Gravitação - Física 2

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Prof. Dr. Yuri V. B. de Santana 
Sumário 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
2 10:58 
Objetivos 
3 
Como calcular a força gravitacional que dois corpos quaisquer exercem uns sobre os 
outro; 
 
 Como Relacionar o peso de um objeto, com a expressão geral da força gravitacional; 
 
 Como usar e interpretar a expressão generalizada de energia potencial gravitacional; 
 
 Como relacionar velocidade, período orbital energia mecânica de um satélite em uma 
órbita circular; 
 
As leis que descrevem movimentos de planetas, e como trabalhar com essas leis; 
 
 O que são buracos negros, como calcular suas propriedades, e como eles são 
descobertos; 
 
10:58 
https://phet.colorado.edu 
Introdução 
Os anéis de Saturno são compostos de inúmeras partículas individuais orbitando. Todas 
as partículas do anel orbitam à mesma velocidade ou as partículas de dentro são mais 
rápidas ou mais lentas do que as de fora? 
10:58 4 
Introdução 
•Por que não a lua cai na terra? 
 
•Por que os planetas se movem pelo céu? 
 
•Por que a terra não voa para o espaço ao invés de permanecer 
em órbita ao redor do Sol? 
 
•Por que a Terra é redonda? 
Algumas das primeiras investigações em Física, começaram com essas perguntas, que as 
pessoas faziam enquanto observavam o céu. 
• O estudo da gravitação fornece as respostas para estas e muitas perguntas relacionadas. 
• A gravitação é uma das quatro classes de interações encontradas na natureza, e é a mais antiga dos 
quatro a ser estudado extensivamente. 
• Newton descobriu no século 17 que a mesma interação que faz uma maçã cair de uma árvore também 
mantém os planetas em suas órbitas em torno do sol. Inicio da Mecânica Celeste. 
• Hoje, o nosso conhecimento da mecânica celeste nos permite determinar como colocar um satélite em 
qualquer órbita desejada em torno da Terra ou para escolher apenas a trajetória correta para enviar uma 
nave espacial para outro planeta. 
10:58 5 
Sumário 
6 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
10:58 
A Lei de Gravitação de Newton 
7 10:58 
• Newton descobriu uma lei da gravitação que oferece o caráter fundamental da 
atração gravitacional entre dois corpos de qualquer natureza: 
 
Cada partícula do universo atrai qualquer outra partícula com uma força diretamente 
proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre as partículas. 
(01) 
A Lei de Gravitação de Newton 
8 10:58 
• Forças gravitacionais entre duas partículas de massas m1 e m2 : 
A Lei de Gravitação de Newton 
9 10:58 
m1 
m2 
m3 
m4 
m5 
m6 
Gravitação e corpos de simetria esférica 
Assim, se modelarmos a Terra como um corpo 
simetricamente esférico com massa mT a força que ela 
exerce sobre uma partícula ou um corpo com simetria 
esférica de massa m, a uma distância r entre os centros, é: 
2r
mGm
F
T
g 
(02) 
Considerando o corpo esteja fora da Terra. 
10:58 10 
• O efeito gravitacional na parte externa de qualquer distribuição de massa com 
simetria esférica é o mesmo efeito produzido supondo-se que a massa total da 
esfera esteja reunida em seu centro: 
Gravitação e corpos simetricamente esféricos 
Em pontos no interior da terra, a situação é diferente. Se pudéssemos fazer um buraco para 
o centro da terra e medir a força gravitacional sobre um corpo em várias profundidades, 
descobriríamos que: em direção ao centro da terra a força diminui, em vez de aumentar 
a medida que o corpo entra no interior da Terra (ou outro corpo esférico). 
Exatamente no centro, a força gravitacional da Terra sobre o corpo é zero. 
10:58 11 
Gravitação e corpos simetricamente esféricos 
 Corpos esfericamente simétricos são um caso 
importante porque luas, planetas, e todas as estrelas 
tendem a ser esféricos. 
 Uma vez que todas as partículas num corpo atraem-
se mutuamente gravitacionalmente, as partículas 
tendem a mover-se para minimizar a distância entre 
eles. 
 Como resultado, o corpo naturalmente tende a 
assumir uma forma esférica, tal como o barro forma 
uma esfera se você apertá-lo com forças iguais em 
todos os lados. 
 Este efeito é muito reduzido em corpos celestes de 
massa baixa, uma vez que a atração gravitacional é 
menor, e estes organismos tendem a não ser esféricos. 
10:58 12 
Por que estamos falando de corpos esféricos?? 
Determinando o valor de G 
Para determinar o valor da constante gravitacional G, devemos medir a força gravitacional entre dois 
corpos de massas conhecidas m1 e m2 separados por uma distância r 
conhecida. Essa força é extremamente pequena para corpos existentes em laboratórios, mas ela pode ser 
medida com um instrumento denominado balança de torção, usado em 1798 por Henry Cavendish para 
determinar o valor de G. 
Depois de calibrar a balança de Cavendish, podemos medir forças gravitacionais e, 
assim, determinar G. O valor atualmente aceito é: 
G = 6,67428 x 10-11 N.m2/Kg2. 10:58 13 
Sumário 
14 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
10:58 
Peso 
Em física I, o peso de um corpo foi definido como a força de atração gravitacional exercida 
sobre ele pela Terra. Podemos agora ampliar nossa definição: 
O Peso de um corpo é a força de atração gravitacional total exercida sobre um corpo por 
todos os outro corpos no universo. 
 Quando o corpo está perto da superfície da terra, podemos negligenciar todas as 
outras forças gravitacionais e considerar o peso como apenas atração gravitacional da Terra. 
 
 Se voltarmos a modelar a Terra como um corpo esfericamente simétrico com raio 
RT e de massa mT o peso w de um pequeno corpo de massa m na superfície da terra (a uma 
distância RT do seu centro) é: 
(03) 
10:58 15 
Peso 
Em um ponto acima da superfície da terra a uma distância r desde o centro da terra, o peso 
de um corpo é dado pela Eq. (03) substituindo RT por r: 
O peso de um corpo diminui 
inversamente com o 
quadrado da sua distância a 
partir do Centro da Terra. A 
figura mostra como o peso 
varia com a altura acima da 
terra por um astronauta que 
pesa 700 N na superfície da 
terra. 
2r
mGm
Fp Tg 
(04) 
10:58 16 
Sumário 
17 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
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Energia Potencial Gravitacional 
Quando a energia potencial gravitacional foi introduzido pela primeira vez (Física I) foi 
assumido que a força gravitacional sobre um corpo é constante em magnitude e 
direção (F=mg). Isto levou à expressão U = mgh. 
Mas a força gravitacional da Terra em um corpo de massa m em qualquer ponto fora da terra 
é dada de forma mais geral por Fg= GmEm/r
2 Eq. (02). Para problemas onde r muda o 
suficiente para que a forçagravitacional não possa ser considerada constante, precisamos de 
uma expressão mais geral para a energia potencial gravitacional. 
10:58 18 
Energia Potencial Gravitacional 
Para encontrar essa expressão, consideramos um corpo de massa m fora da terra e calculamos o 
trabalho realizado pela força da gravidade Wgrav quando o corpo se move ao longo de uma reta 
que o une ao centro da Terra, movendo-se diretamente para cima ou para baixo, como na Fig., 
desde o ponto r = r1 até o ponto r = r2. 
10:58 19 
Energia Potencial Gravitacional 
r
mGm
U T
(Energia potencial gravitacional) (09) 
A figura mostra como a energia potencial 
gravitacional depende da distância r entre o corpo 
de massa m e o centro da terra. 
 Quando o corpo afasta-se da terra, r aumenta, 
a força da gravidade faz trabalho negativo, e U 
aumenta (isto é, torna-se menos negativo). 
 Quando o corpo "cai” para a terra, r diminui, 
o trabalho gravitacional é positivo, e a energia 
potencial diminui (isto é, se torna mais negativo). 
Ao definir a eq. (09) escolhemos U = 0 para r = ∞ 
10:58 20 
Energia Potencial Gravitacional 
De posse da Eq. (09), podemos agora usar relações energéticas gerais para problemas em que o 
comportamento de 1/r2 da força gravitacional da Terra tem de ser incluídas. 
 
Se a força gravitacional sobre o corpo é a única força que faz o trabalho, a energia 
mecânica total do sistema é constante, ou conservada. 
10:58 21 
Sumário 
22 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
10:58 
Movimento de Satélites 
Satélites artificiais orbitando a Terra são uma parte familiar da 
tecnologia moderna. Mas como eles ficam em órbita, e o que 
determina a propriedade de suas órbitas? Podemos usar a 2ª 
Lei de Newton e a lei da gravitação para obter as respostas. Na 
próxima seção veremos que o movimento dos planetas podem 
ser analisados da mesma forma. 
Para começar, vamos voltar a discussão do 
movimento de projéteis. 
10:58 23 
Movimento de Satélites 
A figura mostra trajetórias de um projétil lançado de uma 
grande altura de A para B. 
As trajetórias de 1 a 7 mostram o efeito de aumentar a 
velocidade inicial. 
 Nas trajetórias de 3 a 5 o projétil não volta ao solo e 
se torna um satélite. Se não houver nenhuma força 
retardadora, a velocidade do projétil quando ele retorna 
para o ponto A é a mesma que a sua velocidade inicial e 
ele repete o seu movimento por tempo indeterminado. 
 Trajetórias de 1 a 5 se fecham sobre si mesmas e são 
chamadas de órbitas fechadas. Todas as órbitas 
fechadas ou são elipses ou segmentos de elipses; a 
trajetória 4 é uma circunferência que é uma caso 
particular de uma elipse. 
As trajetórias 6 e 7 denominam-se órbitas abertas. 
Para essas trajetórias o corpo não retorna ao ponto A e 
afasta-se da Terra para sempre. 
10:58 24 
Movimento de Satélites: Órbitas Circulares 
Uma órbita circular, como trajetória 4, é o caso mais simples. Também é um caso importante, 
uma vez que muitos satélites artificiais têm órbitas quase circulares e as órbitas dos planetas ao 
redor do sol também são quase circular. 
A única força que atua sobre um satélite em órbita circular ao redor da Terra é a atração 
gravitacional da Terra, que é dirigido para o centro da terra e, portanto, em direção ao centro do 
órbita (Fig.). 
Como foi visto, isto significa que o satélite está 
em movimento circular uniforme e sua 
velocidade é constante. 
O satélite não está caindo verticalmente para a 
terra; em vez disso, ele está constantemente 
caindo tangencialmente em torno da Terra, e 
sua velocidade tangencial na órbita circular é 
exatamente suficiente para manter constate sua 
distância ao centro ad Terra. 
10:58 25 
Movimento de Satélites: Órbitas Circulares 
10:58 26 
Movimento de Satélites: Órbitas Circulares 
10:58 27 
Movimento de Satélites: Órbitas Circulares 
Um astronauta a bordo de um ônibus espacial é ele mesmo um satélite da Terra, mantido 
pela atração gravitacional da Terra na mesma órbita da nave. O astronauta tem a mesma 
velocidade e aceleração da nave, então nada está empurrando-o contra o chão ou paredes 
da nave. Ele está em um estado de leveza aparente (estado de imponderabilidade), como 
em um elevador em queda livre, realmente cada parte de seu corpo é aparentemente sem 
peso; ela não sente nada empurrando sua barriga contra seus intestinos ou a cabeça contra 
seus ombros (Fig). (real ausência de peso poderia ocorrer apenas se o astronauta estivesse 
infinitamente longe de quaisquer outras massas, de modo que a força gravitacional sobre 
ela seria zero). 
Leveza aparente não é apenas uma 
característica de órbitas circulares; ela ocorre 
sempre que a gravidade é a única força 
atuando em uma nave espacial. Por isso, 
ocorre para órbitas de qualquer forma, 
incluindo órbitas abertas, como trajetórias 6 e 
7. 
10:58 28 
Sumário 
29 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
10:58 
Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 
I. Cada planeta se move em uma trajetória elíptica com o sol em um dos focos; 
 
II. Uma linha que liga o sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos iguais; 
 
III. O período de um planeta é proporcional a potência de 3/2 do comprimento do eixo maior da 
elipse descrita pelo respectivo planeta. 
Kepler não sabia por que os planetas se moviam dessa maneira. Três gerações depois, quando Newton 
voltou sua atenção para o movimento dos planetas, ele descobriu que cada uma das leis de Kepler 
podem ser deduzidas; elas são consequências das leis de movimento e da gravitação de Newton. 
Vamos ver como cada uma das leis de Kepler surge. 
10:58 30 
Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 
I. Cada planeta se move em uma trajetória elíptica com o sol em um dos focos; 
• Newton foi capaz de mostrar que, quando uma 
força proporcional a 1/r2 atua sobre um corpo, 
às únicas órbitas fechadas possíveis são de um 
círculo ou de uma elipse; ele também mostrou 
que as órbitas abertas devem ser parábolas ou 
hipérboles. 
 
• Estes resultados podem ser obtidos por uma 
aplicação direta das leis de Newton e a lei da 
gravitação, juntamente com algumas equações 
diferenciais que ainda não estamos prontos para 
resolver. 
10:58 31 
Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 
II. Uma linha que liga o sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos 
iguais; 
10:58 32 
r
Gm
v 
(10) 
Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 
III. O período de um planeta é proporcional a potência de 3/2 do comprimento do eixo 
maior da elipse descrita pelo respectivo planeta. 
TGm
r
T
232
 (12) 
SGm
a
T
232

(órbita elíptica ao redor do sol) (17) 
10:58 33 
Movimentos Planetários e o Centro de Massa 
Notavelmente, os astrônomos usaram este efeito para detectar a presença de planetas que orbitam outras 
estrelas. Telescópios sensíveis são capazes de detectar a "oscilação” aparente de uma estrela conforme ela 
orbita o centro de massa comum da estrela e um planeta “invisível”. Ao analisar essas "oscilações", os 
astrônomos descobriram planetas que orbitam em torno de centenas de outras estrelas.10:58 34 
• Uma estrela e seu planeta orbitam ao redor de seu centro de massa comum: 
Sumário 
35 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra; 
 
• Buracos Negros; 
10:58 
Distribuição de Massa Esférica 
No inicio da aula, foi afirmado sem provas, que a interação gravitacional entre duas 
distribuições de massa esfericamente simétrica é a mesma como se toda a massa de cada 
fosse concentrada no seu centro. Agora estamos prontos para provar essa afirmação. 
Newton procurou uma prova por vários anos, e ele adiou a publicação da lei da gravitação, 
até encontrar uma. 
 Para começar vamos resolver o problema mais simples de um ponto de massa m 
interagindo com uma casca esférica fina com massa total M. Vamos mostrar que 
quando m está fora da esfera, a energia potencial associada com esta interação 
gravitacional é a mesma obtida considerando-se que toda a massa M estivesse 
concentrada no centro da esfera. Sabemos que a força é a derivada negativa da energia 
potencial de modo que a força sobre m é também a mesma supondo-se que a massa M 
esteja concentrada no centro da esfera. 
 
 Qualquer distribuição de massa com simetria esférica pode ser pensado como sendo 
composto por muitas cascas esféricas concêntricas, assim nosso resultado será válido para 
qualquer distribuição de massa de simetria esférica. 
10:58 36 
Distribuição de Massa Esférica 
Um ponto de massa fora de uma casca esférica. 
10:58 37 
Distribuição de Massa Esférica 
Um ponto de massa dentro de uma casca esférica. 
10:58 38 
• Quando uma massa pontual m está no 
interior de uma casca esférica de massa M, 
a energia potencial é sempre a mesma, 
qualquer que seja o ponto onde se 
encontra a massa pontual no interior da 
casca esférica. 
• A interação gravitacional mútua resultante 
das massas é igual a zero. 
Sumário 
39 
• Lei da Gravitação de Newton; 
 
•Peso; 
 
• Energia Potencial Gravitacional 
 
•Movimento de Satélites 
 
• Lei de Kepler e o movimento de Planetas; 
 
• Distribuição Esférica de Massa; 
 
• Peso Aparente e a Rotação da Terra;* 
 
• Buracos Negros;* 
10:58 
Peso Aparente e a Rotação da Terra 
 Porque a Terra gira sobre seu eixo, ela não é precisamente um referencial inercial. 
Por esta razão, o peso aparente de um corpo (ω) na terra não é precisamente igual a 
atração gravitacional da Terra, que vamos chamar o peso real do corpo ω0. 
11:21 40 
𝜔 = 𝜔0 −
𝑚𝑣2
𝑅𝑇
 
𝑔 = 𝑔0 −
𝑣2
𝑅𝑇
 
Se a Terra não rotaciona-se o corpo 
cairia com aceleração g0=ω0/m. 
Como está girando a real aceleração 
relativa para o observador no 
equador é g=ω/m: 
Peso Aparente e a Rotação da Terra 
A diferença entre as grandezas g0 e g 
e situa-se entre zero e 0,0339 m/s2 
.Como mostrado na Fig. a direção do 
peso aparente difere do direção do 
centro da Terra por um pequeno 
ângulo β, que é igual ou inferior a 
0,1°. 
11:17 41 
Buraco Negro 
O conceito de buraco negro é um dos mais interessantes produtos da teoria da gravitação da 
física moderna, embora a idéia fundamental possa ser entendida com base nos princípios da 
mecânica newtoniana: 
11:17 42 
Questões 
43 10:58 
(1) Um estudante escreveu: “A única razão pela qual a maçã cai no sentido da Terra em vez de a Terra 
subir no sentido da maçã é que a massa da Terra é muito maior do que a massa da maçã e, portanto, 
ela exerce uma atração muito maior”. Por favor, comente. 
 
(2) Se todos os planetas tivessem a mesma densidade média, como a aceleração da gravidade na 
superfície de um planeta dependeria do seu raio? 
 
(3) Cem gramas de manteiga na Terra possuem a mesma quantidade de manteiga que cem gramas de 
manteiga em Marte? O que você diria sobre um quilograma de manteiga? Explique. 
 
(4) Quando a atração gravitacional entre você e o Sol é maior: ao meio-dia ou à meia-noite? Explique. 
 
(5) Um planeta se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno de uma estrela. Em 
uma órbita completa, o trabalho total realizado pela força gravitacional da estrela sobre 
o planeta é positivo, negativo ou nulo? Qual seria a resposta a essa pergunta no caso de uma órbita 
elíptica ao longo da qual a velocidade não é constante? Explique suas respostas. 
 
(6) Quando um projétil é disparado verticalmente de baixo para cima da superfície terrestre, o que 
ocorreria se sua energia mecânica total (cinética mais potencial) fosse: a) menor do que zero? B) 
maior do que zero? (Em cada caso, despreze a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do Sol, da 
Lua e dos outros planetas.) 
Questões 
44 10:58 
(7) Considere uma viagem da Terra até a Lua e a viagem de volta da Lua até a Terra. Em qual viagem o 
gasto de combustível é maior? Explique. 
 
(8) Muitas pessoas acreditam que astronautas em órbita não sentem seu peso porque estão “fora da 
atração terrestre”. Qual deveria ser a distância entre uma espaçonave e a Terra para que ela 
realmente ficasse fora da in fluência do campo gravitacional da Terra? Caso a espaçonave ficasse 
realmente fora da atração terrestre, ela poderia permanecer em órbita? Explique. Qual é a verdadeira 
razão pela qual astronautas em órbita sentem como se estivessem sem peso? 
Exercícios. 
45 10:58 
Ex 01. Muitas estrelas no céu são, na verdade, sistemas de duas ou mais estrelas mantidas juntas devido 
à atração gravitacional mútua. A Figura mostra um sistema de três estrelas em um instante em que elas 
estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45º. Determine o módulo, a direção e o 
sentido da força gravitacional resultante sobre a estrela menor exercida pela ação das duas estrelas 
maiores. 
Exercícios. 
46 10:58 
Ex. 02) “Da Terra até a Lua” Segundo o livro com este título escrito em 1865, por Jules Verne, três 
homens foram para a Lua em uma capsula disparado por um canhão gigante embutido na terra, na 
Florida. (a) Encontre a velocidade mínima necessário na boca do canhão para que a capsula disparado 
verticalmente atinja uma altura igual ao raio da Terra. (b) Encontre a velocidade mínima necessário na 
boca do canhão para que a capsula disparado escape totalmente da Terra (a velocidade de escape). 
Negligência resistência do ar, a rotação da Terra, e a atração gravitacional da lua. Raio e massa da Terra 
são: RT = 6,38 x 10
6 m e mT = 5,97 x 10
24 Kg 
 
Ex. 03) Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 12 km/s em relação ao 
planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da 
atmosfera da Terra sobre o asteroide, determine a velocidade do asteroide, vf, ao atingir a superfície da 
Terra. 
Ex 04). “VIAGEM AO CENTRO DA TERRA” Suponha que 
você faça um furo através de um diâmetro da Terra (massa mT e 
raio RT) e deixe cair um malote de correspondência (massa m) 
por ele. Deduza uma expressão da força gravitacional sobre o 
malote em função de sua distância r ao centro. Suponha que a 
densidade da Terra seja constante. 
Exercícios. 
47 10:58 
Ex. 05) Um modelo para um certo planeta tem o núcleo com raio R e massa M cercado por uma camada 
de raio interno R, raio externo 2R e massa 4M. Se M = 4,1 x 1024 Kg e R = 6,0 X 106 m qual é a 
aceleração gravitacional da partícula nos pontos: (a) R e (b) 3R a partir do centro do planeta. 
Ex. 06) A figura mostra duas cascas esféricas concêntricas 
uniformes de massas M1e M2. Determine o módulo da força 
gravitacionala que está sujeita uma partícula de massa m situada a 
uma distância (a) a, (b) b e (c) c do centro comum das cascas. 
 
Ex. 07) As três esferas na figura, com massas mA = 80g, mB = 10g, e mC = 20g têm seus centros em 
uma linha comum, com L = 12 cm e d = 40 cm. Você move a esfera B ao longo da linha até que a 
separação centro-centro de C é d = 4,0 cm. Quanto trabalho é feito na esfera B (a) por você e (b) pela 
força gravitacional resultante das esferas A e C? 
Exercícios. 
48 11:28 
Ex.(08).Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) são cercados por anéis, talvez 
composto de material que não conseguiu formar um satélite. Além disso, 
muitas galáxias contém estruturas semelhantes a anéis. Considere uma Anel 
fino homogêneo de massa M e Raio externo R (Fig.). (a) Qual atração 
gravitacional ele exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo 
central do anel a uma distância x do centro do anel? (b) Suponha que a 
partícula saia do repouso como resultado da atração do anel de matéria. Qual a 
velocidade com que passa pelo centro do anel? 
Ex. (09) Em 1993, a nave espacial Galileu enviou uma imagem para casa (Fig.) de asteróide Ida 243 e 
uma pequena lua em órbita (agora conhecida como Dactyl), o primeiro exemplo confirmado de um 
sistema asteróide-lua. Na imagem, a lua, que tem 1,5 km de largura, fica a 100 km da Centro do 
asteróide, que tem 55 km de comprimento. A forma da órbita da lua não é bem conhecida; Suponha que 
seja circular com um período de 27 h. (A) Qual é a massa do asteróide? (B) O volume do asteróide, 
medido a partir das imagens do Galileo, é de 14 100 km3. Qual é a densidade (massa por unidade de 
volume) do asteróide?