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Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil Ao Departamento de Engenharia Civil Área de Conhecimento - Engenharias 28 de Julho de 2016 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Carregamentos Combinados Professor: Frederico Cunha Brito Disciplina: Resistência dos Materiais II EXERCÍCIO 1 Uma placa de dimensões 2,0 m x 1,2 m é sustentada por um poste circular vazado com diâmetro de 220 mm e diâmetro interno de 180 mm, como na figura a seguir. A placa está distante 0,5 m da linha de centro do poste e sua aresta inferior está 6,0 m acima do chão. Determine as tensões normais e cisalhantes atuantes nos pontos A e B na base do poste devido a uma pressão de vento de 2,0kPa contra a placa. Resolução: • Cálculo dos Esforços solicitantes. A pressão causada pelo vento produz uma força resultante W, que age no ponto médio da placa e é igual à pressão p vezes a área A sobre a qual ela atua: 𝑊 = 𝑝𝐴 = 2 𝑘𝑃𝑎 2𝑚 ∙ 1,2𝑚 = 4,8 𝑘𝑃𝑎 𝑚2 = 4,8 𝑘𝑁 A linha de ação dessa força está a uma altura h=6,6m acima do chão e a uma distância b=1,5m da linha de centro do poste. A força do vento agindo na placa é estaticamente equivalente a uma força lateral W=4,8 kN e a um torque T agindo no poste, como na figura abaixo. O torque T é igual à força W vezes a distância b: 𝑇 = 𝑊𝑏 = 4,8 𝑘𝑁 1,5 𝑚 = 7,2 𝑘𝑁𝑚 Os esforços solicitantes na base do poste consistem em um momento fletor M, um torque T e uma força de cisalhamento V. Suas intensidades são: 𝑀 = 𝑊ℎ = 4,8 𝑘𝑁 6,6 𝑚 = 31,68 𝑘𝑁𝑚 𝑇 = 7,2 𝑘𝑁𝑚 𝑉 = 𝑊 = 4,8 𝑘𝑁 • Calculo das Tensões nos pontos A e B. A análise desses esforços solicitantes (ver figura abaixo) mostra que as tensões fletoras máximas ocorrem no ponto A e as tensões de cisalhamento máximas, no ponto B, que são os pontos críticos onde as tensões devem ser determinadas. Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil Ao Departamento de Engenharia Civil Área de Conhecimento - Engenharias 28 de Julho de 2016 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Carregamentos Combinados Professor: Frederico Cunha Brito Disciplina: Resistência dos Materiais II O momento fletor M produz uma tensão de tração 𝜎𝐴 no ponto A, mas nenhuma tensão no ponto B (que está localizado na linha neutra). A tensão 𝜎𝐴 é obtida a partir da fórmula de flexão: 𝜎𝐴 = 𝑀𝑦 𝐼 = 𝑀𝑟2 𝐼 = 𝑀( 𝑑2 2) 𝐼 Onde 𝑟2 é o raio externo, 𝑑2 é o diâmetro externo (220mm) e 𝐼 é o momento de inércia da seção transversal. O momento de inércia (seção vazada) é: 𝐼 = 𝜋(𝑑2 4 − 𝑑1 4) 64 = 𝜋 (0,22𝑚)4−(0,18𝑚)4 64 𝐼 = 63,46 𝑥 10−6 𝑚4 Onde 𝑑1 é o diâmetro interno. Assim, a tensão 𝜎𝐴 é: 𝜎𝐴 = 𝑀( 𝑑2 2) 𝐼 = (31,68 𝑘𝑁𝑚) ( 0,22𝑚 2) 63,46 𝑥10−6 𝑚4 𝜎𝐴 = 54913,3 kN/m² = 54,91 Mpa O torque T produz tensões de cisalhamento 𝜏1 nos pontos A e B. Podemos calcular essas tensões a partir da fórmula de torção: 𝜏1 = 𝑇 𝑑2 2 𝐼𝑝 Em que 𝐼𝑝 é o momento de Inércia polar (seção circular vazada): 𝐼𝑝 = 𝜋 𝑑2 4 − 𝑑1 4 32 = 𝜋 (0,22𝑚)4−(0,18𝑚)4 32 𝐼𝑝 = 126,92 x 10 −6 𝑚4 Portanto, 𝜏1 = 𝑇 𝑑2 2 𝐼𝑝 = (7,2 kNm)(0,22𝑚/2) (126,92 𝑥 10−6𝑚4) 𝜏1 = 6240,15 kN/m² = 6,24 Mpa Finalmente, pode-se calcular as tensões de cisalhamento nos pontos A e B devidas à força de cisalhamento V. A tensão de cisalhamento no ponto A é nula, e a tensão de cisalhamento no ponto B (𝜏2) é obtida a partir da fórmula de cisalhamento para um tubo circular vazado: 𝜏2 = 4𝑉 3𝐴 𝑟2 2 + 𝑟2𝑟1 + 𝑟1 2 𝑟2 2 + 𝑟1 2 Onde 𝑟1 e 𝑟2 são os raios interno e externo, respectivamente, e A é a área da seção transversal circular vazada. 𝑟1 = 𝑑1 2 = 90 𝑚𝑚 = 0,09 𝑚 𝑟2 = 𝑑2 2 = 110 𝑚𝑚 = 0,11 𝑚 𝐴 = 𝜋 𝑟2 2 − 𝑟1 2 = 𝜋 0,112 − 0,092 = 0,01257 𝑚2 Assim, 𝜏2 = 4 (4,8 𝑘𝑁) 3(0,01257 𝑚2) 0,112 + (0,11)(0,09) + 0,092 0,112 + 0,092 𝜏2 = 758,68 𝑘𝑁 𝑚² = 0,76 𝑀𝑃𝑎 As tensões agindo na seção transversal nos pontos A e B foram, então, calculadas. = 54,91 MPa = 6,24 MPa 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 = 7,00 MPa Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil Ao Departamento de Engenharia Civil Área de Conhecimento - Engenharias 28 de Julho de 2016 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Carregamentos Combinados Professor: Frederico Cunha Brito Disciplina: Resistência dos Materiais II EXERCÍCIO 2 A viga tubular ACB da figura abaixo tem comprimento L=1,5m, está apoiada por pinos em suas extremidades e carregada por uma força inclinada P no ponto médio de seu comprimento. A distância do ponto de aplicação da carga P ao eixo longitudinal do tubo é d=140mm. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na viga devido ao carregamento P= 4500 N. Resolução: • Representação da viga e seu carregamento. Começa-se representando a viga e seu carregamento em uma forma idealizada para propósito de análise. Os apoios nas extremidades A e B são representados como apoio de segundo gênero (resiste aos deslocamentos vertical e horizontal) e primeiro gênero (resiste apenas ao deslocamento vertical), respectivamente. A carga inclinada P é decomposta nas componentes horizontal e vertical 𝑃𝐻 e 𝑃𝑉: 𝑃𝐻 = 𝑃 𝑠𝑒𝑛 60° = 4500 𝑁 𝑠𝑒𝑛 60° = 3897 𝑁 𝑃𝑉 = 𝑃 𝑐𝑜𝑠 60° = 4500 𝑁 𝑐𝑜𝑠 60° = 2250 𝑁 E, ainda, como a componente 𝑃𝐻 está distante do eixo da viga de uma distância d=140mm, ela gera um momento (𝑀0) que deve ser transferido para o eixo da viga (no ponto C). 𝑀0 = 𝑃𝐻𝑑 = 3897 𝑁 0,14 𝑚 = 545,6 𝑁𝑚 A viga e seu carregamento podem, então, ser representados da seguinte forma: 750 mm750 mm 4500 N 140 mm 150 mm 150 mm A seção transversal do tubo é a da figura ao lado com dimensão externa b=0,15m, área A=0,0125 m² e momento de inércia I=33,86x10−6 𝑚4. A B 2250 N 3897 N 545,6 Nm 0,75m 0,75m • Reações. Aplicando as equações de equilíbrio na viga é possível encontrar os valores da reações nos apoios (𝑅𝐻 , 𝑅𝐴 e 𝑅𝐵). 𝐹𝑥 = 0 : −𝑅𝐻 + 𝑃𝐻 = 0 ∴ 𝑅𝐻 = 3897 𝑁 (←) 𝑀𝐴 = 0: 1,5 𝑅𝐵 + 545,6 − 0,75 𝑃𝑉 = 0 ∴ 𝑅𝐵 = 761 𝑁 ( ↑ ) 𝐹𝑦 = 0 : −𝑃𝑉 + 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0 ∴ 𝑅𝐴 = 1489 𝑁 ( ↑ ) Centro Universitário São Camilo – Engenharia Civil Ao Departamento de Engenharia Civil Área de Conhecimento - Engenharias 28 de Julho de 2016 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Carregamentos Combinados Professor: Frederico Cunha Brito Disciplina: Resistência dos Materiais II Os diagramas de força normal N, força cortante V e momento fletor M são dados a seguir: • Tensões na viga. Nota-se que no ponto médio da viga (ponto C) ocorre o maior cortante e o maior fletor. Neste ponto, a tensão de tração relativa à força normal se soma à tensão de tração produzida pelo momento fletor. Sendo assim, a máxima tensão de tração na viga ocorre neste ponto. Pode ser utilizada a equação da superposição das tensões produzidas por força normal e por momento fletor (tensões combinadas) a seguir: 𝜎 = 𝑁 𝐴 − 𝑀𝑦 𝐼 Da seção central da viga (no ponto C), vem: Observa-se que o momento 𝑀𝐶 comprime a região superior à LN (linha neutra) e traciona a região inferior. 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥 = (3897 𝑁) (0,0125 𝑚²) − 1116,8 𝑁𝑚 −0,075𝑚 33,86 𝑥 10−6 𝑚4 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥 = 311760 𝑁 𝑚2 + 24737152,98 𝑁 𝑚2 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑚á𝑥 = 0,312 𝑀𝑁 𝑚2 + 2,474 𝑀𝑁 𝑚2 𝝈𝒕𝒓𝒂çã𝒐 𝒎á𝒙 = 𝟐, 𝟕𝟗 𝑴𝑷𝒂 3897 N 1489 N -761 N 1116,8 Nm 571,2 Nm C 𝑴𝑪 = 𝟏𝟏𝟏𝟔, 𝟖 𝐍𝐦 𝑵𝑪 = 3897 N 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝒎 - 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝒎 𝑳𝑵 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆 traciona traciona A tensão de compressão máxima ocorre na parte superior da viga (y=+0,075m) à esquerda do ponto C ou àdireita do ponto C (é preciso verificar qual das duas tem maior valor numérico). Essas duas tensões podem ser calculadas da seguinte forma: 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 = 𝑁 𝐴 − 𝑀𝑦 𝐼 = (3897 𝑁) (0,0125 𝑚²) − 1116,8 𝑁𝑚 0,075𝑚 33,86 𝑥 10−6 𝑚4 = 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 = 0,312 𝑀𝑁 𝑚2 − 2,474 𝑀𝑁 𝑚2 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑒𝑠𝑞 = −2,16 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑑𝑖𝑟 = 𝑁 𝐴 − 𝑀𝑦 𝐼 = 0 − 571,2 𝑁𝑚 0,075𝑚 33,86 𝑥 10−6 𝑚4 = −1265209,69 𝑁/𝑚² 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑑𝑖𝑟 = −1,265 𝑀𝑃𝑎 Assim, 𝝈𝒄𝒐𝒎𝒑 𝒎á𝒙 = −𝟐, 𝟏𝟔 𝑴𝑷𝒂 (tensão que ocorre na parte de cima da viga à esquerda do ponto C). M
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