Lista de Exercícios vertedores

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LISTA DE EXERCÍCIOS – HIDRÁULICA ENG 1120
PROF. LAURO BERNARDINO COELHO JUNIOR
PROBLEMA (1) temática: VERTEDOR 
Um canal de seção retangular, com largura de fundo b = 2,0 m e altura total de 4,0 m, tem suas vazões calculadas em função do tirante, conforme especificado na tabela a seguir :
Vazões do canal de seção retangular ( b = 2,0 m)
	tirante h (m)
	1,0
	1,5
	2,0
	2,5
	3,0
	vazão Q (m3/s)
	3,98
	6,75
	9,65
	12,67
	15,66
�
Deseja-se instalar um vertedor nesse canal para medir as vazões ocorrentes. Para efeito de referência, a seção do canal onde será instalado o vertedor tem o fundo na cota 50,00 m. Para a determinação do vertedor mais adequado, analise as opções referidas a seguir :
	
	a ) tirante do canal : h = 3,0 m
	 cota da soleira do vertedor: 53,5 m
	 vertedor retangular (lâmina arejada)
	b ) tirante do canal : h = 3,0 m
	 cota da soleira do vertedor: 52,0 m
	 vertedor retangular
	c ) tirante do canal : h = 3,0 m
	 cota da soleira do vertedor : 53,5 m
	 vertedor curvo com ( = 15º
	d ) tirante do canal : h = 3,0 m
	 cota da soleira do vertedor : 53,5 m
	 vertedor oblíquo com ( = 15º
Referencial Teórico:
 Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141.
Solução :
	
 a ) Tirante do canal : h = 3,0 m ( Q = 15,66 m3/s
�
Ao ser instalado o vertedor no canal, o nível a montante, deste, se elevará até formar a carga H capaz de dar passagem a 15,66 m3/s sobre a soleira. A jusante do vertedor, a água retorna ao seu nível normal (na situação estudada: h = 3,0 m). Sem o vertedor, haveria uma folga de 1,0 m entre o nível do canal e sua borda. A questão que se coloca é , então , se a carga H será inferior a 1,0 m. Caso H supere 1,0 m, o canal transbordará. 
Aplicando a fórmula de Bazin tem-se:
	
		
�
	
							(0,10 m < H < 0,60 m )
onde :					
H carga sobre o vertedor
P = 3,5 m elevação da soleira do vertedor (53,5 - 50,0 = 3,5 m)
l = 2,0 m comprimento do vertedor
g = 9,81 m/s2 aceleração da gravidade
Como se tem valores conhecidos para as variáveis , encontra-se H para a vazão especificada:
		
			Q = 15,66 m3/s ( H = 2,5 m
	
Comprova-se, portanto, o transbordamento do canal. É interessante observar que a altura P representa um obstáculo ao fluxo, sendo que valores maiores de P exigem uma carga maior sobre a soleira do vertedor. Também constata-se que, para uma mesma carga, a vazão diminui com o aumento de P . Apenas para exemplificar, utilizando a mesma expressão de Bazin (l = 2,0 m) , são determinadas as seguintes vazões para diferentes cargas e alturas do vertedor :
Vazões segundo Bazin ( m3/s )
	H (m)
	P = 3,0 m 
	P = 3,5 m
	P = 4,0 m
	2,7
	17,93
	17,62
	17,38
	2,6
	16,84
	16,59
	16,37
	2,5
	15,84
	15,58
	15,38
Deve-se, ainda, observar que a carga H = 2,5 m ultrapassa em muito o limite ( 0,10 < H < 0,60 m ) aconselhado pelo autor para a utilização de seu modelo matemático. É mais uma razão para a colocação dos valores calculados sob suspeita. Para estes cálculos não se admitiu a hipótese de depressão da lâmina vertente. Não foi considerada, também, nenhuma contração já que o vertedor atravessa transversalmente toda a extensão do canal.
b ) Tirante do canal : h = 3,0 m ( Q = 15,66 m3/s
 cota da soleira do vertedor : 52,0 m
�
Na tentativa de manter o nível de montante igual ou inferior a 4,0 m, reduziu-se a cota da soleira do vertedor para 52,0 m. As alturas P e P1 serão iguais a 2,0 m. A vazão agora será calculada com outra expressão devida a Bazin:
 		
�
onde :
H1 = 3 - 2 = 1 m submersão da soleira a jusante
P1 = 2,0 m altura da soleira a jusante
H carga sobre a soleira
m coeficiente de Bazin, determinado por :
m = ( 0,405 + 0,003/H ) [ 1 + 0,55 . H2/(H + P)2 ]
l = 2,0 m comprimento do vertedor
	
É oportuno observar que não há contração a considerar. Substituindo as variáveis na fórmula, obtém-se para Q = 15,66 ( H = 1,64 m .
Observa-se que somando P + H , encontra-se : 2,0 + 1,64 = 3,64 m (< 4,0 m ). Esta solução é possível. O vertedor, no entanto, funcionará afogado, o que nem sempre é aconselhável. Para evitar o afogamento pode-se criar um degrau no canal de forma que P1 > P
c ) Tirante do canal : h = 3,0 m ( Q = 15,66 m3/s )
 cota da soleira do vertedor : 53,5 m
 vertedor curvo com ( = 15º
 Outra estratégia válida para manter a carga dentro dos limites previamente estabelecidos inclui o alongamento da crista do vertedor. Vamos testar o vertedor curvo com ( = 15º assinalando o centro do círculo a montante do vertedor. Segundo Wex, nessas circunstâncias, a vazão por metro do vertedor será dada por :
		q = 1,85 H3/2
onde :
q vazão calculada em m3/s, por metro de soleira
H carga sobre a soleira em metros
	
Resta, ainda, calcular o comprimento da soleira a ser determinado por :
�
				C = r . ( 
onde : 
C comprimento da soleira do vertedor, em metros 
r raio que inscreve o vertedor ; r = 1,0/cos (
( ângulo que limita o arco C , em radianos 
Na figura a esquerda vemos que o ângulo central ( é determinado por:
		
		( = 180 - 2 ( = 150º = 2,62 rad. 
Então : 
			
� m . 
Observe que l = 2 m para o vertedor reto. Ao utilizarmos C = 2,71 m temos um ganho significativo no comprimento da soleira . A vazão no vertedor curvo será:
		
		Q = q . C = 1,85 . H3/2 . 2,71
Assim, para Q = 15,66 m3/s , encontra-se H = 2,19 m
	
Percebe-se que este valor não atende ao desejado já que :
		P + H = 3,5 + 2,19 = 4,9 m ( > 4,0 m ) .
	
d ) Vertedor oblíquo com ( = 15º 
 cota da soleira : 53,5 m
Para garantir uma folga entre o nível d'água e a borda do canal, tentar-se-á empregar um vertedor oblíquo. Calcular-se-á o comprimento do vertedor para a fixação da folga desejada. Estabelecendo uma folga de 0,20 m, encontra-se para a carga máxima :
		 Hmáx = 4 - ( f + P ) = 4 - ( 0,20 + 3,5 ) = 0,30 m
	
Nessas condições idealiza-se um vertedor oblíquo na forma de " bico de pato" (esta forma não gera grandes diferenças de vazão em relação ao vertedor oblíquo comum). Segundo esta disposição, cada lado terá l/2 de comprimento, desprezando-se a extensão da concordância no vértice do vertedor.
�
A vazão do vertedor oblíquo é calculada pela expressão de Boileau como se segue:
			
�
onde : 
m coeficiente de vazão de Bazin ou equivalente. Pode ser adotado o coeficiente simplificado m = 2/3 c = 2/3 . 0,6 = 0,4
x coeficiente dependente do ângulo ( de inclinação da soleira em relação ao eixo do canal. Para ( = 15º ( x = 0,86
l comprimento da soleira
H carga sobre o vertedor (ver referencial teórico) 
No caso em consideração, para a vazão dada :
		
�	
encontra-se l = 62 m, ou seja, cada lado do " bico de pato " terá 31 m. 
Verificando se esta medida é compatível com a largura do canal (b = 2 m), encontra-se, geometricamente, que um lado do "bico de pato" ocupa uma largura transversal igual a 8,02 m ( b1 = 31 . sen15º = 8,02 ). Como isto é bem maior que a semi-largura do canal, conclui-se que a solução não é viável .	Já que a largura do canal é um fator limitante, fixar-se-á o comprimento do vertedor no espaço disponível. Então : b1 = b/2 e
 			
� ( l = 7,7 m
Retornando à equação de Boileau encontra-se uma carga: H = 1,21 m. Este valor ultrapassa em muito o Hmáx antes estabelecido.	Conclui-se dos resultados dos tipos de vertedores estudados, que a altura da soleira do vertedor deve ser considerada com atenção para se chegar um resultado satisfatório. 
PROBLEMA(2) temática: VERTEDOR
Dimensionar o vertedor de uma pequena barragem de concreto que formará um lago, parte integrante de um projeto turístico. A vazão máxima do córrego a ser barrado é 6 m3/s. Para adaptar a barragem à calha do rio esta foi idealizada segundo três seções típicas descritas a seguir.
�
Analise as seguintes sugestões para dimensionar o vertedor :
	
	a ) vertedor de soleira espessa na seção central
	 comprimento do vertedor : l = 3m
	 entalhe no maciço : 0,5 m
	b ) vertedor de crista de barragem na seção central
	 comprimento do vertedor : l = 3 m
	 entalhe no maciço : 0,5 m
	c ) vertedor de soleira delgada na seção intermediária ou lateral
	 comprimento do vertedor : l = 3 m
	 entalhe no maciço : 0,5 m
Referencial Teórico:
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141.
Ven Te Chow. Open-Channel Hydraulics, capítulo 14, página 360.
Solução :
a ) Um vertedor de soleira espessa instalado na seção central é certamente a forma mais intuitiva de posicionar o vertedor. A vazão sangrada retornará ao leito primitivo do rio, necessitando apenas de obras contra erosão na calha. A escolha de uma soleira espessa procura adaptar o vertedor à forma do maciço da barragem que deve apenas receber um rebaixamento (entalhe) ao longo de três metros de crista. Este rebaixamento foi estabelecido inicialmente em 0,5 m . A definição prévia da altura do entalhe fixa o nível d'água mínimo a ser acumulado no reservatório e também limita a carga máxima do vertedor em Hmáx = 0,5 m (sem previsão de folga ).
O cálculo da vazão no vertedor de soleira espessa requer o conhecimento da relação e/H, sendo e a espessura do vertedor (e = 2 m , aproximadamente) e H a sua carga. Como H é desconhecido a prior, deve-se fazer uma hipótese de cálculo e verificá-la. Sendo Hmáx = 0,5 m, pode-se tomá-la como valor inicial chegando a :
		e/H = 2,0/0,5 = 4 ( e/H > 3
Esta relação caracteriza uma autêntica soleira espessa, podendo-se adotar a expressão devida a Lesbros :
			
�
onde :
l comprimento da soleira
H carga sobre a soleira
	
Deve-se lembrar que Hwang aconselha valores do coeficiente de vazão variando entre 0,43 e 0,30, dependendo da rugosidade do vertedor, em lugar do 0,35 proposto por Lesbros. Neste vertedor ainda deve-se considerar as contrações laterais já que existem ombreiras (limitações) nos dois lados. O comprimento útil da soleira será dado então por:
				
l' = l - n . c' . H 
onde : 
l' comprimento útil da soleira
l comprimento nominal da soleira 
n número de contrações
c' coeficiente de contração
H carga sobre a soleira
	
Substituindo o comprimento útil na expressão de Lesbros , encontra-se para a vazão desejada :
		
� 
		( H = 1,26 m
Este resultado mostra que a hipótese de cálculo está incorreta, uma vez que :
			e/H = 2/1,26 =1,6 (e/H < 3,0 ).
	
Indica também que o comprimento do vertedor é insuficiente, pois necessita de uma carga de 1,26 m, quando deseja-se uma carga máxima de 0,5 m. 
Para aprofundar um pouco mais o conhecimento sobre o potencial desta solução, calcular-se-á o comprimento do vertedor caso sejam mantida a hipótese de cálculo e Hmáx = 0,50 m .
		 
�
		 ( l = 11 m
Pode-se escolher entre aumentar o comprimento da soleira até 11 m (caso seja possível), ou em aumentar o entalhe (carga máxima) para valores superiores a 0,5 m e usar uma soleira com comprimento inferior a 11 m. É oportuno notar que o cálculo foi realizado sem que se levasse em conta uma possível depressão da lâmina vertente, já que , presume-se que a aeração se faça naturalmente pelos lados da lâmina .
b ) O vertedor de crista de barragem tem por finalidade atenuar as perdas no vertedor garantindo vazão maior apesar da manutenção da área de corte ( 0,5 . 3,0 ) . Em razão dos resultados anteriores, é provável que não se consiga uma solução satisfatória sem alterar a área vertente. Manter-se-á, no entanto, l e Hmáx com seus valores primitivos para viabilizar uma comparação entre os dois tipos de vertedores. O vertedor de crista de barragem exige a adaptação do maciço à veia líquida em toda a extensão da soleira. Não é intento deste problema construir graficamente o perfil do maciço. Deixa-se registrado, no entanto, que esta adaptação será feita, em grande parte, pela equação :
			
�
onde :
Hd carga de projeto
X e Y coordenadas dos pontos da curva de ajustamento
K e n coeficientes que dependem da forma do maciço (para o perfil vertical : K = 2,0 e n =1,85 )
�
	
A vazão nesse vertedor é dada por :
			Q = c . l' . He1,5
onde:
c coeficiente de vazão 
l' comprimento útil do vertedor
He carga incluindo o fator velocidade
	
No caso em consideração admite-se velocidade de aproximação nula (trata-se de um reservatório ), daí que : He = Hd = 0,50 m. Chow propõe que o valor de c seja determinado em função de He/Hd e h/Hd , onde h é a altura da soleira do vertedor. Simplificando esta questão, optou-se pelo coeficiente de Francis c = 2,196 .
 Incluindo a influência das contrações e substituindo os valores conhecidos, tem-se para a vazão dada :
		
		6 = 2,196 . ( 3 - 2 . 0,1 . H ) . H1,5 
		( H = 0,98 m 
Como previsto inicialmente, a área vertente inicialmente proposta não é suficiente para passar a vazão de 6 m3/s , mas o desempenho do vertedor melhorou. Passou-se de uma carga de 1,26 m, no vertedor de soleira espessa, para H = 0,98 m no vertedor de crista de barragem. Neste tipo de vertedor não cabe o conceito de depressão já que a lâmina vertente se desloca sobre o maciço deste o topo do vertedor até sua base.
c ) A vazão sangrada no vertedor de soleira delgada será lançada distante do eixo central do rio. Faz-se necessária a construção de um canal ao longo do pé da barragem para reconduzir as águas sangradas à calha do seu curso normal. O vertedor será, agora, considerado de soleira delgada, uma vez que e/H < 0,5 , mesmo havendo uma espessura e na soleira. O cálculo da vazão será efetuado com a fórmula de Francis, uma vez admitida velocidade de aproximação nula :
		Q = 1,838 . l . H3/2 
 
onde :
l comprimento nominal da soleira
H carga sobre o vertedor
	
Acrescentando contração da veia líquida :
			
			Q = 1,838 . ( l - n . c' . H ) . H3/2
	
Substituindo os valores conhecidos :
		Q = 1,838 . (3 - 2 . 0,1 . H ) . H3/2 
		( H = 1,11 m 
O vertedor delgado demonstrou um desempenho intermediário entre os dois casos anteriores, mas ainda insuficiente.	Deve-se lembrar que um maciço de forma triangular, como acontece na seção intermediária, pode reter a água do reservatório pressionando a aresta vertical ou a aresta inclinada do triângulo (seção transversal). Foi proposto no problema que a face a montante seria vertical, veja a figura 7.3 (1), quando a fórmula de Francis se aplica integralmente . 
�
Caso a face inclinada estivesse a montante, veja figura 7.3 (2), o efeito de forma faria com que a trajetória das partículas do fluxo fosse melhor ajustada para a transposição do vertedor, aumentando o seu desempenho com uma maior vazão. Então a fórmula de Francis deveria ser corrigida, conforme abaixo especificado:
			
				
�
onde :
m' = m . x 			
x = 1 + 0,39 (º/ 180	
l' = l - n . c' . H
e:
m' coeficiente de vazão corrigido
m coeficiente de vazão do vertedor de paramento vertical
H carga sobre o vertedor
n número de contrações
No caso em consideração : m = 1,838 ( = + 30º
Então :
		
�
Devido à inclinação do talude, caso ela esteja a montante, o coeficiente de vazão passa para m' = 1,957 
Encontra-se: H = 1,07 m
	
Verifica-se facilmente que a forma melhorou o desempenho do vertedor em quase 5%.
Como ficou claro no cálculos efetuados, a área vertente inicialmente proposta não é suficiente para dar passagem à vazão de enchente, mas existe um arsenal de soluções possíveis para contornar esta dificuldade. Além das propostas já ventiladas pode-se optar por : 
	- elevar a altura da barragem mantendo a cota da soleira do vertedor;
	- instalar orifícios de fundo sem comportas dando passagem à vazão mínima do rio;
	- instalar comporta no vertedor, etc. .
PROBLEMA (3) temática: VERTEDOR
Parte de uma barragem de concreto está construída em 60% da largura da calha de um rio. Os trabalhos de concretagem progredirão apenas durante o período de estiagem. Durante o período de cheia, a concretagem será interrompida e recomeçará quando as águas abaixarem novamente. Para avaliar a capacidade de vazão da calha semi-obstruída, determine o caudal nas seguintes condições de escoamento:
	
	a ) nível de montante : 2,5 m
	 nível de jusante : 1,5 m
	b ) nível de montante : 4,0 m
	 nível de jusante : 2,5 m
	c ) nível de montante : 5,0 m
	 nível de jusante : 3,5 m
�
Referencial Teórico:
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141
Solução :
a ) Nível de montante 2,5 m e nível de jusante 1,5 m.
�
O nível da corrente, ao ultrapassar um obstáculo que interrompe parcialmente o fluxo, pode tomar várias formas em função da declividade longitudinal do rio e do estrangulamento da calha. Habitualmente, os rios têm pequena declividade e o nível d'água toma a forma indicada na figura 8.2. Ficam evidenciados, nessa figura, os dois níveis característicos do fenômeno: o nível de montante e o de jusante. O nível de jusante tende a ser o nível normal de escoamento do canal ou rio natural, quando as águas correm livremente. O nível de montante é superior ao anterior e forma uma carga hidráulica sobre o estreitamento que corresponde à diferença dos níveis referidos. No caso em estudo, tanto o nível de montante quanto o de jusante estão abaixo da cota da concretagem. É a condição considerada indispensável à continuidade desses trabalhos. Assim, os níveis já referidos delimitam duas áreas onde o escoamento acontece de formas distintas. Na área superior (1) tudo se passa semelhante aos vertedores e na área inferior (2), o escoamento se assemelha ao dos orifícios submersos.
�
Tomando a fórmula da vazão em vertedores para a área 1 (fórmula de Weissbach), tem-se:
		
�
onde :
2/3 c coeficiente de vazão dos vertedores (c = 0,6)
l = 4,0 m comprimento do vertedor
H = 1,0 m carga do vertedor
V velocidade de aproximação do fluxo a montante do estrangulamento.
	
A velocidade de aproximação ou de montante é desconhecida, mas sabe-se que :
			
�
	
Como Q1 e Q2 também são desconhecidas, sendo Q1 a vazão correspondente ao vertedor (área 1) e Q2 a vazão correspondente ao orifício (área 2) pode-se tomar, em primeira aproximação: Vm = 0. Após o cálculo de Q1 e Q2 reavalia-se o valor de Vm e, iterativamente, acham-se os novos valores de Q1 e Q2. Adotando esta abordagem metodológica :
		
� m3/s
	
O cálculo da vazão na área 2 será realizado com a fórmula dos orifícios afogados com velocidade de aproximação:
			
��� EMBED Equation.2 �
onde :
c coeficiente de vazão para orifícios submersos (segundo Lesbros, seu valor varia entre 0,50 e 0,67 )
l . a área do orifício
H carga sobre o orifício submerso que corresponde à diferença dos níveis
V velocidade de aproximação da corrente a montante.
Também supondo V inicialmente igual a zero :
			
			
� m3/s 
Pode-se calcular agora o valor da velocidade de montante da seguinte forma:
			
� m/s
Este valor é baixo e pouca diferença fará nos resultados já encontrados. Apenas para efeito de demonstração , refaremos os cálculos de Q1 e Q2 :
	
	
� m3/s
		( 5,6% superior ao resultado anterior )
	
	
� m3/s 
		( 2,1% superior ao resultado anterior )
A vazão total, em segunda aproximação, e a respectiva velocidade são :
		
		Qt = Q1 + Q2 = 7,49 + 16,29 = 23, 77 m3/s
		
		Vm = 23,77/(2,5 . 10) = 0,95 m/s (3,3 % superior à anterior)
	
A diferença para os primeiros valores é mínima, podendo-se considerar estes resultados como definitivos.
	
b ) Nível de montante 4,0 m e nível de jusante 2,5 m.
	
Esta situação geralmente ocorre quando uma onda de cheia se aproxima rapidamente. O obstáculo tende a represar a cheia, o que provoca um afastamento dos níveis de montante e jusante, pois o nível de montante cresce mais rapidamente que o de jusante .
Nas circunstâncias descritas ficam caracterizadas três áreas distintas de escoamento :
�
As áreas 1 e 2 funcionam como vertedores e a área 3 como orifício. Observe que o nível de jusante está abaixo da crista da barragem incompleta, mas nenhum trabalho pode ser executado sobre o maciço que está inteiramente coberto pela água. A rigor, o escoamento nas áreas 1 e 2 são diferentes. Na área 2 o vertedor funciona sobre a "superfície" de água formadora da área 3, enquanto o escoamento da área 1 acontece sobre o maciço em construção, uma superfície rígida. A razão de cálculo das duas vazões segundo a mesma metodologia será esclarecida mais adiante. Por se tratar de vertedores, adota-se a sua fórmula geral:
		
�
		
�
onde:
H tirante sobre a soleira
H1 diferença dos níveis a montante e jusante
	
Por razões já ventiladas, faz-se V = 0 . Então :
	
		
� m3/s
		
� m3/s
	
A vazão na área 3 será calculada com a expressão dos orifícios :
			
�
onde :
c coeficiente de vazão no orifício submerso
L . a área nominal do orifício
H1 diferença de níveis de montante e jusante do orifício
V velocidade da corrente a montante do orifício
Considerando também V = 0 , para o cálculo de Q3: 
		
		
� m3/s
Reavaliando a velocidade V encontra-se:
	
		
� m/s 
	
Esta velocidade possui uma dimensão de certa forma significativa devendo ser considerada. Recalculando Q1 , Q2 e Q3, incluindo o efeito da velocidade :
� m3/s ( > 12,2% ) 
� m3/s ( > 8,5% )
� m3/s ( > 3,3% )
	
A nova velocidade será :
	
	
� m/s ( > 7,1% )
Para maior precisão pode-se recalcular as vazões, porém os valores já encontrados são considerados satisfatórios.
c ) Nível de montante 5,0 m e nível de jusante 3,5 m. 
	
Nesta situação, a vazão de cheia já ultrapassou a fase de represamento inicial entrando em regime de escoamento. Estabilizado o nível de jusante encontra-se três novas áreas distintas de escoamento:
�
A área 1 escoa como vertedor e as áreas 2 e 3 escoam como orifícios. Volta a acontecer com a área 2 o que já foi comentado anteriormente. O escoamento sobre o maciço é diferente do escoamento sobre as águas que passam pela área 3. Caso esta diferença recebesse tratamento diferenciado ter-se-ía quatro áreas em vez de três. A escolha das três áreas é, portanto, uma escolha simplificadora. Na hipótese de se preferir caracterizar quatro escoamentos diferentes, poder-se-ía calcular a vazão pela área sobre o maciço adotando a expressão característica do escoamento sobre soleira espessa:
			
			
�
onde:
Qs vazão sobre a área da soleira
L1 comprimento transversal do vertedor
(H - H1) tirante sobre o maciço
H1 carga sobre o vertedor (diferença entre os níveis de montante e jusante do vertedor)
Aceita a hipótese simplificadora das três áreas, encontra-se para a área 1 (vertedor):
		
� 
	
e desprezando, inicialmente, a velocidade de aproximação :
		
� m3/s
Para as áreas 2 e 3 (orifícios) :�
	
	
�
onde : 
c coeficiente de vazão para orifícios (c = 0,6)
( L + L1) . (H - H1) área do orifício 2
L . a área do orifício 3
H1 diferença dos níveis de montante e jusante (carga hidráulica)
V velocidade de aproximação na seção de montante
	
Fazendo V = 0 e substituindo os valores:
	
� m3/s
	
� m3/s
Calculando, agora, a velocidade de aproximação:
		
� m/s
	
Considerando o efeito da velocidade, encontra-se para os três novos valores das vazões:
			Q1 = 36,71 m3/s ( > 12,8% ) 
			Q2 = 17,11 m3/s ( > 5,1% )
			Q3 = 41,04 m3/s ( > 5,0% )
	
O novo valor da velocidade será : V = 1,89 m/s ( > 7,3%)
Dado ao fato do valor da velocidade crescer 7,3% em relação ao anterior, será prudente a realização de uma nova iteração para que se considere o resultado satisfatório. Este cálculo não será apresentado por ser uma mera repetição dos cálculos já efetuados.
PROBLEMA (4) temática: VERTEDOR
Na tentativa de evitar o efeito da contração e a depleção da veia líquida , comum nos vertedores retangulares, pretende-se utilizar vertedores triangulares e trapezoidais. Para tornar mais comparáveis os resultados obtidos nas várias opções disponíveis de vertedores, a carga de cálculo será fixada em 0,5 m, a área molhada em 2 m2 e a velocidade de aproximação considerada nula. Mantendo estes referenciais, determine as vazões dos seguintes vertedores :
	a ) Vertedor triangular
	b ) vertedor trapezoidal com ângulo (/2 = 45(
	c ) vertedor Cipoletti
	d ) vertedor circular 
Referencial Teórico
Eurico Trindade Neves . Curso de Hidráulica , capítulo IX , pág. 141 .
Azevedo Netto . Manual de Hidráulica : Volume I , capítulo 9 , pág. 79 .
Solução :	Antes do início do cálculo solicitado, convém verificar qual a vazão do vertedor retangular com as mesmas características : H = 0,5 m ; H . l = 2,0 m2 e V = 0 m/s , segundo a expressão de Francis :
		Q = 1,838 l H3/2 
onde :
l comprimento da soleira do vertedor ( l = 2/H ou l = ( 2 / 0,5 ) = 4,0 m )
H carga sobre o vertedor ( H = 0,5 m )
		
			Q = 1,838 * 4 * 0,53/2 = 2,599 m3/s
Caso fossem consideradas duas contrações laterais, o resultado seria :
		Q = 1,838 *( 4 - 2*(1/10)*0,5 ) * 0,53/2 = 2,534 m3/s 	( 2,5% < 2,599 m3/s)
Caso existisse uma depleção moderada, a vazão seria cerca de 6% superior à vazão com lâmina livre, como foi constatado por Bazin .
a ) Vertedor triangular 
�
Sabe-se que, no triângulo isósceles, (veja a figura 9.1) :
				 b = 2 H tg (/2 
A área deste triângulo será :
		A = b*H / 2
Substituindo os valores conhecidos :
		2,0 = 2*0,5*tg( (/2 )*0,5 / 2 ( ( = 165,75( 
A vazão será calculada com a expressão :
			
�
onde :
c coeficiente de vazão
( ângulo do vértice do	vertedor
H carga do vertedor
Substituindo os valores :
		Q = 8/15 * 0,6 * 8 * (2*9,81)1/2 0,55/2 = 2,00 m3/s
 
Estas vazão corresponde a 77% da vazão calculada para o vertedor retangular, no entanto, o ângulo de 165,74º utilizado nesse vertedor triangular é muito superior ao habitual. O ângulo de 90º é freqüentemente o mais encontrado. A aplicação de ângulo próximo a 180º (como um vertedor retangular) pode lançar dúvidas sobre o resultado do modelo. Para esclarecer esta questão vai-se utilizar quatro vertedores triangulares cuja soma das áreas molhadas sejam 2 m2 e cujas cargas sejam iguais a 0,5 m. Admitir-se-á que um vertedor não interferirá no escoamento de outro, apesar desta afirmativa não ser rigorosamente verdadeira. Assim :
		
� 
Como : 	 H = 0,5 m ( ( = 126,86º
Agora tem-se um valor muito mais próximo de 90º, como era pretendido . A vazão de cada vertedor será :
		
� m3/s 
Sendo esta a vazão de um vertedor, a vazão total dos quatros será igual a 2 m3/s . Não ocorreu alteração alguma pois a área neste modelo, determinada pelo ângulo (, variou segundo sua tangente e a carga permaneceu constante.
b ) A vazão do vertedor trapezoidal resulta da soma das vazões de um vertedor retangular e de um triangular. Observe a figura :
�
Neste caso , onde A = 2,0 m2 , encontra-se pela equação da área do trapézio e pela figura :
			
� 
onde : 			 b = 2H*tg((/2)
	
Sabendo que (/2 = 45º, encontra-se : l = 3,5 m 
A vazão será calculada por :
		
�
(adição das fórmulas para cálculo de vazões em vertedores retangulares e triangulares)
A vazão calculada será :		Q = 2,443 m3/s
Este desempenho é 22% superior ao desempenho do vertedor triangular e 6% inferior ao do vertedor retangular .
c ) O vertedor Cipolletti é um vertedor trapezoidal com as faces inclinadas na proporção de 1:4 (h:v ). Sendo assim , é possível calcular o ângulo com a vertical, já que :
		tg ((/2) = 1/ 4 ( ( = 28,06º
Da mesma forma que o vertedor trapezoidal anterior , a área será dada por :
	
� , área do trapézio
onde:
 b = 2H*tg((/2)
Sendo ( = 28,06º, encontra-se : l = 3,875 m
A vazão no vertedor Cipoletti é calculada pela expressão :
			
� 
onde :
l comprimento da base menor do trapézio
H carga do vertedor
Substituindo os valores, encontra-se :
						Q = 2,548 m3/s 
Utilizando, no entanto , a expressão utilizada anteriormente ( soma de expressões para vertedores triangular e retangular ), encontra-se :
			
�
	( Q = 2,489 m3/s (2,3% inferior ao resultado da expressão de Cipoletti)
O resultado da expressão de Cipoletti é 2% inferior à vazão calculada para o vertedor retangular.
d ) O vertedor circular é definido da forma indicada na figura 9.3:
 :
�
A área molhada do vertedor será dada por :
				
�
A relação entre o ângulo e a carga será:
				
� 
Substituindo os valores conhecidos e resolvendo o sistema:
		
��� EMBED Equation.2 � e 
�
encontra-se :
			
�
	
resolvendo iterativamente a equação vê-se que:
 		 ( = 35º e D = 21,6 m
A vazão no vertedor será determinada por:
				
� 
onde :
D diâmetro do vertedor
H carga do vertedor 
Substituindo os valores temos:
				Q = 3,648 m3/s
Observe que esse vertedor terá como soleira um arco de círculo cujo comprimento será determinado por:
		c = r.( = (D/2) . ((( / 180) = ( 21,6 / 2 ) . (35 x 3,14 / 180 ) = 6,59 m
A extensão superior do tirante, ou corda subentendida pelo ângulo central, será:
l = 2r sen ( (/2) = 2 x 10,8 x sen (35/2) = 6,49 m
A área real para ( = 35 o e D = 21,6 m será:
		A = ( 1/8 ) . ( (35 x 3,14) / (180) - sen 35 ) x 21,6 2 = 2,15 m2
ou seja, 7,5 % maior do que as áreas dos demais vertedores. Essa diferença resultou da grande sensibilidade da equação que determina a área, fazendo com que mímimas variações de ( produzam grandes variações em A. Uma área maior certamente produzirá uma vazão maior tornando as medidas do vertedor circular pouco precisas. Nào convém, portanto, comparar seus resultados com os de outros tipos de vertedor.
Reunindo as vazões calculadas tem-se o quadro seguinte:
Desempenho Comparativo de Vertedores (A=2m2 ; H=0,5m)
	TIPO
	l(m)
	(/2(graus)
	Q(m3/s)
	variação%
	Retangular
	4,0
	____
	2,599
	100
	Triangular
	____
	82,87
	2,000
	77
	Trapezoidal
	3,500
	45,00
	2,442
	94
	Cipoletti
	3,875
	14,03
	2,548
	98
	Circular
	____
	35,00
	--
	--
Conclui-se dos resultados que a forma do vertedor é muito importante na determinação da vazão efluente, para uma mesma carga e mesma área de fluxo. Os vertedores retangular e Cipoletti têm vazões muito próximas.O vertedor retangular alia simplicidade e grande capacidade de vazão com cargas menores.
PROBLEMA (5) temática: VERTEDOR
Analise o funcionamento de duas baterias de vertedores proporcionais (Sutro e Di Ricco), a serem utilizados em laboratório, com soleiras de 0,05 ; 0,10 ; 0,15 e 0,20 m e relação entre as dimensões da base retangular (comprimento versus altura) iguais a 3 e 5. Determine a equação da reta chave para a soleira 0,10 m de ambos os vertedores.
Referencial Teórico :
Azevedo Netto . Manual de Hidráulica : Volume I , capítulo 9 , pág. 79 
Solução :	Nos vertedores proporcionais, a vazão varia com a primeira potência da altura da carga hidráulica. Esses vertedores têm, portanto, uma reta chave ao invés de uma curva chave ( vazão X carga ). Em geral, os vertedores proporcionais têm uma soleira retangular e seus lados são convergentes. A base retangular mantém uma relação entre seus lados maior e o menor (comprimento e altura, respectivamente) que varia entre 3 e 25. Quanto maior a relação menor será a altura do retângulo quando comparado à soleira. As relações de maior valor numérico resultam em vazões menores, para a mesma carga. Para viabilizar uma comparação entre as vazões desses vertedores, adotou-se as relações b/a (Sutro) e l/a ( Di Ricco ) iguais a 3 e 5, conforme indicado no enunciado. Padronizou-se, ainda as cargas nos valores 0,05 ; 0,10 ; 0;15 e 0,20 m.
A vazão no vertedor Di Ricco é dada pela expressão :
			
�		
onde :
	K coeficiente que varia em função da relação l/a :
				 K = 2,094 para l/a = 3
				 K = 2,064 para l/a = 5
	l comprimento da soleira do vertedor
	a altura do retângulo da base
	H carga hidráulica, contada a partir da soleira
	
��
Os valores das vazões foram organizados na tabela mostrada a seguir. As vazões variam desde 0,5 . 10-3 m3/s ( 0,5 l/s ) a 25,9 .10 -3 m3/s ( 25,9 l/s ).
Vazão no vertedor Di Ricco
	l (m)
	l/a
	K
	a (m)
	Vazão (l/s) para H (m)
	
	
	
	
	0,05
	0,10
	0,15
	0,20
	0,05
	3
5
	2,094
2,064
	0,016
0,010
	0,8
0,5
	1,4
1,1
	2,1
1,6
	2,8
2,1
	0,10
	3
5
	2,094
2,064
	0,033
0,020
	1,8
1,8
	4,5
3,2
	6,5
4,7
	8,4
6,2
	0,15
	3
5
	2,094
2,064
	0,050
0,030
	5,7
3,7
	9,2
6,3
	12,7
9,0
	16,2
11,7
	0,20
	3
5
	2,094
2,064
	0,066
0,040
	9,8
6,1
	15,2
10,3
	20,5
14,4
	25,9
18,6
	
A vazão do vertedor Sutro é dada por : 
			
�	
onde :
b comprimento da soleira 
a altura do retângulo da base
H carga do vertedor, contada a partir da soleira
Os valores das vazões foram organizados na tabela mostrada a seguir para diferentes valores de H e b, e indicados no gráfico. Esses valores variam desde 2 . 10-3 m3/s (2 l/s) a 50 . 10-3 m3/s. 
	
Vazão no vertedor Sutro
	b (m)
	l/a
	K
	a (m)
	Vazão (l/s) para H (m) 
	
	
	
	
	0,05
	0,10
	0,15
	0,20
	0,05
	3
5
	2,094
2,064
	0,016
0,010
	3
2
	7
6
	11
9
	15
12
	0,10
	3
5
	2,094
2,064
	0,033
0,020
	6
5
	14
11
	21
17
	29
23
	0,15
	3
5
	2,094
2,064
	0,050
0,030
	8
7
	19
16
	31
25
	43
35
	0,20
	3
5
	2,094
2,064
	0,066
0,040
	9
9
	24
21
	40
33
	56
45
Dos resultados obtidos, conclui-se que :
Para uma mesma carga, o vertedor Sutro escoa vazão muito superior ao vertedor Di Ricco ;
A reta chave do vertedor Sutro é muito mais inclinada do que a reta chave do vertedor Di Ricco. Resulta daí que o vertedor Sutro é mais sensível à variação de carga.
		
Gráfico comparativo entre vertedor Sutro e Di Ricco,
 para diferentes cargas hidráulicas
�
Obs.: - As linhas contínuas correspondem ao vertedor Sutro, enquanto que as pontilhadas pertencem ao vertedor Di Ricco.
As linhas superiores (maior vazão para uma mesma carga H) correspondem aos vertedores com maiores bases (b, no vertedor Sutro e L, no vertedor Di Ricco). 
Do ponto de vista construtivo, há diferenças a considerar entre esses vertedores. As paredes do vertedor Sutro são definidas pela equação :
�
x e y são as coordenadas de cada ponto medidas a partir da base.
Já as paredes do vertedor Di Ricco são definidas por segmentos de reta cujo espaçamentos e alturas são dimensionadas em função de l e a. No topo (altura de 10a ), a distância entre paredes é igual a 0,14 l, e sobre a área da base essa distância é de 0,46 l. As distâncias intermediárias são 0,19 l e 0,26 l, ficando respectivamente a 5,0a e 2,5a de altura, medidas a partir da soleira. Ora, é fácil concluir sobre a dificuldade construtiva do vertedor Sutro e sobre as possíveis imprecisões resultantes de defeitos construtivos.
 Observando como estes vertedores foram projetados conclui-se, também, sobre a causa que leva ao melhor desempenho do vertedor Sutro para uma mesma carga. As paredes curvas do vertedor Sutro são lançadas a partir dos extremos da área base desse vertedor, enquanto no vertedor Di Ricco, o trapézio inferior está centrado sobre sua área base, correspondendo, na sua maior dimensão horizontal, a apenas 0,46 da soleira (menos da metade). 
Em resumo, a área molhada do vertedor Sutro é maior para uma mesma carga, o que resulta em maior vazão.
	
As equações das retas chave podem ser calculadas por :
			
				
�
onde :
m coeficiente angular da reta 		
�
yi ; xi coordenadas do ponto i sobre a reta chave.
	
	
Substituindo valores conhecidos :
	l (m)
	l/a (b/a)
	vertedor
	Q1(y1)
	Q2(y2)
	H1(x1)
	H2(x2)
	m
	equação Q =
	0,10
	3
	Di Ricco
	1,8
	8,4
	0,05
	0,2
	0,044
	 0,044H +1,797
	0,10
	3
	Sutro
	6,0
	29,0
	0,05
	0,2
	0,153
	0,153H + 6,0
 
É óbvio que, para qualquer vertedor, quando a carga é nula (H = 0), a vazão deve também ser nula. Estas equações, no entanto, não oferecem este resultado. Concluí-se, em decorrência, que as equações não se aplicam a cargas pequenas.
No caso tratado, as equações devem ser desconsideradas para cargas inferiores a uma fração da altura do retângulo, base a, a ser definida, até porque abaixo desta altura o vertedor deixa de ser proporcional e passa a ser retangular.
Exercício 6
Analise o funcionamento de um vertedor lateral construído sobre o paramento de um canal de seção retangular, revestido de concreto, com borda fina, entalhe de 0,5 m sobre a lateral da seção e comprimento de soleira de 5 m. Utilize a fórmula de Francis, fórmula dos vertedores laterais, Engels e Dominguez
�
Referencial Teórico:
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulos IX e XIV.
Ven Te Chow. Open-Channel Hydraulics, capítulo 12, página 340.
Comentário inicial: 	Ao analisar este problema deve-se estar certo que se conhece a teoria de escoamento em canais. Não sendo o caso, deve-se deixar esta solução para outra oportunidade. 
Solução :	O vertedor lateral tem um funcionamento muito complexo. Frazer classificou estes possíveis escoamentos em cinco tipos diferentes denominados : A , B ,C , D e E. Cada tipo de escoamento está associado a uma inclinação longitudinal do canal. Os tipos A e C ocorrem quando a declividade do canal é crítica ou aproximadamente crítica. O tipo B se verifica em canais de pequena declividade e os tipos D e E ocorrem em canais de grande declividade. Frazer inclusive adverte seus leitores sobre a dificuldade de se obter bons resultados no cálculo de vazões com os escoamentos do tipo D e E uma vez que , sendo o escoamento no canal supercrítico ( I > Ic ), a veia líquida do vertedor fará um ângulo muito pequeno com a soleira (escoamento oblíquo). Isto inviabiliza todo o fundamento matemático disponível queprevê um ângulo próximo de 90º entre veia líquida e soleira.
Pretende-se abordar esta questão considerando o vertedor instalado em canal de pequena declividade ( Tipo B ) que constitui a grande maioria dos casos. Nessa hipótese, o vertedor funcionará como indicado na figura 11.2 : 
�
Vazão do vertedor lateral: q = Qo - Q1 (vertedor lateral tipo B )
Apenas como exemplo, mostra-se que o escoamento do Tipo A tem o seguinte perfil:
�
O que chama a atenção nestes dois tipos de perfis é que o perfil do tipo A segue uma trajetória previsível, isto é , descendente ao longo da soleira do vertedor, em razão de saída de parte da vazão do canal. O perfil do tipo B , no entanto , se desenvolve exatamente ao contrário das expectativas. Esse comportamento aparentemente impossível tem a sua explicação, com fundamento na curva de Koch da seção do canal onde o vertedor está instalado. Sabe-se que a curva de Koch tem o desenvolvimento indicado na figura 11.4 :
�
Os tirantes são marcados no eixo vertical e as vazões no eixo das abcissas. A curva indica , assim , as vazões a serem percorridas no canal , para cada tirante , desde que seja mantida a energia específica constante. A altura crítica é a fronteira entre os escoamentos subcrítico e supercrítico. Tirantes superiores a yc são associados a escoamentos subcríticos, como o caso em consideração.
�
Admite-se agora que, a montante do vertedor, o canal é percorrido pela vazão Qo, seguindo o tirante yo. A jusante do vertedor a vazão será Q1 , sendo Q1 < Qo , passando o tirante ao nível y1. 	O gráfico indica que a vazão subcrítica cresce até Qc , a vazão máxima para a energia específica determinada. Então , a vazão Q1 < Qo só poderá ser encontrar um tirante superior a yo . Fica assim justificado o aumento de tirante.
Como já foi dito, o funcionamento do vertedor lateral está intimamente associado à declividade do canal e a grande influência que esta tem sobre sua velocidade de escoamento. Quando a velocidade do escoamento no canal é desprezável, a vazão do vertedor lateral pode ser calculada com auxílio das fórmulas do vertedor tradicional. Favre, Scande e Sabathé aconselham as fórmulas convencionais , para cálculo da vazão dos vertedores laterais, sempre que H1/Ho < 0,6. Outros pesquisadores aconselham o cálculo, segundo as fórmulas tradicionais mas tomando a carga como a média das alturas Ho e H1 . 
Dados estes esclarecimentos , irá se fazer os cálculos das vazões utilizando os vários modelos matemáticos disponíveis. Para tornar mais evidentes as distorções causadas pelo afastamento crescente entre Ho e H1 , vai-se adotar cinco desvios indicados no quadro. Admitindo que H1 = 0,05 m , encontra-se os respectivos valores de Ho :
	Ho - H1(m)
	0,0
	0,10
	0,20
	0,30
	0,40
	H1 (m)
	0,05
	0,05
	0,05
	0,05
	0,05
	Ho (m)
	0,05
	0,15
	0,25
	0,35
	0,045
Calculando inicialmente a vazão pelo modelo tradicional, adotando a expressão de Francis, considerando nula a velocidade de aproximação, com lâmina livre, e considerando o efeito de duas contrações da veia líquida :
Para: H = 0,05 m ( Q = 1,838 ( 5 - 2 . 0,1 . 0,05). 0,053/2
					Q = 0,102 m3/s
Não faz muito sentido utilizar a fórmula de Francis quando a carga é variável ao longo da soleira. Pode-se , no entanto, substituir a carga H pela médias entre as altura Ho e H1. Agindo desta forma :
	Ho - H1 (m)
	Ho (m)
	H = (Ho + H1)/2 (m)
	Qf ( Francis ) m3/s
	0
	0,05
	0,05
	0,102
	0,10
	0,15
	0,10
	0,289
	0,20
	0,25
	0,15
	0,530
	0,30
	0,35
	0,20
	0,815
	0,40
	0,45
	0,25
	1,137
		
Aplicando agora a fórmula para vertedores laterais :
			
�
onde :
m coeficiente de vazão nos vertedores
l’ comprimento da soleira do vertedor
Ho carga a montante do vertedor
H1 carga a jusante do vertedor
Como não há velocidade de aproximação, uma vez que a corrente do canal é perpendicular à veia líquida, no vertedor, pode-se adotar m = 0,4. O comprimento da soleira, no entanto, pode ser corrigido para considerar as contrações laterais.
			l` = ( l - n c` H )
onde :
l : comprimento da soleira do vertedor
n número de contrações 
H carga sobre o vertedor que neste caso pode ser considerada igual à média de Ho e H1 .
c` coeficiente de contração ( c`= 0,1 )
	
Segundo essa conceituação encontra-se o resultado :
	Ho - H1 (m)
	Ho (m)
	H=(Ho - H1)/2
	Q
	% 
100*Q/Qf
	0
	0,05
	0,05
	**** (1)
	****
	0,10
	0,15
	0,10
	0,287
	99
	0,20
	0,25
	0,15
	0,540
	101
	0,30
	0,35
	0,20
	0,842
	103
	0,40
	0,45
	0,25
	1,186
	104
	(1) a vazão não pode ser calculada pois o denominador tornou-se nulo.
É fácil constatar que as diferenças registradas são mínimas, porém crescem com o distanciamento de Ho - H1. Pode-se, ainda, utilizar a fórmula de Engels :
			
�
onde :
m` coeficiente de vazão (m`= 0,414)
l comprimento da soleira (sem ajuste)
H1 carga a jusante do vertedor
Substituindo os valores conhecidos, com H1 fixado constante : 
	
� m3/s 
	
Como esta expressão não considera valores de Ho, o valor da vazão permanecerá constante para todos os casos de Ho - H1. Obviamente o uso deste modelo fica restrito aos casos onde Ho e H1 são praticamente iguais. Certamente, pode-se adotar a estratégia de substituir H1 pela média aritmética destas duas alturas. Mesmo assim, o resultado obtido difere em muito dos anteriores, já que a vazão , segundo Francis , para H = 0,05 é igual a 0,102 m3/s.
Conclui-se, então , que a expressão de Engels não se aplica aos escoamentos do tipo B e provavelmente trará melhores resultados nos escoamentos do tipo D e E , onde a velocidade média do canal é muito alta dificultando o extravasamento pelo vertedor lateral.
Finalmente pode-se adotar a fórmula de Dominguez 
			
� 
onde :
( coeficiente que varia em função da carga, espessura e forma da soleira
( coeficiente que varia em função de	Ho/H1
s área molhada do vertedor 	s = (Ho + H1).l/2 
ho maior carga sobre o vertedor
Para os valores conhecidos :
	Ho - H1 (m)
	Ho (m)
	Ho/H1
	(
	H=(Ho+H1)/2
	(
	s (m2)
	Qd (m3/s)
	0
	0,05
	1,0
	1,000
	0,05
	0,370
	0,25
	0,004
	0,10
	0,15
	3,0
	0,745
	0,10
	0,370
	0,50
	0,035
	0,20
	0,25
	5,0
	0,491
	0,15
	0,360
	0,75
	0,073
	0,30
	0,35
	7,0
	0,467
	0,20
	0,355
	1,00
	0,151
	0,40
	0,45
	9,0
	0,443
	0,25
	0,352
	1,25
	0,260
Mais uma vez os resultados estão muito distantes dos encontrados pelas duas fórmulas iniciais. Vale para a expressão de Dominguez a mesma conclusão adotada para a fórmula de Engels.
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