1 Análise das tensões e deformações

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1. ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Prof° Dr. Fernando Montanare Barbosa
email: montanare@gmail.com
Transformação de tensão no estado plano de tensões
Simplificado
Plano x-y
O estado plano de tensões é representado unicamente pelos três componentes que atuam em um elemento que tenha orientação específica naquele ponto
Tensão normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva atua para cima na face direita do elemento
Equações gerais de transformação de tensão para o estado plano
Equações gerais de transformação de tensão para o estado plano
USANDO:
CHEGA-SE A:
PARA y: θ = θ + 90°: 
Equações gerais de transformação de tensão para o estado plano
Exemplo 9.2 O estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado na figura. Determinar o estado plano de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30° no sentido horário em relação à posição mostrada
Equações gerais de transformação de tensão para o estado plano
Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano
 um ponto de máximo é onde a derivada é zero:
Planos de tensão normal máxima e mínima
2 soluções
Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano
Nenhuma tensão de cisalhamento atua nos planos principais
substituir
Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano
 Tensão de cisalhamento máxima
 um ponto de máximo é onde a derivada é zero:
 derivando a equação:
 chega-se a:
Fica a 45° da tensão principal
Substituindo (2) em (1), temos:
(1)
(2)
Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano
problema 9.13 O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determinar (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especificar a orientação do elemento em cada ponto.
Tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano
Problema 9.22 A viga de madeira está sujeita a uma carga de 12 kN. Determinar as tensões principais no ponto A
Círculo de Mohr
 Solução gráfica do estado plano de tensões
Círculo de Mohr
Considerando a figura abaixo, que representa um elemento infinitesimal, após uma análise de tensões, do ponto mais crítico de uma estrutura utilizada na construção de um emissário submarino.
Se a tensão principal máxima, σI, vale 80 MPa, então a tensão principal mínima, σII, e a máxima tensão cisalhante, em MPa, são, respectivamente, iguais a?
Círculo de Mohr
Problema O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 N.m e uma força de compressão axial de 2 kN. Determinar as tensões principais, média, cisalhante máxima. 
Teorias de falhas
 Estado de tensão uniaxial
 dúctil: tensão de escoamento
 frágil: falha
 Estado de tensão multiaxial: teorias da falha (baseiam-se nas tensões principais)
 
 Materiais dúcteis
 . Teoria da tensão de cisalhamento máxima
 . Teoria da energia de distorção máxima
 Materiais frágeis
 . Teoria da tensão normal máxima
 . Critério de falha de Mohr
Teorias de falhas
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
 Origem molecular da dutilidade em monocristais
Deformação plástica ocorre por dois distintos mecanismos: Escorregamento (slip) e maclação (twinning)
Plano de escorregamento = superfície na qual o escorregamento ocorre
Direção de escorregamento = direção do movimento de escorregamento
Maclação = processo no qual os átomos sujeitos a tensões se rearranjam de maneira que uma parte do cristal torna-se uma imagem da outra.
Teorias de falhas
 Processo da deformação plástica
Uma das principais falha foi não ter levado em consideração as imperfeições cristalinas
Aresta ou cunha
Parafuso
Mista
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Teorias de falhas
O processo pelo qual ocorre a deformação plástica é chamado de DESLIZAMENTO
 Processo da deformação plástica
O movimento da discordância aresta pode mover-se por escorregamento somente no plano de escorregamento
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Teorias de falhas
 Processo da deformação plástica
Além da densidade de discordâncias, a orientação da discordância é fator importante na determinação da cr por deformação plástica
Discordância não move com a mesma facilidade em todas as direções cristalográfica
 A direção preferencial depende do tipo de estrutura cristalográfica
FCC  plano (111) , direção [110]
 Cada plano de escorregamento pode conter mais de uma direção de escorregamento
 Sistema de escorregamento = combinação de plano e direção
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Teorias de falhas
 Processo da deformação plástica
BCC possuem alto no. de sistemas de escorregamentos
Deformação plástica extensa
Altamente dúteis
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Teorias de falhas
 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ou critério de escoamento de Tresca
Para evitar falha:
menor ou igual a
Teorias de falhas
 TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA
 Usa-se a energia de deformação no regime elástico (resiliência)
Se a equação for aplicada nas três dimensões:
+
=
Teorias de falhas
 TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA
“ O corre escoamento em um material dúctil quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração simples” M. Huber, 1904
Portanto, distorção por unidade de volume:
Estado plano de tensões:
Teorias de falhas
Teste de tração uniaxial
 TEORIA DA ENERGIDA DE DISTORÇÃO MÁXIMA
Teorias de falhas
 FRATURA FRÁGIL
Marcas de sargento: em V
Nervuras em forma de leque
PEÇAS DE AÇO
VIDROS E CERÂMICOS: superfície brilhante e lisa
Superfície granulada
 TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA
Teorias de falhas
 TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA
“ Um material frágil falha quando a tensão principal máxima σ1 atinge um valor-limite igual ao limite de resistência que o material suporta quando submetido a tração simples”
Teorias de falhas
 CRITÉRIO DE FALHA DE MOHR
 usa-se quando há diferenças entre tração e compressão
 são feitos testes de tração, compressão e torção
Teorias de falhas
Problema 10.75 Uma barra com área de seção transversal circular é feita de aço carbono SAE 1045, cujo limite de escoamento é 150 ksi. Se a barra for submetida a um torque de 30 kip. pol, a um momento fletor de 56 kip. pol, qual diâmetro ele precisará ter de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Usar um fator de segurança 2.
Teorias de falhas
Problema 10.97 O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 N.m e uma força de compressão axial de 2 kN. Determinar se ele falhará de acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência do concreto é 28 MPa.