Notas de aula - Mecânica Clássica - Salviano A. Leão

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NOTAS DE AULAS
Mecaˆnica Cla´ssica
Prof.: Salviano A. Lea˜o
Goiaˆnia – Goia´s
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 PADRO˜ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Refereˆncias Bibliogra´ficas 19
2 Mecaˆnica Newtoniana 20
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Dinaˆmica: massa e forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Princ´ıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Transformac¸o˜es galileanas: referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Aplicac¸o˜es das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Integrac¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Ana´lise do movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.2 Forc¸a aplicada constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.3 Forc¸a aplicada dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.4 Forc¸as dependentes da velocidade: Forc¸as de retardamento . . . . . . . . 46
2.8 Teoremas de conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Conservac¸a˜o do momentum linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Conservac¸a˜o do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.3 Conservac¸a˜o da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8.4 Poteˆncia (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8.5 Dependeˆncia Temporal da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
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Prof. Salviano A. Lea˜o ii
2.8.7 Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.9 Movimento de foguetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9.1 Movimento do foguete: forc¸a externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.9.2 Movimento do foguete: sem forc¸a externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9.3 Foguete em ascensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.10 Limitac¸o˜es da mecaˆnica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.12 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.1 Expanso˜es em se´ries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.2 Func¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12.3 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3 Oscilac¸o˜es 89
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Pequenas Oscilac¸o˜es: Lineares e Na˜o-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Oscilac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Oscilac¸o˜es Na˜o-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Mole´culas Diatoˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Oscilador Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Estudo do Movimento Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 Ana´lise do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.2 Condic¸o˜es Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Oscilador Harmoˆnico Simples: Soluc¸a˜o por Conservac¸a˜o de Energia . . . . . . . 100
3.6 Oscilador Harmoˆnico Simples e a Conservac¸a˜o de Energia . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 Energias Me´dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.8 Oscilador Harmoˆnico e o Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103
3.9 Peˆndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10 Oscilador Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.11 Osciladores Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.12 Determinac¸a˜o da frequ¨eˆncia Natural ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.12.1 Me´todo da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.12.2 Me´todo de Rayleigh: Massa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.13 Oscilac¸o˜es Harmoˆnicas em duas Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.14 Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.15 Oscilac¸o˜es Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.15.1 Amortecimento Subcr´ıtico (β < ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.15.2 Balanc¸o de Energia: Fator de Qualidade Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.15.3 Amortecimento Cr´ıtico (β = ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.15.4 Amortecimento Supercr´ıtico (β > ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
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3.16 Oscilac¸o˜es Forc¸adas Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.17 Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.18 Impedaˆncia de Um Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.19 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.20 Elementos de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.1 Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.2 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20.3 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.20.4 Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.21 Oscilac¸o˜es Ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.22 Analogia entre as Oscilac¸o˜es Mecaˆnicas e Ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.23 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.23.1 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.23.2 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4 Gravitac¸a˜o 150
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Campo Gravitacional g . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6 Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.7 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.7.1 Aˆngulo So´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equac¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 170
4.9 Linhas de Forc¸a e Superf´ıcies Equ¨ipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 Ca´lculo Variacional 176
5.1 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2 Formulac¸a˜o do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3 A equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4 A segunda forma da equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5 Func¸o˜es com va´rias varia´veis dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.6 Equac¸o˜es de Euler com condic¸o˜es de v´ınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.7 A notac¸a˜o δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
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5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Formulac¸a˜o Lagrangeana da Mecaˆnica 187
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.2 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5 Espac¸o de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.6 Espac¸o de Configurac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.7 Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.8.1 Vı´nculos e as coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.9 Princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.9.1 Deslocamento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.9.2 Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.9.3 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.10 Princ´ıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.11 Equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.11.1 Vı´nculos nas equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.11.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.12 Aplicac¸o˜es da Formulac¸a˜o Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.13 Energia Cine´tica em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.14 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.16 Forc¸as Aplicadas e de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.17 Func¸a˜o de Dissipac¸a˜o de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.18.1 Deduc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.18.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7 Princ´ıpio de Hamilton: Dinaˆmicas Lagrangeana e Hamiltoniana 249
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2 Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.3 Princ´ıpio de Hamilton a Partir do Princ´ıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 254
7.4 Equac¸o˜es de Lagrange a Partir do Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 257
7.5 Princ´ıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.6 A Lagrangeana de Uma Part´ıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.7 Lagrangeana de um Sistema de Part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.8 Princ´ıpio de Hamilton: Vı´nculos Na˜o-Holonoˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Prof. Salviano A. Lea˜o v
7.8.1 Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.8.2 Forc¸as de Vı´nculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.9 Vantagens de Uma Formulac¸a˜o Por Um Princ´ıpio Variacional . . . . . . . . . . . 276
8 Leis de Conservac¸a˜o e Propriedades de Simetria 280
8.1 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.2 Coordenadas C´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.3 Translac¸o˜es e Rotac¸o˜es Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.3.1 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.3.2 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.4 Teoremas de Conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservac¸a˜o do Momentum . . . . . . . . . . 287
8.5 Isotropia Espacial e Conservac¸a˜o do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . 288
8.6 Uniformidade Temporal e Conservac¸a˜o da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.7 Invariaˆncia de Escala na Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.8 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.9 Equac¸o˜es de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9 Dinaˆmica Hamiltoniana 300
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.2 Equac¸o˜es Canoˆnicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.3 Equac¸o˜es de Hamilton a Partir do Princ´ıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . 303
9.4 Integrais de Movimento das Equac¸o˜es de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas C´ıclicas . . . . . . . . . 305
9.6 Transformac¸o˜es Canoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9.7 Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.8 Propriedades Fundamentais dos Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.9 Pareˆnteses de Poisson Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.11 Pareˆnteses de Poisson e as Integrais de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.12 Equac¸a˜o de Movimento na Forma dos Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . 317
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Definir o conceito de cieˆnciana˜o e´ uma
tarefa simples, entretanto, considerar-se que
a cieˆncia pode ser definida como um con-
junto de conhecimentos sistematicamente or-
ganizado sobre um determinado objeto, adqui-
ridos por meio de observac¸o˜es e experimentos
reprodut´ıveis, criticamente testados, sistemati-
zados e classificados segundo princ´ıpios gerais.
Os crite´rios usados para definir uma a´rea do
conhecimento como uma cieˆncia, estabelecem
um me´todo cient´ıfico. Neste contexto, a f´ısica
pode ser definida como a cieˆncia que inves-
tiga os fenoˆmenos naturais, pois ela teˆm como
ponto de partida um conjunto de hipo´teses que
surgem da observac¸a˜o dos fenoˆmenos naturais,
e essas hipo´teses, que representam uma idea-
lizac¸a˜o destes fenoˆmenos, sa˜o as bases com que
as teorias f´ısicas sa˜o constru´ıdas. Nessas teo-
rias, as leis envolvendo grandezas f´ısicas sa˜o
expressas em termos de equac¸o˜es matema´ticas
que descrevem e preveˆem seus comportamen-
tos sob determinadas condic¸o˜es. As teorias da
f´ısica na˜o sa˜o completas e nem imuta´veis, de
fato, elas podem vir a ser modificadas. Com
o desenvolvimento tecnolo´gico medidas expe-
rimentais de determinadas grandezas podem
ser efetuadas com uma maior precisa˜o e novos
experimentos podem ser realizados. A com-
parac¸a˜o nume´rica entre os resultados previstos
pela teoria e a medida experimental serve como
um paraˆmetro para julgar se a teoria e´ correta
ou na˜o e, se for o caso, em que ponto e´ ne-
cessa´rio introduzir correc¸o˜es ou modificac¸o˜es.
Se a concordaˆncia nume´rica for boa, a proba-
bilidade da teoria estar correta e´ grande. Por
outro lado, se a concordaˆncia for apenas quali-
tativa, fica dif´ıcil julgar a teoria. Ale´m disso, se
existir mais de uma, a dificuldade de escolher
entre as diferentes possibilidades seria grande,
entretanto, os f´ısicos, nestes casos tendem a es-
colher a teoria mais simples. Fenoˆmenos novos
tambe´m podem ser observados e quando estes
na˜o podem ser explicados pelas teorias vigen-
tes, e´ necessa´rio uma nova teoria que englobe
todos os experimentos realizados.
As grandezas f´ısicas que aparecem nas
equac¸o˜es matema´ticas devem expressar quan-
tidades, as quais devem possuir significados
nume´ricos precisos. Se uma dada grandeza
for definida, especificac¸o˜es de como determina´-
la quantitativamente devem estar contidas na
sua definic¸a˜o. Uma definic¸a˜o apenas qualita-
tiva na˜o e´ suficiente para ser usada como ali-
cerce da construc¸a˜o de uma teoria cient´ıfica.
Na pra´tica, apesar de ser muito dif´ıcil cons-
truir uma definic¸a˜o idealmente precisa, supo˜e-
se implicitamente que as grandezas envolvidas
esta˜o precisamente definidas quando se escreve
1
Prof. Salviano A. Lea˜o 2
uma equac¸a˜o matema´tica. Nesta situac¸a˜o, e´
importante estar ciente em que ponto e em
que grau a construc¸a˜o de uma teoria e´ afe-
tada pela falta de precisa˜o nessas definic¸o˜es.
Existem conceitos que sa˜o definidos em termos
daqueles que ja´ foram anteriormente definidos
e sa˜o chamados conceitos derivados. Assim,
toda vez que um novo conceito derivado for
definido, sera´ suposto que os conceitos ante-
riores, usados na nova definic¸a˜o, esta˜o preci-
samente definidos. Rastreando-se os concei-
tos anteriores, utilizados para definir os con-
ceitos derivados, fatalmente voltar-se-a´ ate´ os
conceitos ba´sicos ou primitivos, os quais exis-
tem com uma certa falta de precisa˜o. Geral-
mente esses conceitos primitivos sa˜o supostos
como conhecidos ”a priori”, seja pela viveˆncia,
seja pela intuic¸a˜o. Muitos desses conceitos
(por exemplo, espac¸o, tempo, massa e carga no
caso da f´ısica) tornaram-se parte integrante da
nossa vida dia´ria, o que aumenta o risco de se-
rem considerados mais o´bvios do que realmente
o sa˜o. De qualquer forma, a construc¸a˜o de
uma teoria deve ser iniciada em algum ponto
mesmo que a precisa˜o deseja´vel na˜o seja al-
canc¸ada. Sempre que atingir um esta´gio mais
avanc¸ado, deve-se retornar a`s definic¸o˜es des-
ses conceitos e aperfeic¸oa´-las. Assim, cada vez
que houver uma compreensa˜o melhor, aper-
feic¸oa-se as definic¸o˜es dos conceitos primitivos.
Mesmo nesses conceitos primitivos, ha´ necessi-
dade de incluir ao menos uma definic¸a˜o opera-
cional para que a sua determinac¸a˜o quantita-
tiva seja poss´ıvel.
Uma das teorias cient´ıficas mais antigas e
mais conhecidas, nos moldes das chamadas
”cieˆncias exatas”, e´ a Mecaˆnica Cla´ssica. As
leis da alavanca e dos fluidos em equil´ıbrio
esta´tico ja´ eram conhecidos por Arquimedes
de Siracusa (287?-212 a.C.) da antiga Gre´cia.
Depois da descoberta das leis da mecaˆnica
por Galileu Galilei (1564-1642) e por Sir Isaac
Newton (1642-1727), a F´ısica teve um desen-
volvimento enorme nos u´ltimos treˆs se´culos.
Apo´s o surgimento da chamada F´ısica Mo-
derna no in´ıcio do se´culo XX, muitas das leis da
mecaˆnica sofreram modificac¸o˜es. Entretanto, a
Mecaˆnica Cla´ssica continua sendo uma o´tima
teoria na maioria das aplicac¸o˜es que surgem no
cotidiano terrestre. Ela leva a previso˜es corre-
tas das grandezas que descrevem os fenoˆmenos
f´ısicos, desde que na˜o envolvam velocidades
pro´ximas a` da luz, massas enormes, distaˆncias
cosmolo´gicas e dimenso˜es atoˆmicas.
A Mecaˆnica Cla´ssica, tem como objeto de es-
tudo corpos em movimento ou em repouso e a
condic¸o˜es de movimento e repouso, dos mes-
mos quando estes esta˜o sob a influeˆncia de
forc¸as internas e externas. Ela na˜o explica
porque os corpos se movem; ela simplesmente
mostra como o corpo ira´ se mover em uma
dada situac¸a˜o e como descrever o seu movi-
mento. Ela na˜o se preocupa em explicar a ori-
gem das forc¸as, e sim, como os corpos ira˜o se
movimentar sob a ac¸a˜o de tais forc¸as. O es-
tudo da mecaˆnica pode ser dividido em treˆs
partes: Cinema´tica, Dinaˆmica e Esta´tica. A
cinema´tica fornecem uma descric¸a˜o puramente
geome´trica do movimento (ou trajeto´ria) dos
objetos, desconsiderando as forc¸as que o pro-
duziram. Ela trata com os conceitos que se in-
terrelacionam: posic¸a˜o, velocidade, acelerac¸a˜o
e tempo. A dinaˆmica se preocupa com as
forc¸as que produzem as mudanc¸as no movi-
mento ou mudanc¸a em outras propriedades
f´ısicas, tais como a forma e o tamanho do ob-
jeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e
forc¸a e as leis que governam o movimento dos
Prof. Salviano A. Lea˜o 3
objetos. A esta´tica, por sua vez, e´ um caso
particular da dinaˆmica, a qual trata os corpos
na condic¸a˜o de repouso, ou seja, na auseˆncia
de forc¸as externas.
Embora a mecaˆnica tenha seu in´ıcio na an-
tiguidade, ela teve um grande avanc¸o com
Aristo´teles (384-322 a.C.) e depois ficou parali-
sada por quase 20 se´culos. Entretanto, a verda-
deira cieˆncia da Mecaˆnica foi fundada por Ga-
lileu, Christiaan Huygens (1629-1695) e New-
ton. Eles mostraram que os objetos se movem
de acordo com certas regras, e estas regras fo-
ram estabelecidas na forma de leis do movi-
mento. A Mecaˆnica Cla´ssica ou Newtoniana e´
essencialmente o estudo das consequ¨eˆncias das
leis do movimento formuladas por Newton no
seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathe-
matica”, publicado em 1686.
Apesar das Leis de Newton em sua for-
mulac¸a˜o original, fornecerem uma aborda-
gem simples e direta para os problemas da
Mecaˆnica Cla´ssica, existem algumas outras for-
mulac¸o˜es dos princ´ıpios da Mecaˆnica Cla´ssica.
Entre eles, os dois mais usados sa˜o a for-
mulac¸a˜o Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas
duas formulac¸o˜es tem a energia e na˜o a forc¸a
com o conceito fundamental, desta forma, as
equac¸o˜es que se seguem,destas formulac¸o˜es,
sa˜o escalares e na˜o vetoriais.
A Mecaˆnica e´ o ramo da F´ısica que estuda os
movimentos dos corpos e suas causas. E´, enta˜o,
necessa´rio uma boa compreensa˜o dos conceitos
primitivos e de como as teorias sa˜o constru´ıdas
com base neles. A hipo´tese mais fundamen-
tal na Mecaˆnica Cla´ssica e´ a de considerar o
espac¸o e o tempo cont´ınuos, o que significa que
existem padro˜es universais de comprimento e
de tempo. Assim, observadores em diferentes
lugares e em diferentes instantes podem com-
parar suas medidas de um dado evento ocor-
rido em um determinado ponto do espac¸o e
em um instante espec´ıfico. Ate´ hoje, nenhuma
evideˆncia convincente de que se alcanc¸ou o li-
mite de validade desta hipo´tese surgiu. Ou-
tras duas hipo´teses, tambe´m muito importan-
tes, estabelecem que o comportamento dos ins-
trumentos de medida na˜o e´ afetado pelos seus
estados de movimento (desde que na˜o estejam
sendo rapidamente acelerados) e que, pelo me-
nos em princ´ıpio, os valores nume´ricos obtidos
para as grandezas f´ısicas podera˜o ser torna-
dos ta˜o precisos quanto se queira. Estas duas
hipo´teses falham no limite que envolvem altas
velocidades e medidas de grandezas de magni-
tudes muito pequenas.
A mecaˆnica e´ a cieˆncia que estuda as for-
mas mais simples de movimento da mate´ria,
os deslocamentos dos objetos no espac¸o com o
decorrer do tempo. Como qualquer outra teo-
ria f´ısica ela tem o seu domı´nio de aplicac¸a˜o,
fora do qual ela deve ser substitu´ıda por ou-
tra teoria mais geral que a contenta como caso
especial. No caso de movimentos com veloci-
dade compara´veis com a da luz c, a teoria mais
geral sera´ a mecaˆnica relativ´ıstica; a mecaˆnica
quaˆntica e´ a teoria mais geral na descric¸a˜o de
objetos em uma escala microsco´pica, tal como
a´tomos e mole´culas. Para objetos co´smicos,
de proporc¸o˜es metagala´cticas, para as estrelas
de neˆutrons hiperdensas, os buracos negros, a
mecaˆnica newtoniana deve ser substitu´ıda pela
relatividade geral de Einstein. Na figura 1.1
mostramos um esquema deste domı´nio. no eixo
das abscissas colocamos a velocidade v do ob-
jeto, o no eixo das ordenadas a distaˆncia (di-
mensa˜o caracter´ıstica do objeto) L, caracteri-
zando o sistema material em movimento. O
domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica cla´ssica para
Prof. Salviano A. Lea˜o 4
Figura 1.1: Limites da mecaˆnica de acordo com
a massa e a velocidade do objeto.
um objeto de massa m e´ dada pela regia˜o 2 da
figura 1.1, a` direita da hipe´rbole v · L = h/m
e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h
e´ a constante de Planck. A regia˜o 1, que fica
a esquerda da hipe´rbole v · L = h/m e a es-
querda da reta v = αc, representa o domı´nio
de aplicac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica. A regia˜o
4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da
hipe´rbole v ·L = h/m, representa o domı´nio de
aplicac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica relativ´ıstica.
Ja´ a regia˜o 3, , que fica a direita da reta v = αc
e acima da hipe´rbole v ·L = h/m, representa o
domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica relativ´ıstica,
ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein.
Assim, a mecaˆnica teo´rica (anal´ıtica) sera´ a
mecaˆnica cla´ssica, aplica´vel tanto para objetos
macrosco´picos com v ¿ c, quanto para uma
mole´cula, a´tomo ou part´ıcula elementar desde
que mvL¿ h. Costuma-se representar de ma-
neira abstrata, os corpos de materiais estuda-
dos pela mecaˆnica cla´ssica sob a forma de pon-
tos materiais se as dimenso˜es forem pequenas
comparadas com as dimenso˜es caracter´ısticas
dos sistemas em relac¸a˜o aos quais se registra o
movimento.Os corpos so´lidos sa˜o aqueles que
as distaˆncias relativas entre diferentes pontos
do corpo durante o seu movimento permane-
cerem inalteradas, isto e´, o corpo na˜o e´ de-
forma´vel. Corpos ela´sticos, l´ıquidos ou gaso-
sos, sa˜o aqueles que o corpo e´ deforma´vel e
ocupa uma regia˜o do espac¸o maior do que as
dimenso˜es caracter´ısticas dos materiais que re-
gistram o movimento.
1.1 PADRO˜ES
A f´ısica e´ baseada em medidas e aprende-
remos f´ısica apreendendo a medir as quanti-
dades que sa˜o envolvidas nas leis da f´ısica.
Entre estas quantidades esta˜o o comprimento,
tempo, massa, temperatura, corrente ele´trica,
etc. Para descrevermos uma quantidade f´ısica
primeiramente definimos uma unidade, isto e´, a
medida da quantidade que e´ definida como exa-
tamente 1. Enta˜o definimos um padra˜o, isto
e´, uma refereˆncia para a qual todos os outros
exemplos sa˜o comparados. Por exemplo, a uni-
dade de comprimento e´ o metro, como veremos
mais adiante, ele e´ definido como a distaˆncia
que a luz percorre no va´cuo durante uma certa
frac¸a˜o de segundo. Em princ´ıpio somos livres
para escolhermos a unidade e o padra˜o, no en-
tanto e´ importante que os cientistas no mundo
concordem que a nossa definic¸a˜o e´ acess´ıvel e
pra´tica.
Em mecaˆnica inicialmente precisaremos de
algumas grandezas tais como: comprimento,
tempo e massa. Como estes padro˜es na˜o sa˜o
definidos em termos de quaisquer outros, eles
devem ser escolhidos de modo a permitir sua
reproduc¸a˜o para comparac¸a˜o com grandezas a
serem medidas. Os padro˜es devem ter as se-
guintes caracter´ısticas:
Prof. Salviano A. Lea˜o 5
1. deve ser imuta´vel, as medidas feitas hoje
devem ser as mesmas daqui a um se´culo.
2. deve ser acess´ıvel, de modo a poder ser re-
produzida em qualquer outro laborato´rio.
3. deve ser preciso atender a qualquer grau
de precisa˜o tecnolo´gica.
4. deve ser universalmente aceito, de modo
que os resultados obtidos em diferentes
pa´ıses sejam compara´veis.
Na escolha de um padra˜o, por exemplo com-
primento, precisamos ter procedimentos para
que qualquer medida de comprimento possa
ser expresso em termos deste padra˜o, desde o
raio do a´tomo de hidrogeˆnio ate´ a distaˆncia da
Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de
nossas comparac¸o˜es sera˜o indiretas. Na˜o sera´
poss´ıvel utilizarmos uma re´gua para medir o
raio do a´tomo de hidrogeˆnio ou a distaˆncia ate´
a Lua. Existem muitas grandezas f´ısicas e e´
um problema organiza´-las, felizmente elas na˜o
sa˜o todas independentes. Por exemplo, a velo-
cidade e´ a raza˜o entre comprimento e tempo.
Muitas vezes uma escolha acess´ıvel na˜o e´
pra´tica, na˜o sendo portanto uma boa escolha.
Por exemplo, podemos escolher o nosso pole-
gar como um padra˜o de comprimento. Ele e´
acess´ıvel no entanto na˜o e´ pra´tico porque cada
pessoa tem um polegar diferente de forma que
qualquer comparac¸a˜o gere resultados diferen-
tes.
Em 1971, a 14a Confereˆncia Geral de Pesos
e Medidas considerou sete quantidades ba´sicas
para formar a base do Sistema Internacional
de Unidades, abreviado por SI e popularmente
conhecido como sistema me´trico. Como ja´ dis-
semos, na mecaˆnica as quantidades ba´sicas sa˜o:
tempo, massa e comprimento, cujas unidades
sa˜o: segundo, quilograma e metro, respectiva-
mente. As definic¸o˜es para estas unidades sa˜o
as seguintes:
Tempo um segundo e´ 9.162.631.770 per´ıodos
de uma certa vibrac¸a˜o do a´tomo de Cs133.
Comprimento ummetro e´ o comprimento do
caminho percorrido pela luz no va´cuo du-
rante 1
299.792.458
de segundo.
Massa um quilograma e´ a massa de um cilin-
dro particular (3, 9 cm de diaˆmetro × 3, 9
cm de altura) de platina-ir´ıdio guardado
pro´ximo de Paris.
Outras As demais unidades que aparecem
na mecaˆnica sa˜o derivadas destas treˆs,
por exemplo o watt, que e´ a unidade de
poteˆncia,
1 watt = 1 W = 1 kg ·m2/s3
1.2 Tempo
O tempo e´ um dos conceitos primitivos ado-
tados para construir a teoria da Cieˆncia F´ısica
(MecaˆnicaCla´ssica, em particular). Como tal,
na˜o e´ poss´ıvel definir precisamente o que e´
o tempo, mas supo˜e-se que todos ja´ ”o co-
nhecem muito bem”. Como pode-se notar,
existe uma total falta de precisa˜o para definir
o tempo. Esta situac¸a˜o persiste mesmo que
se adote as definic¸o˜es qualitativas dadas nos
diciona´rios. Entretanto, o que realmente im-
porta aqui na˜o e´ definir o que e´ o tempo com
precisa˜o, mas como med´ı-lo, isto e´, defin´ı-lo
operacionalmente.
Prof. Salviano A. Lea˜o 6
Uma maneira de medir o tempo e´ utilizar
algum fenoˆmeno que se repete com certa regu-
laridade dito perio´dico. A palavra ”relo´gio”
pode ser adotada no sentido amplo, signifi-
cando tanto os fenoˆmenos perio´dicos utiliza-
dos para a medida do tempo, como os instru-
mentos constru´ıdos para a mesma finalidade.
O princ´ıpio de funcionamento de um ”relo´gio”
como instrumento e´ baseado nos fenoˆmenos
perio´dicos. Um dos primeiros ”relo´gios” que
se conhece na histo´ria da Humanidade e´ o nas-
cer do Sol. Este fenoˆmeno repete-se indefinida-
mente e a durac¸a˜o entre dois eventos consecu-
tivos do nascer do Sol e´ denominado dia. Surge
uma questa˜o importante neste ponto. Sera´ que
a durac¸a˜o dos dias e´ sempre a mesma? Na re-
alidade, esta e´ uma questa˜o importante para
qualquer ”relo´gio”, na˜o se restringindo apenas
ao dia. Tudo que se pode fazer e´ comparar com
outros ”relo´gios” para tentar responder a esta
pergunta. Tais comparac¸o˜es e as ana´lises das
leis que governam os fenoˆmenos repetitivos da˜o
subs´ıdios para se decidir, na˜o so´ esta questa˜o,
como o grau de confiabilidade dos ”relo´gios”.
Observe, no entanto, que na˜o ha´ maneira de
provar que a durac¸a˜o dos per´ıodos de qualquer
dos fenoˆmenos repetitivos, onde se baseiam es-
ses ”relo´gios”, e´ realmente constante. Dessa
forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de
regularidade concorda com a de outro, ou na˜o,
mediante comparac¸o˜es. Assim, do ponto de
vista operacional, a definic¸a˜o do tempo esta´
baseada na repetic¸a˜o de algum tipo de evento
que, aparentemente, e´ perio´dico.
O dia, acima citado, e´ devido a` rotac¸a˜o
da Terra. Enta˜o, o per´ıodo de rotac¸a˜o da
Terra pode ser comparado com, por exemplo, o
per´ıodo de revoluc¸a˜o da Terra ao redor do Sol,
o da Lua em torno da Terra, o do Mercu´rio em
torno do Sol etc. Observac¸o˜es muito precisas
mostraram concordaˆncia entre si desses outros
fenoˆmenos dentro de uma pequena margem de
discrepaˆncias. A partir destas comparac¸o˜es,
detectou-se que o per´ıodo da rotac¸a˜o da Terra
tem pequenas irregularidades da ordem de uma
parte em 108. Enta˜o, o per´ıodo de rotac¸a˜o da
Terra, o dia, e´ um bom ”relo´gio” para muitos
propo´sitos.
Com o passar do tempo, a necessidade de se
medir intervalos de tempo de durac¸a˜o menor
que a de um dia surgiu. Um dos mais anti-
gos relo´gios, como instrumentos de medida de
tempo, sa˜o os relo´gios de sol. Basicamente, a
projec¸a˜o da sombra de uma estaca sobre uma
escala graduada e´ o mecanismo de medida do
tempo nesses relo´gios. Com os relo´gios sola-
res, tornou-se poss´ıvel medir uma frac¸a˜o do
dia com uma certa precisa˜o. Entretanto, eles
apresentavam o inconveniente de so´ funciona-
rem durante o dia e, dependendo da e´poca
do ano, de marcarem horas que diferem um
pouco. Os clepsidras (relo´gios de a´gua) base-
ados no escoamento de a´gua, atrave´s de um
orif´ıcio muito pequeno no fundo de um reci-
piente para um outro com uma escala gra-
duada, ja´ eram usados pelos antigos eg´ıpcios
e babiloˆnios. Eles permitiam medir o tempo
correspondente a` frac¸a˜o do dia com uma pre-
cisa˜o razoa´vel. Havia a vantagem de funcionar
mesmo a` noite. Com a descoberta do vidro, as
ampulhetas (relo´gios de areia) que se baseiam
num princ´ıpio ana´logo foram desenvolvidas.
Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo
das oscilac¸o˜es de um peˆndulo, quando compa-
rou as oscilac¸o˜es de um candelabro da Cate-
dral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele
observou que o per´ıodo das oscilac¸o˜es perma-
necia o mesmo independentemente da sua am-
Prof. Salviano A. Lea˜o 7
plitude. Logo ele aplicou essa descoberta e
construiu um relo´gio de peˆndulo que permi-
tia medir pequenos intervalos de tempo. Ate´
enta˜o, nenhum me´todo preciso para tal me-
dida era conhecido. Depois da descoberta
de Galileu, relo´gios de peˆndulos comec¸aram a
ser constru´ıdos. Estimulados pela necessidade,
relo´gios cada vez mais precisos foram desenvol-
vidos. Ao mesmo tempo, medidas de interva-
los de tempo cada vez mais curtos tornaram-se
poss´ıveis. O cronoˆmetro mar´ıtimo desenvol-
vido por Harrison em 1765 tinha uma precisa˜o
da ordem de uma parte em 105. Esta pre-
cisa˜o e´ compara´vel ao de um relo´gio ele´trico
moderno. Uma parte em 108 e´ a precisa˜o de
um relo´gio baseado em osciladores de quartzo.
O 133Cs (ce´sio 133) emite uma radiac¸a˜o ca-
racter´ıstica, cuja frequ¨eˆncia pode ser utilizada
para controlar oscilac¸o˜es eletromagne´ticas na
regia˜o de micro-ondas. Um relo´gio baseado
nesta frequ¨eˆncia como padra˜o, denominado
relo´gio atoˆmico, atinge uma precisa˜o de uma
parte em 1012. Para se ter uma ide´ia, essa
precisa˜o significa um desvio de 1 s em apro-
ximadamente 30.000 anos. Apesar da precisa˜o
do relo´gio atoˆmico ser fantasticamente boa, o
movimento te´rmico dos a´tomos constituintes
introduz uma incerteza razoa´vel na medida de
frequ¨eˆncia da sua radiac¸a˜o. Com o advento
das te´cnicas de confinamento e resfriamento de
a´tomos, esse movimento te´rmico pode ser re-
duzido drasticamente e espera-se uma melhora
de pelo menos um fator 1000. Isto quer dizer
que, pelo menos em princ´ıpio, atingiria uma
precisa˜o maior que uma parte em 1015 (um erro
na˜o maior que 1 s em cerca de 30 milho˜es de
anos).
Unidade Padra˜o do Tempo — E´ conveni-
ente que se defina uma unidade para a medida
do tempo e referir-se a ela pelos seus mu´ltiplos
ou submu´ltiplos. Mas, se na˜o se adotar um
padra˜o, provavelmente ter´ıamos uma unidade
diferente em cada regia˜o do globo terrestre. Fe-
lizmente, o per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra e´ co-
mum para toda a humanidade. Na falta de
um padra˜o melhor, ate´ 1956 adotava-se a uni-
dade padra˜o do tempo como sendo o segundo
(s), definido como 1 s = 1/86.400 do dia so-
lar me´dio. O dia solar me´dio e´ a me´dia sobre
um ano da durac¸a˜o do dia. Tendo em vista as
irregularidades da rotac¸a˜o da Terra, em 1956,
mudou-se a definic¸a˜o do segundo como sendo
1 s = 1/31.556.925, 9747 da durac¸a˜o do ano
tropical de 1900 (1 ano tropical e´ o intervalo
de tempo entre duas passagens consecutivas do
Sol pelo equino´cio de primavera). Finalmente,
em 1967, foi definido o atual segundo como
sendo 1 s = 9.192.631.770 per´ıodos da radiac¸a˜o
correspondente a` transic¸a˜o caracter´ıstica do
133Cs.
1.3 Espac¸o
O espac¸o e´, tambe´m, um dos conceitos pri-
mitivos no qual apo´ia-se a Mecaˆnica Cla´ssica.
O conceito do espac¸o esta´ intimamente relaci-
onado ao da medida de distaˆncia. E´ do conhe-
cimento de todos que uma maneira de medir
uma distaˆncia e´ adotar uma unidade e medi-
ante comparac¸a˜o direta contar quantas unida-
des correspondem essa distaˆncia. Essa unidade
pode ser um basta˜o, polegar, palma da ma˜o, pe´
etc. De qualquer maneira, e´ necessa´rio adotar
uma unidade padra˜o e referir-se a`s distaˆncias
por meio dos mu´ltiplos e submu´ltiplos dessa
unidade, como foi feito com o tempo. Apo´s a
Revoluc¸a˜o Francesa, adotou-se um padra˜o de-
Prof. Salviano A. Lea˜o 8
nominado metro e este foi definido como sendo
a frac¸a˜o 1/40.000.000 da distaˆncia do Equa-dor ao Po´lo Norte, ao longo do meridiano de
Paris. Foi introduzido para atender as neces-
sidades da navegac¸a˜o e da cartografia daquela
e´poca. Um se´culo depois, em 1889, foi intro-
duzido o metro padra˜o a fim de aumentar a
precisa˜o na medida da distaˆncia. Este u´ltimo
foi definido como a distaˆncia entre dois trac¸os
numa barra de platina iridiada depositada sob
condic¸o˜es especificadas no Bureau Internacio-
nal de Poids e Mesures de Se`vres, Franc¸a. Em
1960, o metro foi redefinido como 1.650.763, 73
comprimentos de onda no va´cuo da radiac¸a˜o
caracter´ıstica do 86Kr (criptoˆnio 86). Esta de-
finic¸a˜o e´ muito mais precisa e satisfato´ria, e
esta´ associada a um fenoˆmeno f´ısico de ”fa´cil”
reproduc¸a˜o. Finalmente, em 1983, o padra˜o
de comprimento foi substitu´ıdo por um padra˜o
de velocidade (foi escolhido uma constante uni-
versal que e´ a velocidade da luz no va´cuo, cujo
valor exato e´, por definic¸a˜o, c = 299.792.458
m/s), mantendo a unidade de tempo baseado
no relo´gio atoˆmico acima. Isto fixa a definic¸a˜o
do metro em termos da definic¸a˜o do segundo
como sendo a` distaˆncia percorrida pela luz em
1/c segundos. Note que nesta definic¸a˜o, o me-
tro e´ reajustado automaticamente cada vez que
a definic¸a˜o do segundo e´ melhorada. Entre-
tanto, na pra´tica, as reproduc¸o˜es do metro
com alta precisa˜o continuam sendo baseadas
em comprimento de onda da radiac¸a˜o do 86Kr
acima referido.
Agora que se tem a unidade padra˜o, o me-
tro, a medida de distaˆncia pode ser efetu-
ada por comparac¸a˜o com um basta˜o de 1 me-
tro, como foi referido no in´ıcio desta sec¸a˜o.
Se for uma distaˆncia menor do que 1 me-
tro, pode-se construir um basta˜o menor, de
frac¸a˜o do metro, para ser utilizado na com-
parac¸a˜o. Entretanto, nem sempre e´ poss´ıvel
aplicar este procedimento. Por exemplo, se-
ria muito dif´ıcil, se na˜o for imposs´ıvel, medir a
distaˆncia horizontal entre dois cumes de mon-
tanhas procedendo-se desta maneira. Como
um outro exemplo, poderia citar a medida de
distaˆncia da Terra a` Lua. Felizmente, sabe-
se pela experieˆncia que a distaˆncia pode ser
medida pela triangulac¸a˜o. Neste caso, esta´
sendo usada uma outra definic¸a˜o de distaˆncia.
Pore´m, onde e´ poss´ıvel utilizar ambas as de-
finic¸o˜es de distaˆncia, as medidas obtidas con-
cordam com uma boa precisa˜o. Uma vez que
um nu´mero muito grande de casos da aplicac¸a˜o
pra´tica mostra que atrave´s da triangulac¸a˜o
obte´m-se distaˆncias corretas, leva-se a acredi-
tar que este procedimento funcionara´ tambe´m
para distaˆncias ainda maiores. Uma medida
cuidadosa, realizada atrave´s de dois telesco´pios
localizados em lugares diferentes na face da
Terra, encontrou a distaˆncia da Terra a` Lua
como sendo 4× 108 metros.
O me´todo da triangulac¸a˜o esta´ baseada na
geometria de Euclides. Assim, pode-se intro-
duzir o conceito do espac¸o como sendo o de Eu-
clides, mediante a concordaˆncia entre as duas
definic¸o˜es de distaˆncia. Conforme as escalas
envolvidas, definic¸o˜es de distaˆncias diferentes
das duas anteriores foram utilizadas. Ape-
sar disso, todas as evideˆncias mostram que
o espac¸o de Euclides descreve extraordinari-
amente bem os fenoˆmeno no domı´nio das di-
menso˜es que va˜o desde 10−15 ate´ 1026 metros.
Prof. Salviano A. Lea˜o 9
1.4 Cinema´tica
O primeiro passo para estudar o movimento
de um corpo e´ descreveˆ-lo. A descric¸a˜o do
movimento de um objeto real pode ser ex-
cessivamente complexa. Enta˜o, e´ imperativo
que se introduza uma idealizac¸a˜o para que
possa representar uma situac¸a˜o real mediante
simplificac¸a˜o de muitos aspectos, tornando as
equac¸o˜es matema´ticas mais simples e solu´veis.
Depois de obter uma descric¸a˜o de um sistema
idealizado, correc¸o˜es podem ser introduzidas
para que o resultado se aproxime melhor da si-
tuac¸a˜o real. Para descrevermos o movimento
de um corpo de forma simples introduziremos
alguns conceitos ba´sicos.
Um dos conceitos fundamentais da mecaˆnica
e´ o conceito de ponto material ou part´ıcula.
Um ponto material ou part´ıcula e´ um objeto
cujas dimenso˜es e estruturas internas sa˜o des-
prez´ıveis perto de outras dimenso˜es envolvidas
no problema. Por exemplo, a Terra pode ser
considerada part´ıcula na maioria dos proble-
mas de movimento planeta´rio, mas certamente
na˜o e´ poss´ıvel nos problemas terrestres. Da-
qui para frente ponto material e part´ıcula sera˜o
utilizados como sinoˆnimos, salvo menc¸a˜o em
contra´rio. O espac¸o e´ euclidiano, tridimen-
sional, isotro´pico e homogeˆneo, e e´ represen-
tado por treˆs coordenadas cartesianas, x, y e
z em relac¸a˜o a um determinado sistema de re-
fereˆncia. O sistema de refereˆncia esta´ ligado
a um objeto real, por exemplo uma estrela
imo´vel ou um so´lido, considerado como um
corpo referencial. A posic¸a˜o de uma part´ıcula
P pode ser descrita localizando-se um ponto
no espac¸o tridimensional, que por hipo´tese e´
euclidiano. Isto pode ser feito fixando-se treˆs
eixos mutuamente ortogonais a partir de uma
origem O no espac¸o e especificando-se suas co-
ordenadas retangulares x, y e z com relac¸a˜o a
estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um
sistema como estes treˆs eixos e´ denominado
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Dadas as coordenadas em relac¸a˜o a um sistema
que localiza a posic¸a˜o de uma part´ıcula, o que
se deseja em seguida e´ descrever a trajeto´ria
percorrida por esta part´ıcula em movimento.
Uma representac¸a˜o parame´trica, onde o tempo
e´ o paraˆmetro, e´ uma das maneiras de especi-
ficar esta trajeto´ria. Assim, para descrever a
trajeto´ria do movimento de uma part´ıcula, as
coordenadas cartesianas em func¸a˜o do tempo,
x(t), y(t) e z(t) (1.1)
devem ser especificadas. As func¸o˜es x(t), y(t) e
z(t) representam as coordenadas da posic¸a˜o da
part´ıcula nos eixos cartesianos x, y e z em cada
instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0
para o in´ıcio da medida do tempo, geralmente
adotado como zero. A posic¸a˜o de um ponto
material no espac¸o x, y e z (sistema de coor-
denadas cartesiano) em um dado instante de
tempo t e´ descrita pelas coordenadas x(t), y(t)
e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor
r(t) = x(t)ˆi+ y(t)ˆj+ z(t)kˆ. (1.2)
A linha espacial descrita pelas coordenadas do
ponto material, ou seja, dada na forma pa-
rame´trica x(t); y(t); z(t), chama-se trajeto´ria
do ponto. O elemento de comprimento da tra-
jeto´ria e´:
ds =
√
dx2 + dy2 + dz2. (1.3)
De agora em diante usaremos a seguinte
notac¸a˜o para derivadas temporais: a derivada
em relac¸a˜o ao tempo sera´ representada por um
Prof. Salviano A. Lea˜o 10
Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogo-
nais, especificando a posic¸a˜o de uma part´ıcula
P em relac¸a˜o a` origem O do sistema.
ponto sobre a letra, assim a derivada de x em
relac¸a˜o ao tempo pode ser escrita como
x˙ =
dx
dt
; x¨ =
dx˙
dt
=
d2x
dt2
.
Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e
z(t) esta˜o claros, pode-se enta˜o definir as com-
ponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade
num instante t sa˜o
vx = x˙ =
dx
dt
,
vy = y˙ =
dy
dt
,
vx = z˙ =
dz
dt
,
(1.4)
que representam as taxas de variac¸a˜o de cada
uma das coordenadas de posic¸a˜o em func¸a˜o do
tempo. O mo´dulo da velocidade, e´ dado por
v =
ds
dt
=
√
(
dx
dt
)2 + (
dy
dt
)2 + (
dz
dt
)2 (1.5)
Da´ mesma maneira, pode-se definir as com-
ponentes cartesianas da acelerac¸a˜o ax, ay e az
num instante t sa˜o
ax = v˙x =
dvx
dt
= x¨ =
d2x
dt2
,
ay = v˙y =
dvy
dt
= y¨ =
d2y
dt2
,ax = v˙x =
dvz
dt
= z¨ =
d2z
dt2
,
(1.6)
que representam1 as taxas de variac¸a˜o de
cada uma das componentes da velocidade em
func¸a˜o do tempo. Dependendo do problema
em questa˜o, outros tipos de sistemas de co-
ordenadas tais como as coordenadas polares,
cil´ındricas e as esfe´ricas sa˜o mais convenien-
tes do que as cartesianas. Para movimentos
em duas e treˆs dimenso˜es torna-se conveni-
ente trabalhar com os vetores para represen-
tar posic¸o˜es, velocidades e acelerac¸o˜es. Neste
caso, o movimento e´ descrito por um vetor de
posic¸a˜o r, onde a cauda (extremidade) e´ fixa
na origem do sistema de refereˆncia adotado e
a ponta (a outra extremidade) deste vetor lo-
caliza a posic¸a˜o da part´ıcula (Fig. 1.2). Se
o sistema de coordenadas cartesianas for ado-
tado, suas componentes sa˜o x, y e z. Assim, as
func¸o˜es (1.1) sa˜o resumidas numa u´nica func¸a˜o
vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade ve-
torial e´ definida, enta˜o como
v = r˙ =
dr
dt
= x˙(t)ˆi+ y˙(t)ˆj+ z˙(t)kˆ (1.7)
e a acelerac¸a˜o vetorial como
a = r¨ = v˙ =
d2r
dt2
= x¨(t)ˆi+ y¨(t)ˆj+ z¨(t)kˆ. (1.8)
1A derivada com relac¸a˜o a t sera´ denotada, tambe´m
por um ponto em cima de uma varia´vel dependente
(notac¸a˜o de Newton), como e´ mostrada nas equac¸o˜es
(1.4).
Prof. Salviano A. Lea˜o 11
Figura 1.3: Velocidade vetorial
Utilizando-se a definic¸a˜o da derivada de uma
func¸a˜o vetorial dada por
v =
dr
dt
= lim
∆t→0
r(t+∆t)− r(t)
∆t
,
pode-se ver que v(t) e´ tangente a` trajeto´ria da
part´ıcula, como ilustrado na figura 1.3. Uma
vez que os vetores sa˜o independentes do tipo
de sistema de coordenadas adotado para des-
creveˆ-lo, e´ importante ressaltar tambe´m que a
velocidade e a acelerac¸a˜o expressas como ve-
tores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente,
sa˜o independentes do tipo de sistema de co-
ordenadas e a descric¸a˜o do movimento pode
ser expressa de uma maneira compacta. No
momento de descrever as componentes em al-
gum tipo espec´ıfico de sistemas de coordena-
das, deve-se lembrar que as componentes tera˜o
expresso˜es apropriadas para cada tipo de sis-
tema de coordenadas. Num sistema cartesiano
as componentes de (1.7) e de (1.8) sera˜o dadas
pelas expresso˜es (1.4) e (1.6), respectivamente.
Exemplo 1 Considere uma part´ıcula
movendo-se em um plano. Usando as co-
ordenadas polares escreva os vetores posic¸a˜o,
velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula neste
sistema de coordenadas.
Soluc¸a˜o:
Em coordenadas polares para, localizarmos
uma part´ıcula em um plano, devemos fornecer
o mo´dulo r do vetor que vai da origem ate´ a
part´ıcula, e o aˆngulo θ que este vetor forma
com o eixo x, conforme a mostramos na figura
1.4 abaixo.
Figura 1.4: Vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula no
plano. Aqui mostramos as coordenadas pola-
res.
O vetor posic¸a˜o em coordenadas cartesianas
e´
r = r cos θiˆ+ r sen θjˆ (1.9)
Os vetores unita´rios em coordenadas polares
rˆ e θˆ (ou er e eθ) esta˜o relacionados com os
vetores unita´rios iˆ e jˆ em coordenadas cartesi-
anas por{
rˆ = cos θiˆ+ sen θjˆ
θˆ = − sen θiˆ+ cos θjˆ (1.10)
Prof. Salviano A. Lea˜o 12
as quais satisfazem as seguintes relac¸o˜es
drˆ
dθ
= θˆ e
dθˆ
dθ
= −rˆ (1.11)
O vetor posic¸a˜o em coordenadas polares e´
r = r(t)rˆ(θ). (1.12)
Observe que os vetores unita´rios rˆ e θˆ va-
riam com o tempo, e portanto a velocidade da
part´ıcula e´
v = r˙ =
dr
dt
= r˙rˆ+ r
drˆ
dt
= r˙rˆ+ r
drˆ
dθ
dθ
dt
logo,
v = r˙rˆ+ rθ˙θˆ (1.13)
Uma outra forma de obtermos a velocidade
e´ usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o
qual e´ composto pelos deslocamentos infinitesi-
mais dr ao longo da direc¸a˜o rˆ e rdθ ao longo
da direc¸a˜o θˆ, ou seja,
ds = drrˆ+ rdθθˆ (1.14)
logo, a velocidade e´ dada por
v =
ds
dt
= r˙rˆ+ rθ˙θˆ (1.15)
A acelerac¸a˜o em coordenadas polares e´ dada
por
a =
dv
dt
=
d
dt
(r˙rˆ) +
d
dt
(
rθ˙θˆ
)
ou seja,
a =
(
r¨ − rθ˙2
)
rˆ+
(
2r˙θ˙ + rθ¨
)
θˆ (1.16)
Observe que o termo rθ˙2 e´ denominado ace-
lerac¸a˜o centr´ıpeta.
Exemplo 2 Considere uma part´ıcula em um
movimento circular uniforme (ver figura 1.5),
com um velocidade angular ω constante, cuja
o vetor posic¸a˜o dado por
r(t) = A cos(ωt)ˆi+ A sen(ωt)jˆ.
Determine os vetores velocidade e acelerac¸a˜o,
assim como suas componentes cartesianas.
Figura 1.5: Velocidade e acelerac¸a˜o vetoriais
num movimento circular.
Soluc¸a˜o:
As componentes cartesianas do vetor posic¸a˜o
sa˜o dadas por,
x(t) = A cos(ωt),
y(t) = A sen(ωt),
z(t) = 0.
Derivando-se o vetor posic¸a˜o, obte´m-se a ve-
locidade vetorial dada por
v(t) =
dr(t)
dt
= ωA
[
− sen(ωt)ˆi+ cos(ωt)ˆj
]
,
cujas as componente cartesianas sa˜o
vx(t) = x˙ = −ωA sen(ωt),
vy(t) = y˙ = ωA cos(ωt),
vz(t) = z˙ = 0.
Prof. Salviano A. Lea˜o 13
Por sua vez, a acelerac¸a˜o vetorial e´ obtida
derivando-se a velocidade vetorial e resulta em
a(t) =
dv(t)
dt
= −ω2A
[
cos(ωt)ˆi+ sen(ωt)ˆj
]
= −ω2r(t).
Desta forma, as suas componentes cartesianas
sa˜o:
ax(t) = x¨(t) = −ω2A cos(ωt) = −ω2x(t),
ay(t) = y¨(t) = −ω2A sen(ωt) = −ω2y(t),
az(t) = z¨(t) = 0.
A trajeto´ria deste movimento e´ uma circun-
fereˆncia de raio A no plano xy, pois,
r2 = r · r = x2 + y2 + z2
= [A cos(ωt)]2 + [A sen(ωt)]2
= A2.
O vetor velocidade e´ tangente a` trajeto´ria, por-
tanto,
v · r = vxx+ vyy + vzz
= −ωA sen(ωt)A cos(ωt)+
ωA cos(ωt)A sen(ωt)
= 0.
A velocidade tem um mo´dulo constante uma
vez que
v2 = v · v = v2x + v2y + v2z
= [−ωA sen(ωt)]2 + [ωA cos(ωt)]2
= ω2A2.
Finalmente, a acelerac¸a˜o e´ voltada para ori-
gem (acelerac¸a˜o centr´ıpeta), portanto, ela deve
ser perpendicular a velocidade, assim,
v · a = vxax + vyay + vzaz
= −ωA sen(ωt) [−ω2A cos(ωt)]+
ωA cos(ωt)
[−ω2A sen(ωt)]
= 0.
e tambe´m tem mo´dulo constante dado por a =
ω2A, como podemos de
a2 = a · a = a2x + a2y + a2z
=
[−ω2A cos(ωt)]2 + [−ω2A sen(ωt)]2
= ω4A2.
Exemplo 3 Mostre que se T e´ um vetor
unita´rio tangente a curva C e ds e´ um desloca-
mento infinitesimal ao longo da curva, enta˜o o
vetor dT
ds
e´ perpendicular a T.
Soluc¸a˜o:
Para mostramos que o vetor dT
ds
e´ perpendi-
cular a T, basta mostrarmos que o seu produto
escalar
T · dT
ds
= 0,
e´ nulo.
Como T e´ um vetor unita´rio, temos que: T ·
T = 1. Enta˜o diferenciado ambos os lados em
relac¸a˜o a s obte´m se que
T · dT
ds
+
dT
ds
·T = 2T · dT
ds
= 0
ou como quer´ıamos mostrar que
T · dT
ds
= 0,
isto e´, dT
ds
e´ perpendicular a T. Se N e´ um
vetor unita´rio na direc¸a˜o de dT
ds
, enta˜o temos
que
dT
ds
= κN
em que N e´ chamado de vetor unita´rio princi-
pal normal a curva C. O escalar
κ =
∣∣∣∣dTds
∣∣∣∣
e´ chamado de curvatura enquanto R = 1/κ e´
chamado de raio da curvatura.
Prof. Salviano A. Lea˜o 14
1.5 Problemas
1. Na˜o foi explicado, intencionalmente, o
que e´ definic¸a˜o operacional no texto.
Tente explicar de maneira mais precisa
poss´ıvel, de forma que na˜o deixe margem
a`s mu´ltiplas interpretac¸o˜es.
2. Imagine as poss´ıveis consequ¨eˆncias se o
espac¸o ou o tempo, ou ambos, na˜o forem
cont´ınuos. Discuta.
3. Se o comportamento dos instrumentos
de medida fosse afetado pelos seus esta-
dos de movimento, discuta as poss´ıveis
consequ¨eˆncias nas medidas das grandezas
f´ısicas.
4. Discuta as dificuldades de obter valo-
res nume´ricos arbitrariamente precisos nas
medidas das grandezas f´ısicas. Discuta as
poss´ıveis limitac¸o˜es para isso.
5. Discuta a afirmac¸a˜o do texto: ”o que re-
almente importa aqui na˜o e´ definir oque
e´ tempo com precisa˜o, mas como med´ı-lo,
isto e´, defin´ı-lo operacionalmente”.
6. Uma te´cnica (definic¸a˜o) diferente de me-
dir o tempo e´ observar a distaˆncia entre
dois eventos de um objeto em movimento.
Por exemplo, ao se ligar e desligar o farol
de um automo´vel em movimento, pode-
se saber a durac¸a˜o do tempo em que o
farol ficou ligado, sabendo-se a` distaˆncia
percorrida durante o evento e a veloci-
dade desse movimento. O tempo e´ dado
pela distaˆncia percorrida dividida pela ve-
locidade. Com esta te´cnica foi determi-
nado o tempo de vida do me´son pio como
sendo 1016 s. estendendo-se esta te´cnica,
foi poss´ıvel descobrir uma part´ıcula cujo
tempo de vida e´ 1024 s, tempo de uma
luz caminhar a distaˆncia da dimensa˜o de
um nu´cleo de hidrogeˆnio. Discuta as pos-
sibilidades e as dificuldades de trabalhar
com uma durac¸a˜o de tempo ainda menor.
Sera´ que faz algum sentido falar em tempo
numa escala ta˜o pequena, se nem sequer
saber se e´ poss´ıvel med´ı-lo, ou se consegui-
mos imaginar eventos acontecendo num
tempo ta˜o curto?
7. Pesquise e discuta algumas te´cnicas
poss´ıveis para lidar com tempos longos
(algo em torno da idade da Terra e, ale´m
disso).
8. Se os Homens que habitam diferentes
regio˜es do globo terrestre tivessem basea-
das as medidas do tempo em fenoˆmeno di-
ferentes, poderiam existir diversos padro˜es
de medidas do tempo dependendo da
regia˜o em que foram desenvolvidas. Dis-
cuta as poss´ıveis consequ¨eˆncias de na˜o se
ter um padra˜o u´nico na medida do tempo.
9. A medida de distaˆncia da Terra ao Sol
na˜o e´ simples, devido a` dificuldade de
focalizar-se num ponto determinado do
Sol com precisa˜o. Discuta uma maneira
de estender o me´todo da triangulac¸a˜o,
ou mesmo uma alternativa de definir a
distaˆncia para poder med´ı-lo.
10. Discuta as dificuldades do me´todo de tri-
angulac¸a˜o quando a distaˆncia torna-se
muito grande. Discuta as possibilidades
de melhorar a medida de distaˆncia re-
almente grande. Observe que a escala
referida nesta questa˜o envolve desde as
Prof. Salviano A. Lea˜o 15
distaˆncias dos planetas do sistema solar
ate´ as das gala´xias long´ınquas.
11. Pesquise e discuta as te´cnicas utiliza-
das para medir distaˆncias muito pequenas
(desde a escala do comprimento de onda
de luz vis´ıvel ate´ algo menor que a di-
mensa˜o de um nu´cleo atoˆmico).
12. Quando um automo´vel, movendo-se com
uma velocidade constante v0, aproxima-se
de um um cruzamento, o sema´foro torna-
se amarelo. o motorista pode parar o
automo´vel sem avanc¸ar pelo cruzamento,
ou tambe´m pode tentar atravessa´-lo antes
que o sema´foro mude para o vermelho.
a) Se ∆t e´ o intervalo de tempo que
o sema´foro permanece amarelo antes
de mudar para o vermelho, qual e´ a
distaˆncia ma´xima do cruzamento ao
automo´vel, de maneira que o moto-
rista consiga atravessar o cruzamento
antes do sema´foro tornar-se vermelho,
mantendo a velocidade do automo´vel
constante em v0?
b) O tempo de reac¸a˜o do motorista para
tomar a decisa˜o e pisar no freio e´
τ e a ma´xima desacelerac¸a˜o do au-
tomo´vel devida a` frenagem e´ a. No
momento que o sema´foro tornou-se
amarelo, qual e´ a menor distaˆncia do
cruzamento ao automo´vel de maneira
que o motorista consiga parar sem
avanc¸ar pelo cruzamento?
c) determine a velocidade cr´ıtica vc, em
termos de a, ∆t e τ , de maneira que
as duas distaˆncias obtidas no itens
12a e acima coincidem. Este e´ o li-
mite onde o motorista consegue pa-
rar o automo´vel sem avanc¸ar pelo cru-
zamento, nem atravessa´-lo antes do
sema´foro mudar para o vermelho.
d) Mostre que, se v0 for maior que
a velocidade cr´ıtica determinada no
item anterior, existe uma faixa de
distaˆncia do cruzamento ao automo´vel
no qual o motorista na˜o conseguira´ pa-
rar o automo´vel sem avanc¸ar pelo cru-
zamento, nem atravessa´-lo antes do
sema´foro tornar-se vermelho.
13. Um corpo esta´ movendo-se sobre um linha
reta. Sua acelerac¸a˜o e´ dada por a = −2x,
onde x e´ medido em metros e a em m/s2.
Ache a relac¸a˜o entre a velocidade e a
distaˆncia, dado que em x = 0, v = 4 m/s.
14. A acelerac¸a˜o de um corpo, movendo-se so-
bre uma linha reta e´ dada por a = −kv2,
onde k e´ uma constante positiva. E´ dado
que em t = 0, x(0) = x0 e v(0) = v0.
Ache a velocidade e a posic¸a˜o em func¸a˜o
do tempo. Ache tambe´m v em func¸a˜o de
x.
15. a trajeto´ria de uma part´ıcula e´ dada
por x(t) = Ae−ht cos(kt + δ) e y(t) =
Ae−ht sen(kt+ δ), onde A > 0, h > 0, k >
0 e δ sa˜o constantes no movimento. De-
termine as equac¸o˜es da trajeto´ria em co-
ordenadas polares e encontre a trajeto´ria
da part´ıcula.
16. Uma abelha sa´ı da colme´ia em uma tra-
jeto´ria espiral, dada em coordenada pola-
res por r(t) = bekt e θ(t) = ct, onde b, k
e c sa˜o constantes positivas. Mostre que
o aˆngulo entre a velocidade e a acelerac¸a˜o
permanece constante quando ela se movi-
Prof. Salviano A. Lea˜o 16
menta para frente. Sugesta˜o: Determine
a raza˜o v·a
va
.
17. Prove que v ·a = vv˙ e, portanto, que para
uma part´ıcula movendo-se com uma ve-
locidade v e acelerac¸a˜o a, elas sera˜o per-
pendiculares entre si se a velocidade v for
constante. Sugesta˜o: Diferencie ambos os
lados da equac¸a˜o v · v = v2 com relac¸a˜o a
t. Note que v˙ na˜o e´ o mesmo que |a|. Ela
e´ a magnitude da acelerac¸a˜o da part´ıcula
ao longo da sua direc¸a˜o instantaˆnea de
movimento.
18. Prove que
d
dt
[r · (v × a)] = r · (v × a˙).
19. (a) Prove que em coordenadas cil´ındricas
(ρ, θ, z) (ver figura 1.6) o vetor posic¸a˜o
r = ρρˆ + zkˆ tambe´m pode ser escrito na
forma mista r = ρ cos φˆi + ρ senφjˆ + zkˆ.
(b) Encontre a relac¸a˜o entre os versores
unita´rios em coordenadas cil´ındricas o e
os versores unita´rios em coordenadas car-
tesianas. (c) Determine a taxa de variac¸a˜o
no tempo dos versores unita´rios em coor-
denadas cil´ındricas. (d) Escreva os vetores
deslocamento infinitesimal da posic¸a˜o ds,
a velocidade v e a acelerac¸a˜o s de uma
part´ıcula em coordenadas cil´ındricas.
20. (a) Prove que em coordenadas esfe´ricas
(r, θ, φ) (ver figura 1.7) o vetor posic¸a˜o
r = rrˆ tambe´m pode ser escrito na forma
mista r = r sen θ cos φˆi + r sen θ senφjˆ +
r cos θkˆ. (b) Encontre a relac¸a˜o en-
tre os versores unita´rios em coordenadas
esfe´ricas o e os versores unita´rios em co-
ordenadas cartesianas. (c) Determine a
Figura 1.6: Coordenadas cil´ındricas
taxa de variac¸a˜o no tempo dos versores
unita´rios em coordenadas esfe´ricas. (d)
Escreva os vetores deslocamento infinite-
simal da posic¸a˜o ds, a velocidade v e a
acelerac¸a˜o s de uma part´ıcula em coorde-
nadas esfe´ricas.
Figura 1.7: Coordenadas esfe´ricas
21. Mostre que a componente tangencial da
Prof. Salviano A. Lea˜o 17
acelerac¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada pela
expressa˜o
at =
v · a
v
e que por sua vez a componente normal e´
dada por
an =
√
a2 − a2t =
√
a2 − (v · a)
2
v2
22. Considere uma curva C no espac¸o cujo ve-
tor posic¸a˜o e´ dado por
r = 3 cos(2t)ˆi+ 3 sen(2t)ˆj+ (8t− 4)kˆ
(a) Determine o vetor unita´rio tangente
a curva T. (b) Se r e´ o vetor posic¸a˜o de
uma part´ıcula movendo-se sobre C no ins-
tante t, verifique neste caso que v = vT.
Determine (c) a curvatura, (d) o raio da
curvatura e (e) o vetor unita´rio principal
normalN em um ponto qualquer da curva.
23. Mostre que a acelerac¸a˜o a de uma
part´ıcula a qual viaja ao longo de uma
curva espacial com uma velocidade v =
vT e´ dada por
a =
dv
dt
T+
v2
R
N
onde T e´ o vetor unita´rio tangente a curva
espacial, N e´ o vetorunita´rio principal
normal e R e´ o raio da curvatura.
24. Prove as seguintes identidades vetoriais:
(a)A·(B×C) = C·(A×B) = B·(C×A)
(b) A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B)
25. Se uma part´ıcula tem velocidade v e ace-
lerac¸a˜o a ao longo de uma curva espacial,
prove que o raio da curvatura de sua tra-
jeto´ria e´ dado numericamente por
R =
v3
|v × a|
26. Um barco deixa o ponto P (ver figura
1.8) de um lado do rio e anda com uma
velocidade V de mo´dulo constante sem-
pre direcionada ao ponto Q do outro lado
do rio diretamente oposto ao ponto P
cuja distaˆncia entre eles e´ D. Se r for
a distaˆncia instantaˆnea de Q ao barco, θ
e´ o aˆngulo entre r e o segmento de reta
PQ e o rio tem uma correnteza com uma
velocidade constante v. (a) Prove que a
trajeto´ria do barco e´ dada por
r =
D sec θ
(sec θ + tg θ)V/v
Figura 1.8: Movimento de um barco em um
rio.
(b) Ana´lise a distaˆncia r do barco ao seu
destino, para θ = pi/2, nos seguintes casos:
i) (V/v) > 1, ii) (V/v) = 1 e iii) (V/v) <
1.
27. Se v = V no problema anterior, prove que
a trajeto´ria e´ um arco de para´bola.
Prof. Salviano A. Lea˜o 18
Figura 1.9: Escalas com a ordem de grandeza, das medidas de massa, comprimento e tempo.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Marcelo Alonso and Edward J. Finn.
F´ısica um curso universita´rio: Mecaˆnica,
volume I. Editora Edgard Blu¨cher, 1972.
[2] H. Moyse´s Nussenzveig. F´ısica Ba´sica:
Mecaˆnica, volume 1. Editora Edgard
Blu¨cher, terceira edition, 1996.
[3] Paul A. Tipler. F´ısica Para Cientistas e
Engenheiros, volume 1. LTC, quarta edi-
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[4] Frederick j. Keller, W. Edward Gettys,
and Malcolm J. Skove. F´ısica, volume 1.
Makron Books do Brasil, 1999.
[5] Kazunori Watari. Mecaˆnica Cla´ssica. Edi-
tora Livraria da F´ısica, 2001.
[6] Jens M. Knudsen and Poul G. Hjorth. Ele-
ments of Newtonian Mechanics. Springer,
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tline Series. McGraw-Hill Book Company,
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[10] Keith R. Symon. Mecaˆnica. Editora Cam-
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Willey & Sons, Inc., 1995.
[12] Atam P. Arya. Introduction to Classical
Mechanics. Allyn and Bacon, 1990.
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[14] Lev Dav´ıdovitch Landau and E. M.
Lifshitz. Mecaˆnica, volume 1 of F´ısica
Teo´rica. Editora Mir, 1978.
[15] Kazunori Watari. Mecaˆnica Cla´ssica. Edi-
tora Livraria da F´ısica, 2003.
19
Cap´ıtulo 2
Mecaˆnica Newtoniana
2.1 Introduc¸a˜o
O objetivo da mecaˆnica e´ fornecer uma des-
cric¸a˜o consistente dos movimentos dos cor-
pos materiais. Para este propo´sito sa˜o ne-
cessa´rios alguns conceitos fundamentais, como
distaˆncia, tempo e massa, ale´m de um conjunto
de leis f´ısicas que descrevam matematicamente
estes movimentos.
Em geral as leis f´ısicas devem ser baseadas
em fatos experimentais. Um conjunto de ex-
perimentos correlacionados da´ origem a um ou
mais postulados. A partir destes postulados
va´rias previso˜es podem ser formuladas e inves-
tigadas experimentalmente. Se todas as pre-
viso˜es forem confirmadas experimentalmente,
os postulados assumem o status de lei f´ısica.
Se alguma previsa˜o discordar do experimento
a teoria deve ser modificada.
Iniciaremos este cap´ıtulo discutindo os con-
ceitos de forc¸a e massa, e em seguida enunciare-
mos as leis fundamentais da mecaˆnica: as Leis
de Newton. Posteriormente, discutiremos seus
significados e obteremos as implicac¸o˜es destas
leis em va´rias situac¸o˜es f´ısicas. Nos concentra-
remos no movimento de uma u´nica part´ıcula,
na˜o abordando neste momento o caso de um
de sistemas de part´ıculas.
2.2 Dinaˆmica: massa e
forc¸a
A experieˆncia leva a` crenc¸a de que os movi-
mentos de corpos f´ısicos sa˜o controlados pe-
las interac¸o˜es existentes entre eles e suas vi-
zinhanc¸as. Observando-se o comportamento
de proje´teis e de objetos que deslizam sobre
uma superf´ıcie lisa e bem lubrificada, tem-se
a ide´ia de que as variac¸o˜es de velocidade do
corpo sa˜o produzidas por sua interac¸a˜o com a
vizinhanc¸a. A velocidade de um corpo isolado
de qualquer interac¸a˜o e´ constante, logo, na for-
mulac¸a˜o das leis da Dinaˆmica, deve-se focalizar
a atenc¸a˜o nas acelerac¸o˜es.
Imaginem-se dois corpos interagindo entre si
e isolados da vizinhanc¸a. Como analogia gros-
seira desta situac¸a˜o, imagine duas crianc¸as,
na˜o necessariamente do mesmo tamanho, brin-
cando de cabo-de-guerra com uma vara r´ıgida
sobre gelo liso. Embora nenhum dos dois cor-
pos possa ser realmente isolado completamente
das interac¸o˜es com os outros corpos, esta e´ a
situac¸a˜o mais simples para se pensar a respeito
e elaborar um modelo matema´tico simples que
descreva a mesma. Experieˆncias cuidadosas re-
alizadas com corpos reais levam a concluso˜es
ideˆnticas a`s que seriam obtidas caso se pudesse
conseguir o isolamento ideal dos dois corpos.
Deve-se observar que dois corpos esta˜o sempre
acelerados em direc¸o˜es opostas, e que a raza˜o
20
Prof. Salviano A. Lea˜o 21
de suas acelerac¸o˜es e´ constante para qualquer
par particular de corpos, na˜o importando a
forc¸a com que eles possam puxar ou empur-
rar um ao outro. Medindo-se as coordenadas
x1 e x2 dos dois corpos, ao longo da linha de
suas acelerac¸o˜es, obte´m-se o seguinte resultado
x¨1
x¨2
= −k12, (2.1)
onde k12 e´ uma constante positiva carac-
ter´ıstica dos dois corpos em questa˜o. O sinal
negativo expressa o fato de que as acelerac¸o˜es
sa˜o em sentidos opostos. Do resultado acima,
temos
x¨2
x¨1
= −k21, (2.2)
logo podemos concluir das eqs. (2.1) e (2.2)
que
k12 =
1
k21
. (2.3)
Em adic¸a˜o ao que foi dito, em geral, quanto
maior ou mais pesado ou mais massivo for o
corpo, menor sera´ a sua acelerac¸a˜o. Na rea-
lidade, a raza˜o k12 e´ proporcional a` raza˜o do
peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. A ace-
lerac¸a˜o de dois corpos que interagem e´ inver-
samente proporcional a seus pesos. Este re-
sultado, portanto, sugere a possibilidade de
uma definic¸a˜o da Dinaˆmica, a da massa do
corpo, em termos de suas acelerac¸o˜es mu´tuas.
Escolhendo-se um corpo-padra˜o como unidade
de massa, a massa de qualquer outro corpo e´
definida como a raza˜o entre a acelerac¸a˜o do es-
colhido como sendo o padra˜o da unidade de
massa e a acelerac¸a˜o do outro corpo, quando
os dois esta˜o interagindo:
mi = k1i = − x¨1
x¨i
, (2.4)
onde mi, e´ a massa do corpo i e o corpo 1 e´ o
padra˜o de unidade de massa.
Para que a eq. (2.4) se torne uma de-
finic¸a˜o u´til, a raza˜o k12 das acelerac¸o˜es dos
dois corpos deve satisfazer algumas condic¸o˜es.
Considerando-se a massa definida pela eq.
(2.4) como sendo a medida daquilo que se
chama vagamente de quantidade de mate´ria
em um corpo, enta˜o a massa do corpo deve
ser a soma das massas de suas partes, e este
e´ o caso dentro de um elevado grau de pre-
cisa˜o. Na˜o e´ essencial, para terem utilidade em
teorias cient´ıficas, que os conceitos da F´ısica,
para os quais sa˜o apresentadas definic¸o˜es pre-
cisas, correspondam aproximadamente a qual-
quer ide´ia pre´-estabelecida. Entretanto, a mai-
oria desses conceitos originou-se mais oumenos
de ide´ias comuns, e massa e´ um bom exemplo.
Ao se estudar a Teoria da Relatividade, ver-se
que o conceito de massa e´ um pouco modifi-
cado, e que na˜o e´ exatamente verdade que a
massa de um corpo seja a soma das massas de
suas partes.
Um requisito certamente essencial e´ que o
conceito de massa seja independente do corpo
particular que foi escolhido como tendo massa
unita´ria, o que significa que a raza˜o de duas
massas sera´ a mesma, na˜o importando a uni-
dade de massa escolhida. Sera´ verdade por
causa da seguinte relac¸a˜o, obtida experimen-
talmente, entre a raza˜o dos mo´dulos de ace-
lerac¸o˜es mu´tuas definidas pela eq. (2.1) de treˆs
corpos quaisquer:
k12k23k31 = 1. (2.5)
Suponha que o corpo 1 seja a massa unita´ria.
Enta˜o, se os corpos 2 e 3 interagirem encontrar-
se-a´, usando as eqs. (2.1), (2.5) e (2.4):
x¨2
x¨3
= −k23
= − 1
k12k31
= −k13
k12
= −m3
m2
. (2.6)
Prof. Salviano A. Lea˜o 22
O resultado final na˜o conte´m refereˆncia
expl´ıcita ao corpo 1, que foi considerado ser
a massa unita´ria padra˜o. Logo, a raza˜o das
massas de dois corpos quaisquer e´ o inverso
negativo da raza˜o de suas acelerac¸o˜es mu´tuas,
independente da unidade de massa escolhida.
Pela eq. (2.4), tem-se, para dois corpos que
interagem,
m2x¨2 = −m1x¨1. (2.7)
Este resultado sugere que a grandeza (massa
× acelerac¸a˜o) sera´ importante. Esta grandeza
e´ chamada a forc¸a aplicada sobre um corpo.
A acelerac¸a˜o de um corpo no espac¸o tem treˆs
componentes; as treˆs componentes da forc¸a
aplicada sobre o corpo sa˜o
Fx = mx¨, Fy = my¨, Fz = mz¨. (2.8)
Estas forc¸as podem ser de va´rias espe´cies:
ele´trica, magne´tica, gravitacional, etc. As
forc¸as que atuam sobre um determinado corpo
dependem do comportamento de outros cor-
pos. Em geral, forc¸as devido a va´rias ori-
gens agem sobre um dado corpo, sendo poss´ıvel
mostrar que a forc¸a total dada pelas eqs. (2.8)
e´ um vetor soma das que podem estar presen-
tes, caso cada origem seja considerada separa-
damente.
A teoria do Eletromagnetismo preocupa-se
com o problema de determinac¸a˜o de forc¸as
ele´tricas e magne´ticas exercidas por cargas e
correntes ele´tricas uma sobre as outras. A te-
oria da gravitac¸a˜o, com o problema da deter-
minac¸a˜o de forc¸as gravitacionais exercidas pe-
las massas uma sobre as outras. O problema
fundamental da Mecaˆnica e´ determinar o mo-
vimento de qualquer sistema mecaˆnico, caso se
conhec¸am as forc¸as que atuam sobre os corpos
que constituem o sistema.
2.3 Leis de Newton
Um dos grandes marcos da histo´ria da cieˆncia,
sena˜o o maior, ocorreu quando Sir Isaac New-
ton (1642-1727), publicou em 1687 o seu livro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
com o financiamento e incentivo do astroˆnomo
ingleˆs Edmond Halley (1656-1742). Em seu li-
vro Newton enunciou as treˆs leis que descrevem
o movimento dos corpos materiais, entretanto,
na˜o sem antes definir a massa como sendo a
quantidade de mate´ria de um corpo, e o seu
momentum linear como p = mv. Ale´m disso,
ele teve o cuidado de definir o tempo e espac¸o,
como:
• O tempo absoluto, verdadeiro, e ma-
tema´tico, de si pro´prio, e de sua pro´pria
natureza flui igualmente sem considerac¸a˜o
por nada externo, e por um outro nome
e´ chamado de durac¸a˜o: o tempo relativo,
aparente, e comum, e´ uma medida con-
creta e externa (seja acurada ou desigual)
da durac¸a˜o por meio de movimento, que e´
comumente usado ao inve´s do tempo ver-
dadeiro; como por exemplo uma hora, um
meˆs, um ano.
• O espac¸o absoluto, por sua pro´pria natu-
reza, sem considerac¸a˜o por nada externo,
permanece sempre igual e imo´vel. O
espac¸o relativo e´ qualquer dimensa˜o mo´vel
ou medida dos espac¸os absolutos; que nos-
sos sentidos determinam pela sua posic¸a˜o
relativa aos corpos; e que e´ vulgarmente
tomado como o espac¸o imo´vel; tal e´ a di-
mensa˜o de um espac¸o subterraˆneo, ae´reo
ou celestial, determinado pela sua posic¸a˜o
em relac¸a˜o a` Terra. Os espac¸os absoluto
e relativo sa˜o os mesmos em nu´mero e
magnitude; mas na˜o permanecem sempre
iguais numericamente. Pois se a Terra,
Prof. Salviano A. Lea˜o 23
por exemplo, move um espac¸o do nosso
ar, que em relac¸a˜o a` Terra sempre per-
manece o mesmo, sera´ em um momento
uma parte do espac¸o absoluto por onde o
ar corre; em outro momento sera´ uma ou-
tra parte do mesmo, e assim, em termos
absolutos, sera´ perpetuamente imuta´vel.
Na mecaˆnica Newtoniana, usamos intrinse-
camente as seguintes hipo´teses:
i) O tempo e´ absoluto, homogeˆneo e
isotro´pico. Newton ao dizer que o tempo
e´ absoluto, significa que ha´ uma inde-
pendeˆncia entre o observador e o ob-
jeto observado ou fenoˆmeno observado.
Ja´ quando Newton diz que o tempo flui
igualmente sem considerac¸a˜o por nada
externo ele esta´ afirmando que ele e´ ho-
mogeˆneo. A questa˜o da isotropia do
tempo, isto e´, a questa˜o da reversibilidade
temporal, so´ passou a ter significado com
o advento da mecaˆnica quaˆntica. As leis
de movimento da mecaˆnica cla´ssica sa˜o
invariantes sob uma inversa˜o temporal.
ii) O espac¸o e´ absoluto, homogeˆneo,
isotro´pico e euclidiano. Quando Newton
diz que o espac¸o e´ absoluto, por sua
pro´pria natureza, sem considerac¸a˜o por
nada externo, ele esta´ exprimindo o seu
cara´ter absoluto enquanto ao afirmar que
ele permanece sempre igual e imo´vel ele
esta´ dizendo que o espac¸o e´ homogeˆneo.
Apesar de na˜o ter sido sido colocada
de forma explicita por Newton, a ide´ia
de que todas as direc¸o˜es sa˜o equiva-
lentes no espac¸o, o espac¸o e´ isotro´pico,
esta´ impl´ıcita na mecaˆnica cla´ssica.
Por u´ltimo, a me´trica que usamos na
mecaˆnica cla´ssica e´ a euclidiana, ou
seja, na mecaˆnica cla´ssica, o teorema de
Pita´goras e´ va´lido e a menor distaˆncia
entre dois pontos e´ uma linha reta.
Uma vez, feitas as colocac¸o˜es acima Newton
enta˜o enunciou as suas treˆs Leis que descre-
vem os movimentos dos corpos materiais da
seguinte forma:
I) Um corpo permanece em repouso ou em
movimento retil´ıneo uniforme a na˜o ser
que alguma forc¸a atue sobre ele.
II) Um corpo sob a ac¸a˜o de uma forc¸a move-
se de tal forma que a taxa de variac¸a˜o do
seu momentum linear com o tempo e´ igual
a` forc¸a aplicada.
III) Se dois corpos exercem forc¸as, um sobre o
outro, estas forc¸as sa˜o iguais em mo´dulo e
direc¸a˜o e possuem sentidos opostos.
Existem duas formas diferentes de interpre-
tar o conjunto das treˆs Leis de Newton. Na pri-
meira forma podemos interpretar a Primeira e
a Segunda Lei de Newton apenas como uma de-
finic¸a˜o de forc¸a, estando toda a f´ısica contida
na terceira Lei. Desenvolveremos este ponto
de vista a seguir. Como foi enunciada, a pri-
meira Lei de Newton na˜o tem nenhum signifi-
cado sem o conceito de forc¸a. Ela diz que se
na˜o houver forc¸a atuando sobre o corpo, sua
acelerac¸a˜o e´ nula. Mas como saber se ha´ ou
na˜o forc¸a atuando sobre o corpo? Evidente-
mente, na˜o poder´ıamos usar o enunciado da
Primeira Lei para dizer que se o corpo perma-
necer em repouso ou em movimento retil´ıneo
uniforme enta˜o na˜o ha´ forc¸a atuando sobre ele.
Se assim fize´ssemos, estar´ıamos andando em
c´ırculo. Na verdade, a Primeira Lei sozinha
nos da´ apenas uma noc¸a˜o qualitativa de forc¸a.
Ja´ com relac¸a˜o a` Segunda Lei, se definirmos o
momentum linear como
p ≡ mv (2.9)
Prof. Salviano A. Lea˜o 24
e ela pode ser escrita como
F =
dp
dt
=
d
dt
(mv) (2.10)
Esta equac¸a˜o so´ tem significado completo com
a definic¸a˜o de massa. Se aceitarmos que massa,
assim como comprimento e tempo,