Lista de Atividades 5

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Lista de Atividades 5 
Ângulo de dois vetores: 
Já vimos que o ângulo 𝜃 entre dois vetores não nulos �⃗� e 𝑣 varia de 0º a 180º. Pois 
bem, a partir dos estudos feitos é possível dizer que o produto escalar de dois vetores 
está relacionado com o ângulo por eles formado. �⃗� ≠ 0⃗ , 𝑣 ≠ 0 e se 𝜃 é o ângulo dos 
vetores �⃗� e 𝑣 , então: 
�⃗� .𝑣 = |�⃗� ||𝑣 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 
Ou, de forma equivalente 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
�⃗� 𝑣 
|�⃗� ||𝑣 |
(𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 3. 4 − 1) 
Observações: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
�⃗� = (3,1) 
𝑣 = (𝑎, 𝑏) 
|𝑣 | = 30° 
 
cos 𝜃 =
�⃗� . 𝑣 
|�⃗� |. |𝑣 |
 
 
|𝑣 | = (√𝑎2 + 𝑏2)
2
 
(2)2 = (√𝑎2 + 𝑏2)
2
 
𝑎2 + 𝑏2 = 4 
 
cos 30° =
(3,1)(𝑎, 𝑏)
√32 + 12. 2
 
√3
2
=
3𝑎 + 𝑏
√10. 2
 
2√10√3 = 2(3𝑎 + 𝑏) 
√30 = (3𝑎 + 𝑏) 
 
{
𝑎2 + 𝑏2 = 4
(3𝑎 + 𝑏) = √30
 
 
(3𝑎 + 𝑏) = √30 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (2,1, −2) − (3,−3,3) = (−1,4,−5) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (1,0,2) − (3,−3,3) = (−2,3,−1) 
 
cos 𝛼 =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|. |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|
 
cos 𝛼 =
(−1,4, −5). (−2,3, −1)
√(−1)2 + (4)2 + (−5)2. √(−2)2 + (3)2(−1)2
 
 
cos 𝛼 =
(−1). (−2) + (4). (3) + (−5). (−1)
√1 + 16 + 25. √4 + 9 + 1
 
cos 𝛼 =
2 + 12 + 5
√42. √14
 
cos 𝛼 =
19
√588
 
cos 𝛼 = 0,78 
cos−1 0,78 =𝛼 
𝛼 ≅ 43,04° 
 
 
α 
β 
γ 
C 
B 
A 
5) 
 
 
 
6) 
 
7) Dados os vetores u = (1, 0), v = (1, 3) e w = (0,√2), mostre que os ângulos entre u e v e 
o ângulo entre v e w somam 90º.