Introdução à Probabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Campina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE ESTATÍSTICA
Disciplina: Introdução à Probabilidade (4 créditos) Período: 2016.1
Professor(a):
Aluno(a):
NOTAS DE AULA PARA O 2o ESTÁGIO
4 Teoria das Probabilidades
4.1 Introdução
O estudo da teoria das probabilidades é de extrema importância, pois nos fornece
ferramentas apropriadas para descrever e interpretar situações em que os resultados não
podem ser previstos com certeza. Tais situações são denominadas fenômenos aleatórios.
Ao jogarmos uma moeda para o ar, de modo geral, não podemos afirmar se ocorrerá
cara ou coroa. Da mesma forma, quando lançamos um dado não sabemos qual das faces
1, 2, 3, 4, 5, ou 6 ocorrerá. No campo dos negócios e do governo há numerosos exemplos
de tais situações. Por exemplo, a incerteza existe quando desejamos realizar uma previsão
sobre a procura de um novo produto, a opinião pública em relação a determinado assunto,
o sucesso de um novo plano econômico, etc - tudo isso contém algum elemento de acaso.
Na Estatística, a incerteza existe quando se quer fazer alguma afirmação a respeito de
alguma característica populacional baseada em informações extraídas de dados amostrais.
Neste caso, a aplicação da Teoria das Probabilidades é de fundamental importância
para a solução de problemas de Inferência Estatística.
Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades
indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um
evento futuro. Assim é que em muitos casos, pode ser impossível afirmar com antecipação
o que ocorrerá. No entanto, é possível dizer o que pode ocorrer.
O ponto central em todas essas situações é a possibilidade de quantificar quão provável
é determinado evento.
Em suma, podemos dizer que, as probabilidades são utilizadas para exprimir a chance
de ocorrência de determinado evento.
4.2 Definições Básicas
Definição 4.1 (Experimentos Aleatórios ou Fenômenos Aleatórios). São aque-
les onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e
conduz a resultados incertos.
Notação: E.
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Exemplo 1:
E1 : Jogar uma moeda e observar a face superior.
E2 : Lançar um dado e observar o número da face superior.
E3: Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é testada a duração da vida útil dessa
lâmpada.
E4: Numa linha de produção, conta-se o número de peças defeituosas num dia.
Observações:
a) Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas
condições;
b) Não podemos afirmar que resultado particular ocorrerá, porém podemos descrever
o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento;
c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regular-
idade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna
possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.
Definição 4.2 (Espaço Amostral). É o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório.
Notação: S ou Ω.
Exemplo 2:
Os espaços amostrais associados aos experimentos aleatórios E1, E2, E3 e E4 são:
Ω1 =
Ω2 =
Ω3 =
Ω4 =
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Definição 4.3 (Evento). Dado um espaço amostral Ω associado a um experimento E,
definimos como evento, qualquer subconjunto desse espaço amostral, ou seja, é qualquer
coleção de resultados do experimento E.
Notação: A, B, C, D, etc.
Observações:
i) Dizemos que o evento A ocorre se o resultado do experimento, ω, pertencer ao
evento. Caso contrário, dizemos que A não ocorre.
ii) Como os eventos de um espaço amostral são conjuntos, todas as operações da
teoria dos conjuntos são válidas para obter novos eventos. Considere, por exemplo, dois
eventos A e B, então o evento:
a) A ∪B ocorrerá se, e somente se, A ocorrer, ou B ocorrer, ou ambos ocorrerem;
b) A ∩B ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente;
c) A ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer;
Um recurso gráfico, conhecido como Diagrama de Venn, poderá ser vantajosamente
empregado quando estivermos combinando conjuntos. Para ilustrar, vejamos como fica
este diagrama representando os eventos descritos nos itens a, b e c:
(Desenhar os Diagramas de Venn, para cada evento)
Observação: Leis de D’Morgan
(i) A ∪B = A ∩B
(ii) A ∩B = A ∪B
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Exemplo 3:
a) Considerando o espaço amostral Ω2, exemplos de eventos seriam:
A: Ocorre face par =
B: Ocorre um número menor que 4 =
C: Ocorre um número maior que 0 =
D: Ocorre o número 10 =
b) Considerando o espaço amostral Ω3, um exemplo de evento seria:
A: A vida útil de uma lâmpada é menor que 10 horas =
Definição 4.4 (Eventos Mutuamente Excludentes). Dois eventos, A e B, são
denominados, mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer simultaneamente,
ou seja, A ∩B = φ.
Exemplo 4: Esboce um Diagrama de Venn, representando dois eventos mutuamente
excludentes.
Exemplo 5: Ao lançar um dado e observar o número da face superior, temos que o
evento A: observar face par é mutuamente excludente do evento B: observar face ímpar,
pois é impossível observar a ocorrência simultânea destes dois eventos, ou seja, A∩B = φ.
Exemplo 6: Lança-se um dado e observa-se o número da face superior. Considerando
este experimento aleatório e os eventos:
A: Ocorre face par =
B: Ocorre um número menor que 4 =
C: ocorre face menor que 7 =
D: ocorre face cujo valor é maior que 6 =
Determine em notação de conjuntos os seguintes eventos:
a) A ∪B
b) A ∩B
c) A
d) B
e) A ∪B
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f) A ∩B
g) A ∪B
h) A ∩B
i) A−B = A ∩B
j) B − A = B ∩ A
Exemplo 7: Sejam A e B dois eventos. Expresse as sentenças a seguir em termos de
operações entre eventos:
a) A e B ocorrem simultaneamente;
b) Pelo menos um dos eventos ocorre;
c) Nenhum dos eventos ocorre;
d) Apenas A ocorre;
e) Apenas B ocorre;
f) Exatamente um dos eventos ocorre.
4.3 Abordagens para Definir Probabilidade
4.3.1 Aproximação da Probabilidade pela Frequência Relativa (Lei dos
Grandes Números)
Definição 4.5 (Frequência Relativa). Suponha que um experimento é repetido n
vezes, e sejam A e B dois eventos associados ao experimento. Seja nA o número
de vezes que o evento A ocorre nas n repetições. A frequência relativa do evento A,
representada por fA, é definida como
fA =
nA
n
.
Propriedades:
(i) 0 ≤ fA ≤ 1;
(ii) fA = 1, se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições;
(iii) fA = 0, se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetições;
(iv) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se fA∪B for a frequência
relativa associada ao evento A ∪B, então,
fA∪B = fA + fB.
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Teorema 4.1 (Lei dos Grandes Números). Ao repetir um experimento um grande
número de vezes, a probabilidade de um evento A é aproximada pela frequência relativa,
isto é,
P (A) ∼= fA = nA
n
, quando n→∞.
Observação : Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de
repetições do experimento.
Exemplo 8: Ao lançar uma moeda honesta 5 vezes, ocorreram 4 caras. Baseado
neste resultado, qual a probabilidade (aproximada) do evento A : ocorrer cara?
Exemplo 9: Considere as seguintes situações:
(i) Numa pesquisa de mercado, 5 pessoas foram entrevistadas das quais 4 disseram que
comprariam um novo produto a ser lançado.
(ii) Numa outra pesquisa de mercado, 300 pessoas foram entrevistadas das quais 140
disseram que comprariam um novo produto a ser lançado.
a) Para cada pesquisa, determine a probabilidade de que uma pessoa qualquer compre
o novo produto.
b) Em qual das duas probabilidades estimadas você confia mais?
4.3.2 Definição Clássica de Probabilidade
4.3.2.1 Introdução e definição
Definição 4.6 (Evento Simples e Evento Composto). Cada um dos possíveis
resultados que compõe o espaço amostral e1, e2, e3, . . . é um evento simples, enquantoum evento composto, A, é uma coleção de eventos simples.
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Exemplo 10: Ao lançar um dado, os eventos simples serão: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e
{6} e um evento composto seria A : número par = {2, 4, 6}.
Definição 4.7 (Definição Clássica de Probabilidade). Suponha que um expe-
rimento tenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais pode ocorrer com a
mesma chance. Se r eventos simples são favoráveis à ocorrência do evento A, então
P (A) =
Número de eventos simples favoráveis à ocorrência do evento A
Número total de resultados possíveis
=
#A
#Ω
=
r
n
.
Observações:
(1) Nesta definição é fundamental que os eventos simples sejam igualmente prováveis,
e, neste caso, é evidente que:
(i) P (e1) = P (e2) = ... = P (en) = 1n , e
(ii) P (e1) + P (e2) + ...+ P (en) = 1n +
1
n
+ ...+ 1
n
= n. 1
n
= 1.
(2) Espaços amostrais com as características acima descritas são conhecidos como
Espaços Amostrais Finitos e Equiprováveis.
(3) O evento Ω é denominado evento certo, pois P (Ω) = #Ω
#Ω
= 1.
(4) O evento φ é denominado evento impossível, pois P (φ) = #φ
#Ω
= 0
#Ω
= 0.
Exemplo 11: Considere o experimento E: lançar um dado equilibrado e observar o
número da face superior. Considere também, os seguintes eventos:
. A: Ocorre face par =
. B: Ocorre um número menor que 4 =
. C: ocorre face menor que 7 =
. D: ocorre face cujo valor é maior que 6 =
. A ∩B =
. A ∪B =
. B =
Determine a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos acima definidos.
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4.3.3 Definição Axiomática de Probabilidade
Definição 4.8 (Definição Axiomática de Probabilidade). Dado um espaço
amostral Ω, a probabilidade de um evento A ocorrer, representado por P (A) , é uma
função definida em Ω, que associa a cada evento A um número real, satisfazendo os
seguintes axiomas:
(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
(ii) P (Ω) = 1;
(iii) Se A e B forem mutuamente excludentes (A ∩B = φ), então
P (A ∪B) = P (A) + P (B) .
Observação: A probabilidade de um evento A, denotada por P (A) , indica a chance
de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P (A), maior é a chance de
ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência
do evento A.
Principais Teoremas:
T1. Se φ denota o conjunto vazio (Evento Impossível), então
P (φ) = 0.
T2. Se A é o evento complementar de A, então
P (A) = 1− P (A) .
T3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) .
T4.
P
(
A ∩B) = P (A)− P (A ∩B) .
P
(
A ∩B) = P (B)− P (A ∩B) .
Exemplo 12: Considere um experimento aleatório com espaço amostral Ω e os eventos
A e B associados tais que: P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 e P (A ∩B) = 1/4. Determine:
a) P (A)
b) P (B)
c) P (A ∪B)
d) P (A ∩B)
e) P (A ∪B)
f) P (A ∩B)
g) P (A ∩B)
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4.4 Noções Básicas de Técnicas de Contagem
Nem sempre a tarefa de calcular a probabilidade de um evento aleatório, da forma
P (A) = r/n, é simples. Em algumas situações é necessário alguns procedimentos sis-
temáticos de contagem ou enumeração para se obter o número de maneiras, r, pelas quais
A pode ocorrer, bem como o número total de maneiras, n, pelas quais o espaço amostral
S pode ocorrer.
É no contexto descrito acima, que as técnicas de contagem são de fundamental im-
portância. Neste curso, veremos apenas alguns dos principais procedimentos de contagem.
4.4.1 Princípio Fundamental da Contagem - Regra da Multiplicação
Suponha que um experimento possa ser realizado em k etapas, de modo que, para a primeira
etapa existem n1 resultados possíveis, para a segunda etapa n2 resultados possíveis, e assim
sucessivamente, até que para a k − ésima etapa existem nk resultados possíveis. Então,
existe um total de
n1 × n2 × ....× nk
resultados possíveis para este experimento.
Exemplo 13: Ao lançar um dado e uma moeda, quantos resultados possíveis podem
ser obtidos? Resp.: 12
Exemplo 14: Uma companhia produz fechaduras que usam segredos numéricos para
serem abertas. Se cada segredo consiste de três números distintos, escolhidos dentre os
inteiros de 0 a 9, quantos segredos diferentes poderão ser fabricados? Resp.: 720
Exemplo 15: Quantos números naturais de 4 algarismos podem ser formados usando-
se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5, de forma que sejam menores do que 5000 e divisíveis
por 5? Resp.: 48
4.4.2 Permutações
Dizemos que permutações de n elementos distintos são as sequências formadas com todos
os n elementos e que se destinguem umas das outras pela ordem de seus elementos. Assim,
permutar os n objetos equivale a colocá-los dentro de uma caixa com n compartimentos,
em alguma ordenação.
Notação: P nn ou, simplesmente, Pn.
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Aplicando, então, a regra da multiplicação, temos que a caixa poderá ser arrumada de
n(n− 1)(n− 2) · · · 1 maneiras e, assim,
Pn = n(n− 1)(n− 2) · · · 1.
Definição 4.9 (Fatorial). Sendo n um inteiro positivo, definimos n! = n(n− 1)(n−
2) · · · 1 e o denominamos de fatorial de n. Também definimos 0! = 1.
Desta maneira, temos que:
Pn = n!.
4.4.3 Arranjos
Dado um conjunto de n elementos, chama-se de arranjo simples dos n elementos tomados
k a k (0 ≤ k ≤ n) a toda sequência de k elementos distintos do conjunto, que se
destingue das demais pela ordem dos seus elementos. assim, arranjar n objetos equivale
a colocá-los dentro de uma caixa com n compartimentos, em alguma ordenação, um em
cada compartimento, até que o k-ésimo compartimento seja preenchido.
Notação: Ank .
Desta forma, aplicando-se a regra da multiplicação, temos que:
Ank = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1).
Note que:
n! = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)(n− k)!
⇒ n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1) = n!
(n− k)! .
Portanto,
Ank =
n!
(n− k)!
Observação: Note que, se k = n, temos
Ann =
n!
(n− n)! =
n!
0!
= n! = Pn,
ou seja, permutações são casos particulares de arranjos.
Exemplo 16: De um baralho com 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e
sem reposição. Quantas sequências de cartas são possíveis de se obter?
Exemplo 17: De quantas maneiras podemos dispor 8 pessoas em um banco com 8
lugares?
Exemplo 18: Quantos são os anagramas da palavra ALUNO?
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4.4.4 Combinações
Chamamos de combinações de n objetos distintos tomados k a k ao número de maneiras
de escolher k dentre esses n objetos, sem considerarmos a ordem.
Notação: Cnk ou
(
n
k
)
.
Considerando que Ank leva em consideração a ordem em que os k elementos são esco-
lhidos, e que k elementos podem ser permutados de k! maneiras, temos que:
Cnk =
Ank
k!
=
n!
(n− k)!
1
k!
=
n!
k!(n− k)! .
Portanto,
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! .
Exemplo 19: Qual é o número de possíveis empreendimentos quando desejamos
selecionar dois dentre quatro? Resp: 6
Exemplo 20: Suponha que num lote com 20 peças existem cinco defeituosas. Es-
colhemos 4 peças do lote ao acaso, ou seja, uma amostra de 4 elementos, de modo que a
ordem dos elementos seja irrelevante:
a) Quantas amostras possíveis existem? Resp: 4845
b) Dentre todos os possíveis resultados, quantos levam à escolha de duas peças de-
feituosas? Resp.: 1050
c) Qual é a probabilidade de sair duas peças defeituosas? Resp.: 0,217
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4.5 Probabilidade Condicional
Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode ser
afetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência ou não de um outro evento.
Considere, por exemplo, o seguinte experimento:
E : Lançar um dado.
Seja o evento A: sair o no 3 =
Então, P (A) =
Considere, agora, o seguinte evento:
B: sair um número ímpar =
Logo, P (B) =
Suponha, agora, que soubéssemos da ocorrência de B e que quiséssemos calcular a
probabilidade de A. Iremos denotar essa probabilidade como P (A | B). Assim,
P (A | B) =
Formalmente definimos probabilidade condicional da seguinte maneira.
Definição 4.10(Probabilidade Condicional). Dados dois eventos, A e B, deno-
taremos P (A | B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido,
por:
P (A | B) = P (A ∩B)
P (B)
com P (B) 6= 0.
Exemplo 21: Dois dados são lançados e os seguintes eventos são considerados:
A = {(x1, x2);x1 + x2 = 10}, e
B = {(x1, x2);x1 > x2}.
Baseado nestas informações, obtenha as seguintes probabilidades:
a) P (A)
b) P (B)
c) P (A ∩B)
d) P (A | B)
e) P (B | A)
Resp.: 1/12; 5/12; 1/36; 1/15 e 1/3
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4.5.1 Teorema do Produto
A partir da definição de probabilidade condicional, poderemos enunciar o teorema do
produto:
Teorema 1.2 (Teorema do Produto)
P (A | B) = P (A∩B)
P (B)
⇒ P (A ∩B) = P (B)P (A | B).
Analogamente,
P (B | A) = P (A∩B)
P (A)
⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B | A).
Exemplo 22: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Se duas peças são retiradas
uma após a outra sem reposição, qual a probabilidade de que:
a) ambas sejam boas? Resp.: 14/33
b) ambas sejam defeituosas? Resp.: 1/11
c) pelo menos uma seja defeituosa? Resp.: 19/33
Exemplo 23: Uma urna contém duas bolas brancas, três vermelhas e cinco azuis.
Qual a probabilidade de se retirar sem reposição uma bola azul, uma branca e uma vermelha
exatamente nessa ordem? Resp.: 1/24
4.6 Eventos Independentes
A probabilidade da ocorrência de dois eventos simultaneamente, P (A ∩ B), depende
da natureza dos eventos, ou seja, se eles são independentes ou não. Dois ou mais eventos
são independentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um não influencia a ocorrência
do(s) outro(s).
Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade
condicional de A dado B é igual a probabilidade de A, isto é, se
P (A | B) = P (A).
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É evidente que se A é independente de B, então B é independente de A. Assim,
P (B | A) = P (B).
Logo, considerando o Teorema do Produto, observamos que, se A e B forem eventos
independentes, segue que
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Observação: A recíproca é verdadeira, isto é, se P (A ∩ B) = P (A)P (B), então A
e B são eventos independentes.
Definição 4.11 (Eventos Independentes). Dois eventos A e B são independentes
se, e somente se
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Exemplo 24: Se duas moedas equilibradas (sem vício) são lançadas, determine qual a
probabilidade de ambas darem cara? E se três moedas fossem lançadas, qual a probabilidade
de ocorrer três caras? Resp.: 1/4 e 1/8
Exemplo 25: A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3, e a pro-
babiliddae de que B o resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a
probabilidade de:
a) Ambos resolverem o problema? Resp.: 1/2
b) O problema ser resolvido? Resp.: 11/12
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4.7 Teorema da Probabilidade Total
Definição 4.12 (Partição do Espaço Amostral). Dizemos que os eventos C1, C2, ..., Cn
representam uma partição do espaço amostral Ω, quando
a) Ci ∩ Cj = φ, para todo i 6= j,
b) ∪ni=1Ci = Ω,
c) P (Ci) > 0, para todo i.
Considere, agora, um evento B referente a Ω, e C1, C2, ..., Cn uma partição de Ω.
Assim, podemos escrever
B = (B ∩ C1) ∪ (B ∩ C2) ∪ (B ∩ C3) ∪ ... ∪ (B ∩ Cn).
Logo,
P (B) = P (B ∩ C1) + P (B ∩ C2) + P (B ∩ C3) + ...+ P (B ∩ Cn).
Então, como P (B∩Cj) = P (Cj)P (B | Cj), obteremos o que se denomina o Teorema
da Probabilidade Total:
P (B) = P (C1)P (B | C1) + P (C2)P (B | C2) + ...+ P (Cn)P (B | Cn).
Exemplo 26: A proporção de peças produzidas pelas máquinas I, II e III é 30%, 30% e
40%, respectivamente. Dentre estas peças, 4%, 3% e 2%, respectivamente, são defeituosas.
Escolhida uma peça da produção conjunta das três máquinas, qual a probabilidade da
mesma ser defeituosa? Resp.: 0,029
4.8 Teorema de Bayes
Sob as mesmas hipóteses do teorema da probabilidade total, podemos calcular a prob-
abilidade de Ci dada a ocorrência de B da seguinte forma
P (Ci | B) = P (Ci)P (B | Ci)∑n
j=1 P (Cj)P (B | Cj)
, i = 1, 2, ..., n.
Este resultado é o que chamamos de Teorema de Bayes. Esse teorema é útil
quando conhecemos as probabilidades dos C ′is e a probabilidade condicional de B dado Ci,
mas não conhecemos diretamente a probabilidade de B.
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Exemplo 27: Considerando os dados do Exemplo 26, suponha que uma peça es-
colhida aleatoriamente, foi testada e verificou-se ser defeituosa. Qual é a probabilidade de
que a peça tenha sido produzida pela máquina I? E pela máquina II? E pela III? Resp.:
0,414; 0,31 e 0,276
Exemplo 28: Suponha três urnas com as seguintes configurações: a urna 1 contém
3 bolas pretas, 1 branca e 5 vermelhas; a urna 2 contém 4 bolas pretas, 3 brancas e 2
vermelhas; a urna 3 contém 2 bolas pretas, 3 brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma urna
ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificou-se que a bola é branca. Qual a
probabilidade da bola ter vindo da urna 1, 2? E da 3? Resp.: 0,136; 0,407 e 0,458
Exemplo 29: Você entrega ao seu amigo uma carta, destinada a sua namorada, para
ser colocada no correio. Entretanto, ele pode esquecer com probabilidade 0,1. Se não
esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se foi
enviada pelo correio, a probabilidade de que a namorada não a receba é de 0,1.
a) Sua namorada não recebeu a carta, qual a probabilidade de seu amigo ter esquecido
de colocá-la no correio?
b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar, se a comunicação depender das
cartas enviadas.
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4a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - De uma linha de produção são retirados três (3) artigos e cada um é classificado
como bom (B) ou defeituoso (D). Determine o espaço amostral deste experimento
aleatório e expresse também o evento A: obter dois artigos defeituosos.
2 - Pedro tem dois automóveis velhos. Se nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de
um deles não funcionar e 30% de outro não funcionar,
a) qual a probabilidade de nenhum funcionar? Resp.: 0,06
b) qual a probabilidade dos dois funcionarem? Resp.: 0,56
c) qual a probabilidade de pelo menos um funcionar? Resp.: 0,94
d) qual a probabilidade de exatamente um funcionar? Resp.: 0,38
3 - Considere o lançamento de dois dados equilibrados com o interesse de observar o
número das faces superiores.
a) Calcule a probabilidade dos eventos:
i) A: sair face par nos dois dados. Resp.: 1/4
ii) B: sair face par no primeiro dado. Resp.: 1/2
iii) C: sair face par no segundo dado. Resp.: 1/2
d) Os eventos B e C são independentes? Resp.: Sim.
4 - De 120 estudantes, 60 estudam Francês, 50 Espanhol e 20 estudam Francês e Es-
panhol. Se um estudante é escolhido ao acaso, encontre a probabilidade de que
ele:
a) estude Francês e Espanhol? Resp.: 1/6
b) estude pelo menos uma das línguas? Resp.: 3/4
c) não estude nem Francês nem Espanhol? Resp.: 1/4
5 - A empresa Mar e Sol Pousadas Ltda. possui 350 funcionários. Destes, 280 possuem
plano de saúde particular, 180 possuem plano de saúde coletivo e 30 não possuem
plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade de um funcionário
escolhido ao acaso:
a) Não possuir plano de saúde. Resp.: 3/35
b) Possuir pelo menos um dos planos. Resp.: 32/35
c) Possuir ambos os planos. Resp.: 14/35
d) Possuir exatamente um dos planos. Resp.: 18/35
6 - Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 134 alunos acertaram o primeiro,
88 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 56 acertaram apenas um problema.
Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
51
a) Tenha acertado exatamente um dos problemas. Resp.: 56/250
b) Tenha acertado pelo menos um dos problemas. Resp.: 176/250
c) Tenha acertado apenas o segundo problema. Resp.: 42/250
d) Não tenha acertado problema algum. Resp.: 74/250
7 - Ao escolher entre diversos fornecedores de computadores, um comprador deseja saber
a probabilidade de um computador falhar durante os dois primeiros anos. Sabendo-se
que só existem duas possibilidades; ou o computadorfalha durante os dois primeiros
anos ou não falha, qual é essa probabilidade? Agora se você conhecesse o resultado
de uma pesquisa do PC World feita com 4000 usuários de computadores, na qual
revela que 992 computadores falham durante os dois primeiros anos, qual será a
probabilidade estimada? Resp.: 0,5 e 0,248.
8 - Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituido de mulheres, e 40% dos
eleitores votaram na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos
sejam independentes, determine a probabilidade de escolher um eleitor da lista geral,
que seja mulher e que tenha votado na última eleição presidencial. Resp.: 0,13
9 - Uma urna contém duas bolas brancas e cinco pretas. Qual a probabilidade de sair
duas bolas pretas supondo que os sorteios são feitos com reposição? Resp.: 25/49
10 - Se cada carta de um baralho de 52 cartas tem a mesma chance de ser escolhida,
então qual é a probabilidade de:
a) se extrair cada uma delas? Resp.: 1/52
b) de se extrair uma dama? Resp.: 4/52
11 - Qual a probabilidade de se obter três ou menos pontos no lançamento de um dado?
Resp.: 1/2
12 - Uma urna contém duas bolas brancas, três pretas e cinco azuis.
a) Qual a probabilidade de se extrair uma bola branca? Resp.: 1/5
b) Qual a probabilidade de se extrair uma bola preta ou uma azul? Resp.: 4/5
13 - No lançamento de dois dados qual a probabilidade de sair o par (5,2)? Resp.: 1/36
14 - Suponha que a probabilidade de que ambas crianças gêmeas sejam meninos é 0,30 e
que a probabilidade de que sejam meninas é 0,26. Dado que a probabilidade de uma
criança seja menino é 0.52, qual é a probabilidade de que:
a) A segunda criança seja um menino, sabendo-se que o primeiro é um menino?
Resp.: 0,577.
b) A segunda criança seja uma menina, sabendo-se que a primeira é uma menina?
Resp.: 0,542.
15 - Uma urna contém duas bolas brancas, três verdes e cinco azuis. Se três bolas são
retiradas ao acaso, sem reposição, determine a probabilidade de três bolas verdes
ocorrerem. Resp.: 0,0083.
52
16 - A probabilidade de que um time de futebol vença seu próximo oponente é estimada
em 0,7 se não chover, mas só em 0,5 se chover. Se os registros meteorológicos
mostrarem que choveu 40 por cento das vezes, na data do jogo, nos anos passados,
qual a probabilidade de que o time vença seu próximo oponente? Resp.: 0,62.
17 - Empregados de certa firma são submetidos a um teste de aptidão quando empregados
pela primeira vez. A experiência mostrou que dos 60 por cento que passaram no teste,
80 por cento deles eram bons trabalhadores, enquanto dos 40 por cento dos que não
conseguiram passar só 30 por cento foram avaliados como bons trabalhadores. Qual
a probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso seja um bom trabalhador?
Use aqui a técnica da árvore. Resp.: 0,60.
18 - Suponhamos que seja p a probabilidade de que o tempo (com sol ou nublado) seja o
mesmo do dia anterior. Se hoje for dia de sol, qual a probabilidade de que depois de
amanhã tenhamos também um dia de sol? Resp.: 2p2 − 2p+ 1
19 - Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto
as outras duas são normais e não viciadas. Uma moeda é retirada ao acaso e jogada.
Dado que o resultado foi cara, qual a probabilidade de que essa seja a moeda de duas
caras? Resp.: 0,5.
20 - As probabilidades de que três homens atinjam um alvo são, respectivamente, 1
6
, 1
4
e 1
3
.
Cada um atira uma vez em direção ao alvo.
a) Determine a probabilidade p de que exatamente um deles atinja o alvo. Resp.:
0,431.
b) Se apenas um atinge o alvo, qual a probabilidade de ele ser o primeiro homem?
Resp.: 0,194.
53
5 Variáveis Aleatórias
5.1 Introdução
Ao descrever um espaço amostral Ω associado a um experimento E, podemos obser-
var que os resultados possíveis não são, necessariamente, núméricos. Consideremos, por
exemplo, o seguinte experimento:
E1: Lançar duas moedas e observar a face superior de cada uma.
Neste experimento, temos Ω = {CC,CK,KC,KK} e, na prática, o que realmente
podemos estar interessados em observar é, por exemplo, o número de vezes que ocorre
cara (C), ou seja, temos interesse num número real que está associado a cada resultado do
espaço amostral Ω.
Definição 5.1 (Variável Aleatória). Seja E um experimento aleatório e Ω um
espaço amostral associado ao experimento. Dizemos que a função X é uma variável
aleatória quando associa a cada elemento do espaço amostral, ω ∈ Ω, um número
real, x = X(ω).
Notação: X, Y , Z, etc.
Esquematicamente, temos:
(Esboçar a função (ou variável aleatória) que associa a cada elemento
do espaço amostral, ω ∈ Ω, um número real, x = X(ω) )
54
Exemplo 1: Considere o experimento
E1: Lançar duas moedas e observar a sequência de caras (C) e coroas (K).
Se X é a variável aleatória que representa o número de vezes que ocorre cara (C):
a) Descreva o espaço amostral, Ω, e obtenha os possíveis valores que a variável aleatória
X pode assumir.
b) Represente através de um gráfico o espaço amostral e a função X = X(ω), isto é, a
variável aleatória X.
Solução:
Através do Exemplo 1, podemos notar que, ao descrever um espaço amostral Ω as-
sociado a um experimento E, não necessariamente, um resultado individual é um número.
Neste exemplo, vimos que Ω = {KK,CK,KC,CC} e, na prática, o que realmente pode-
mos estar interessados em observar é o número de vezes que ocorre cara (C), ou seja, temos
interesse num número real que está associado a cada resultado do espaço amostral Ω.
Definição 5.2 (Eventos Equivalentes). Sejam um experimento E e seu espaço
amostral Ω. Seja X uma variável aleatória definida em Ω e seja RX seu contradomínio.
Seja B um evento definido em relação a RX , isto é, B ⊂ RX . Defina o evento A como
A = {ω ∈ Ω;X(ω) ∈ B}.
Neste caso dizemos que A e B são eventos equivalentes.
Definição 5.3 (Probabilidade de Eventos Equivalentes). Seja B um evento no
contradomínio RX . Nesse caso, definimos P (B) da seguinte maneira:
P (B) = P (A), onde A = {ω ∈ Ω;X(ω) ∈ B}.
Exemplo 2: A partir do exemplo anterior, temos RX = {0, 1, 2}, onde cada um
desses valores ocorre com as seguintes probabilidades:
55
5.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 5.4 (Variável Aleatória Discreta). Dizemos que uma variável aleatória
é discreta se o número de valores possíveis é finito ou infinito enumerável (contável),
de maneira que podemos listar todos os resultados como x1, x2, x3, ....
Definição 5.5 (Função de Probabilidade). É a função p = p(xi) que associa uma
probabilidade a cada valor xi da variável aleatória X.
Notação:
X x1 x2 x3 . . .
P (X = xi) = p(xi) p(x1) p(x2) p(x3) . . .
Definição 5.6 (Distribuição de Probabilidades). Ao conjunto de todos os pares
[xi, p(xi)], i = 1, 2, ..., n, ... damos o nome de Distribuição de Probabilidades da
variável aleatória X, desde que:
1. p(xi) ≥ 0, ∀i;
2. Σ∞i=1p(xi) = 1.
Exemplo 3: A partir do Exemplo 1, obtenha a distribuição de probabilidades da
variável aleatória X e represente-a através de um gráfico.
Exemplo 4: Considerando a variável aleatória (v.a.) X cuja função de probabilidade
é dada por:
P (X = x) =
1
2x
, x = 1, 2, 3, ...
a ) Mostre que X tem realmente uma distribuição de probabilidades.
b ) Faça um gráfico representando o comportamento desta distribuição.
c ) Obtenha:
56
i . P (X ser par). Resp.: 1/3
ii . P (X ≥ 3). Resp.: 1/4
iii . P (X ser múltiplo de 3). Resp.: 1/7
5.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição 5.7 (Variável Aleatória Contínua). A variável aleatória X é contínua
se existir uma função f , denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X
que satisfaça às seguintes condições:
a) f(x) ≥ 0 para todo x;
b)
∫ +∞
−∞ f(x)dx = 1.
Observações: Se X é uma variável aleatória contínua, então:
(i) Para quaisquer a, b, com −∞ < a < b < +∞, teremos
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b)= P (a ≤ X < b)
= P (a < X < b)
=
∫ b
a
f(x)dx.
Probabilidade essa, que pode ser representada pela área sob o gráfico da função f no
intervalo [a, b], tal como ilustrado abaixo:
(Esboçar o gráfico representando a área definida por P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx)
(ii) P (X = k) = 0, onde k é qualquer valor real.
57
Exemplo 5: Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular de raio de 10
cm, e seja X a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p. de X é
f(x) =
{
kx, 0 ≤ x ≤ 10
0, c.c
a) Identifique o valor de k.
b) Qual a probabilidade de acertar a mosca, se ela é um círculo de raio 1 cm?
c) Calcule a probabilidade de acertar um círculo de raio 1 cm, sabendo que a distância
entre o ponto atingido pelo dardo e o centro do alvo está entre 0,5 cm e 3,5 cm.
5.4 Função de Distribuição Acumulada
Definição 5.8 (Função de Distribuição Acumulada - f.d.a.). A função de dis-
tribuição acumulada F , ou simplesmente função de distribuição (f.d.) de uma
variável aleatória X qualquer é definida como
F (r) = P (X ≤ r), ∀ r ∈ R.
58
Observação:
a) Se a variável aleatória X for discreta, então a função de distribuição será dada por
F (r) = P (X ≤ r) =
∑
i ; xi≤r
p(xi),
b) Se a variável aleatória X for contínua, então a função de distribuição será dada por
F (r) = P (X ≤ r) =
∫ r
−∞
f(x)dx.
Exemplo 6: Suponhamos que a variável aleatória X tome os três valores 0, 1 e 2,
com probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Encontre a função de distribuição F
e represente-a graficamente.
Exemplo 7: Encontre a função de distribuição de X cuja f.d.p. é dada por
f(x) =
{
2x, 0 < x < 1,
0, c.c.
Esboçe os gráficos da f.d.p., f(x), e da função de distribuição F .
59
5.4.1 Propriedades da Função de Distribuição
A seguir veremos algumas propriedades importantes da função de distribuição acumu-
lada F de uma variável aleatória X qualquer:
(i) A função F é não decrescente.
(ii) F é contínua à direita.
(iii)
F (−∞) ≡ lim
x→−∞
F (x) = 0
e
F (+∞) ≡ lim
x→+∞
F (x) = 1.
Alguns Teoremas importantes relacionados à função de distribuição acumulada, tam-
bém são apresentados a seguir:
Teorema 5.1. Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ...,
e suponha-se que esses valores tenham sido indexados de modo que x1 < x2 < .... Seja
F a função de distribuição de X. Então,
p(xi) = P (X = xi) = F (xi)− F (x−i ),
onde F (x−i ) ≡ limx→x−i F (x).
Teorema 5.2. Seja F a função de distribuição de uma variável aleatória contínua,
com f.d.p. f . Então,
f(x) =
dF (x)
dx
,
para todo x no qual F seja derivável.
Exemplos:
a) Considerando os dados do Exemplo 6, temos:
60
b) Considerando os dados do Exemplo 7, temos:
Observações:
1) Se X for uma variável aleatória discreta, o gráfico da função de distribuição será
constituído por segmentos de reta horizontais. Além disso, a função F é contínua, exceto
nos valores possíveis de X: x1, ..., xn, ...; pois, para cada valor xi o gráfico apresenta um
salto de magnitude p(xi) = P (X = xi).
2) Se X for uma variável aleatória contínua, então
(i) P (a < X < b) = F (b)− F (a).
(ii) P (X > a) = 1− F (a).
Exemplo: Considerando os dados do Exemplo 7, calcule P (0 ≤ X ≤ 1, 5),
P (X > 0, 4), P (0, 5 ≤ X ≤ 1, 5) e P (X ≥ 1).
61
5a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Sabendo-se que a v.a. X assume os valores 1,2 e 3 e que sua função de distribuição
F (x) é tal que
F (1)− F (1−) = 1/4,
F (2)− F (2−) = 1/2,
F (3)− F (3−) = 1/4.
Obter a distribuição de X, a função de distribuição acumulada e seu respectivo
gráfico.
2 - Dada a seguinte função de distribuição
F (x) =
{
0, x < 0,
1− e−x, x ≥ 0.
a) Encontre a probabilidade da variável X assumir os seguintes valores:
(i) P (X = 1). Resp.: 0
(ii) P (0.5 < X < 1). Resp.: 0,239
(iii) P (X > 1). Resp.: 0,368
b) Encontre a f.d.p. da variável X.
c) Esboçe um gráfico ilustrando cada uma das situações descritas acima.
d) Determine o valor de α tal que F (α) = 1/4. Resp.: 0,288
3 - Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa e suponha que a
função de distribuição de X seja dada por
F (x) =
{
0, x < 0,
1− e−λx, x ≥ 0.
Suponha que λ seja tal que P (X ≥ 0, 01) = 1/2. Obtenha um número t tal que
P (X ≥ t) = 0, 9. Resp.: 0,00152
62
6 Caracterização Adicional das Variáveis Aleatórias
6.1 Introdução
De maneira análoga ao que acontece na estatística descritiva (resumo de dados),
no estudo de variáveis aleatórias precisamos de algumas características numéricas que
possam nos fornecer uma idéia sobre o comportamento da distribuição de probabilidade.
A estas características denominamos de parâmetros da distribuição.
Dois dos principais parâmetros são: o valor esperado e a variância. O valor esperado
de uma distribuição de probabilidades nos dá uma idéia de um valor médio ou central da
distribuição. Por outro lado, a medida que nos dá o grau de dispersão (ou de concentração)
dos valores assumidos pela variável em torno da média é a variância.
6.2 O Valor Esperado ou Esperança de Uma Variável Aleatória
Definição 6.1 (Valor Esperado de uma Variável Aleatória).
Caso 1: Variável Aleatória Discreta
Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2, ..., xn, ... Seja
p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, ..., n, ... Então, o valor esperado de X (ou esperança
matemática de X), denotado por E(X) é definido como
E(X) = Σ∞i=1xip(xi),
se a série definida acima convergir absolutamente, isto é, se
Σ∞i=1 |xi| p(xi) <∞.
Este número é também denominado o valor médio de X, ou expectância de X.
63
Caso 2: Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f . Então, o valor médio de X ou
o valor esperado de X é definido como
E(X) =
∫ +∞
−∞
xf(x)dx.
Pode acontecer que esta integral (imprópria) não convirja. Consequentemente, diremos
que E(X) existirá se, e somente se, ∫ +∞
−∞
|x| f(x)dx
for finita.
Exemplo 1: Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas e 90%
delas são não-defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde R$ 1,
enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de R$ 5. Se X for o lucro líquido por
peça, qual o valor esperado de X? Resp.: 4,4 Reais
Exemplo 2: O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca
em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável
contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade desta variável seja dada pela
seguinte expressão:
f(x) =

x/4, 0 ≤ x ≤ 2
1/8, 2 < x ≤ 6
0, caso contrário.
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, neces-
sitar de troca de amortecedores antes de 06 meses de uso? E entre 2 e 5 anos?
b) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
64
6.3 Esperança de uma Função de uma Variável Aleatória
É intuitivamente evidente a idéia de que qualquer função de uma variável aleatória X,
Y = H(X), também é uma variável aleatória, pois qualquer resultado aleatório, X = x,
resultará num resultado também aleatório Y = h(x) = y. Desta forma, terá sentido
calcular E(Y ).
Para se obter o valor esperado de Y = H(X) existem duas maneiras que se mostram
equivalentes. A primeira requer que se obtenha primeiramente a distribuição de Y ; problema
este que será abordado posteriormente. Uma segunda maneira requer, simplesmente, o
conhecimento da distribuição de probabilidade de X.
Definição 6.2 (Esperança de uma Função de uma de uma Variável Aleatória).
Seja X uma variável aleatória e seja Y = H(X). Então,
(a) Se Y for uma variável aleatória discreta com valores possíveis y1, y2, ... e se
q(yi) = P (Y = yi), o valor esperado de Y é definido por
E(Y ) = Σ∞i=1yiq(yi).
(b) Se Y for uma variávelaleatória contínua com f.d.p. g, o valor esperado de Y
é definido por
E(Y ) =
∫ +∞
−∞
yg(y)dy.
Exemplo 2: Suponhamos que a variável aleatória X tome os três valores 2, 3 e 4, com
probabilidades 1/6, 1/2 e 1/3, respectivamente. Encontre o valor esperado de Y = X2.
Exemplo 3: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de proba-
bilidade
f(x) =
{
2x, se 0 ≤ x ≤ 1,
0, caso contrário.
Encontre o valor esperado de Y = X2, usando a Definição 6.2. Houve alguma dificuldade?
65
Teorema 6.1. Seja X uma variável aleatória e seja Y = H(X). Então,
(a) Se X for uma variável aleatória discreta e p(xi) = P (X = xi), tem-se que o
valor esperado de Y será dado por
E(Y ) = E[H(X)] = Σ∞j=1H(xj)p(xj).
(b) Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p. f , tem-se que o valor
esperado de Y será dado por
E(Y ) = E[H(X)] =
∫ +∞
−∞
H(x)f(x)dx.
Exemplo 4: Resolva os Exemplos 2 e 3, usando o Teorema 6.1.
Exemplos Adicionais:
a)Se Y = 3X + 1, então E(Y ) =
b) Se Y = −X3, então E(Y ) =
66
6.4 Propriedades do Valor Esperado
Se X é uma v.a. e a, b, k são constantes quaisquer, então:
1. E[aX + b] = aE(X) + b.
2. E[k] = k.
3. E[X + k] = E(X) + k.
4. E[kX] = kE(X).
5. E[X − µ] = 0, onde µ = E(X).
Demonstrações:
Exemplos:
a) E[3X + 1] = b) E[
√
2X − pi] = c) E[√2X] =
d) E[pi] = e) E[
√
2] =
Exemplo 5: Considerando a situação problema do Exemplo 1, responda:
a) Se houver um aumento de 10% nos valores de X, qual será o lucro líquido esperado?
Resp.: 4,84 Reais
b) E se houver um acréscimo de R$ 0,10 nos valores de X, em média, quanto será o
lucro líquido? Resp.: 4,5 Reais
Exemplo 6: Seja X a variável aleatória contínua descrita no Exemplo 3. Encontre:
a) E(Y ), onde Y = 1−X.
b) E(Z), onde Z = (X − µ)2 e µ = E(X).
67
6.5 A Variância de uma Variável Aleatória
Definição 6.3 (Variância de uma Variável Aleatória).
Caso 1: Variável Aleatória Discreta
Dada a variável aleatória discreta X e a respectiva função de probabilidade p(x), a
variância de X é dada por
V ar(X) = E[(X − µ)2] = Σ∞i=1(xi − µ)2p(xi),
onde µ = E(X).
Caso 2: Variável Aleatória Contínua
Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f . Então, a variância de X é dada
por
V ar(X) = E[(X − µ)2] = ∫ +∞−∞ (x− µ)2f(x)dx
A raiz quadrada da Variância de X é denominada Desvio Padrão de X, ou seja,
DP (X) =
√
V ar(X).
Exercício: Mostre que V ar(X) = E(X2)− E2(X), onde
E(X2) =
{
Σ∞i=1x
2
i p(xi), se X for discreta,∫ +∞
−∞ x
2f(x)dx, se X for contínua.
Exemplo 6: Determine o desvio padrão da v.a. X: “lucro líquido por peça”, definida
no Exemplo 1. Resp.: 1,8 Reais
Exemplo 7: Obtenha a variância da variável aleatória X, cuja f.d.p. é dada por
f(x) =
{
1 + x, −1 ≤ x ≤ 0
1− x, 0 < x ≤ 1.
Resp.: 1/6
68
6.6 Propriedades da Variância
Se X é uma v.a. e k é um valor qualquer, constante, então:
1. V ar(k) = 0.
2. V ar(X + k) = V ar(X).
3. V ar(kX) = k2V ar(X).
4. V ar(aX + b) = a2V ar(X).
Demonstrações:
Exemplos:
a) V ar[pi] = b) V ar[−√2] = c) V ar[X − 7] =
d) V ar[−3X] = e) V ar[√2X − pi] =
69
6a LISTA DE EXERCÍCIOS
1 - Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas com reposição.
Seja X o número de bolas brancas. Calcular E(X) e D.P.(X). Resp.: E(X) = 1, 2.
2 - A função de probabilidade da variável aleatória X é: P (X = x) = 1
5
, para X =
1, 2, 3, 4, 5. Calcular E(X) e E(X2), e usando esses resultados calcular:
a) E(X + 3)2;
b) V ar(3X − 2).
Resp.: E(X) = 3, V ar(X) = 2, a) 38 b) 18.
3 - Um investidor julga que tem 0, 40 de probabilidade de ganhar R$25.000,00 e 0, 60 de
probabilidade de perder R$15.000,00 num investimento.
a) Qual é o lucro esperado deste investidor? Resp.: 1000 Reais.
b) Se L é o lucro do investidor, qual será o lucro esperado de Y = 10L − 1000?
Resp.: 9000 Reais.
4 - Uma seguradora paga R$30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa
de R$1.000,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%.
Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? Resp.: E(L) = 100, 00
5 - Num jogo de dados, o jogador J1 paga R$ 20,00 ao jogador J2 e lança 3 dados. E a
seguinte regra é adotada:
(A) Se sair face 1 em um dos dados apenas, J1 ganha R$ 20,00
(B) Se sair face 1 em dois dados apenas, J1 ganha R$ 50,00
(C) Se sair 1 nos três dados, J1 ganha R$ 80,00
(D) Se nenhuma face 1 sair, J1 não recebe valor algum.
Nestas condições, qual o lucro líquido esperado pelo jogador J1 em uma jogada?
Você considera este jogo honesto? Por que? Resp.: R$− 9, 21
6 - Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Para isto, o banco está
oferecendo um prêmio de R$ 150,00 para cada cliente atendido, além de 42 clientes
por dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada cliente atendido
além de 41. As probabilidades de atendimento são:
node clientes Até 41 42 43 44 45 46
Probabilidade 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0,004
Qual o ganho esperado do banco, se este novo sistema for implantado? O sistema é
vantajoso para o banco? Resp.: E(X) = 7, 30.
7 - Suponhamos que dez cartas estejam numeradas de 1 até 10. Das dez cartas, retira-se
uma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até retirar-se o primeiro número par. Se
X é uma variável aleatória que expressa o número de retiradas necessárias.
70
a) Qual é a função de probabilidade de X?
b) Em quantas retiradas espera-se obter o primeiro número par?
8 - Um vendedor de equipamentos pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes,
com probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar
a venda de um equipamento por R$ 50.000,00(com probalidade 1/10) ou nenhuma
venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias
desse vendedor:
a) Escreva a função de probabilidade de Y ;
b) Qual é o valor total esperado de vendas diárias?
Resp.: a) Y = {0, 50.000, 100.000} com probabilidades 126/150, 23/150, 1/150. b)
E(Y ) = 8.333, 33
9 - Calcule a variância do problema anterior.
10 - O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma
v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade.
T = t 2 3 4 5 6 7
P (T = t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
a) Calcule o tempo médio de processamento.
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas, se ele
processa a peça em menos de seis minutos, ganha R$ 0,50 em cada minuto
poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a
quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância da
v.a. G: quantia ganha por peça.
c) Obtenha a função de distribuição acumulada da variável aleatória T .
Resp.: a) E(T ) = 4, 6 b) E(G) = 2, 75 e V ar(G) = 0, 4125
11 - O serviço de meteorologia classifica o tipo de céu que é visível, em termos de
“graus de nebulosidade”. Uma escala de 11 categorias é empregada: 0,1,2,...,10,
onde 0 representa um céu perfeitamente claro, 10 representa um céu completamente
encoberto, enquanto os outros valores representam as diferentes condições inter-
mediárias. Suponha-se que tal classificação seja feita em uma determinada estação
meteorológica, em um determinado dia e hora. Seja X a variável aleatória que pode
tomar um dos 11 valores acima. Admita que a distribuição de probabilidade de X
seja
X = x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P (X = x) 0,05 0,15 0,15 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,15 0,15 0,05
Encontre E(X), E(X2) e V ar(X).
71
12 - A percentagem de álcool (100X) em certo composto pode ser considerada uma va-
riável aleatória, onde X, tem a seguinte função densidade:
f(x) =
{
20x3(1− x), 0 < x < 1
0, c.c.
a) Obtenha a função de distribuição acumulada de X.
b) Calcule P (X ≤ 2/3). Resp.: 0,46
c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de ál-
cool. Especificadamente,se 1/3 < X < 2/3, o composto é vendido por
C1 u.m/galão; caso contrário, é vendido por C2 u.m/galão, determine o lu-
cro líquido médio por galão. Resp.: 0,4156C1 + 0,5844C2
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RELAÇÃO DE EXERCÍCIOS PARA O 2◦ ESTÁGIO
Livro: “Estatística Básica”. Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin.
Capítulo 5 (Probabilidades)
Problema Página (5a. Edição e 6a. Edição)
1 e 2 105
5 e 6 106
11 e 12 110
15, 16, 18 e 21 115
25 121
26, 27, 28 e 30 122
34 e 36 123
40 e 41 124
Capítulo 6 (Variáveis Aleatórias Discretas):
Problema Página (5a. Edição e 6a. Edição)
1, 2 e 3 135
Capítulo 7 (Variáveis Aleatórias Contínuas)
Problema Página (5a. Edição) Página (6a. Edição)
2 166 167
10 e 12 172 173
28 (a e b) 194 196
73