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7 Exercícios Resolvidos Carreg Comb 18.05.16

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Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil
Ao Departamento de Engenharia Civil 
Área de Conhecimento - Engenharias
28 de Julho de 2016
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Carregamentos Combinados
Professor: Frederico Cunha Brito
Disciplina: Resistência dos Materiais II
EXERCÍCIO 1
Uma placa de dimensões 2,0 m x 1,2 m é sustentada
por um poste circular vazado com diâmetro de 220
mm e diâmetro interno de 180 mm, como na figura a
seguir. A placa está distante 0,5 m da linha de centro
do poste e sua aresta inferior está 6,0 m acima do
chão. Determine as tensões normais e cisalhantes
atuantes nos pontos A e B na base do poste devido a
uma pressão de vento de 2,0kPa contra a placa.
Resolução:
• Cálculo dos Esforços solicitantes.
A pressão causada pelo vento produz uma força
resultante W, que age no ponto médio da placa e é
igual à pressão p vezes a área A sobre a qual ela
atua:
𝑊 = 𝑝𝐴 = 2 𝑘𝑃𝑎 2𝑚 ∙ 1,2𝑚 = 4,8 𝑘𝑃𝑎 𝑚2 = 4,8 𝑘𝑁
A linha de ação dessa força está a uma altura
h=6,6m acima do chão e a uma distância b=1,5m da
linha de centro do poste.
A força do vento agindo na placa é estaticamente
equivalente a uma força lateral W=4,8 kN e a um
torque T agindo no poste, como na figura abaixo.
O torque T é igual à força W vezes a distância b:
𝑇 = 𝑊𝑏 = 4,8 𝑘𝑁 1,5 𝑚 = 7,2 𝑘𝑁𝑚
Os esforços solicitantes na base do poste consistem 
em um momento fletor M, um torque T e uma força 
de cisalhamento V. Suas intensidades são:
𝑀 = 𝑊ℎ = 4,8 𝑘𝑁 6,6 𝑚 = 31,68 𝑘𝑁𝑚
𝑇 = 7,2 𝑘𝑁𝑚
𝑉 = 𝑊 = 4,8 𝑘𝑁
• Calculo das Tensões nos pontos A e B.
A análise desses esforços solicitantes (ver figura
abaixo) mostra que as tensões fletoras máximas
ocorrem no ponto A e as tensões de cisalhamento
máximas, no ponto B, que são os pontos críticos
onde as tensões devem ser determinadas.
Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil
Ao Departamento de Engenharia Civil 
Área de Conhecimento - Engenharias
28 de Julho de 2016
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Carregamentos Combinados
Professor: Frederico Cunha Brito
Disciplina: Resistência dos Materiais II
O momento fletor M produz uma tensão de tração 𝜎𝐴
no ponto A, mas nenhuma tensão no ponto B (que
está localizado na linha neutra). A tensão 𝜎𝐴 é obtida
a partir da fórmula de flexão:
𝜎𝐴 =
𝑀𝑦
𝐼
=
𝑀𝑟2
𝐼
=
𝑀( 𝑑2 2)
𝐼
Onde 𝑟2 é o raio externo, 𝑑2 é o diâmetro externo
(220mm) e 𝐼 é o momento de inércia da seção
transversal.
O momento de inércia (seção vazada) é:
𝐼 =
𝜋(𝑑2
4 − 𝑑1
4)
64
=
𝜋 (0,22𝑚)4−(0,18𝑚)4
64
𝐼 = 63,46 𝑥 10−6 𝑚4
Onde 𝑑1 é o diâmetro interno.
Assim, a tensão 𝜎𝐴 é:
𝜎𝐴 =
𝑀( 𝑑2 2)
𝐼
=
(31,68 𝑘𝑁𝑚) ( 0,22𝑚 2)
63,46 𝑥10−6 𝑚4
𝜎𝐴 = 54913,3 kN/m² = 54,91 Mpa
O torque T produz tensões de cisalhamento 𝜏1 nos
pontos A e B. Podemos calcular essas tensões a
partir da fórmula de torção:
𝜏1 =
𝑇 𝑑2 2
𝐼𝑝
Em que 𝐼𝑝 é o momento de Inércia polar (seção
circular vazada):
𝐼𝑝 =
𝜋 𝑑2
4 − 𝑑1
4
32
=
𝜋 (0,22𝑚)4−(0,18𝑚)4
32
𝐼𝑝 = 126,92 x 10
−6 𝑚4
Portanto,
𝜏1 =
𝑇 𝑑2 2
𝐼𝑝
=
(7,2 kNm)(0,22𝑚/2)
(126,92 𝑥 10−6𝑚4)
𝜏1 = 6240,15 kN/m² = 6,24 Mpa
Finalmente, pode-se calcular as tensões de
cisalhamento nos pontos A e B devidas à força de
cisalhamento V. A tensão de cisalhamento no ponto
A é nula, e a tensão de cisalhamento no ponto B (𝜏2)
é obtida a partir da fórmula de cisalhamento para um
tubo circular vazado:
𝜏2 =
4𝑉
3𝐴
𝑟2
2 + 𝑟2𝑟1 + 𝑟1
2
𝑟2
2 + 𝑟1
2
Onde 𝑟1 e 𝑟2 são os raios interno e externo,
respectivamente, e A é a área da seção transversal
circular vazada.
𝑟1 =
𝑑1
2
= 90 𝑚𝑚 = 0,09 𝑚
𝑟2 =
𝑑2
2
= 110 𝑚𝑚 = 0,11 𝑚
𝐴 = 𝜋 𝑟2
2 − 𝑟1
2 = 𝜋 0,112 − 0,092 = 0,01257 𝑚2
Assim,
𝜏2 =
4 (4,8 𝑘𝑁)
3(0,01257 𝑚2)
0,112 + (0,11)(0,09) + 0,092
0,112 + 0,092
𝜏2 = 758,68 𝑘𝑁 𝑚² = 0,76 𝑀𝑃𝑎
As tensões agindo na seção transversal nos pontos
A e B foram, então, calculadas.
= 54,91 MPa
= 6,24 MPa
𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 = 7,00 MPa
Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil
Ao Departamento de Engenharia Civil 
Área de Conhecimento - Engenharias
28 de Julho de 2016
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Carregamentos Combinados
Professor: Frederico Cunha Brito
Disciplina: Resistência dos Materiais II
EXERCÍCIO 2
A viga tubular ACB da figura abaixo tem comprimento
L=1,5m, está apoiada por pinos em suas
extremidades e carregada por uma força inclinada P
no ponto médio de seu comprimento. A distância do
ponto de aplicação da carga P ao eixo longitudinal do
tubo é d=140mm.
Determine as tensões de tração e de compressão
máximas na viga devido ao carregamento P= 4500 N.
Resolução:
• Representação da viga e seu carregamento.
Começa-se representando a viga e seu
carregamento em uma forma idealizada para
propósito de análise. Os apoios nas extremidades A e
B são representados como apoio de segundo gênero
(resiste aos deslocamentos vertical e horizontal) e
primeiro gênero (resiste apenas ao deslocamento
vertical), respectivamente.
A carga inclinada P é decomposta nas componentes
horizontal e vertical 𝑃𝐻 e 𝑃𝑉:
𝑃𝐻 = 𝑃 𝑠𝑒𝑛 60° = 4500 𝑁 𝑠𝑒𝑛 60° = 3897 𝑁
𝑃𝑉 = 𝑃 𝑐𝑜𝑠 60° = 4500 𝑁 𝑐𝑜𝑠 60° = 2250 𝑁
E, ainda, como a componente 𝑃𝐻 está distante do
eixo da viga de uma distância d=140mm, ela gera
um momento (𝑀0) que deve ser transferido para o
eixo da viga (no ponto C).
𝑀0 = 𝑃𝐻𝑑 = 3897 𝑁 0,14 𝑚 = 545,6 𝑁𝑚
A viga e seu carregamento podem, então, ser
representados da seguinte forma:
750 mm750 mm
4500 N
140 mm
150 mm
150 mm
A seção transversal do
tubo é a da figura ao lado
com dimensão externa
b=0,15m, área A=0,0125
m² e momento de inércia
I=33,86x10−6 𝑚4.
A B
2250 N
3897 N
545,6 Nm
0,75m 0,75m
• Reações.
Aplicando as equações de equilíbrio na viga é
possível encontrar os valores da reações nos apoios
(𝑅𝐻 , 𝑅𝐴 e 𝑅𝐵).
 𝐹𝑥 = 0 : −𝑅𝐻 + 𝑃𝐻 = 0
∴ 𝑅𝐻 = 3897 𝑁 (←)
 𝑀𝐴 = 0: 1,5 𝑅𝐵 + 545,6 − 0,75 𝑃𝑉 = 0
∴ 𝑅𝐵 = 761 𝑁 ( ↑ )
 𝐹𝑦 = 0 : −𝑃𝑉 + 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0
∴ 𝑅𝐴 = 1489 𝑁 ( ↑ )
Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil
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28 de Julho de 2016
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Carregamentos Combinados
Professor: Frederico Cunha Brito
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Os diagramas de força normal N, força cortante V e
momento fletor M são dados a seguir:
• Tensões na viga.
Nota-se que no ponto médio da viga (ponto C) ocorre
o maior cortante e o maior fletor. Neste ponto, a
tensão de tração relativa à força normal se soma à
tensão de tração produzida pelo momento fletor.
Sendo assim, a máxima tensão de tração na viga
ocorre neste ponto.
Pode ser utilizada a equação da superposição das
tensões produzidas por força normal e por momento
fletor (tensões combinadas) a seguir:
𝜎 =
𝑁
𝐴
−
𝑀𝑦
𝐼
Da seção central da viga (no ponto C), vem:
Observa-se que o momento 𝑀𝐶 comprime a região
superior à LN (linha neutra) e traciona a região
inferior.
𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥
=
(3897 𝑁)
(0,0125 𝑚²)
−
1116,8 𝑁𝑚 −0,075𝑚
33,86 𝑥 10−6 𝑚4
𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥
= 311760 𝑁 𝑚2 + 24737152,98 𝑁 𝑚2
𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥
= 0,312 𝑀𝑁 𝑚2 + 2,474 𝑀𝑁 𝑚2
𝝈𝒕𝒓𝒂çã𝒐 𝒎á𝒙
= 𝟐, 𝟕𝟗 𝑴𝑷𝒂
3897 N
1489 N
-761 N
1116,8 Nm
571,2 Nm
C
𝑴𝑪 = 𝟏𝟏𝟏𝟔, 𝟖 𝐍𝐦
𝑵𝑪 = 3897 N 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝒎
- 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝒎
𝑳𝑵
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆
traciona
traciona
A tensão de compressão máxima ocorre na parte
superior da viga (y=+0,075m) à esquerda do ponto C
ou àdireita do ponto C (é preciso verificar qual das
duas tem maior valor numérico). Essas duas tensões
podem ser calculadas da seguinte forma:
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 =
𝑁
𝐴
−
𝑀𝑦
𝐼
=
(3897 𝑁)
(0,0125 𝑚²)
−
1116,8 𝑁𝑚 0,075𝑚
33,86 𝑥 10−6 𝑚4
=
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 = 0,312
 𝑀𝑁 𝑚2 − 2,474 𝑀𝑁 𝑚2
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 = −2,16 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑑𝑖𝑟 =
𝑁
𝐴
−
𝑀𝑦
𝐼
= 0 −
571,2 𝑁𝑚 0,075𝑚
33,86 𝑥 10−6 𝑚4
= −1265209,69 𝑁/𝑚²
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑑𝑖𝑟 = −1,265 𝑀𝑃𝑎
Assim,
𝝈𝒄𝒐𝒎𝒑 𝒎á𝒙
= −𝟐, 𝟏𝟔 𝑴𝑷𝒂
(tensão que ocorre na parte de cima da viga à
esquerda do ponto C).
M

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