LISTA 02 ALGEBRA LINEAR SUBESPAÇOS VETORIAIS UFRN

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Lista: Subespac¸os Vetoriais
A´lgebra Linear - MAT 0025 - T04
Data de Entrega: 17/10/2017
1. Considere o espac¸o vetorial (R3,+, ·) com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e produto
escalar.
Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 = y2}
b) {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}
c) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1}
d) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}
e) {(x, y, z) ∈ R3 : y ≤ 2x}
f) {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0}
2. Considere o espac¸o vetorial (F(N,R),+, ·) das sequeˆncias reais com suas operac¸o˜es usuais
de adic¸a˜o e produto escalar.
Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+4 = an ∀n ∈ N}.
b) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : a2n = 1 ∀n ∈ N}.
c) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+1 ≤ an ∀n ∈ N}.
d) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+2 = (an+1 + an)(an+1 − an) ∀n ∈ N}.
e) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an = 0 ∀n ≥ 10}.
f) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+1 = an+2 + an ∀n ∈ N}.
3. Considere o espac¸o vetorial (R[X],+, ·) dos polinoˆmios reais com suas operac¸o˜es usuais
de adic¸a˜o e produto escalar.
Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) {p ∈ R[X] : p(X) = p(−X)}.
1
b) {p ∈ R[X] : grau(p) ≤ 10}.
c) {p ∈ R[X] : p(X2) = Xp(X)}.
d) {p ∈ R[X] : p(X + 1) + p(X − 1) = 2p(X)}.
e) {p ∈ R[X] : grau(p) e´ par }.
4. Considere o espac¸o vetorial (R2×2,+, ·) das matrizes quadradas com suas operac¸o˜es usuais
de adic¸a˜o e produto escalar.
Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) {A ∈ R2×2 : Aij = Aji ∀i, j}.
b) {A ∈ R2×2 : Aii = 0 ∀i}.
c) {A ∈ R2×2 : A12 + A22 = A11 + A21}.
d) {A ∈ R2×2 : A12 = 3 + A21}.
e) {A ∈ R2×2 : Aij = −Aji ∀i, j}.
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