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Apostila de Mecânica Geral, revisão objetiva   Estática

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completamente. Esta propriedade do material, pela 
qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta 
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o 
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação 
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente. 
 
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 A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE 
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como: 
εσ E= (4) 
onde 
σ = tensão normal 
E = módulo de elasticidade do material 
ε = deformação específica 
 
 O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do 
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. 
 A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, 
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição 
de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois 
somá-los. 
 Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, 
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. 
 
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais 
Material Peso específico (kN/m3) 
Módulo de Elasticidade 
(GPa) 
Aço 78,5 200 a 210 
Alumínio 26,9 70 a 80 
Bronze 83,2 98 
Cobre 88,8 120 
Ferro fundido 77,7 100 
Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12 
 
 Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a 
deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, 
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: 
EA
PL=δ (5) 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como 
rigidez axial da barra. 
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4.4.1 Coeficiente de Poisson 
 Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma 
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu 
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra 
essas deformações. 
P
P
P
P
 
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como: 
allongitudindeformação
lateraldeformação=υ (6) 
 Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. 
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em 
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com 
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. 
 Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a 
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o 
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material 
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas 
fibras a madeira é mais resistente. 
 
4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke 
 Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a 
exemplos simples de solicitação axial. 
 Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, 
respectivamente: 
EL
σε = e 
ELt
υσνεε == (7) 
 No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões 
normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às 
deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve: 
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( )[ ]zyxx E σσυσε +−= 1 . 
( )[ ]xzyy E σσυσε +−= 1 (8) 
( )[ ]yxzz E σσυσε +−= 1 . 
 
 A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que 
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos. 
 
Exemplos 
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de 
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de 
Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN. 
L= 5 m
P P=30 kN
 
4
2πφ=A 6,19
4
52 =×= πA cm2 
A
P=σ 53,1
6,19
30 ==σ kN/cm2 ou 15,3 MPa 
EA
PL=δ 0382,0
6,19000.20
50030 =×
×=δ cm 
L
δε = 0000764,0
500
0382,0 ==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰) 
 
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com 
área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho 
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças 
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o 
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2. 
300 cm
30kN
A
150kN
200 cm200 cm
B C
50kN
D
170kN
 
 
 
σy x
σ
σz
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Trecho A-B 
300 cm
150kN
A
170kN
50kN
30kN
B
R=150kN
 
A
P=σ 15
10
150 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 214,0
10000.21
300150 =×
×=δ cm 
L
δε = 713,01000
300
214,0 =×=ε (‰) 
 
Trecho B-C 
30kNR=120kN
150kN
200 cm
B C
50kN
170kN
R=120kN
 
A
P=σ 8
15
120 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 076,0
15000.21
200120 =×
×=δ cm 
L
δε = 38,01000
200
076,0 =×=ε (‰) 
 
Trecho C-D 
30kNR=170kN
150kN
200 cm
50kN
C D
170kN
 
A
P=σ 44,9
18
170 ==σ kN/cm2 
EA
PL=δ 0899,0
18000.21
200170 =×
×=δ cm 
L
δε = 45,01000
200
0899,0 =×=ε (‰) 
 
Alongamento total 
38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm 
 
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4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas 
 Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser 
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente 
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática 
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para 
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a 
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 
4.4. 
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
 
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada 
 
 A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra 
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, 
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A 
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é 
PRR ba =+ (9) 
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente 
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda 
equação, que considere as deformações da barra. 
 Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força 
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da 
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento 
(para baixo) do ponto