Apostila 3 Medidas de Posição e Dispersão

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1
Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa
uma amostra dos salários, em salários mínimos, dos funcionários de uma
empresa. Determine as frequências relativas.
1,51 2,52 4,278 9,104 10,968 14,097 17,66
1,616 2,591 5,637 9,375 10,982 14,229 17,781
1,716 2,656 6,41 9,58 11,043 14,244 18,614
1,931 3,025 6,468 9,699 11,129 14,467 19,169
1,984 3,273 7,188 10,039 11,607 14,547 19,32
2,012 3,585 8,218 10,12 12,524 14,8
2,117 3,715 8,336 10,312 12,59 15,128
2,332 3,839 8,359 10,478 12,739 16,468
2,347 3,912 8,479 10,666 12,902 17,302
2,477 4,037 8,625 10,772 13,897 17,446
MEDIDAS DE 
POSIÇÃO CENTRAL
3
Acertando o …
Centro do conjunto de dados
MEDIDAS ÚTEIS PARA A DECISÃO
 MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL
Média
Mediana 
Moda
2
MÉDIA
 Mais usual das medidas 
estatísticas
contagem
soma
média 
Dados não tabulados
n
X
Xou i


SÍMBOLOGIA

x
População
Amostra
 Em um ponto de ônibus, uma pessoa
pergunta sobre o tempo até a passagem de
uma determinada linha. Suponha que você
havia registrado, na semana anterior, os
tempos (em minutos) e obteve os
seguintes resultados. Qual o tempo
médio?
3; 15; 8; 11; 9; 8; 6
EXEMPLO
MÉDIA PONDERADA
Dados tabulados
n
fX
X
ii

3
Determinar a média para as distribuições 
abaixo:
Xi fi
6 5
8 8
10 10
12 15
EXEMPLO
Determinar a média para as distribuições 
abaixo:
Xi fi
14 |— 24 15
24 |— 34 10
34 |— 44 8
44 |— 54 2
EXEMPLO
Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de 
supermercados, fez um levantamento do consumo 
de seu principal produto em vários supermercados 
obtendo em determinado mês, a tabela abaixo:
Determine o consumo médio deste produto por 
supermercado pesquisado.
EXEMPLO
Número de unidades consumidas Número de supermercados
50 |— 150 10
150 |— 250 15
250 |— 350 25
350 |— 450 42
450 |— 550 15
550 |— 650 3
EXEMPLO
Uma empresa de aviação observou em seus registros, o 
tempo, em horas, de mão-de-obra gasto na revisão completa 
de um motor.
Faça uma tabela de distribuição de frequências. Determine o 
número médio de horas de mão-de-obra necessário para a 
revisão do motor.
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
4
CUIDADO COM AS MÉDIAS!!!
Aparências 
podem enganar!
MAIOR PROBLEMA DA MÉDIA …
Maldição 
dos 
extremos
ou outliers
Extremos distorcem
algumas medidas
Eu venho 
para 
bagunçar 
!!!
SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA …
Remover 
os extremos!!
PESQUISA SOBRE REMUNERAÇÃO
 Empresa paga $400,00 aos 
estagiários de Administração
 Quer saber …
É muito ou pouco?
 Coletou amostra de dados
 Dados: 
{300; 350; 6000; 340; 310; 380}
contagem
soma
média 
7680
6
$1.280,00
Pouquíssimo!!
!
5
ORGANIZANDO OS DADOS …
 Dados: 
{300; 350; 6000; 340; 310; 380}
 Rol:
{300; 310; 340; 350; 380; 6000}
$400,00
Extremo distorce a média!
 Rol sem extremo:
{300; 310; 340; 350; 380}
Média = 1680/5 = $336,00
Alto!
O CENTRO DOS DADOS 
ORDENADOS
Onde 
está o
centro
???
MEDIANA
 Valor central de uma série ordenada de 
dados (Rol)
{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2}
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}
Ordenando no Rol
3 menores
3 maiores
{2; 3; 4; 8; 9; 10}
n par?
mediana = 6
DADOS NÃO TABULADOS
n  ímpar
1º - Ordenar os valores
2º - Verificar se n é impar ou par
n  ímpar:
EMd =
3º - Calcular o EMd
4º - Localizar a Md através do EMd
2
1n
6
Determinar a mediana para os dados 
abaixo:
 X = 15, 17, 31, 26, 13, 11, 31, 18, 20
EXEMPLO DADOS NÃO TABULADOS
n  par
1º - Ordenar os valores
2º - Verificar se n é impar ou par
n  par:
EMd =
EMd =
3º - Calcular o EMd
4º - Localizar a Md através do EMd
2
n
2
2n
Determinar a mediana para os dados abaixo:
X = 13,4; 17,8; 9,23; 12,1; 11,6; 5,7; 10,6; 14,3
EXEMPLO
Determinar a mediana para os dados 
abaixo:
X = 4, 5, 7, 10, 17, 18, 12, 10, 4, 11, 11, 9, 8
Y = 6, 11, 16, 2, 2, 8, 5, 11
EXEMPLO
7
DADOS TABULADOS NÃO 
AGRUPADOS
n  ímpar
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada
2º - Verificar se n é impar ou par
n  ímpar:
EMd =
3º - Calcular o EMd
4º - Localizar a Md através do EMd dentro da Fa
2
1n
Determinar a mediana:
Xi fi
15 2
16 4
18 14
19 3
EXEMPLO
DADOS TABULADOS NÃO 
AGRUPADOS
n  par
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada
2º - Verificar se n é impar ou par
n  par:
EMd =
EMd =
3º - Calcular o EMd
4º - Localizar a Md através do EMd dentro da Fa
2
n
2
2n
2. Determinar a mediana:
Xi fi
7 9
8 3
10 10
14 10
18 8
EXEMPLO
8
DADOS TABULADOS AGRUPADOS
1º - Verificar se a coluna de Xi está
ordenada
2º - Calcular a posição da mediana
3º - Identificar o EMd na Fa
4º - Aplicar a fórmula:
2
n
EMd 
h.
f
FE
lMd
MdE
i
aaMd
i


Determinar a mediana:
Xi fi
14 |— 15 11
15 |— 16 21
16 |— 17 19
17 |— 18 14
18 |— 19 10
19 |— 20 5
EXEMPLO
A listagem seguinte refere-se aos montantes de 40
empréstimos pessoais de uma companhia
financeira, em milhares de reais.
Determinar a distribuição de frequências, as 
frequências relativas, a média e a mediana
EXEMPLO
30 45 55 65 85 95 110 130 160 200
30 45 55 70 85 100 120 140 165 200
35 50 60 75 90 100 120 150 180 250
35 50 60 75 90 100 125 150 190 300
O QUE É MAIS FREQUENTE
Será que 
está na
moda
???
9
MODA
 Valor que se repete com maior frequência
{2; 3; 4; 7; 7; 9; 10}
{2; 2; 4; 7; 7; 9; 10}
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}
unimodal
bimodal
amodal
{2; 2; 4; 7; 7; 9; 9;10}
polimodal
DADOS NÃO TABULADOS
A determinação 
é imediata
1. Determinar a moda para os dados 
abaixo:
X = 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 18 
Y = 12, 12, 15, 16, 16, 16, 19, 20, 20, 20
W = 22, 22, 22, 22, 25, 26, 26, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 33
Z = 32, 32, 35, 35, 36, 36, 39, 39, 40, 40
EXEMPLO
TABULADOS NÃO AGRUPADOS
A moda será o 
valor de Xi 
correspondente 
à maior 
frequência. 
10
1. Determinar a moda:
Xi fi
20 13
40 5
60 8
80 7
90 3
EXEMPLO
2. Determinar a moda:
Xi fi
4 5
8 15
12 10
16 15
20 10
EXEMPLO
TABULADOS AGRUPADOS 
EM CLASSES
1º - Identificar a classe 
modal 
2º - Aplicar a fórmula :
h.lMo
21
1
i



Determinar a moda:
Xi fi
0 |— 100 11
100 |— 200 15
200 |— 300 20
300 |— 400 32
400 |— 500 15
500 |— 600 13
EXEMPLO
11
Uma máquina produz peças que são embaladas em 
caixas contendo 48 unidades. Uma pesquisa 
realizada em 62 caixas, revelou a existência de 
peças defeituosas:
Determinar a distribuição de frequências, as 
frequências relativas, a média, a mediana e a moda
EXEMPLO
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6 7
7 7
O consumo de energia elétrica verificado em 250 
residências de família da classe média, com dois 
filhos, revelou a distribuição:
Determinar as frequências relativas, a média, a 
mediana e a moda
EXEMPLO
Consumo kwh No. de famílias
0 |— 50 2
50 |— 100 15
100 |— 150 32
150 |— 200 47
200 |— 250 50
250 |— 300 80
300 |— 350 24
Calcule a moda das séries abaixo:
a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7
b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3
c) 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7
d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11
e) 2, 5, 9, 8, 10, 12
EXEMPLO
EXEMPLO
 Uma amostra do tempo de vida útil de uma peça
forneceuos seguintes dados (em horas)
a) Construa a tabela de distribuição de freqüências.
b) Determine as freqüências relativas.
c) Calcule as medidas de posição central.
212 213 217 219 220 221 222 223 226 229
230 232 233 234 235 235 236 237 237 239
239 239 240 240 240 240 240 241 242 244
244 245 245 247 249 253 255 256 258 259
261 263 264 265 270 271 274 275 278 281
12
MEDIDAS DE DISPERSÃO
3
MEDIDAS
DISPERSÃO
“Cuidado com os 
lados”
EXEMPLO
1) Calcule a média das séries:
X = 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
Y = 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
X = 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13
VARIÂNCIA
 Usa o desvio ao quadrado
Série
2
3
7
Desvio2
4
1
9
Soma 14
2 4,67
Um problema 
DIMENSIONAL
M
é
d
ia
 =
 4
 
n
xx
n
i
i


 1
2
2
13
DESVIO PADRÃO
 Resolve o problema 
dimensional da 
variância
 Raiz da variância
Desvio = Raiz (4,67) 
= 2,16
Ops … 
População ou amostra?
2
VARIÂNCIA
DESVIO
PADRÃO
POPULACIONAL AMOSTRAL
FÓRMULAS – NOMENCLATURA
DADOS NÃO TABULADOS
2 
2
SS 
n
XX i 

2
2 )( 1
)(
2
2




n
XX
S
i
EXEMPLO
Analise a variabilidade das amostras:
X = 2, 8, 10, 15, 20, 22, 30
Y = 10, 9, 15, 40, 22, 34, 8
CALCULANDO A DISPERSÃO 
DADOS TABULADOS
POPULAÇÃO
AMOSTRA
n
fiXX i 

2
2 )(
1
)(
2
2




n
fiXX
S
i
14
EXEMPLO
Determinar a variância para os dados
populacionais abaixo:
Xi fi
12 11
13 26
15 20
17 33
EXEMPLO
Determinar a variância para os dados
abaixo:
Xi fi
22 |— 24 5
24 |— 26 25
26 |— 28 20
28 |— 30 17
30 |— 32 12
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
x
s
ouCV


