Lista de atividades 4

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Nome: ______________________________________ Data entrega: 08/06/2016 
1) Defina vetor. 
2) Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique 
determinado? 
3) (UEL-PR). Na figura a seguir estão desenhados dois vetores (X e Y). Esses vetores 
representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Represente graficamente e 
determine o módulo do vetor resultante. 
 
 
Resolução: 
Uma maneira de resolver essa questão é traçar o triângulo 
retângulo e calcular a seguinte expressão: 
(|𝑅|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)
2
= (3)2 + (4)2 
(|𝑅|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)
2
= 9 + 16 
√(|𝑅|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)
2
= √25 → |𝑅|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 5 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Resolução 
 
5) Nos cubos abaixo, representar a soma dos vetores representados: 
 
 
Resolução: 
a) 
2�⃗� − 𝑣 + 4�⃗⃗� = 2(1,2,0) − (2,1, −1) + 4(0,2,3) 
 = (2,4,0) − (2,1, −1) + (0,8,12) 
 = (2 − 2 + 0, 4 − 1 + 8, 0 − (−1) + 12) 
 = (0, 11, 13) 
b) 
3(�⃗� + 𝑣 ) − 2(2𝑣 − �⃗⃗� ) = 3[(1,2,0) + (2,1, −1)] − 2[(2(2,1, −1) − (0,2,3)] 
 = 3(1 + 2, 2 + 1, 0 − 1) − 2[(4, 2, −2) − (0,2,3)] 
 = 3(3, 3, −1) − 2(4 − 0, 2 − 2,−2 − 3) 
 = (9, 9, −3) − 2(4, 0, −5) 
 = (9, 9, −3) − (8, 0, −10) 
 = (9 − 8, 9 − 0,−3 − (−10)) 
 = (1, 9, 7) 
 
a) (1, 3, 0) + (1, 3, −2) = (1 + 1, 3 + 3, 0 − 2) = (2, 6, −2) 
b) 2(1, 3, 0) − 3(5, 5, 2) − (1, 3, −2) = (2, 6, 0) − (15, 15, 6) − (1, 3, −2) 
 = (2 − 15 − 1, 6 − 15 − 3, 0 − 6 − (−2)) 
 = (−14, −12,−4) 
 
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 − 𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (0, 3, −2) = (𝑥 − 0, 𝑦 − 3, 𝑧 − (−2)) = (𝑥, 𝑦 − 3, 𝑧 + 2) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (0, 3, −2) − (2, 0, 1) = (0 − 2, 3 − 0, −2 − 1) = (−2, 3, −3) 
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐶 = (0, 3, −2) − (1, 2, 0) = (0 − 1, 3 − 2,−2 − 0) = (−1, 1, −2) 
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
(𝑥, 𝑦 − 3, 𝑧 + 2) = (−2, 3, −3) + (−1, 1, −2) 
(𝑥, 𝑦 − 3, 𝑧 + 2) = (−3, 4, −5) 
𝑥 = −3 
𝑦 − 3 = 4 → 𝑦 = 7 
𝑧 + 2 = −5 → 𝑧 = −7 
𝐷 = (−3, 7, −7) 
 
 
 
 
Vetor oposto de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ é −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ou 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗: 
−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −(𝐵 − 𝐴) = −𝐵 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐵 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴 − 𝐵 
−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Calculo de 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 3, 2) − (0,−2, 3) 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1 − 0, 3 − (−2), 2 − 3) 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 5, −1) 
Calculo −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 
−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −(𝐵 − 𝐴) 
−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −[(0,−2,3) − (1, 3, 2)] 
−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −(−1,−5, 1) = (1, 5, −1) 
 
𝑚�⃗� + 𝑛𝑣 + 𝑝�⃗⃗� = (0, 0, 14) 
𝑚(1, 2, 0) + 𝑛(0, 1, 3) + 𝑝(−1, 3, 1) = (0, 0, 14) 
(1𝑚, 2𝑚, 0𝑚) + (0𝑛, 1𝑛, 3𝑛) + (−1𝑝, 3𝑝, 1𝑝) = (0, 0, 14) 
{
1𝑚 + 0𝑛 − 1𝑝 = 0
2𝑚 + 1𝑛 + 3𝑝 = 0
0𝑚 + 3𝑛 + 1𝑝 = 14
 
Para encontrar o valor dos escalares 𝑚, 𝑛 𝑒 𝑝 basta resolver o sistema de equações. Optei 
pela regra de Kramer. 
𝐷 = |
1 0 −1
2 1 3
0 3 1
| = (1 − 6 + 0) − (0 + 9 + 0) = −6 − 9 = −14 
𝑚 =
𝐷𝑚
𝐷
=
|
0 0 −1
0 1 3
14 3 1
|
−14
=
[(0 + 0 + 0) − (14 + 0 + 0)]
−14
=
−14
−14
= 1 → 𝑚 = 1 
𝑛 =
𝐷𝑛
𝐷
=
|
1 0 −1
2 0 3
0 14 1
|
−14
=
[(0 − 28 + 0) − (0 + 42 + 0)]
−14
=
−70
−14
= 5 → 𝑛 = 5 
 
𝑝 =
𝐷𝑝
𝐷
=
|
1 0 0
2 1 0
0 3 14
|
−14
=
[(14 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0)]
−14
=
14
−14
= −1 → 𝑝 = −1 
 
11. Dados os vetores �⃗� = (3,−5), 𝑣 = (−2,4) 𝑒 �⃗⃗� = (−14, 8), determinar 
𝑘1 𝑒 𝑘2 tal que 𝑒 �⃗⃗� = 𝑘1�⃗� + 𝑘2𝑣 
�⃗⃗� = 𝑘1�⃗� + 𝑘2𝑣 
(−14,8) = 𝑘1(3,−5) + 𝑘2(−2,4) 
(−14, 8) = (3𝑘1, −5𝑘1) + (−2𝑘2, 4𝑘2) 
{
3𝑘1 − 2𝑘2 = −14
−5𝑘1 + 4𝑘2 = 8
 
Para resolver o sistema vou utilizar o método da adição. Neste caso, vou 
multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda equação. 
{
3𝑘1 − 2𝑘2 = −14 (.2)
−5𝑘1 + 4𝑘2 = 8
 
{
6𝑘1 − 4𝑘2 = −28
−5𝑘1 + 4𝑘2 = 8
+ 
___________________ 
𝑘1 = −20 
Substituindo 𝑘1 = −20 em qualquer uma das equações originais 
encontramos 𝑘2 = −23 
−5(−20) + 4𝑘2 = 8 
100 + 4𝑘2 = 8 
4𝑘2 = −92 
𝑘2 = −23 
12. Determine se os pontos A, B e C dados (em relação a um sistema 
ortogonal de coordenadas cartesianas OXYZ) são colineares ou não. 
 
 Condição de colinearidade 
Dados �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), os dois vetores são colineares entre si se �⃗� = 𝑘𝑣 
ou 
�⃗⃗� 
�⃗� 
= 𝑘, tal que: 
𝑥1
𝑥2
 =
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
= k 
A partir deste conceito, pode-se também trabalhar com matrizes, pegando igualdade por vez, 
tal como: 
𝑥1
𝑥2
 =
𝑦1
𝑦2
→ 𝑥1𝑦2 = 𝑥2𝑦1 𝑜𝑢 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0 
A relação 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0 pode ser representada como o determinante da matriz 
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 0 
Outra igualdade possível é: 
𝑦1
𝑦2
 =
𝑧1
𝑧2
→ 𝑦1𝑧2 = 𝑦2𝑧1 𝑜𝑢 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 = 0 
Que pode ser representada pelo determinante a seguir: 
|
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| = 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 = 0 
A última igualdade é: 
𝑥1
𝑥2
 =
𝑧1
𝑧2
→ 𝑥1𝑧2 = 𝑥2𝑧1 𝑜𝑢 𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1 = 0 
|
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| = 𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1 = 0 
Ou seja, o cálculo do determinante da matriz: 
|
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
É feito separadamente das seguintes matrizes 
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
|; |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
|; |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 
Se o determinante dessas três matrizes for zero os vetores �⃗� 𝑒 𝑣 são colineares. 
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
|= |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
|= |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| = 0 
Vamos aos exercícios: 
a) 
1º resolução: 𝐴 = (1, 0, −1); 𝐵 = (3,−1, 1) 𝑒 𝐶 = (−4, 2, −4). 
𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴 − 𝐶 = (1, 0, − 1) − (−4, 2, −4) = (5,−2, 3) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (3,−1, 1) − (1, 0, −1) = (2,−1, 2) 
𝑘 =
5
2
= −
2
1
=
3
2
 
Resposta: os pontos não são colineares 
 2º resolução: 
|
5 −2 3
2 −1 2
| 
|
5 −2
2 −1
|= |
−2 3
−1 2
|= |
5 3
2 2
| = 0 
(−5) − (−4) = (−4) − (−3) = 10 − 6 
−1 = −1 = 4 
Não são colineares, pois os determinantes são diferentes de 0. 
b) Resposta: não são colineares. A resolução fica por conta de vocês. 
c) Resposta: não são colineares. A resolução fica por conta de vocês. 
 
 
Calculando 𝑎 . �⃗� , 
(1, −𝑚,−3). (𝑚 + 3, 4 − 𝑚, 1) = 1. (𝑚 + 3) + [−𝑚(4 − 𝑚)] − 3 → 
→ 𝑚 + 3 − 4𝑚 + 𝑚2 − 3 = 𝑚2 − 3𝑚 
Calculando 𝑎 + �⃗� 
(1, −𝑚,−3) + (𝑚 + 3, 4 − 𝑚, 1) = (𝑚 + 4,−2𝑚 + 4,−2) 
Calculando (𝑎 + �⃗� ). 𝑐 
(𝑚 + 4,−2𝑚 + 4,−2). (𝑚, −2, 7) = (𝑚 + 4).𝑚 + (−2𝑚 + 4). (−2) + 7. (−2) → 
→ 𝑚2 + 4𝑚 + 4𝑚 − 8 − 14 = 𝑚2 + 8𝑚 − 22 
Calculando a expressão 𝑎 + �⃗� = (𝑎 + �⃗� ). 𝑐 
𝑚2 − 3𝑚 = 𝑚2 + 8𝑚 − 22 
−11𝑚 = −22 → 𝑚 =
−22
−11
= 2 
 
 
Não precisam resolver essa questão