Unidade 7 Integrais

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1 
Unidade 7 
 
Integrais 
 
Função primitiva 
 
No estudo da derivada tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, outra, a que 
chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a 
derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original que chamaremos 
primitiva. Você deve observar que é importante conhecer bem as regras de derivação e 
as derivadas de várias funções, estudadas anteriormente, para determinar primitivas. O 
que acabamos de mencionar nos motiva a seguinte definição. 
 
Definição 7.1. Uma função ( )F x é chamada uma primitiva da função ( )f x em um 
intervalo I , se para todo x I∈ , tem-se 
'( ) ( )F x f x= . 
Exemplo 7.1. A função 
5
( )
5
x
F x = é uma primitiva da função 4( )f x x= , pois 
45 
'( )
5
x
F x = = 4 ( )x f x= , x R∀ ∈ 
 
Exemplo 7.2. As funções 
5 5
( ) 9 , ( ) 2
5 5
x x
T x H x= + = − também são primitivas da 
função 
4( )f x x= , pois '( ) '( ) ( )T x H x f x= = . 
 
Observação. Seja I um intervalo em R. Se :F I R→ é uma primitiva 
de :f I R→ , então para qualquer constante real k , a função ( )G x 
dada por ( ) ( )G x F x k= + é também uma primitiva de ( )f x . 
 
Se , :F G I R→ são primitivas de :f I R→ , então existe uma constante real k tal que 
( ) ( )G x F x k= + , para todo x I∈ . 
 
 
Exemplo 7.3. Encontrar uma primitiva ( )F x , da função 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − , para 
todo x R∈ que satisfaça a seguinte condição (1) 4F = . 
 
Resolução: Pela definição de função primitiva temos '( ) ( )F x f x= para todo Rx ∈ , 
assim, ( )F x será uma função cuja derivada será a função ( )f x dada. Logo, 
3 2
42( ) 4 5
4 3 2
x x
F x x x k= − + − + , 
pois 
2
32'( ) 4 4 3 5 2 1 0
4 3 2
x x
F x x= ⋅ − ⋅ + ⋅ − + 
 3 22 4 5 1 ( )x x x f x= − + − = , 
 
ou seja, 
 2 
3 2
41( ) 4 5
2 3 2
x x
F x x x k= − + − + . 
 
Como ( )F x deve satisfazer a condição (1) 4F = , com isto, vamos calcular o valor da 
constante k , fazendo 1x = na função ( )F x , 
isto é, 
( ) ( ) ( )
3 2
4 1 11
(1) 1 4 5 1 4
2 3 2
F k= − − − + = 
e resolvendo temos 
10
4
k = . 
Assim, 
3 2
41 10( ) 4 5
2 3 2 4
x x
F x x x= − + − + . 
Portanto, 
3 2
41 10( ) 4 5
2 3 2 4
x x
F x x x= − + − + , 
é uma função primitiva de 
3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − , 
que satisfaz condição (1) 4F = . 
Exemplo 7.4 A função 4 2
1
( )
4
F x x x= + é uma primitiva da função, 3( ) 2f x x x= + pois 
3'( ) 2F x x x= + ( )f x= , x R∀ ∈ 
 
Integral indefinida 
 
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro 
conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre 
estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral mostrada sua 
relação com a derivada. 
 
Definição 7.2. Se a função ( )F x é primitiva da função ( ),f x a expressão ( )F x C+ é 
chamada integral indefinida da função ( )f x e é denotado por 
 
( ) ( )f x dx F x C= +∫ 
onde 
 
∫ − é chamado sinal de integração; 
( )f x − é a função integrando; 
dx – a diferencial que serve para identificar a variável de integração; 
C – é a constante de integração. 
 
Lê-se: Integral indefinida de ( )f x em relação a x ou 
simplesmente integral de ( )f x em relação a x . 
 
 3 
O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado 
integração. 
 
Observações 
Da definição de integral indefinida, temos as seguintes observações: 
(i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x= + ⇔ =∫ . 
(ii) ( ) f x dx∫ representa uma família de funções, isto é, a família 
ou o conjunto de todas primitivas da função integrando. 
(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )d d df x dx F x C F x F x f x
dx dx dx
= + = = =∫ . 
 
Exemplo 7.5 
 (i) Se ( )4 34d x x
dx
= então 3 44 + x dx x C=∫ . 
(ii) Se ( ) 1
2 
d
x
dx x
= então 1 
2
dx x C
x
= +∫ . 
 (iii) Se 
5 2
3 3
3
 
5
d
x x
dx
 
= 
 
 então 
2 5
3 3
3
 
5
x dx x C= +∫ . 
 
 
 
Observação. Pelos exemplos acima temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( )df x dx F x C f x dx f x
dx
= + ⇒ =∫ ∫ . 
Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para 
diferenciação. 
 
Propriedades da integral indefinida 
 
Sejam ( ) e ( )f x g x funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. 
Então: 
a) ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫ . 
Exemplo 7.6 
6 6
5 52 2 2
6 3
x x
x dx x dx k k= = + = +∫ ∫ 
b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ . 
 
Exemplo 7.7 
( )
4 2
3 3 3
1 23 2 3 2 3 2 3 2
4 2
x x
x x dx x dx x dx x dx x dx C C+ = + = + = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
4
23
4
x
x C+ + 
 
 
 
 4 
� Integrais imediatas 
 
Nesta subseção, apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que, aplicando as 
propriedades da integral indefinida, você possa calcular uma integral imediata de uma 
função. 
 
Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas. A tabela completa 
é dada no final deste capítulo. 
 
A seguir apresentaremos tabela de integrais. 
 
 (i) dx x C= +∫ . 
(ii) 
1
, 1
1
n
n xx dx C n
n
+
= + ≠ −
+∫ . 
(iii) ln , 0.
dx
x C para x
x
= + >∫ . 
(iv) , 0, 1
ln
x
x aa dx C a a
a
= + > ≠∫ . 
(v) x xe dx e C= +∫ . 
 (vi) 2 2
2 2
1
ln ,
2
dx x a
C x a
x a a x a
−
= + >
− +∫ . 
 
Exemplo 7.8 . O custo fixo de produção da empresa “Sorriso e Esperança” é 
R$8.000,00. O custo marginal é dado pela função 2'( ) 0,03 0,12 5C x x x= + + . 
Determinar a função custo total. 
 
Resolução: Sabemos que o custo marginal '( )C x é a derivada da função custo total 
( )C x . Assim, para encontrarmos ( )C x devemos calcular a integral indefinida da função 
custo marginal, ou seja, 
 
 ( )C x = '( ) C x dx∫ = ( )20,03 0,12 5 x x dx+ +∫ 
 = 20,03 0,12 5 x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫ 
 = 20,03 0,12 5x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫ 
 = 3 2
0,03 0,12
5
3 2
x x x K+ + + . 
Logo, 
( )C x = 3 20,01 0,06 5x x x k+ + + . 
 
Quando a produção for nula, 0x = , o custo fixo será R$8.000,00, ou seja, 
( ) ( ) ( )3 28.000 0,01 0 0,06 0 5 0 k= + + + e 8.000k = . 
 
Portanto, a função custo total é 
3 2( ) 0,01 0,06 5 8.000C x x x x= + + + . 
 5 
 
Exemplo 7.9. Sabendo-se que o custo marginal '( ) 0,08 3C x x= + e que o custo fixo é 
100, CF =100 obtenha a função custo total. 
Resolução. Sabemos que 
( )C x = '( ) C x dx∫ = ( ) 20,08 3 0,04 3x dx x x k+ = + +∫ . 
2( ) 0,04 3C x x x k= + + . 
2(0) 0,040 30 100 100C k k= + + = ⇔ = . 
Logo, 2( ) 0,04 3 100C x x x= + + . 
 
Exemplo 7.10. Sabendo-se que o custo marginal 2'( ) 6 6 20C x x x= − + e o custo fixo é 
400, obtenha. 
a) a função custo total; 
b) o custo médio para 5x = . 
Resolução. 
a) Sabemos que ( )2 3 2( ) '( ) 6 6 20 2 3 20C x C x dx x x dx x x x k= = − + = − + +∫ ∫ . 
3 2( ) 2 3 20C x x x x k= − + + . 
3 2(0) 2 0 3 0 20 0 400 400C k k= × − × + × + = ⇔ = . 
Logo, 3 2( ) 2 3 20 400C x x x x= − + + . 
b) O custo médio (CM) é 
( )
( )
C x
CM x
x
= ,logo, 
 
3 2
22 3 20 400 400( ) 2 3 20
x x x
CM x x x
x x
− + +
= = − + + . 
2 400( ) 2 3 20CM x x x
x
= − + + . Para 5x = , vem 
2 400(5) 2 5 3 5 20 135
5
CM = × − × + + = . 
Portanto, (5) 135CM = . 
 
Exemplo 7.11. Sabendo-se que a receita marginal '( ) 20 2R x x= − , obtenha. 
a) a função receita; 
b) a função receita média. 
Resolução. 
a) Analogamente, tem-se 
( ) 2( ) '( ) 20 2 20R x R x dx x dx x x k= = − = − +∫ ∫ , ou seja 
2( ) 20R x x x k= − + 
b) A receita média (RM) é 
220
( ) 20 , 0.
xx k k
RM x x x
x x
− +
= = − + > 
Logo, ( ) 20 , 0
k
RM x x x
x
= − + > . 
� Exercícios propostos 
 
1) Determinar a função primitiva ( )F x da função ( )f x , onde 
 6 
a) 2( ) 5 7 2f x x x= + + . b) 
5
4( ) f x x
−
= . 
c) 
1
( ) 
 
f x
x x
= . d) 
1
( ) para 1
1
f x x
x
= >
−
. 
e) 4( ) xf x e= . 
 
2) Encontrar uma função primitiva ( )F x da função ( )f x dada, que satisfaça a 
condição inicial dada, onde 
a) 
2
3
1
( ) tal que (1) 
2
f x x x F
−
= + = . 
b) 3( ) tal que (0) 2xf x x x e F= + = . 
 
3) Calcular as integrais 
a) ( ) ( )2 22 2x x dx− × +∫ . b) 
1
3
3 2
2
 
x
dx
x
−
+
∫ . 
c) 
1
-
5 2
2
 2 3
 
x x
dx
x
 
+ + 
  
 
∫ . d) ( )24 x x dx− −∫ . 
e) 
3
1
dx
x∫ . 
Integral definida 
 
A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito também 
muito importante é o de integral. 
 
Existem dois problemas fundamentais em cálculo. O primeiro é encontrar a inclinação 
de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. O conceito 
de derivada está ligado ao problema de traçar a tangente a uma curva. 
 
Agora, você verá que a integral está ligada ao problema de determinar área de uma 
figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em 
torno das quais se desenvolve todo o cálculo. 
 
 
A integral 
 
Nesta subseção daremos a definição da integral que nasceu com a formulação dos 
problemas de áreas e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a integral e a 
derivada, estudada anteriormente, são as duas noções básicas em torno das quais se 
desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia introduzida anteriormente, temos a 
seguinte definição. 
 
 7 
Definição 7.3. Seja ( )f x uma função limitada definida no intervalo fechado [ , ]a b e 
seja P uma partição qualquer de [ , ]a b . A integral de ( )f x no intervalo [ , ]a b , 
denotada por ( ) 
b
a
f x dx∫ , é dada por 
 
 1
( ) lim ( ) . 
b n
i i
n
ia
f x dx f c x
→ + ∞
=
= ∆∑∫ , 
 
desde que o limite do segundo membro exista. 
 
� Na notação ( ) 
b
a
f x dx∫ , ( )f x é chamada função integrando, 
∫ é o símbolo da integral, e os números a e b são 
chamados limites de integração onde a é o limite inferior e 
b é o limite superior da integração. 
� Se ( ) 
b
a
f x dx∫ existe, diz-se que f é integrável em [ , ]a b e 
geometricamente a integral representa a área da região 
limitada pela função ( )f x , às retas e x a x b= = e o eixo 
x , desde que ( ) 0f x ≥ [ ], x a b∀ ∈ . 
 
Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a integral não significa 
necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas 
como volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, trabalho realizado 
por uma força, momentos e centro de massa (ponto de equilíbrio). 
 
A definição acima pode ser ampliada de modo a incluir o caso em que o limite inferior 
seja maior do o limite superior e o caso em que os limites inferior e superior são iguais, 
senão vejamos. 
 
Definição 7.4. Se a b> , então 
( ) 
b
a
f x dx∫ = ( ) 
a
b
f x dx−∫ 
se a integral à direita existir. 
 
Definição 7.5. Se e ( )a b f a= existe, então 
( ) 0
a
a
f x dx =∫ . 
 
Teorema 7.1. Se ( )f x é uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b , então ( )f x é 
integrável em [ , ]a b . 
 
� Propriedades da integral definida 
 
 8 
As propriedades da integral definida não serão demonstradas, pois foge do objetivo do 
nosso curso. 
 
P1 - Se a função ( )f x é integrável no intervalo fechado [ , ]a b e se k é uma constante 
real qualquer, então 
 ( ) ( ) 
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ . 
 
P2 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b , então ( ) ( ) f x g x± é 
integrável em [ , ]a b e 
( )( ) ( ) ( ) ( ) 
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ . 
 
P3 - Se a c b< < e a função ( )f x é integrável em [ , ]a c e em [ , ]c b , então ( )f x é 
integrável em [ , ]a b e 
( ) ( ) ( ) 
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . 
 
P4 - Se a função ( )f x é integrável e se ( ) 0f x ≥ para todo x em [ , ]a b , então 
( ) 0
b
a
f x dx ≥∫ . 
 
P5 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b e ( ) ( )f x g x≥ para todo x 
em [ , ]a b , então 
( ) ( ) 
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ . 
 
P6 - Se ( )f x é uma função integrável em[ ], a b , então ( )f x é integrável em [ ], a b e 
 ( ) ( ) 
b b
a a
f x dx f x dx≤∫ ∫ . 
 
Observação. Calcular uma integral através do limite das Somas de Riemann (definição 
7.3) é geralmente uma tarefa árdua. Por isso nosso próximo objetivo é estabelecer o 
chamado Teorema Fundamental do Cálculo, o qual nos permite calcular muitas 
integrais de forma surpreendentemente fácil! 
 
 
Teorema fundamental do cálculo 
 
Esta subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema 
permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por 
isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de 
uma função ( )f x integrável no intervalo fechado [ , ]a b , podemos calcular a sua 
integral. 
 9 
As considerações acima motivam o teorema a seguir. 
 
Teorema 7.2 (Teorema fundamental do cálculo). Se a função ( )f x é integrável no 
intervalo fechado [ , ]a b e se ( )F x é uma função primitiva de ( )f x neste intervalo, 
então 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ . 
Costuma-se escrever ( )
b
a
F x para indicar ( ) ( )F b F a− . 
 
O Teorema fundamental do cálculo (TFC) não só torna o cálculo de 
integrais mais simples, como também contém em si a relação entre a 
derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema Fundamental 
afirma que o valor da integral, ( ) 
b
a
f x dx∫ , pode ser calculado com o 
auxílio de uma função primitiva F tal que a derivada de F seja 
igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando 
uma primitiva da função integrando. 
 
Exemplo 7.12. Determinar 
2
0
 x dx∫ . 
Resolução: Sabemos que 
2
( )
2
x
F x = é uma primitiva da função ( )f x , pois 
'( ) 2 ( )
2
x
F x x f x= × = = . 
 
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem 
2 22 2
0 00
 ( ) (2) (0) 
2
x
x dx F x F F= = = −∫ 
 = 
2 22 0 4 0
 = = 2 0 = 2
2 2 2 2
− − − . 
Portanto, 
2
0
 2x dx =∫ . 
Exemplo 7.13. Calcular 
( )
3
2
1
4 x dx+∫ . 
Resolução: Aqui, temos 
3
( ) 4
3
x
F x x= + que é uma primitiva de 2( ) 4f x x= + , pois 
2
2'( ) 3 4 1 4 ( )
3
x
F x x f x= × + × = + = . 
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem 
 
 10 
 ( )
3 3 3
2
1
1
4 4 (3) (1)
3
x
x dx x F F
 
+ = + = − 
 
∫ 
 ( )
3 33 1 1
4 3 4 1 9 12 ( 4) 
3 3 3
   
= + × − + × = + − +   
   
 
 
1 12 13 63 13 50
=21 = 21 = 
3 3 3 3
+ − − − = 
 
. 
Portanto, 
( )
3
2
1
50
4
3
x dx+ =∫ . 
Observe que podemos calcular a integral ( )
3
2
1
4x dx+∫ usando as propriedades P1 e P2 
da integral definida e o teorema fundamental do cálculo, o resultado será o mesmo. De 
fato, 
 
 ( )
3 3 3
2 2
1 1 1
4 4 x dx x dx dx+ = +∫ ∫ ∫ 
 = 
3 3 3 3 3
2
1 1
1 1
 4 4 
3
x
x dx dx x+ = +∫ ∫ 
 = ( )
3 33 1 27 1
 + 4 3 1 = + 4 2 
3 3 3 3
   − × − − ×   
  = 
26 26 + 24 50
 + 8 = = 
3 3 3
. 
Assim, 
( )
3
2
1
50
4
3
x dx+ =∫ . 
 
Portanto, usando propriedades da integral definida e o TFC chegamos ao mesmo valor 
no cálculo da integral ( )
3
2
1
4 x dx+∫ que é 
50
3
, você pode usar sempre este fato. 
 
Exemplo 7.14 . O custo ( )C x para produzir a x ésima− TV digital num programa de 
produção diária da fábrica GL é dado por 
50
( )C x
x
= , 200x ≤ . Determinar o custo 
para se produzirem as 100 primeiras TVs. 
 
Resolução: Vamos considerar C o valor exato do custo total de produção das 100 
primeiras TVs, assim 
(1) (2) ... (100)C C C C= + + + . 
 
Esta soma pode ser calculada aplicando o TFC como segue 
 
100
0
( )C C x dx= ∫ = 
100
0
50
dx
x
∫ 
 11 
 = 
100 100 100 1
2
1
0 0 02
1 1
50 50 50dx dx x dx
x
x
−
⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ 
 ( )
1
12 100 100
2
0 0
50 50 2 100 100 0 1000
1
2
x
x= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = . 
 
Portanto, o custo C para produzir as 100 primeiras TVs é de R$1.000,00. 
 
Exemplo 7.15 . O administrador de uma empresa estima que a compra de um certo 
equipamento irá resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos 
custos operacionais dado pela função ( )f x unidades monetárias por ano, quando o 
equipamento estiver em uso por x anos, e ( ) 4.000 1.000f x x= + para 0 10x≤ ≤ . 
Determinar: 
a) a economia em custos operacionais para os cinco primeiros anos; 
b) após quantos anos de uso o equipamento estará pago por si mesmo, se o preço 
de compra é R$36.000,00. 
 
Resolução: A economia obtida nos custos operacionais para os cincos primeiros anos é 
a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + no intervalo 0 10x≤ ≤ , logo, respondendo 
a letra a), vem 
 ( ) ( )
5
5
2
0
0
4.000 1.000 2.000 1.000x dx x x+ = +∫ 
( )2.000 25 1000 5
55.000.
= × + ×
=
 
 
Portanto, a economia nos custos operacionais para os 5 primeiros anos é de 
R$55.000,00. 
 
Vamos agora responder a (letra b). Como o preço de compra do equipamento é 
R$36.000,00, temos que o número de anos requeridos para o equipamento pagar-se por 
si mesmo é n que será a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + de 0 até n , ou 
seja, 
0
( ) 36.000
n
f x dx =∫ . 
Resolvendo a integral acima, vem 
 
( )
0
0
( ) 36.000
4.000 1.000 36.000
n
n
f x dx
x dx
=
⇒ + =
∫
∫
 
⇒ ( )2
0
2.000 1.000 36.000
n
x x+ = 
⇒ 22.000 1.000 36.000n n+ = , 
⇒ 22 36 0n n+ − = . 
 12 
 
Resolvendo a equação 22 36 0n n+ − = pela fórmula de Bhaskara , temos 4n = e 
9
2
n = − . 
 
Portanto, são necessários 4 anos de uso para o equipamento pagar-se por si mesmo. 
 
 
� Exercícios propostos 
 
4) Calcular a integral 
3
0
( )f x dx∫ onde 
7 , 2
 ( )
3, 2
x se x
f x
x se x
− <
= 
+ ≥
. 
 
5) Determinar o valor das seguintes integrais aplicando o Teorema Fundamental do 
Cálculo. 
a) ( )
1
3
0
6 8 x x dx− +∫ . b) 
2
0
 xe d x∫ . 
 
 
 
Integração por substituição 
 
Veremos nesta seção uma técnica utilizada com o objetivo de desenvolver o cálculo de 
integrais indefinidas de funções que possuem primitivas. A esta técnica damos o nome 
de integração por substituição ou mudança de variável. 
 
Suponha que você tem uma função ( )g x e outra função f tal que ( )( )f g x esteja 
definida ( e f g estão definidas em intervalos convenientes). Você quer calcular uma 
integral do tipo 
( )( ) '( ) f g x g x dx×∫ , 
Logo, 
( ) ( )( ) '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C× = +∫ 
 
Fazendo ( ) '( ) '( ) 
du
u g x g x du g x dx
dx
= ⇒ = ⇒ = e substituindo na equação acima, vem 
( ) `( ) ( ) ( ) ( ) . f g x g x dx f u du F u C× = = +∫ ∫ 
Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral indefinida de uma 
função aplicando a técnica da mudança de variável ou substituição. 
 
Exemplo 7.16. Calcular a integral 
( )32 5 2x x dx+ ×∫ . 
 
Resolução: Fazendo a substituição de 
2 5x + por u na integral dada, ou seja, 
2 5u x= + , vem 
 13 
2 5 2 0 2
du
u x x x
dx
= + ⇒ = + = ⇒ 2 du x dx= . 
Agora, vamos em ( )32 5 2 x x dx+ ×∫ , substituímos 2 5x + por u e 2 x dx por du e 
temos 
( )
4
3
2 35 2 
4
u
x x dx u du C+ × = = +∫ ∫ , 
Como 
( )4242 55 
4 4
xu
u x C C
+
= + ⇒ + = + . 
 
Portanto, 
( )32 5 . 2 x x dx+∫ = 
( )42 5
 
4
x
C
+
+ . 
 
Exemplo 7.17. Calcular 
2
3
3
1
x
dx
x+∫ . 
 
Resolução: Fazendo a substituição de 31 x+ por u na integral dada, ou 31u x= + , vem 
3 2 21 0 3 = 3
du
u x x x
dx
= + ⇒ = + ⇒ 2 = 3du x dx . 
Agora, vamos em 
2
3
3 
1
x
dx
x+∫ , substituímos 
31u x= + por u e 23 x dx por du e temos 
2
3
3 
 ln
1
x dx du
u C
x u
= = +
+∫ ∫ . (Pela fórmula (iii) da tabela de integrais). 
Como 
3 31 ln ln 1u x u C x C= + ⇒ + = + + . 
Portanto, 
2
3
3
1
x
dx
x+∫
3ln 1 x C= + + . 
 
� Exercícios propostos 
 
Calcular as seguintes integrais abaixo: 
 
6) 
( )3
4
 
7 5
dx
x−∫ . 7) 2
1
 dx
x∫ . 
8) 
2 42 x x dx−∫ . 9) 
4 5
1
ln
 
t
dt
t∫ . 
10) 
3
2
0
 
1
x
dx
x +
∫ . 
 
 
 14 
 
Integração por partes 
 
Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o método da substituição. 
Mas, existem algumas integrais tais como: ln x dx∫ , xx e dx∫ , 3 cosx x dx∫ , etc. que não 
podem ser resolvidas aplicando o método da substituição. Necessitamos de alguns 
conhecimentos mais. Neste caso, iniciaremos apresentando a técnica de integração por 
partes. 
 
Sejam ( )u x e ( )v x funções diferenciáveis num intervalo ( , )a b . Então podemos 
escrever 
( )uv uv vu′ ′ ′= + , 
ou seja, 
( )vu uv uv′ ′ ′= − . 
 
Integrando os dois membros da igualdade acima, temos 
 
( )
b b b
a a a
vu dv uv dx uv dx′ ′ ′= −∫ ∫ ∫ , 
ou, 
b bb
aa a
vdu uv udv= −∫ ∫ . 
 
E para a integral indefinida tem-se 
 
b bb
aa a
vdu uv udv= −∫ ∫ , 
 
ou simplesmente, 
vdu uv udv= −∫ ∫ . 
 
A expressão acima é conhecida como a fórmula de integração por partes. Quando 
aplicarmos esta fórmula para resolver a integral ( )f x dx∫ , devemos separar o 
integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx , sendo dv . 
Por essa razão o cálculo de integral utilizando a fórmula é chamado integração por 
partes. Para escolher u e dv , devemos lembrar que: 
 
A parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrável; 
v du∫ deve ser mais simples que u dv∫ . 
 
Exemplo 7.18. Calcular a integral 
xx e dx∫ . 
 
Resolução: Sejam u x= e xdv e dx= . Assim, teremos du dx= e xv e= . Aplicando a 
fórmula udv uv v du= −∫ ∫ , obtemos 
 
 15 
.
x x x
x x
x e dx x e e dx
x e e C
= −
= − +
∫ ∫ 
 
Exemplo 7.19. Calcular a integral 
ln .x dx∫ 
Solução. Sejam lnu x= e dv dx= . Assim, teremos 
1
du dx
x
= e .v x= Aplicando a 
fórmula (2), obtemos 
 
1
ln ln
ln .
x dx x x x dx
x
x x x c
= −
= − +
∫ ∫ 
 
� Exercícios propostos 
 
Calcular as seguintes integrais usando o método de integração por partes. 
 
11) ( )21xe x dx+∫ . 12) 2 lnx x dx∫ . 
13) lnx x dx∫ . 14) 
ln x
dx
x∫ . 
15) xx e dx−∫ . 
 
Integrais impróprias 
 
Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo, 
ou seja, se f é uma função contínua em [ , ]a b então existe ( )
b
a
f x dx∫ . Quando f não 
está definida num dos extremos do intervalo [ , ]a b , digamos em a , mas existe( )
b
t
f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , podemos definir ( )
b
a
f x dx∫ como sendo o limite 
lim ( )
b
tt a
f x dx
+→ ∫ quando este limite existe. Para os outros casos a situação é análoga. 
Nestes casos as integrais são conhecidas como integrais impróprias. A seguir 
apresentaremos a definição e o procedimento para calcular integrais impróprias. 
Analisaremos cada caso separado. 
 
(i) Dado : ( , ]f a b R→ , se existe ( )
b
t
f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos 
( ) lim ( ) ,
b b
t a
a t
f x dx f x dx a t b
+→
= < <∫ ∫ , 
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que a integral 
( )
b
a
f x dx∫ não existe, ou não converge. 
Graficamente, 
 16 
 
y
y=f x( )
a b
x
 
 
(ii) Dado :[ , )f a b R→ , se existe ( )
t
a
f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos 
( ) lim ( ) ,
b t
t b
a a
f x dx f x dx a t b
−→
= < <∫ ∫ , 
 
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que ( )
b
a
f x dx∫ não 
existe, ou não converge. 
 
Graficamente, 
 
y
y=f x( )
a b x
 
 
(iii) Dado : ( , )f a b R→ , escrevemos 
 
( ) ( ) ( ) ,
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ , 
 
quando as duas integrais do 2o membro existem. 
 
 17 
As integrais do segundo membro foram definidas em (i) e (ii) respectivamente. 
 
(iv) Quando : [ , ]f a b → � é descontínua em algum ( , )c a b∈ e não existe algum 
limite lateral perto de c , então escrevemos 
 
( ) ( ) ( ) ,
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ , 
 
sempre que as integrais do 2o membro existam. 
 
As integrais do segundo membro foram definidas em (ii) e (i) respectivamente. 
 
Quando uma integral imprópria existe, ou seja, o limite envolvido tem valor finito, 
dizemos que ela é convergente caso contrário é divergente. 
 
Exemplo 7.20. Calcular, se existir 
1
0 1
dx
x−∫ . 
Resolução: Observemos que a função ( )
1
dx
f x
x
=
−
 não está definida no ponto 1.x = 
Neste caso calculamos o limite, usando (ii) 
 
1
2
1 1
0 0
lim lim (1 )
1
t t
t t
dx
x dx
x
− −
−
→ →
= −
−∫ ∫ 
 
Fazendo 1u x du dx= − ⇒ = − , pelo método de substituição, vem 
 
1 1
1/ 22 2(1 ) 2x dx u du u
− −
− = − = −∫ ∫ , 
ou seja, 
1/ 2 1/ 2
0
0
(1 ) 2(1 )
t
t
x dx x−− = − −∫ 
 1/ 22 (1 ) 1t = − − −  . 
Logo, 
1/ 2
1 1
0
lim lim 2 (1 ) 1
1
t
t t
dx
t
x
− −→ →
 = − − − −∫ 
 2[0 1] 2= − − = 
 
Portanto, a integral converge e temos 
 
1
0
2
1
dx
x
=
−∫ . 
 
Exemplo 7.21. Calcular se existir 
 18 
1
2
0
1
dx
x∫ 
Resolução. Observemos que a função 
2
1
( )f x
x
= não está definida no ponto 0.x = 
Neste caso, calculamos o limite, usando (i) 
 
1
2
0
lim
t
t
dx
x+→ ∫
1
1
0
lim
1t
t
x
+
−
→
=
−
 
 
0
1
lim 1
t t+→
 = − + 
 
 
 = ∞ . 
Portanto, a integral 
1
2
0
dx
x∫ diverge ou não existe. 
 
Exemplo 7.22. Determinar, se existir, 
4
0
2
dx
x −∫ . 
Resolução: Observemos que 
1
( )
2
f x
x
=
−
 não é contínua em 2.x = Assim, 
 
4 2 4
0 0 2
2 2 2
dx dx dx
x x x
= +
− − −∫ ∫ ∫ , 
 
se as integrais do segundo membro convergirem. 
 
4
2 2
0
lim lim
2 2
t
t t
t
dx dx
x x− +→ →
+
− −∫ ∫ 
4
02 2
lim ln 2 lim ln 2
t
tt t
x x
− +→ →
= − + − 
( ) ( )
2 2
lim ln 2 ln 2 lim ln 2 ln 2
t t
t t
− +→ →
= − − − + − − . 
 
Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado ∞ , logo podemos 
concluir que a integral proposta não existe, ou seja, a integral é divergente. 
 
� Exercícios propostos 
 
Calcular, se existirem, as seguintes integrais impróprias, indicar se converge ou diverge. 
16) 
x
e dx
∞
−
−∞
∫ . 17) 
1
0
lnx x dx∫ . 
18) 
3
2
0 9
dx
x−
∫ . 19) 
1
2
1
dy
y−
∫ . 
 
 19 
 
Aplicações 
 
Nesta seção abordaremos algumas aplicações importantes da integral definida. 
Principalmente cálculo de área de uma região plana e fechada e também calcular 
comprimento de arco dado no plano. 
 
Cálculo de área 
 
Vamos considerar sempre a região que está entre os gráficos de duas funções. 
Suponhamos então que ( )f x e ( )g x sejam funções contínuas no intervalo 
fechado [ ], a b e que ( ) ( )f x g x≥ para todo x em [ ], a b . Então a área da região 
limitada acima por ( )y f x= , abaixo por ( )y g x= à esquerda pela reta x a= e à direita 
pela reta x b= , conforme ilustra a figura abaixo, é 
 
( )( ) ( ) 
b
a
A f x g x dx= −∫ . 
0
y
x
f(x)
g(x)
a b
A
[ ]
 
 
Quando a região não for tão simples como a da figura 8.1, é necessária uma reflexão 
cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integração. Segue abaixo um 
procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os 
seguintes passos. 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 1. Você faz o gráfico da região para determinar qual curva 
limita acima e qual limita abaixo. 
 
Passo 2. Você determina os limites de integração. Os limites a e b 
serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas 
( )y f x= e ( )y g x= . Para tanto iguala-se ( )f x e ( )g x , ou 
 20 
seja, faz ( ) ( )f x g x= e resolve-se a equação resultante em 
relação a x. 
 
Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
Observação. Consideremos agora a área da figura plana limitada pelo gráfico 
de ( )f x , pelas retas e x a x b= = e o eixo x, onde ( )f x é uma função contínua sendo 
( ) 0f x ≤ , para todo x em [ ], a b , conforme figura abaixo. 
 
0
y
x
f x( )
a b
A
 
 
O cálculo da área A é dado por 
 ( ) 
b
a
A f x dx= ∫ , 
ou seja, basta você calcular a integral definida e considerar o módulo ou valor 
absoluto da integral definida encontrada. 
 
Exemplo 7.23. Determinar a área da região limitada entre as curvas: 
 
2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = . 
 
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os 
seguintes passos. 
 
Passo 1. Esboço da região 
-2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
10
x
y
 
 21 
 
 
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazemos ( ) ( )f x g x= , isto é, 
2 26 ou 6,x x x x+ = = + que fornece 2 6 0x x− − = . Pela fórmula de Bhaskara 
encontramos as raízes da equação acima, 2 e 3x x= − = , que serão os limites de 
integração. Observe pelo gráfico acima, que 26x x+ ≥ , para todo x em [ ]2, 3− . 
 
Passo 3. Calculando a área da região limitada por ( ) 6y f x x= = + e 2 ( )y g x x= = em 
[ ]2, 3− temos 
 
( )( ) ( ) 
b
a
A f x g x dx= −∫ 
 = ( ) ( )
3 3
2 2
2 2
 6 6 x x dx x x dx
− −
 + − = + − ∫ ∫ 
 = 
3
2 3
2
6
2 3
x x
x
−
 
+ − 
 
 = 
2 3 2 33 3 ( 2) ( 2)
6 3 6 ( 2)
2 3 2 3
   − −
+ × − − + × − −   
   
 
 = 29 4 8 + 18 3 12 
2 2 3
−   − − − −   
   
 = 
9 8
 + 18 9 2 12 + 
2 3
   − − −   
   
 
 = 9 8 9 18 30 89 10
2 3 2 3
+ − +       + − − + = −       
       
 
 =
27 22 27 22
2 3 2 3
−
− = + = 81 + 44 125
6 6
= u.a. 
 
Portanto, a área limitada por 2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = em [ ]2, 3− é 125 
6
 
unidades de área. 
 
Exemplo 7.24. Determinar a área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as 
retas1 e 3x x= = . 
 
Resolução. Temos os seguintes passos. 
 
Passo 1. Esboço da região. 
 22 
1 1,5 2 2,5 3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
 
 
 
 
Passo 2. Os limites de integração são 1 e 3a b= = . 
 
Passo 3. A área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= = 
será 
( )
3
3 3 2
2
1 1
5 5 
3 2
x x
A x x dx
 
= − = − × 
 
∫ 
 = 
3 2 3 23 3 1 1
5 5
3 2 3 2
   
− × − − ×   
   
 
 = 
27 9 1 1
5 5 
3 2 3 2
   − × − − ×   
   
 
 = 
45 1 5 18 45 2 15
9
2 3 2 2 6
− −       − − − = −       
       
 
 = 
27 13 27 13
2 6 2 6
− − −   − = +   
   
 
 = 
81 + 13 68 34 34
6 6 3 3
− − −
= = = u.a. 
 
Portanto, a área limitada pela curva 
2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= = 
é 
34
 
3
unidades de área. 
 
� Exercícios propostos 
 
20) Determinar a área da região limitada por 2( ) e ( )y f x x y g x x x= = = = − . 
21) Determinar a área da região limitada por ( ) 1y f x x= = − + , o eixo x e as retas 
2 e 0x x= − = . 
22) Determinar a área da região limitada por 2( )y f x x= = e ( )y g x= 2 4x x= − + 
 23 
23) Calcular a área da região limitada por 
1
( )y f x
x
= = , o eixo x e as retas 
1 e 4x x= = . 
 
 
Comprimento de arco 
 
A seguir apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas 
cartesianas. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b . Consideremos o 
gráfico da função ( )y f x= . 
 
y
y=f x( )
A ( ( ))= a,f a
B ( ( ))= b,f b
a b x
 
 
Sejam ( ), ( )A a f a e ( , ( ))B b f b dois pontos na curva ( )y f x= . Seja s o comprimento 
da curva �AB do gráfico da função ( )y f x= . Então s é dado por 
( )21 '( )
b
a
s f x dx= +∫ . 
Exemplo 7.20. Determinar o comprimento de arco da curva 1
2
x
y = + , 0 3x≤ ≤ . 
Resolução. Temos, 
1
1 '
2 2
x
y y= + ⇒ = . 
Logo, 
( )2
3
0
3
3
0
0
1 '( )
1
1
4
5 5 3
5.
4 4 2
b
a
s f x dx
dx
dx x
= +
= +
= = =
∫
∫
∫
 
 
Portanto, o comprimento de ( ) 1
2
x
f x = + , para 0 3x≤ ≤ é dada por 
3
5
2
s = u.c. 
 
� Exercícios propostos 
 
 24 
Determine o comprimento das curvas dadas por: 
24) 
2 1
ln , 2 4
2 4
x
y x x= − ≤ ≤ . 25) 3/ 2y x= de 0x = a 4x = . 
26) ( )2ln 1y x= − de 1
4
x = a 
3
4
x = . 27) 4
2
1 1
4 8
y x
x
= + de 1x = a 2x = . 
28) ( )1
2
x xy e e−= + de 0x = a 1x = . 
 
� Respostas1) a) 
3 25 7( ) 2 + 
3 2
F x x x x K= − + . 
b) 
1
4( ) 4 F x x K
−
= − + . 
c) 
1
2( ) 2 F x x K
−
= − + . 
 d) ( ) ln ( 1)F x x K= − + . 
e) 
4 
( )
4
xe
F x K= + . 
2) a) 
1 2
3( ) 3 
2
x
F x x K= + + e 3K = − . 
b) 
7
3
3
( ) 
7
xF x x e K= + + e 1k = . 
3) a) 
5
38 16
5 3
x
x x C− + + . 
b) 
1
3ln 6 x x C+ + . 
c) 
4
3
2
4 3
 
4
3 
x
C
x
x
− − + . 
d) 
2 3
4
2 3
x x
x C− − + . 
e) 
2
1
2
C
x
− + . 
4) 
31
2
. 
5) a) 
21
4
; 
b) 2 1e − . 
6) 
( )2
4
7 -5
C
x
+ . 
7) 
1
 C
x
−
+ . 
8) ( )
3
2 2
1
 1
6
x C
−
− + . 
9) ( )25 ln 4
2
× . 
 25 
10) 10 1− . 
11) 2x xe x e C+ + . 
12) 
3
31 ln
3 9
x
x x C− + . 
13) 
3/ 2
3/ 22 4ln
3 9
x
x x C− + . 
14) ( )21 ln
2
x C+ . 
15) x xx e e C− −− − + . 
16) 2 . 
17) 
1
4
− . 
18) 
2
pi
. 
19) ∞ . 
20) 
4
 
3
unidades de área. 
21) 4 unidades de área. 
22) 
8
3
 unidades de área. 
23) 2 unidades de área. 
24) 
1
6+ ln2 6,173
4
= u.c. 
25) 
21 1
ln
5 2
  − 
 
u.c. 
26) 
123
32
 u.c. 
27) 
1
ln 2 ln 2 2 ln 2 3
2
− + + + u.c. 
28) ( )21 1
2
e
e
− u.c