FOLHA DE EXERCICIOS MATRIZES

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ALUNO: Marcelo Hiroshi Watanabe Santiago DATA ENTREGA: 06/04/2017 
CURSO: Licenciatura em Matemática SÉRIE: 1º Ano 
DISCIPLINA: Álgebra Linear I 
PROFESSOR: Jeferson Takeo Padoan Seki 
 
1. Determine as matrizes (2x2) cujos elementos foram dados abaixo: 
 
a) 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
 
𝑎𝑖𝑗 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] = [
2 2
2 4
] 
 
b) 𝑏𝑖𝑗 {
2𝑖 − 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
𝑖2 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
 
𝑏𝑖𝑗 = [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
] = [2.1 − 3.1 1
2 − 2.2
2.2 − 3.1 2.2 − 3.2
] = [
2 − 3 1 − 2
4 − 3 4 − 6
] = [
−1 −1
1 −2
] 
 
2. Escreva a matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 em cada caso 
 
a) A é do tipo 2 x 3 e 𝑎𝑖𝑗 = {
3𝑖 + 𝑗 ⇔ 𝑖 = 𝑗
𝑖 − 2𝑗 ⇔ 𝑖 ≠ 𝑗
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] = [
3.1 + 1 1 − 2.2 1 − 2.3
2 − 2.1 3.2 + 2 2 − 2.3
] = [
3 + 1 1 − 4 1 − 6
2 − 2 6 + 2 2 − 6
] = [
4 −3 −5
0 8 4
] 
 
b) A é quadrada de ordem 4 e 𝑎𝑖𝑗 = {
2𝑖 ⇔ 𝑖 < 𝑗
𝑖 − 𝑗 ⇔ 𝑖 = 𝑗
2𝑗 ⇔ 𝑖 > 𝑗
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 
𝑎13 𝑎14
𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42
 
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44
] = [
1. (−1)
2. (+1)
2. (+1)
2. (−2)
2. (+1)
2. (+2)
2. (+1)
2. (+2)
2. (+1)
2. (+1)
2. (+2)
2. (+2)
3. (−3)
2. (+3)
2. (+3)
4. (−4)
] = [
0
2
 
2
0
 
2
4
 
2
4
2
2
 
4
4
 
0
6
 
6
0
] 
 
c) A é do tipo 4 x 2 e 𝑎𝑖𝑗 = {
0 ⇔ 𝑖 = 𝑗
3 ⇔ 𝑖 ≠ 𝑗
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42
] = [
3 0
0 3
0 0
0 0
] 
 
d) A é quadrada de ordem 3 e 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 𝑗 + 2 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] = [
3.1 − 1 + 2 3.1 − 2 + 2 3.1 − 3 + 2
3.2 − 1 + 2 3.2 − 2 + 2 3.1 − 3 + 2
3.3 − 1 + 2 3.2 − 2 + 2 3.1 − 3 + 2
] = [
3 − 1 + 2 3 − 2 + 2 3 − 3 + 2
6 − 1 + 2 6 − 2 + 2 6 − 3 + 2
9 − 1 + 2 9 − 2 + 2 9 − 3 + 2
] = [
4 3 2
7 6 5
10 9 8
] 
 
3. Sejam 
𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
] 𝐵 = [
−2 0 1
3 0 1
] 𝐶 = [
−1
2
4
] 𝐷 = [2 −1] 
a) 𝐴 + 𝐵 = [
1 2 3
2 1 −1
] + [
−2 0 1
3 0 1
] = [
−1 2 4
5 1 0
] 
b) 𝐴. 𝐶 = [
1 2 3
2 1 −1
] . [
−1
2
4
] = [
1. (−1) + 2.2 + 3.4
2. (−1) + 1.2 + (−1). 4
] = [
−1 + 4 + 12
−2 + 2 − 4
] = [
15
−4
] 
c) 𝐵. 𝐶 = [
−2 0 1
3 0 1
] . [
−1
2
4
] = [
(−2). (−1) + 0.2 + 1.4
3. (−1) + 0.2 + 1.4
] = [
2 + 0 + 4
−3 + 0 + 4
] = [
6
1
] 
d) 𝐷. 𝐴 = [2 −1]. [
1 2 3
2 1 −1
] = [2.1 + (−1). 2 2.2 + (−1). 1 2.3 + (−1). (−1)] = [2 − 2 4 − 1 6 + 1] = [0 3 5] 
e) 𝐷. 𝐴 = [2 −1]. [
−2 0 1
3 0 1
] = [2. (−2) + (−1). 3 2.0 + (−1). 0 2.1 + (−1). 1] = [−4 − 3 0 + 0 2 − 1] = [−7 0 1] 
f) 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
] −𝐴 = [
−1 −2 −3
−2 −1 1
] 
g) 𝐷 = [2 −1] −𝐷 = [−2 1] 
 
4. Seja 𝐴 = [ 2 𝑥
2
2𝑥 − 1 0
] 
a) Se A’=A, então qual o valor de x? 
𝑥 = 1 
 
b) Se A é uma matriz simétrica, qual o valor de A – A’? 
𝐴 − 𝐴𝑡 = 0 Seria uma Matriz Nula 
 
c) Se A é uma matriz triangular superior, qual o valor de At? 
Matriz Triangular Inferior 
𝐴 = [
1 1 1
0 2 2
0 0 3
] 𝐴𝑡 = [
1 0 0
1 2 0
1 2 3
] 
 
 
d) Se A é uma matriz diagonal, qual o valor de A’? 
𝐴𝑡 = 𝐴 Continua uma Matriz Diagonal 
𝐴 = [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
] 𝐴𝑡 = [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
] 
 
5. Se A2 = A.A, então [
−2 1
3 2
]= 
 𝐴. 𝐴 = [
−2 1
3 2
] . [
−2 1
3 2
] = [
−2.−2 + 1.3 −2.1 + 1.2
3. (−2) + 2.3 3.1 + 2.2
] = [
4 + 3 −2 + 2
−6 + 6 3 + 4
] = [
7 0
0 7
] 
 
6. Se A é uma matriz triangular superior, então A2 é: 
Continua uma Matriz Triangular Superior 
 
7. Ache x, y, z, w se [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] . [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
] 
[
2𝑥 + 3𝑦 = 1
3𝑥 + 4𝑦 = 0
2𝑧 + 3𝑤 = 0
3𝑧 + 4𝑤 = 1
] 
 
3𝑥 + 4𝑦 = 0 
3𝑥 = −4𝑦 
𝑥 = −
4𝑦
3
 
 
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
 
[
2𝑥 + 3𝑦 = 1
3𝑥 + 4𝑦 = 0
2𝑧 + 3𝑤 = 0
3𝑧 + 4𝑤 = 1
] 
[
2𝑥 + 3𝑦 = 1
3𝑥 + 4𝑦 = 0
] . [
3
−2
] = [
6𝑥 + 9𝑦 = 3
−6𝑥 − 8𝑦 = 0
] = 𝑦 = 3 
[
 
 
 
 
 
3𝑥 + 4𝑦 = 0
3𝑥 + 4.3 = 0
3𝑥 = −12
𝑥 =
−12
3
𝑥 = −4 ]
 
 
 
 
 
 
[
2𝑧 + 3𝑤 = 0
3𝑧 + 4𝑤 = 1
] . [
3
−2
] = [
6𝑧 + 9𝑤 = 0
−6𝑧 − 8𝑤 = −2
] = 𝑤 = −2 
[
 
 
 
 
 
2𝑧 + 3𝑤 = 0
2𝑧 + 3. (−2) = 0
2𝑧 = 6
𝑧 =
6
2
𝑧 = 3 ]
 
 
 
 
 
 
[
−4 3
3 −2
] . [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
] 
 
8. Dadas 𝐴 = [
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
] 𝐵 = [
1
2
1
 
4
1
−2
 
1
1
1
 
0
1
2
] 𝐶 = [
2
3
2
 
1
−2
−5
 
−1
−1
−1
 
−2
−1
0
], mostre que AB = BC 
𝐴. 𝐵 = [
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
] . [
1
2
1
 
4
1
−2
 
1
1
1
 
0
1
2
] = [
1.1 + (−3). 2 + 2.1
2.1 + 1.2 + (−3). 1
4.1 + (−3). 2 + (−1). 1
 
1.4 + (−3). 1 + 2. (−2)
2.4 + 1.1 + (−3). (−2)
4.4 + (−3). 1 + (−1). (−2)
 
1.1 + (−3). 1 + 2.1
2.1 + 1.1 + (−3). 1
4.1 + (−3). 1 + (−1). 1
 
1.0 + (−3). 1 + 2.2
2.0 + 1.1 + (−3). 2
4.0 + (−3). 1 + (−1). 2
]
= [
1 − 6 + 2
2 + 2 − 3
4 − 6 − 1
 
4 − 3 − 4
8 + 1 + 6
16 − 3 + 2
 
1 − 3 + 2
2 + 1 − 3
4 − 3 − 1
 
0 − 3 + 4
0 + 1 − 6
0 − 3 − 2
] = [
−3
1
−3
 
−3
15
15
 
0
0
0
 
1
−5
−5
] 
𝐴. 𝐶 = [
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
] . [
2
3
2
 
1
−2
−5
 
−1
−1
−1
 
−2
−1
0
]
= [
1.2 + (−3). 3 + 2.2
2.2 + 1.3 + (−3). 2
4.2 + (−3). 3 + (−1). 2
 
1.1 + (−3). (−2) + 2. (−5)
2.1 + 1. (−2) + (−3). (−5)
4.1 + (−3). (−2) + (−1). (−5)
 
1. (−1) + (−3). (−1) + 2. (−1)
2. (−1) + 1. (−1) + (−3). (−1)
4. (−1) + (−3). (−1) + (−1). (−1)
 
1. (−2) + (−3). (−1) + 2.0
2. (−2) + 1. (−1) + (−3). 0
4. (−2) + (−3). (−1) + (−1). 0
]
= [
2 − 9 + 4
4 + 3 − 6
8 − 9 − 2
 
1 + 6 − 10
2 − 2 + 15
4 + 6 + 5
 
−1 + 3 − 2
−2 − 1 + 3
−4 + 3 + 1
 
−2 + 3 + 0
−2 − 1 − 0
−8 + 3 − 0
] = [
−3
1
−3
 
−3
15
15
 
0
0
0
 
1
−3
−5
] 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 
 
9. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material 
empregada em casa tipo de casa é dada pela matriz: 
 
 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 28 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial respectivamente, quantas unidades de cada 
material serão empregadas? 
[
5
7
6
 
20
18
25
 
16
12
8
 
7
9
5
 
17
21
13
] . [5 7 12] = [5.5 + 20.5 + 16.5 + 7.5 + 17.5 7.7 + 18.7 + 12.7 + 9.7 + 21.7 6.12 + 25.12 + 8.12 + 5.12 + 13.12]
= [25 + 100 + 80 + 35 + 85 49 + 126 + 84 + 63 + 147 72 + 300 + 96 + 60 + 156] = [325 469 684] 
 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 ucp. 
Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
[
5
7
6
 
20
18
25
 
16
12
8
 
7
9
5
 
17
21
13
] .
[
 
 
 
 
15
8
5
1
10]
 
 
 
 
= [
5.15 + 20.8 + 16.5 + 7.1 + 17.10
7.15 + 18.8 + 12.5 + 9.1 + 21.10
6.15 + 25.8 + 8.5 + 5.1 + 13.10
] = [
75 + 160 + 80 + 7 + 170
105 + 144 + 60 + 9 + 210
90 + 200 + 40 + 5 + 130
] = [
492
528
465
] 
 
c) Qual o custo total do material empregado? 
 [
492
528
465
] . [5 7 12] = [492.5 528.7 465.12] = [2460 3696 5580] 
2460 + 3696 + 5580 = 11.736 𝑢𝑝𝑐 
 
10. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que a ij = 1, na matriz 
abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, a ij = 0 significa que a transmissão da estação i não 
alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmitediretamente para si 
mesma. 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
0
1
 
1
0
 
1
1
 
1
1
 
1
0
0
0
0
 
1
0
0
 
0
1
0
 
0
0
1
 
0
1
0]
 
 
 
 
 
Qual seria o significado da matriz 𝐴2 = 𝐴. 𝐴 
a) Calcule A2. 
𝐴. 𝐴 =
[
 
 
 
 
0
1
 
1
0
 
1
1
 
1
1
 
1
0
0
0
0
 
1
0
0
 
0
1
0
 
0
0
1
 
0
1
0]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0
1
 
1
0
 
1
1
 
1
1
 
1
0
0
0
0
 
1
0
0
 
0
1
0
 
0
0
1
 
0
1
0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1
0
 
1
2
 
2
2
 
3
2
 
1
2
1
0
0
 
0
1
0
 
2
0
1
 
1
2
0
 
1
0
1]
 
 
 
 
 
 
b) Qual o significado de 𝑐13 = 2? 
𝑐13 = 2 e significa que a estação I transmite para estação III através de uma terceira de dois modos (através da estação II e da 
estação IV). 
 
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: “A matriz A2 representa o 
número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”. 
Cada elemento de 2A representa o número de modos que uma estação transmite para uma outra através de uma terceira estação. 
 
d) Qual o significado das matrizes A + A2, A3 e A + A2 + A3? 
Cada elemento de A + A2 representa a soma do número de modos que uma estação transmite para outra, diretamente e através de 
uma terceira para uma outra. 
 
e) Se A fosse simétrica, o que significaria? 
Se A fosse simétrica, isto é, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, isso significaria que a estação i transmite para estação j sempre que a estação j transmitir para 
a i.