(e) y = 22x−1
(f) y = 21−x
(g) y = 3
x+1
2
(h) y = 2|x|
14. Construir os gra´ficos cartesianos das seguintes
func¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) f(x) = log3 x
(b) f(x) = log 1
3
x
(c) f(x) = log2(x− 1)
(d) f(x) = log2 x
2
(e) f(x) = 2 + log2 x)
15. Deˆ o domı´nio, a imagem e construa o gra´fico
de um per´ıodo completo da func¸a˜o dada.
(a) y = sen x− 1
(b) y = 3sen x
(c) y = 2cosx
(d) y = 2cos x+ 1
(e) y = |sen x|
16. Determine o domı´nio e per´ıodo das seguintes
func¸o˜es reais:
(a) f(x) = tg(3x)
(b) f(x) = tg(2x− π3 )
(c) f(x) = cotg(x− π3 )
(d) f(x) = sec(2x)
(e) f(x) = cossec(x+ π4 )
2
Limites de func¸o˜es de uma u´nica varia´vel
2.1 Noc¸o˜es Intuitivas de Limites
Investigaremos o comportamento de uma func¸a˜o f de uma varia´vel real a valores reais quando x se
aproxima de c ∈ R, que pode ou na˜o pertencer ao domı´nio da func¸a˜o.
☞ Exemplo 2.1. Conside
f(x) =
x2 − 1
x− 1 (x 6= 1), e c = 1.
Vejamos as seguintes tabelas:
x < 1 f(x)
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
x > 1 f(x)
2 3
1,5 2,5
1,1 2,1
1,01 2,01
Observamos que a medida que x se aproxima por valores maiores (ou menores) que 1, a func¸a˜o se
aproxima e permanece pro´xima de 1. Simbolicamente, escrevemos:
lim
x→1
f(x) = 2.
☞ Exemplo 2.2. Considere
f(x) =
2x2 + x− 3
x− 1 , x ∈ R e c = 1
Vejamos as seguintes tabelas:
x < 1 f(x)
0,5 4
0,9 4,8
0,99 4,98
0,999 4,998
x > 1 f(x)
2 7
1,5 6
1,1 5,2
1,01 5,02
Observamos que a medida que x se aproxima por valores maiores (ou menores) que 1, a func¸a˜o se
aproxima e permanece pro´xima de 5. Simbolicamente, escrevemos:
lim
x→1
f(x) = 5.
33
34 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
De modo informal, podemos dizer que L e´ o limite de f(x) quando x tende a a, se f(x) se aproxima
de um nu´mero L quando x se aproxima de um nu´mero c tanto pela esquerda quanto pela direita, e
escrevemos:
lim
x→c
f(x) = L.
⊲ Observac¸a˜o 2.1.
1. Geometricamente, a definic¸a˜o acima significa que a ordenada do gra´fico de f , y tende a L (y → L)
quando x se aproxima de c (x→ c).
2. O conceito de limite descreve o comportamento de uma func¸a˜o nas proximidades do ponto c, mas
na˜o necessariamente no pro´prio ponto a. Desse modo, se
lim
x→a
f(x) = L
temos treˆs casos que podem ocorrer:
(a) c ∈ Dom(f) e f(c) = L;
(b) a ∈ Dom(f) e f(c) 6= L; e
(c) f na˜o esta´ definida em c.
O que ira´ nos interessar e´ como f esta´ definida para valores numa vizinhanc¸a de c.
☞ Exemplo 2.3. Determine lim
x→2
f(x), e trace um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
1. f(x) = x+ 1, x ∈ R
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
(x+ 1) = 3.
2. f(x) =
x2 − x− 2
x− 2 , x 6= 2
Soluc¸a˜o:
lim
x→2
f(x) = lim
x→
(
x2 − x− 2
x− 2
)
= lim
x→2
(x+ 1) = 3.
3. f(x) =
{
x+ 1, x 6= 2;
2, x = 2.
Soluc¸a˜o:
2.2. PROPRIEDADES DE LIMITES 35
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
(x+ 1) = 3.
2.2 Propriedades de Limites
Propriedades Operato´rias
A seguir estudaremos algumas propriedades que sera˜o u´teis para o ca´lculo do Limite.
Proposic¸a˜o 2.1 (Propriedades Operato´rias). Suponha que
lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M
existem, enta˜o
1. lim
x→a
(f(x) + g(x)) = L+M ;
2. lim
x→a
(f(x) · g(x)) = L ·M ;
3. lim
x→a
(f(x)/g(x)) = L/M , se M 6= 0;
4. lim
x→a
f(x)n = Ln, se n ∈ N;
5. lim
x→a
n
√
f(x) =
n
√
L desde que L > 0 e n ∈ N∗, ou L < 0 e n ∈ N∗ impar.
6. lim
x→a
|f(x)| = |L|
Ainda, sera˜o uteis os seguintes limites:
Proposic¸a˜o 2.2 (Limites Elementares). .
1. lim
x→c
k = k, onde k e´ uma constante;
2. lim
x→c
x = c.
Usaremos as propriedades dos limites para calcular os limites de func¸o˜es alge´bricas.
☞ Exemplo 2.4. Suponha que
lim
x→2
f(x) = 4 e lim
x→2
g(x) = 3.
Determine cada limite abaixo:
1. lim
x→2
[f(x) + g(x)]
2. lim
x→2
[2f(x)− 3g(x)]
3. lim
x→2
√
f(x) · g(x)
36 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
4. lim
x→
[
f(x)
g(x)
]
Soluc¸a˜o:
1. Pelas propriedades operato´rias:
lim
x→2
[f(x) + g(x)] = lim
x→2
f(x) + lim
x→2
g(x)
= 4 + 3 = 7.
2. Pelas propriedades operato´rias:
lim
x→2
[2f(x)− 3g(x)] = 2 lim
x→2
f(x)−
−3 lim
x→2
g(x)
= 2 · 4− 3 · 3 = −1.
3. Pelas propriedades operato´rias:
lim
x→2
√
f(x) · g(x) =
√
lim
x→2
f(x) · g(x)
=
√
4 · 3 = 2
√
3.
4. Pelas propriedades operato´rias:
lim
x→2
[
f(x)
g(x)
]
=
lim
x→2
f(x)
lim
x→2
g(x)
=
4
3
.
✍ Exerc´ıcio 2.1. Calcule os Limites:
1. lim
x→1
(x+ 3)
2. lim
x→2
(x2 + 5x+ 6)
3. lim
x→1
x2 + 5x
x− 2
4. lim
x→3
(x2 + 3)(x− 1)
5. lim
x→−1
(x3 − 5x2 + 3x− 1)6
6. lim
x→−1
3
√
3x− 5
☞ Exemplo 2.5. Calcule o seguinte limite:
1. lim
x→1
2x2 + x− 3
x− 1
2. lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
Soluc¸a˜o:
1. Observe que na˜o podemos aplicar a regra do quociente para limite, pois
lim
x→1
(x− 1) = 0.
Por outro lado,para x 6= 0, temos
2x2 + x+ 3
x− 1 =
(2x+ 3)(x− 1)
x− 1
= 2x+ 3.
De modo que,
lim
x→1
2x2 + x+ 3
x− 1 = limx→(2x+ 3) = 5
2.2. PROPRIEDADES DE LIMITES 37
2. Observe que na˜o podemos aplicar a regra do quociente para limite, pois
lim
x→0
x = 0.
Por outro lado,para x 6= 0, temos
√
x+ 4− 2
x
=
(
√
x+ 4− 2)(√x+ 4 + 2)
x(
√
x+ 4 + 2)
=
1√
x+ 4 + 2
De modo que,
lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
= lim
x→0
1√
x+ 4 + 2
=
1
4
✍ Exerc´ıcio 2.2. Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 5−√7
2. lim
x→2
√
x−√2√
4x+ 8− 4
Limites de Func¸o˜es Polinomiais e Func¸o˜es Racionais
As propriedades operato´rias sobre limites permite obter o seguinte resultado u´til para o ca´lculo de limites
de func¸o˜es polinomiais e racionais.
Teorema 2.1. Se p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios, enta˜o
1. lim
x→a
p(x) = p(a)
2. lim
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
se q(a) 6= 0.
✍ Exerc´ıcio 2.3. Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→1
(x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x+ 1)
2. lim
x→3
x− 5
x3 − 7
3. lim
x→1
x2 + x+ 1
x+ 1
Unicidade do Limite
Teorema 2.2 (Unicidade do Limite). Se
lim
x→c
f(x) = L1 e lim
x→c
f(x) = L2,
enta˜o L1 = L2.
Em palavras, o teorema anterior afirmar que quando o limite de uma func¸a˜o existe enta˜o ele e´ u´nico.
Corola´rio 2.1. Sejam f(x) e g(x) func¸o˜es tais que f(x) = g(x) exceto em a ∈ R. Se
lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
g(x) = L2,
enta˜o L1 = L2
38 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
Demonstrac¸a˜o. Segue do Teorema Anterior.
O corola´rio anterior nos permite realizar simplificac¸o˜es alge´bricas na func¸a˜o antes de calcular o limite.
Veja o exemplo a seguir.
☞ Exemplo 2.6. Considere as seguintes func¸o˜es:
f(x) =
x2 − 9
x− 3 (x 6= 3), e g(x) = x+ 3.
Observe que parax 6= 3:
f(x) =
x2 − 9
x− 3
=
(x− 3)(x+ 3)
(x− 3)
= x+ 3 = g(x).
Enta˜o,
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
x2 − 3
x− 3
= lim
x→3
(x+ 3)
= lim
x→3
g(x) = 6
✍ Exerc´ıcio 2.4. Calcule os limites abaixo:
1. lim
x→2
x3 − 8
x− 2
2. lim
x→1
2x2 − x− 1
x− 1
2.3 Limites Laterais
Quando consideramos lim
x→a
f(x), estamos interessados em estudar o comportamento da func¸a˜o f(x) na
vizinhanc¸a de um certo nu´mero a, isto e´, para valores de x nas proximidades de a, que esta˜o simultanea-
mente a esquerda (menores que a) e a direita (maiores que a). Agora, consideraremos separadamente os
pontos a` esquerda de a, e a direita de a para definir os chamados Limites Laterais. Vejamos o seguinte
exemplo para motivar a pro´xima definic¸a˜o.
☞ Exemplo 2.7. Considere
f(x) =
x
|x| , x ∈ R− {0}
Observe que para x > 0, o valor de f(x) fica pro´ximo de 1, quando x fica pro´ximo de 0. Neste caso,
escrevemos
lim
x→0+
f(x) = 1.
2.3. LIMITES LATERAIS 39
Anlogamente, para x < 0, o valor de f(x) fica pro´ximo de −1, quando x fica pro´ximo de 0. Neste caso,
escrevemos
lim
x→0−
f(x) = −1.
Nota 2.1. Neste exemplo, lim
x→0
f(x) na˜o teˆm significado; uma vez que perde a unicidade do limite.
Seja y = f(x) uma func¸a˜o. De modo informal, podemos dizer que:
1. L1 e´ o limite lateral a` direita de f(x) quando x tende a a, se f(x) se aproxima de um nu´mero L1,
quando x se aproxima de um nu´mero c pela direita (x > a), e escrevemos
lim
x→c+
f(x) = L1.
2. L2 e´ o limite lateral a` direita de f(x) quando x tende a c, se f(x) se aproxima de um nu´mero L2,
quando x se aproxima de um nu´mero c pela esquerda (x < a), e escrevemos
lim
x→c−
f(x) = L2.
☞ Exemplo 2.8. Seja
f(x) =


x2 + 1 se x < 2,
2 se x = 2,
−x2 + 9.
Calcule lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x).
Soluc¸a˜o:
Observe que:
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(9− x2) = 5
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2 + 1) = 5
Lembrando como foi definido o limite e os limites laterais, e motivados pelos exemplos anteriores
temos:
Proposic¸a˜o 2.3. Seja y = f(x) uma func¸a˜o. Enta˜o lim
x→a
f(x) = L se, e somente se
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L.
Em palavras, o limite de f(x), quando x tende a c, existe se, e somente se, ambos os limites laterais,
quando x tende a a, existem e sa˜o iguais. Ale´m disso, isto nos fornece uma maneira de mostrar quando
o limite na˜o existe.
lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
A propriedade anterior motiva o seguinte teste para saber quando na˜o existe o limite de uma func¸a˜o.
40 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
Teste para determinar quando
na˜o existe o Limite
Suponha que
lim
x→c+
f(x) 6= lim
x→c−
f(x),
ou se um destes limites laterais na˜o existem, enta˜o lim
x→c
f(x) na˜o existe.
☞ Exemplo 2.9. Determine se lim
x→1
f(x) existe, onde
f(x) =
x
|x| , x ∈ R− {0}.
Soluc¸a˜o:
Observe que:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0
1 = 1
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
−1 = −1.
Logo, pelo teste na˜o existe lim
x→0
f(x).
☞ Exemplo 2.10. Determine se lim
x→1
f(x) existe, onde
f(x) =
√
x− 1, x ∈ [1,+∞[.
Soluc¸a˜o:
Observe que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
√
x− 1 = 0
lim
x→1−
f(x) na˜o existe, pois f na˜o esta´
definida para x < 1.
Logo, pelo teste na˜o existe lim
x→1
f(x).
2.4. TEOREMA DO CONFRONTO OU TEOREMA DO SANDUI´CHE 41
✍ Exerc´ıcio 2.5.
1. Determine se lim
x→0
f(x) existe, onde
f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
−3x, se x < 0.
2. Seja a ∈ R. A func¸a˜o degrau unita´rio e´ defi-
nido por
ua(x) =
{
0 se x < a,
1 se x ≥ a.
(a) Calcule o lim
x→a+
f(x) e limx→a− f(x).
(b) Existe lim
x→a
f(x)?
2.4 Teorema do Confronto ou Teorema do Sandu´ıche
O pro´ximo teorema ira´ permite calcular um limite de uma func¸a˜o atendendo a certas condic¸o˜es atrave´s
do confronto com limites de outras duas func¸o˜es ja´ conhecidos ou de fa´cil ca´lculo.
Teorema 2.3 (do Confronto). Sejam f , g e h treˆs func¸o˜es. Se
1. g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x e´ um intervalo aberto contendo a, exceto possivelemente em x = a;
e
2. lim
x→a
g(x) = L lim
x→a
h(x).
Enta˜o,
lim
x→a
f(x) = L.
Em outras palavras, o Teorema do Confronto afirma que se em uma vizinhanc¸a de a, se f estiver com-
preendida entre outras duas func¸o˜es que possuem o mesmo limite, digamos L ∈ R, quando x→ a, enta˜o
o limite da func¸a˜o f quando x→ a sera´ tambe´m igual a L.
☞ Exemplo 2.11. Calcule os limites usando o Teorema do Confronto:
1. lim
x→0
x sen
1
x
2. lim
x→0
x2sen
1
x
Soluc¸a˜o:
1. Observe que
0 ≤
∣∣∣∣xsen 1x
∣∣∣∣ ≤ |x|,
pois a func¸a˜o seno e´ limitada. Como,
• lim
x→0
0 = 0; e
• lim
x→0
x2 = 0
Segue pelo Teorema do Confronto que
lim
x→0
[
xsen
1
x
]
= 0.
42 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
2. Observe que
0 ≤
∣∣∣∣x2sen 1x
∣∣∣∣ ≤ x2,
pois a func¸a˜o seno e´ limitada. Como,
• lim
x→0
0 = 0; e
• lim
x→0
x2 = 0
Segue pelo Teorema do Confronto que
lim
x→0
[
x2sen
1
x
]
= 0.
Agora, vejamos mais uma propriedade importante que segue do Teorema do Confronto.
Corola´rio 2.2. Sejam f, g : A −→ R func¸o˜es tais que
1. lim
x→a
f(x) = 0; e
2. |g(x)| ≤M (∀x ∈ A).
Enta˜o
lim
x→a
f(x)g(x) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Observe que para todo x ∈ A:
0 ≤ |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| ≤M |f(x)|.
Como,
• lim
x→a
0 = 0; e
• lim
x→a
M |f(x)| = 0
Segue pelo Teorema do Confronto que
lim
x→a
f(x)g(x) = 0.
☞ Exemplo 2.12. Considere a func¸a˜o1:
f(x) =
{
1, se x ∈ Q,
0, se /∈ Q.
Calcule lim
x→0
x2g(x), caso exista.
1Essa func¸a˜o e´ a`s vezes chamada de Func¸a˜o Marcadora dos Racionais.
2.5. EXERCI´CIOS 43
Soluc¸a˜o:
Obseve que:
0 ≤ |x2g(x)| = |x2||g(x)| ≤ x2(∀x ∈ R).
Como,
• lim
x→0
0 = 0; e
• lim
x→0
x2 = 0
Segue pelo Teorema do Confronto que
lim
x→a
x2g(x) = 0.
2.5 Exerc´ıcios
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→100
(7)
(b) lim
x→5
(3x− 5)
(c) lim
x→2
(x2 + 2x− 1)
(d) lim
x→0
(x3 + 2x+ 1)(x− 1)
(e) lim
x→5
(
x+ 2
x− 4)
(f) lim
x→3
(
4x− 5
5x− 1)
(g) lim
x→1
(x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)8
(h) lim
x→3
(x2 + 2)
(i) lim
x→−3
(−x)
(j) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
(k) lim
z→−2
(z3 + 8)
(l) lim
x→−3
3
√
5 + 2x
5− x
2. Use uma simplificac¸a˜o alge´brica para encon-
trar o limite, se existe.
(a) lim
x→−3
(
x2 − x− 12
x2 + 4x+ 3
)
(b) lim
x→2
(
x2 − 4
x− 2 )
(c) lim
r→1
(
r2 − r
2r + 5r − 7)
(d) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
(e) lim
h→−3
(
h3 + 8
h+ 2
)
(f) lim
z→−2
(
z − 4
z2 − 2z − 8)
(g) lim
x→−1
(
x3 + x2 + 3x+ 3
x− 3 )
(h) lim
x→3
(
2x3 − 6x2 + x− 3
x− 3 )
(i) lim
x→25
(
√
x− 5
x− 25 )
(j) lim
z→2
(
z3 − 8
z2 − 4)
(k) lim
x→0
(
√
x+ 1− 1
x
)
(l) lim
x→1
(
4
√
x− 1
5
√
x− 1)
3. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e encontre o limite
indicado, se existir; e se na˜o existir, indique a
raza˜o disto.
(a)
f(x) =
{
3 se x < 1,
0 se x = 1,
−3 se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
(b)
f(x) =
{ −2 se x < 0,
2 se x ≥ 0.
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x)
(c)
f(x) =
{
x+ 4 se x ≤ −4,
−x+ 4 se x > −4.
lim
x→−4+
f(x), lim
x→−4−
f(x), lim
x→−4
f(x)
(d)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 2,
8− 2x se x > 2.
lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x), lim
x→2
f(x)
(e)
f(x) =
{
2x+ 3 se x < 1,
2 se x = 1,
7− 2x se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
44 CAPI´TULO 2. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DE UMA U´NICA VARIA´VEL
(f)
f(x) ={
x+ 1 se x < −1,
x2 se − 1 ≤ x ≤ 1,
2− x se x > 1.
lim
x→−1+
f(x), lim
x→−1−
f(x), lim
x→−1
f(x),
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
4. Dado
f(x) =
{
3x+ 2 se x < 0,
5x+ k se x ≥ 0.
Ache o valor de k para o qual lim
x→0
f(x) exista.
5. Dado
f(x) =
{
3kx− 1 se x ≤ 1,
x2 + 2k se x > 1.
Encontre o valor de k para o qual lim
x→1
f(x)
exista.
6. Dado
f(x) =


x2
2 se x ≤ −2,
ax+ b se − 2 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2.
Enconte o valor de a e b para o qual lim
x→−2
f(x)
e lim
x→2
f(x) ambos existam.
7. Seja f uma func¸a˜o definida em R tal que para
todo x 6= 1, −x2+3x ≤ f(x) ≤ x2−1x−1 . Calcule
limx→1 f(x) e justifique.
8. Seja f definida em R e tal que, para todo x,
|f(x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule limx→1 f(x) e
justifique.
9. Suponha que para todo x, |g(x)| ≤ x4. Cal-
cule limx→0
g(x)
x .
10. Seja y = f(x) uma func¸a˜o cujo o gra´fico e´
dado abaixo
Calcule
lim
x→1
(x− 1)f(x).
3
Func¸o˜es Cont´ınuas
3.1 Definic¸a˜o de Continuidade de Func¸o˜es
Agora, estudaremos um classe especial de func¸o˜es que se verifica que
∃ lim
x→a
f(x) = f(a).
Inicialmente, vejamos alguns exemplos para motivar a definic¸a˜o a seguir.
☞ Exemplo 3.1.
1. Seja
f(x) =
{
x, se x < 1,
2, se x ≥ 1.
Note que f(1) esta´ definido; mas na˜o existe lim
x→1
f(x).
2. Seja
f(x) =
x2 − 1
x− 1 , x ∈ R.
Note que existe lim
x→1
f(x); mas f(1) na˜o esta´ definido.
3. Seja
45
46 CAPI´TULO 3. FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS
f(x) =
{
x+ 1, se x 6= 1,
1, se x = 1.
Note que existe lim
x→1
f(x) e f(1) esta´ definido; mas lim
x→1
6= f(1).
O gra´fico de uma func¸a˜o na˜o sera´ de nenhum dos tipos acima em mc, se f satisfazer as treˆs condic¸o˜es
relacionadas na pro´xima definic¸a˜o.
◮ Definic¸a˜o 3.1. Uma func¸a˜o y = f(x) e´ dita cont´ınua em um nu´mero a se
1. f(a) esta´ definido;
2. existe lim
x→a
f(x); e
3. lim
x→c
f(x) = f(a)
Ale´m disso, se a func¸a˜o f na˜o verifica qualquer das condic¸o˜es acima, f e´ dita descont´ınua em a.
Vejamos alguns exemplos de func¸o˜es descontinuas.
☞ Exemplo 3.2. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas no ponto indicado.
1. f(x) = x3 − 8; a = 0
Soluc¸a˜o:
Observe que:
• f(0) = −8
• lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(x3 − 8) = −8
Logo, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em c = 0.
2. f(x) =
{
x2−1
x−1 , se x 6= 1,
2, se x = 1.
; a = 1.
3.2. PROPRIEDADES OPERATO´RIAS 47
Soluc¸a˜o:
Observe
• f(1) = 2
• lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(
x2 − 1
x− 1
)
= lim
x→1
(x+ 1) = 2
Logo, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em c = 1.
3. f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
x− 1, se x < 0
Soluc¸a˜o:
Observe que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
(x2) = 0
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(x− 1) = −1
Logo, f e´ uma func¸a˜o descont´ınua em c = 0.
✍ Exerc´ıcio 3.1. Seja f uma func¸a˜o e suponha que para todo x ∈ R,
|f(x)| ≤ x2.
1. Calcule lim
x→0
f(x), caso exista.
2. A func¸a˜o f e´ cont´ınua em 0? Justifique.
3.2 Propriedades Operato´rias
Proposic¸a˜o 3.1. Se f e g sa˜o func¸o˜es continuas em a ∈ Dom(f) ∩Dom(g). Enta˜o
1. f + g e´ cont´ınua em a;
2. f · g e´ cont´ınua em a; e
3. f/g e´ continua em a, se g(a) 6= 0
48 CAPI´TULO 3. FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS
Demonstrac¸a˜o. Basta aplicar as propriedades de limites e a definic¸a˜o de continuidade.
Agora, seja A ⊂ R um intervalo aberto ou uma reunia˜o de intervalos abertos.
◮ Definic¸a˜o 3.2. Uma func¸a˜o f : A −→ R e´ dita cont´ınua quando f e´ cont´ınua para todo x ∈ A.
☞ Exemplo 3.3. .
1. Todo polinoˆmio p(x) = anx
n + · · ·+ a1x+ a0 e´ uma func¸a˜o cont´ınua em R.
2. Todas as func¸a˜os racionais sa˜o func¸o˜es cont´ınuas no seu domı´nio.
3. Todas as func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em seus domı´nios.
4. As func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em seus domı´nios.
3.3 Limites de Func¸o˜es Compostas
O pro´ximo teorema e´ u´til quando queremos calcular o lim
x→a
g (f(x)), quando temos o conhecimento que g
e´ continua e sabemos calcular o lim
x→a
f(x). Em outras palavras, o teorema a segui afirmar que podemos
“permutar”o limite com a func¸a˜o cont´ınua.
Teorema 3.1. Sejam f e g func¸o˜es tais que Im(f) ⊂ Dom(g). Se
1. lim
x→a
f(x) = b, e
2. g e´ continua em b.
Enta˜o
lim
x→a
g ◦ f(x) = g( lim
x→a
f(x)
)
Aplicac¸a˜o da Proposic¸a˜o
1. As func¸o˜es trigonome´tricas
f : R −→ R
x 7−→ sen x e
g : R −→ R
x 7−→ cos x
sa˜o cont´ınuas em R. Suponha que existe
lim
x→a
f(x) = b.
enta˜o
(a) lim
x→a
(
sen f(x)
)
= sen
(
lim
x→a
f(x)
)
;
(b) lim
x→a
(
cos f(x)
)
= cos
(
lim
x→a
f(x)
)
.
2. As func¸o˜es exponecial e logar´ıtmica
f : R −→ R
x 7−→ ex e
g : ]0,+∞[−→ R
x 7−→ lnx
sa˜o cont´ınuas em R. Suponha que existe
lim
x→a
f(x) = b.
enta˜o
(a) lim
x→a
ef(x) = elimx→a f(x);
(b) lim
x→a
(
ln f(x)
)
= ln
(
lim
x→a
f(x)
)
, se b ∈]0,+∞[.
3.4. COMPOSTAS DE FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS 49
✍ Exerc´ıcio 3.2. 1. Calcule os seguintes li-
mites:
(a) lim
x→0
(
cos(x2 + 3x+
π
2
)
)
(b) lim
x→1
(
sen
(
x2 − 1
x− 1
)
π
2
)
(c) lim
x→0
ex
2+1 + sen(π(2x+ 1))
(d) lim
x→1
ln
(
x5 + x3 − 1
x2 + 1
)
(e) lim
x→1
log3−x(3x
2 − 2x+ 1)
2. Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em R com f(1) =
0. Calcule
lim
x→1
f(ex
2−1)sen
(
1
x
)
3.4 Compostas de Func¸o˜es Cont´ınuas
O pro´ximo resultado afimar que a composta de func¸o˜es cont´ınuas e´ cont´ınua.
Proposic¸a˜o 3.2. Sejam f e g func¸o˜es. Se f e´ cont´ınua em c, e g e´ cont´ınua em f(c), enta˜o a composta
g ◦ f e´ cont´ınuo em c.
⊲ Observac¸a˜o 3.1.
1. A continuidade da func¸a˜o composta vale para um nu´mero finito de composic¸o˜es.
2. O teorema e´ u´til para mostrar que uma func¸a˜o e´ continua observando que ela e´ na realidade a
composta de outra func¸o˜es cont´ınuas.
☞ Exemplo 3.4. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas.
1.
f : R −→ R
x 7−→ |x2 + 2x+ 1|
Soluc¸a˜o:
Considere as seguintes func¸o˜es
• g : R −→ R
x 7−→ x2 + 2x+ 1 e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pois e´ uma func¸a˜o polinomial.
• g : R −→ R
x 7−→ |x| e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Temos que
R
g //
f=h◦g ��?
?
?
?
?
?
?
R
h
��
R
f(x) = h (g(x)) = |x2 + 2x+ 1|
Logo, a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pois e´ a composta de func¸o˜es continuas
2.
f : R −→ R
x 7−→ ln(x2 + 1)
Soluc¸a˜o:
Considere as seguintes func¸o˜es
50 CAPI´TULO 3. FUNC¸O˜ES CONTI´NUAS
• g : R −→ R
x 7−→ x2 + 1 e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pois e´ uma func¸a˜o polinomial.
• h : ]0,+∞[−→ R
x 7−→ lnx e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Temos que
R
g //
f=h◦g
##F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
]0,+∞[
h
��
R
f(x) = h (g(x)) = ln(x2 + 1)
Logo, a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, pois e´ a composta de func¸o˜es continuas.
3.5 Exerc´ıcios
1. Sejam f e g func¸o˜es continuas tais que f(1) =
2 e
lim
x→1
(f(x)− 3g(x)) = 5.
Calcule o valor de lim
x→1
g(x). Qual e´ o valor de
g(1)?
2. Sejam f e g func¸o˜es continuas tais que f(0) =
−5 e
lim
x→1
(
f(x2 − x)− 3g(x)) ex−1 = −3.
Calcule o valor de g(1). Qual e´ o valor de
lim
x→1
g(x)?
3. Determine o valor de L para que as seguintes
func¸o˜es sejam continuas nos pontos dados:
(a)
f(x) =
{
x2−x
x se x 6= 0,
L se x = 0
c = 0
(b)
f(x) =
{
x2−9
x−3 se x 6= 3,
L se x = 3
c = 3
(c)
f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1,
L2 se x < −1
c = −1
(d)
f(x) =
{
4− x+ x3 se x ≥ 1,
9− Lx2 se x < 1
c = 1
4. Use a continuidade das func¸o˜es para calcular
os seguintes limites.
(a) lim
x→π
cos(x+ senx)
(b) lim
x→pi2
e
1
sin x
(c) lim
x→0
ln(
cos2x+ 1√
2(x2 + 1
)
(d) lim
x→0
sen(x2 + sen(cosx))
x2 + 1
5. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas
e esboce os gra´ficos correspondentes:
(a) f(x) = |x2 + 2x+ 1|, x ∈ R
(b) f(x) =
{
2x, se x ≥ 1,
1, se x > 1.
(c) f(x) =
{
x2−4
x−2 , se x 6= 1,
4, se x = 1.
(d) f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
2x, se x > 0.
6. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→0
e
(
x2−1
x+1
)
(b) lim
x→0
sen
(
πx− tg x
2x+ tg x
)
(c) lim
x→0
ln
(
x2 + x+ 1
x+ 1
)
(d) lim
x→1
log(3−x)(3x2 − 2x+ 1)
4
A Derivada
O objetivo desse cap´ıtulo e´ introduzir o conceito de derivada, bem como fazer a sua interpretac¸a˜o
geome´trica e f´ısica. Ale´m disso, desenvolveremos te´cnicas para o ca´lculo da derivada de uma func¸a˜o.
4.1 Motivac¸a˜o para Derivada
Reta tangente
Iniciaremos o estudo da reta tangente de uma func¸a˜o y = f(x) analisando alguns exemplos de gra´ficos
de determinadas func¸o˜es cont´ınuas.
Problema 4.1. Seja P = (a, f(a)) um ponto no gra´fico de uma func¸a˜o f . Encontre a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de f em P .
Soluc¸a˜o:
Observe que uma reta fica bem determinada se temos sua inclinac¸a˜o e um ponto sobre a reta. Temos que
o ponto P = (a, f(a)) pertence a reta tangente, para determinar a equac¸a˜o da reta tangente r precisamos
apenas da inclinac¸a˜o; assim considere a reta secante s que passa por P = (a, f(a)) e Q = (x, f(x)), cujo
coeficiente angular de s e´ dado por
ms =
f(x)−f(a)
x−a .
Quando x→ a, o ponto Q se move sobre o gra´fico de f tendendo ao ponto P . Logo, quando x→ a,
a inclinac¸a˜o da reta secante tende a inclinac¸a˜o da reta tangente, ou seja:
m = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
O exemplo anterior motiva a seguinte definic¸a˜o sobre reta tangente:
51
52 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
◮ Definic¸a˜o 4.1. A reta que passa por (a, f(a)) e tem coeficiente angular :
m = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
e´ chamada de reta tangente ao gra´fico de f em (a, f(a)).
⊲ Observac¸a˜o 4.1. .
1. Fazendo h = x− a, temos que:
x→ a⇐⇒ h→ 0
Enta˜o:
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
2. Como a e´ um ponto arbitra´rio, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico
de f em qualquer ponto (x, f(x))
(4.1) m = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Assim, mx so´ depende de x.
3. Se f for cont´ınua em a, enta˜o a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´
y − f(a) = m(x− a)
desde que (4.1) exista.
☞ Exemplo 4.1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (a, f(a)) sendo dados:
1. f(x) = x2, a = 1
Soluc¸a˜o:
Observe que
• Ponto P :
a = 1 =⇒ f(1) = 1 Logo, P = (1, 1).
• Inclinac¸a˜o:
m = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
− lim
h→0
(2 + h) = 2
• Reta Tangente:
y − 1 = 2(x− 1).
2. f(x) =
√
x− 3, a = 7
Soluc¸a˜o:
Observe que
• Ponto P :
a = 7 =⇒ f(7) = √7− 3 =
√
4 = 2
4.1. MOTIVAC¸A˜O PARA DERIVADA 53
• Inclinac¸a˜o:
m = lim
h→0
f(7 + h)− f(7)
h
= lim
h→0
√
4 + h− 2
h
× (
√
4 + h+ 2)
(
√
4 + h− 2)
= lim
h→0
4 + h− 4
h(
√
4 + h− 2)
=
1
4
• Reta Tangente:
y − 2 = 1
4
(x− 7)
Velocidade Instantaˆnea
Vimos que o conceito de derivada estava ligado ao problema de trac¸ar a reta tangente a uma curva. Por
outro lado, ha´ um aspecto que e´ igualmente importante que passaremos a considerar, que e´ a interpretac¸a˜o
F´ısica da mesma. Suponhamos que uma part´ıcula se desloque sobre o eixo x das abscissas de tal modo
que x = x(t) represente a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t .
• Func¸a˜o Posic¸a˜o e´ a func¸a˜o que descreve a posic¸a˜o ocupada pela part´ıcula a cada instante.
x = x(t)
• Deslocamento Percorrido e´ o espac¸o percorrido pela part´ıcula entre os instantes t e t+∆t .
∆x = x(t+∆t)− x(t)
• Velocidade Me´dia e´ a raza˜o entre ∆x e ∆t.
Vm(t) =
∆x
∆t
=
x(t+∆t)− x(t)
∆t
◮ Definic¸a˜o 4.2. .
1. A velocidade v, no instante t, e´ dado pelo limite
v(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)
∆t
2. A acelerac¸a˜o a, no instante t, e´ dado pelo limite
a(t) = lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
Decore da definic¸a˜o:
• v(t) = dxdt
• a(t) = dvdx = d
2x
dt2
☞ Exemplo 4.2. Uma part´ıcula move-se sobre o eixo x com func¸a˜o posic¸a˜o x(t) = t2 (t ≥ 0), onde x
em metros (m) e t em segundos (s).
1. Determine as posic¸o˜es ocupadas pela part´ıcula no instante t = 0, t = 1 e t = 2.
2. Qual a velocidade no instante t ? E a acelerac¸a˜o ?
54 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
3. Fac¸a o esboc¸o de x(t).
Soluc¸a˜o:
1. t = 0⇒ x(0) = 0
t = 1⇒ x(1) = 1
t = 2⇒ x(2) = 4
2. v(t) =
d[t2]
dt
= 2t (m/s)
a(t) =
d2[t2]
dt2
=
d[2t]
dt
= 2 (m/s2)
3. Esboc¸o da func¸a˜o posic¸a˜o
☞ Exemplo 4.3. Um ponto move-se ao longo do gra´fico de y = x2 + 1 de tal modo que a abscissa x
varia a uma velocidade constante de 3 cm/s. Qual e´, quando x = 4 cm, a velocidade da ordenada y?
Soluc¸a˜o:
Fac¸a x = x(t), e seja t0 o instante tal que x(t0) = 4. Queremos determinar
dy
dt
∣∣∣∣
t=t0
.
Temos:
dy
dx
=
dy
dx
· dx
dt
=
d
dx
[x2 + 1] · dx
dt
= 2x · 3 = 6x
Enta˜o
dy
dx
∣∣∣∣
t=t0
= 6x(t0) = 6 · 4 = 24 cm/s
4.2 Definic¸a˜o de Derivada
Seja f : I → R uma func¸a˜o onde I ⊂ R e´ um intervalo aberto ou reunia˜o de intervalos abertos.
◮ Definic¸a˜o 4.3.
1. A derivada de uma func¸a˜o y = f(x) em x e´ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(a)
h
desde que o limite exista. Neste casa, dizemos que f e´ diferencia´vel em a.
4.2. DEFINIC¸A˜O DE DERIVADA 55
2. Dizemos que f e´ diferencia´vel (ou deriva´vel) em I ⊂ R, se f e´ diferencia´vel em cada ponto a ∈ I.
☞ Exemplo 4.4. Seja
f : R −→ R
x 7−→ x2 − 3
Calcule:
1. f ′(1)
2. f ′(x)
3. f ′(3)
Soluc¸a˜o:
1. Observe que
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)2 − 3 + 2
h
= lim
h→0
2h+ h2
h
= 2
2. Observe que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − 3− x2 + 3
h
= lim
h→0
2xh+ h2
h
= 2x
3. Segue de (b) f ′(3) = 2(3) = 6
⊲ Observac¸a˜o 4.2. A reta de equac¸a˜o
y − f(a) = f ′(a)(x− a))
e´, por definic¸a˜o, a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
Assim, a derivada de f em a, e´ o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa
a.
56 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
4.3 Fo´rmulas de Derivac¸a˜o
Sejam y = f(x) e y = g(x) func¸o˜es deriva´veis. Observe que
(f + g)′(x) = lim
h→0
f(x+ h) + g(x+ h)− f(x)− g(x)
h
= lim
h→0
{
f(x+ h)− f(x)
h
+
g(x+ h)− g(x)
h
}
= lim
h→0
(
f(x+ h)− f(x)
h
)
+ lim
h→0
(
g(x+ h)− g(x)
h
)
= f ′(x) + g′(x)
Logo, f e´ deriva´vel e vale a chamada Regra Soma:
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)
✍ Exerc´ıcio 4.1. Sejam y = f(x) um func¸o˜es deriva´vel. Mostre que
(cf)′(x) = cf ′(x),
onde c e´ uma constante.
Agora, vejamos como podemos encontrar mais fo´rmulas derivac¸a˜o.
Derivadas Ba´sicas
Teorema 4.1. Sa˜o va´lidas as fo´rmulas de derivac¸a˜o:
1. f(x) = c (c constante) =⇒ f ′(x) = 0
2. f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1
3. f(x) = mx+ n =⇒ f ′(x) = m
4. f(x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2x
5. f(x) = 1x =⇒ f ′(x) = −1x2
6. f(x) =
√
x =⇒ f ′(x) = 1
2
√
x
☞ Exemplo 4.5. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = −73
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 0
2. f(x) = 2x− 3
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 2
3. f(x) = 4x+ 2x
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 4− 2
x2
4. f(x) = 2
√
x+ 3x− 1
Soluc¸a˜o:
f ′(x)
1√
x
+ 3
Derivada da func¸a˜o poteˆncia
Teorema 4.2. Seja α ∈ R, α 6= 0. Enta˜o
f(x) = xα =⇒ f(x) = αxα−1
4.3. FO´RMULAS DE DERIVAC¸A˜O 57
Para uma prova parcial da proposic¸a˜o anterior veja os exerc´ıcios resolvidos no final do capitulo.
☞ Exemplo 4.6. Dados f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = x4
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 4x3.
2. f(x) = x−3
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = −3x−4.
3. f(x) =1x5
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 5x−6.
4. f(x) =
√
x
Soluc¸a˜o:
f ′(x) =
1
2
√
x
.
5. f(x) = x100
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 100x99.
✍ Exerc´ıcio 4.2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico das seguintes func¸o˜es, nos pontos
indicados:
1. f(x) = x3 , P = (1, f(1))
2. f(x) = 3
√
x , P = (8, f(8))
Derivadas da exponencial e do logaritmo natural
Teorema 4.3. Sa˜o va´lidas as fo´rmulas de derivac¸a˜o:
1. f(x) = ex =⇒ f ′(x) = ex.
2. g(x) = lnx =⇒ g′(x) = 1x .
☞ Exemplo 4.7. Dados f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = x3 + 3ex
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 3x2 + 3ex
2. f(x) = 2x−3 + lnx
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = −6x−4 + 1
x
.
Derivadas do seno e cosseno
Teorema 4.4. Sa˜o va´lidas as fo´rmulas de derivac¸a˜o:
1. f(x) = sen x =⇒ f ′(x) = cos x;
2. g(x) = cos x =⇒ g′(x) = −sen x.
☞ Exemplo 4.8. Dados f(x), calcule f ′(x):
58 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
1. f(x) = 2x5 − 3cos x
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 10x4 + 3sen x.
2. f(x) = 9ex − sen x
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 9ex − cos x
4.4 Regras de Derivac¸a˜o
Teorema 4.5. Sejam f e g diferencia´vel em a. Enta˜o:
1. (Regra da Soma) a func¸a˜o f ± g e´ diferencia´vel em a, e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).
2. (Regra do Produto) a func¸a˜o f · g e´ diferencia´vel em a, e
(f · g)′(a) = f(a)g′(a) + f ′(a)g(a).
3. (Regra do Quociente) a func¸a˜o f/g em a se g(a) 6= 0, e(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)
g(a)2
.
⊲ Observac¸a˜o 4.3. .
1. A notac¸a˜o [f(x)]′ e´ usada com frequeˆncia para indicar a derivada de f(x) em x.
2. Segue da regra do produto por derivadas: se K e´ uma constante, enta˜o
[Kf(x)]′ = 0 · f(x) +Kf ′(x)
= Kf ′(x)
3. Segue da regra do quociente para derivadas:[
1
g(x)
]′
=
0 · g(x)− g′(x)
g(x)2
=
−g′(x)
g(x)2
☞ Exemplo 4.9. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = x3 + 5x2 − 3x− 1
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 3x2 + 10x− 3
2. f(x) = (x2 + 3)(x3 − 2x+ 7)
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 2x(x3 − 2x+ 7) + (x2 + 3)(3x2 − 2)
3. f(x) = x3ex + 2
Soluc¸a˜o:
4.4. REGRAS DE DERIVAC¸A˜O 59
f ′(x) = 3x2ex + x3ex
4. f(x) = sen xx+1
Soluc¸a˜o:
f ′(x) =
(cos x)(x+ 1)− (sen x) · 1
(x+ 1)2
5. f(x) = x
3
3 ln x
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = x2 ln x+ x2
✍ Exerc´ıcio 4.3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de:
1. f(x) = x3 − 4 no ponto (2, f(2))
2. f(x) = (x+ 1)ex no ponto (0, f(0))
Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas
Ja´ calculamos as derivadas da func¸a˜o seno e cosseno, a saber:
(sen x)′ = cos x
(cos x)′ = −sen x
Vamos usar essas duas derivadas juntamente com as regras operato´rias para calcular as outras derivadas.
☞ Exemplo 4.10. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = tg x
Soluc¸a˜o:
Observe que
(tg x)′ =
(sen x
cos x
)′
=
cos x · cos x− sen x · (−sen x)
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
2. f(x) = sec x
Soluc¸a˜o:
Observe que
(sec x)′ =
(
1
cos x
)′
=
−(−sen x)
cos2 x
=
1
cos x
· sen x
cos x
= sec x tg x
3. f(x) = cotg x
Soluc¸a˜o:
Observe que
(cotg x)′ =
( cos x
sen x
)′
=
(−sen x)(sen x)− (cos x)(cos x)
sen2 x
=
−1
sen2 x
= −cosec2 x
60 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
4. f(x) = cosec x
Soluc¸a˜o:
Observe que
(cosec x)′ =
(
1
sen x
)′
=
−(cos x)
sen2 x
= − 1
sen x
· cos x
sen x
= −cosec x cotg x
Em resumo,
Proposic¸a˜o 4.1. Sa˜o va´lidas as fo´rmulas de derivac¸a˜o:
1. (tg x)′ = sec2 x
2. (sec x)′ = sec x tg x
3. (cotg x)′ = −cosec2 x
4. (cosec x)′ = −cosec x cotg x
✍ Exerc´ıcio 4.4. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = 2 (sec x)(sen x)
2. f(x) = (tg x)(sen x)
3. f(x) = −3(cotg x)(tg x)
4. f(x) = ex(cosec x)
Notac¸o˜es para derivada de uma func¸a˜o y = f(x)
f ′(x) ou dydx ou Dxf
Seja u = u(x) e v = v(x) func¸o˜es diferencia´veis em um conjunto A. Enta˜o para todo x ∈ A:
1. ddx [u+ v] =
du
dx +
dv
dx
2. ddx [u · v] = u dvdx + v dudx
3. ddx
[
u
v
]
=
v du
dx
−u dv
dx
v2 (v 6= 0)
✍ Exerc´ıcio 4.5.
1. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) y = 5x3 + 6x− 1
(b) x = 2tt+1
(c) y = u+1lnu
(d) x = e2t tg t
2. Calcule:
(a) ddx [x
2 − 5x]
(b) ddt [cos t+ 7]
(c) ddt [e
t sen t+ ln t]
(d) ddu [5u
2 + 3u− 2eu]
3. Seja x = 3t2sen t. Calcule
(a) dxdt
(b) dxdt
∣∣∣
t= π
Usualmente escrevemos uma func¸a˜o por y = y(x), onde y e´ a varia´vel dependente e x a varia´vel indepen-
dente.
☞ Exemplo 4.11. Dado f(x), calcule f ′(x):
4.5. REGRA DA CADEIA 61
1. f(x) = (2x+ x3)3
Soluc¸a˜o:
d
dx
[
(2x+ x3)3
]
= 3(2x+ x3)2(2 + 3x2)
2. f(x) = (ex − x)2
Soluc¸a˜o:
d
dx
[
(ex − x)2] = 2(ex − x)(ex − 1)
☞ Exemplo 4.12. Seja y = u3, onde u = u(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Verifique
dy
dx
= 3u2
du
dx
Soluc¸a˜o:
Observe que
dy
dx
=
d
dx
[u · u2]
= u2
du
dx
+ u
d
dx
[u2]
= u2
du
dx
+ u
{
u
du
dx
+ u
du
dx
}
= 3u2
du
dx
4.5 Regra da Cadeia
As manipulac¸o˜es dos exemplos anteriores podem se tornar bastante trabalhosas ou envia´veis de serem
calculadas pelas regras que temos ate´ agora. Como, por exemplo, podemos derivar as seguintes func¸a˜o
F (x) = sen(x2) ou G(x) = ee
ee
ex
?
A seguir, estabeleceremos uma regra para o ca´lculo da derivada de uma func¸a˜o composta g ◦ f , chamada
de regra da cadeia.
Teorema 4.6. Sejam f : A→ B e g : B → R, onde Im(f) ⊂ B. Se f e´ deriva´vel em A e g e´ deriva´vel
em B, enta˜o g ◦ f : A→ R e´ deriva´vel em A, e vale
(g ◦ f)′(x) = g′[f(x)] · f ′(x)
Notac¸a˜o 4.1 (Leibniz). Considere
u = f(x) e y = g(u).
Enta˜o,
• (g ◦ f)′(x) = dydx
• g′(f(x)) = g′(u) = dydx
• f ′(x) = dudx
62 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
Logo, a regra da cadeia fica:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
☞ Exemplo 4.13. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) = sen(x2 − 9)
Soluc¸a˜o:
d
dx
[sen(x2 − 9)] = cos(x2 − 9) · (2x)
2.
3. f(x) = (x5 + 4x3 + 3)1000
Soluc¸a˜o:
d
dx
[(x5 + 4x3 + 3)1000] = 1000(x5 + 4x3 + 3)999(5x4 + 12x2)
4. f(x) = ecos x
Soluc¸a˜o:
d
dx
[ecos x] = ecos x(−sen x)
☞ Exemplo 4.14. Seja f : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel, e seja g(x) = f(cos x). Suponha que
f ′(1/2) = 4, calcule g′
(
π
3
)
.
Soluc¸a˜o:
Como f e´ diferencia´vel, temos pela Regra da Cadeia,
g′(x) = f ′(cos x) · (−sen x).
Em x = π3 , temos
g′(
π
8
) = f ′(cos
π
3
) · (−senπ
3
)
= 4 · (
√
3
2
) = −2
√
3
Resp:−2√3
Aplicac¸a˜o da Regra da Cadeia
Proposic¸a˜o 4.2. Suponha que g e´ deriva´vel. Enta˜o:
1. [eg(x)]′ = eg(x) · g′(x)
2. [ln g(x)]′ = g
′(x)
g(x)
Demonstrac¸a˜o. .
4.5. REGRA DA CADEIA 63
1. Considere
y = eu e u = g(x)
Enta˜o, pela Regra da Cadeia:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · du
dx
= eg(x) · g′(x)
2. Considere
y = lnu e u = g(x).
Enta˜o, pela Regra da Cadeia:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
1
u
· du
dx
=
g′(x)
g(x)
☞ Exemplo 4.15. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = ecos x+x
2
Soluc¸a˜o:
d
dx
[ecos x+x
2
] = e(cos x+x
2)(−sen x+ 2x)
2. f(x) = ln(ex
2+1 + 2)
Soluc¸a˜o:
d
dx
[ln(ex
2+1 + 2)] =
1
ex2+1 + 2
(2x ex
2+1)
Proposic¸a˜o 4.3. Suponha que g e´ deriva´vel. Enta˜o:
1. [sen g(x)]′ = cos g(x) · g′(x)
2. [cos g(x)]′ = −sen g(x) · g′(x)
Demonstrac¸a˜o. .
1. Considere y = sen u e u = g(x) Enta˜o, pela regra da cadeia:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= cos u · du
dx
= cos g(x) · g′(x)
64 CAPI´TULO 4. A DERIVADA
2. Considere
y = cos u e u = g(x)
Enta˜o, pela regra da cadeia:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= −sen u · du
dx
= −sen g(x) · g′(x)
☞ Exemplo 4.16. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = sen(x3 + 3x− 7)
Soluc¸a˜o:
d
dx
[sen(x3 + 3x− 7)] = cos(x3 + 3x− 7)(3x2 + 3)
2. f(x)cos(ex − sen x)