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Lista: Subespac¸os Vetoriais A´lgebra Linear - MAT 0025 - T04 Data de Entrega: 17/10/2017 1. Considere o espac¸o vetorial (R3,+, ·) com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e produto escalar. Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais: a) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 = y2} b) {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0} c) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1} d) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} e) {(x, y, z) ∈ R3 : y ≤ 2x} f) {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0} 2. Considere o espac¸o vetorial (F(N,R),+, ·) das sequeˆncias reais com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e produto escalar. Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais: a) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+4 = an ∀n ∈ N}. b) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : a2n = 1 ∀n ∈ N}. c) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+1 ≤ an ∀n ∈ N}. d) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+2 = (an+1 + an)(an+1 − an) ∀n ∈ N}. e) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an = 0 ∀n ≥ 10}. f) {a = (an)n∈N ∈ F(N,R) : an+1 = an+2 + an ∀n ∈ N}. 3. Considere o espac¸o vetorial (R[X],+, ·) dos polinoˆmios reais com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e produto escalar. Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais: a) {p ∈ R[X] : p(X) = p(−X)}. 1 b) {p ∈ R[X] : grau(p) ≤ 10}. c) {p ∈ R[X] : p(X2) = Xp(X)}. d) {p ∈ R[X] : p(X + 1) + p(X − 1) = 2p(X)}. e) {p ∈ R[X] : grau(p) e´ par }. 4. Considere o espac¸o vetorial (R2×2,+, ·) das matrizes quadradas com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e produto escalar. Determine quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais: a) {A ∈ R2×2 : Aij = Aji ∀i, j}. b) {A ∈ R2×2 : Aii = 0 ∀i}. c) {A ∈ R2×2 : A12 + A22 = A11 + A21}. d) {A ∈ R2×2 : A12 = 3 + A21}. e) {A ∈ R2×2 : Aij = −Aji ∀i, j}. 2
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