Apostila - Geometria Descritiva de Eber Nunes Ferreira

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A
A - COORDENADAS
B - SINAIS
C- REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
D- TERCEIRA PROJEÇÃO (VISTA DE PERFIL)
ESTUDO DO PONTO
ESTUDO DA RETA
ESTUDO DO PLANO
A - DETERMINAÇÃO DE RETAS
B - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS
C- CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
D- PARTICULARIDADES
E- PERTINÊNCIA DE PONTO A RETA
F- PONTOS NOTÁVEIS DA RETA
G- POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
H- POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
A - DETERMINAÇÃO DE PLANOS
B - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
C- CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
D- RETAS DOS PLANOS
E- PERTINÊNCIA DE RETA A PLANO EM ÉPURA
F- QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANO
G- RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO
H- QUADRO SÍNTESE DE RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO
INTRODUÇÃO
SISTEMAS DE PROJEÇÃO
GEOMETRIA DESCRITIVA
3GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
INTRODUÇÃO
Vive-se em um mundo tridimensional, onde os
objetos são descritos esquematicamente, fazendo-se
referência à altura ,largura e profundidade.
Durante muitos séculos, desde quando o
homem pré-histórico esboçava suas caças nas
paredes das cavernas procurou-se a forma de como
representar objetos de um universo tridimensional em
superfícies bidimensionais.
Este questionamento se dá, inicialmente, ao
nível da representação dos objetos já existentes, mas
em se tratando de elementos que ainda estão na
mente do seu criador, o fato se agrava, e ainda mais
quando um é o que concebe e outro é o que
materializa. Nesse caso, torna-se imprescindível uma
maneira de transmitir a idéia do projetista ao seu
realizador.
Com o advento da Revolução Industrial, esta
necessidade tornou-se ainda mais imperativa, pois o
sistema produtivo até então, utilizava-se de mão-de-
obra artesanal, onde a "comunicação técnica" ainda
não requeria um maior grau de complexidade. A partir
do momento em que objetos passam a ser produzidos
em quantidade considerável, fez-se necessário o uso
da de uma representação projetiva baseada não mais
no "olhar humano" que sabidamente vê e interpreta
os objetos deformando suas medidas, ângulos e
formas, mas, uma representação que contemplasse
as reais medidas do objeto, para que sua confecção
fosse precisa e confiável.
Em sua genealidade, Gaspar Monge, com uma
idéia "escandalosamente simples", revoluciona a
representação de objetos tridimensionais, imprimindo-
lhe um caráter técnico e de precisão. Nascido no ano
de 1746, com 16 anos já revelava a diversidade de
suas aptidões técnicas e intelectuais, mostrando sua
habilidade como desenhista e inventor. Era possuidor
de "dedos capazes de traduzir com fidelidade
geométrica seus pensamentos".
4GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
 Consideremos um ponto qualquer no espaço, posicionado no finito ou no infinito, como
sendo o olho de um observador. Se fosse possível interceptarmos com um plano,os raios
visuais que chegam ao olho observador, teríamos uma imagem correspondente ao objeto
observado. Esta imagem recebe o nome técnico de projeção.
SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Ao olharmos ao nosso redor, podemos perceber que estamos envolvidos por diferentes
sistemas projetivos. Uma sessão de cinema,ou a simples sombra de um objeto que varia em
função da direção dos raios luminosos, são suficientes para fazermos uma analogia com os
diferentes sistemas projetivos.
As diversas sombras ou imagens formadas se devem, entre outros fatores, a relação
de distância com a superfície onde a sombra é projetada, à direção dos raios, e ao tipo de
fonte luminosa, quer seja solar ou artificial.
Em função da grandeza do Sol, quando comparada a Terra, e de sua distância para
com a mesma, podemos considerar seus raios paralelos entre si. Já a iluminação artificial é
considerada puntiforme e sua emissão de raios luminosos se dá de forma radial. Tudo isto,
determina diferentes resultados.
5GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Também, ao colocarmos uma tela móvel diante dos raios luminosos de um projetor de
cinema, obteremos distintas projeções (imagens) de acordo com a posição e o tipo de superfíce
da tela.
Assim podemos estabelecer a seguinte relação
(O) - Centro de Projeção ..................................... Fonte de Luz / Olho do observador
(r ) - Linha Projetante .......................................... Raio Luminoso / Raio Visual
(P) - Ponto Objetivo (Objeto)................................Objeto
 P - Projeção do Ponto (P) ..................................Sombra / Imagem
(ααααα) - Plano de Projeção ....................................... Superfície / Tela / Anteparo
Analisando os exemplos anteriores, podemos fazer uma analogia com os elementos
de um sistema de projeção. Um sistema de projeção é constituído por cinco elementos básicos.
São eles: Centro de Projeção; Linha Projetante; Objeto; Projeção e o Plano de Projeção.
Do centro de projeção (O) parte uma
linha projetante (r) que, cortada pelo plano
(a), determina a projeção P, do ponto (P).
ângulo de
incidência da
linha projetante
O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem as linhas projetantes,
podendo localizar-se no Finito ou Infinito, denominando-se centro Próprio ou Impróprio,
respectivamente.
A - Quando consideramos o centro de projeção
PRÓPRIO, as linhas projetantes partem divergentes em
direção ao plano de projeção, ,correspondendo assim aos
raios de uma lâmpada incandescente. Desta forma, temos
o Sistema Cônico de Projeção.
6GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
No Sistema Cônico a projeção não registra as reais
dimensões do objeto, ou seja, ele NÃO É representado em sua
verdadeira grandeza (VG). Observe que no exemplo da figura
ao lado ocorre uma ampliação do objeto projetado. Neste sistema,
o centro de projeção pode ocupar várias posições, o que interferirá
no resultado da projeção.
Observe que no sistema Cilíndrico o ângulo de incidência de todas as linhas
projetantes são iguais para uma mesma direção, e o centro deprojeção não é percebido por
se encontrar no infinito.
Estudaremos agora cada um dos sistemas, percebendo suas características e
particularidades.
Atenção: Inicialmente, consideraremos o objeto (bidimensional) em uma posição fixa
no espaço equidistante (paralelo) ao plano de projeção.
No Sistema Cilíndrico Oblíquo o objeto é representado
em VERDADEIRA GRANDEZA, mas devido aos diferentes
valores que o ângulo de incidência pode assumir (em função da
direção das linhas projetantes) teremos várias opções para a
localização da projeção sobre o plano.
B - Quando consideramos o centro de projeção IMPRÓPRIO, as linhas projetantes
partem paralelas em direção ao plano de projeção, correspondendo assim aos raios do sol.
Desta forma, temos o Sistema Cilíndrico de Projeção, que se subdivide em oblíquo e
ortogonal.
Já no Sistema Cilíndrico Ortogonal, o objeto está
expresso em sua V.G. , mas, ao contrário dos sistemas anteriores,
existe uma única projeção que o representa, pois a direção
também é única.
7GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Conhecendo melhor o Sistema Cilíndrico Ortogonal
A classificação oblíquo e ortogonal dentro do sistema cilíndrico não está em
função do ângulo que a linha projetante forma com o objeto , e sim com o plano de projeção.
Esta observação se faz necessária ,pois até agora temos considerado o objeto paralelo
ao plano, onde os ângulos que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de
projeção são iguais, no entanto serão diferentes quando não houver tal paralelismo.
Na figura ao lado,o sistema de projeção é o cilíndrico
oblíquo; cilíndrico porque as linhas projetantes são paralelas
entre si, e oblíquo porque o ângulo de incidência das linhas
projetantes com o plano não é reto.
No sitema cônico, quandoo objeto (bidimensional) não está paralelo ao plano, a
projeção deixa de estar semelhante ao objeto no espaço.
Já no sistema cilíndrico a projeção deixa de estar congruente ao objeto.
Na figura ao lado, o sistema de projeção é o cilíndrico
ortogonal. Em ambas figuras o sistema é cilíndrico, classificação
esta que está em função do paralelismo entre as projetantes.
Quanto à classificação de oblíquo ou ortogonal, depende do
ângulo de incidência da projetante com o plano de projeção. Neste
caso, sendo o referido ângulo, reto, este recebe a classificação
de ortogonal.
8GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
1 - A linha projetante sempre será
perpendicular ao plano de projeção.
4 - O fator que altera as dimensões da projeção em relação ao objeto é a angulação do
mesmo em relação ao plano de projeção.
3 - A distância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimensão da projeção, pois
as linhas projetantes são paralelas, possuíndo, portanto, um mesmo ângulo de incidência.
2 - O objeto somente será represen-
tado em sua VG quando estiver paralelo ao
plano de projeção.
Um bom observador já terá percebido que nos desenhos anteriores o objeto não é
projetado em suas dimensões reais, pois no Sistema Cilíndrico o paralelismo é a condição
exigida para a obtenção da projeção em verdadeira grandeza.
Veja a síntese do Sistema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o sistema que
fundamenta a Geometria Descritiva.
9GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
A geometria descritiva (GD)promove o estudo dos
objetos através de suas projeções ortoédricas sobre
planos perperndiculares entre si. Inicialmente utiliza-se
de um plano horizontal e outro vertical. À partir destes dois
elementos, Gaspar Monge cria um sistema projetivo que
permite registrar a tridimensionalidade dos objetos.
A interseção dos planos horizontal e vertical
determina uma reta denominada de Linha de Terra que
os divide em semiplanos e estes, por sua vez, delimitam
o espaço em quatro regiões denominados de "diedros".
A linha de terra recebe duas barrinhas paralelas
em suas extremidades posicionadas sobre o PH. Assim,
o simples reconhecimento da linha de terra permite
identificar a posição do PV e PH.
GEOMETRIA DESCRITIVA
Embora o estudo da Geometria Descritiva
contemple quatro diedros, este curso dará um enfoque
quase que exclusivo ao primeiro diedro. Isto objetivará
significativamente a disciplina e facilitará a transição entre
o desenho técnico e o desenho arquitetônico.
Posteriormente, cabe ao geômetra italiano, Gino
Lória, o recurso de introduzir no sistema mongeano de
projeção o terceiro plano, perpendicular aos dois
primeiros, plano este que recebe o nome de PP - plano
de perfil.
A projeção do
ponto (P) sobre o PH é
denominada projeção ho-
rizontal P.
A projeção do
ponto (P) sobre oPV é
denominada projeção
vertical P'.
A projeção do
ponto (P)sobre o PP é
denominada projeção de
perfil ou terceira projeção
P''.
Um ponto situado no espaço estabelece uma relação de distância com os planos de
projeçã. Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenadas que são registradas através das
projeções sobre os planos. Vale salientar que a Geometria Descritiva faz uso do Sistema
Cilíndrico Ortogonal de Projeção, fato este que determina uma única projeção em cada plano
de projeção.
Antes de apresentarmos as coordenadas vamos estabelecer uma convenção para
distinguirmos as diferentes projeções de um mesmo objeto em cada plano.
PV 
PH 
PP
PV 
PH 
PP
ESTUDO DO PONTO
DIEDRO1°
DIEDRO2°
DIEDRO3°
DIEDRO4°
10GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
 A notação do ponto será feita com letras maiúsculas ou números do alfabeto arábico,
que deverão estar entre parênteses. A expressão "Ponto" deve ser empregada somente para
o objeto.
Abcissa (ab) : é a distância do ponto ao PP.
Afastamento (af) : é a distância do ponto ao PV
Cota (ct) : é a distância do ponto ao plano PH
Está implícito que a "distância" é a menor possível,ou seja, medida
sobre um alinhamento perperdicular ao plano.
Para que possamos situar um objeto no espaço,
precisamos conhecer as distâncias de seus pontos para com os
planos de projeção. Assim, cada ponto é definido por um trio
ordenado composto por x, y e z, denominados abcissa,
afastamento e cota, respectivamente, onde:
A linha imaginária, que contém as projeções P e P', é
denominada LINHA DE CHAMADA.
A - COORDENADAS
A distância do ponto (P)
ao PP é igual à distância da Linha
de Chamada à origem
(intersecção dos três planos); por-
tanto ambas traduzem a abcissa.
IDENTIFIQUEMOS ALGUMAS IGUALDADES
PH
PPPV
PH
PP
PV
A distância do ponto (P)
ao PV é igual à distância da
projeção horizontal P à LT, por-
tanto ambas traduzem o
afastamento.
A distância do ponto (P)
ao PH
 
 
 é igual à distância da
projeção vertical P' à LT, portan-
to ambas traduzem a cota.
PV
PH
PP
IMPORTANTE : quando representarmos um objeto no
diedro, estaremos utilizando somente o planos Horizontal e
Vertical de projeção, consequentemente o objeto será
representado através de duas projeções; mas quando a
representação for feita no triedro, estaremos inserindo o plano
de Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano.
11GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
CONCEITO ESPACIAL
Abcissa (ab) : é a distância do ponto ao PP.
Afastamento (af) : é a distância do ponto ao PV.
Cota (ct) : é a distância do ponto ao PH.
CONCEITO PROJETIVO
Abcissa: é a distância da Linha de Chamada à origem.
Afastamento: é a distância da projeção horizontal à
Linha de Terra.
Cota: é a distância da projeção vertical à linha de terra.
B - SINAIS
Os planos de projeção, quando observados lateralmente, reduzem suas superfícies à
linhas retas, e assemelham-se ao plano cartesiano da matemática, assumindo os mesmos
valores (positivo e negativo), tanto para cota, quanto para o afastamento. Já a abcissa terá
como referencial a origem marcada sobre a linha de terra.
Então, os pontos situados :
à direita da origem possuem........................................................ ABCISSAS POSITIVAS;
á esquerda da origem possuem.................................................. ABCISSAS NEGATIVAS;
acima do plano horizontal possuem ...................................................COTAS POSITIVAS;
abaixo do plano horizontal possuem ................................................COTAS NEGATIVAS;
anteriores ao plano vertical possuem .................................AFASTAMENTOS POSITIVOS e
posteriores ao plano vertical possuem ..............................AFASTAMENTOS NEGATIVOS.
Logo, podemos ter duas definições para as coordenadas: uma ao nível espacial,
relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando as projeções à Linha
de Terra.
É muito importante esta dupla conceituação das coordenadas, pois é objetivo da
Geometria Descritiva registrar os objetos através de suas projeções, e isto exige que
desenhemos usando o "conceito projetivo", mas que visualizemos o "conceito espacial", ou
seja, se tivermos um objeto no espaço seremos capazes de desenhá-lo, e se nos depararmos
com o seu desenho seremos capazes de concebê-lo.
PV
PH
PP
Visto que estaremos priorizando o Primeiro Diedro, estaremos excllulindo os sinais
negativos para afastamento e cota.
12GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
C - REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA
Até agora, temos utilizado a perspectiva, que não é baseada no sistema cilíndrico
ortogonal, para apresentação e compreensão da geometria descritiva. À partir deste momento,
começaremos a caminhar no sentido de nos valer dela própria, para a análise de figuras e
objetos no espaço.
Consideremos que,
após o registro das projeções,
o objeto seja retirado; com isto,
o observador nas posições 1
e 2, estariarecebendo as
seguintes imagens.
Atente para o fato de que o observador 1 percebe as
coordenadas abcissa e afastamento, e o observador 2 percebe
abcissa e cota. Novamente, umas das coordenadas não é
percebida de acordo com a posição do observador.
Mas se unirmos as duas figuras pela Linha de Terra,
teremos em um único desenho as coordenadas Ab , Af e Ct,
onde a linha de chamada posiciona-se perpendicular à LT.
Obs.: A origem sobre a linha de terra
registra a posição a ser ocupada pelo
Plano de Perfil oportunamente.
Tomemos um ponto com coordenadas genéricas: (A) ( Ab ; Af ; Ct ).
Entre o centro de projeção e o objeto, posicionaremos um
observador que enxergue com "olhos do sistema cilíndrico ortogonal".
13GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Imaginemos o Plano Horizontal submeter-se a um giro de 90º no sentido horário.
 Esta operação denomina-se REBATIMENTO. Desta forma, o observador faz "leitura" de todas
as coordenadas em uma única posição. Esta forma de representação denomina-se ÉPURA.
Observe que o resultado é exatamente o mesmo quando da junção das imagens vistas
separadamente pelo observador nas posições 1 e 2 na página anterior.
ÉPURA - Chama-se épura a representação e o estudo
dos problemas descritivos das figuras e corpos do espaço, dados
por suas projeções nos dois planos ortogonais, depois da
coincidência desses dois planos após o rebatimento. Este
rebatimento poderia acontecer também com o giro do plano vertical
sobre o horizontal no sentido anti-horário, e teríamos o mesmo
resultado final; mas por questões didáticas adotaremos o giro
horário do plano horizontal.
Desta maneira , as projeções horizontais positivas, na representação em épura, após o
rebatimento, passam a ser registradas abaixo da LT, respeitando, assim, o rebatimento.
Como o plano vertical permanece fixo no espaço, as projeções verticais com cotas
positivas continuam a ser registradas acima da LT.
De igual maneira, as abcissas não sofrem alterações em face ao rebatimento,
continuando positivas à direita da origem e negativas à esquerda.
Devido ao fato dos planos horizontal e vertical receberem as três coordenadas
necessárias ao estudo dos sólidos durante anos procurou-se desenvolver todos os estudos
espaciais apenas com duas vistas ortogonais. No entanto, o uso sitemático do Plano de Perfil
tornou a GD mais fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil está presente?
14GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Neste exemplo, os planos foram rebatidos após o registro das três projeções,ou seja, a
terceira projeção já existe. Mas como seria obter a terceira projeção à partir das projeções
representadas apenas no diedro? Observe que a projeção sobreo o Plano de Perfil é composta
apenaspelas coordenadas afastamento e da cota.
Para que tenhamos um único observador com capacidade de leitura em épura dos três
planos simultaneamente, faz-se necessário um segundo rebatimento, agora do plano Plano
de Perfil que sofrerá um giro de 90º para a direita conforme a figura a seguir.
D - TERCEIRA PROJEÇÃO
3º PASSO
Cruzar as informações e
obter a 3ª projeção.
2º PASSO
Alçar a distância
correspondende ao
afastamento até a LT.
1º PASSO
Levar as informações
( af e ct ) ao eixo.
A operação alçamento deve ser feira de maneira a manter inalterada a medida da
informação que está sendo transportada.Para isto é necessário o uso do compasso ou do
esquadro de 45º, apoiado na régua paralela.
A
A'
A"
af
af
ctct
A
A'
A"
af
af
ct
ct
Ei
xo
A"
A
A'
af
af
ct ct
15GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
A posição primitiva do plano PP é na abcissa "zero", por isto o eixo encontra-se junto
à origem. No entanto um objeto pode possuir pontos que podem ficar à direita, à esquerda ou
mesmo sobre o PP.
Podemos concluir que em relação ao eixo, os resultados são iguais. No entanto,
podemos nos deparar com situações em que utilizar o eixo sobre a origem pode causar um
congestionamento de projeções.
Em épura, isto implica no posicionamento da linha de chamada do ponto em relação
ao eixo. Isto em nada modifica os procedimentos para a obtenção da 3ª projeção, apenas
muda a direção no momento de levarmos as informações até o eixo; daí em diante é tudo
igual. Observe estes desenhos.
Um dos exemplos acima mostra um congestionado causado pela sobreposição das
projeções, embora ambos estejam tecnicamente corretos. Visto que o objetivo deste material
didáatico é facilitar o ensino da GD, estaremos, sempre que for conveniente, permitindo o
deslocamento do eixo para uma abcissa diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de
perfil auxiliar.
Observe que em todos os casos a terceira projeção está na mesma altura da projeção
vertical. Tome isto como regra.
.
.
V'
V
V"
A
B
C
D
D" A" C" B"C'D'B'A'
.
.
V'
V
V"
A
B
C
D
D" A" C" B" C'D'B'A'
16GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
a - dois pontos distintos;
c - dois planos secantes
B - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
a - Equidistante:
1 - paralela 2 - pertencente
b - Concorrente
1- oblíqua 2 - perpendicular
todos os pontos no
plano
nenhum ponto no
plano
ESTUDO DA RETA
Chama-se projeção de uma reta sobre um plano ao lugar geométrico das projeções de
todos os seus pontos sobre esse plano.
A - DETERMINAÇÃO DE RETAS.
Uma reta pode ser determinada por:
b - um ponto e uma direção;
17GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
C - CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
Dois pontos distintos no espaço podem definir sete tipos genéricos de retas.
Primeiramente estaremos reunindo-as em três grupos.
Grupo 1 - Grupo das retas que estão perpendiculares a um dos planos de projeçãoe
consequentemente paralelas aos outros dois. Assim possuem uma projeção pontual e duas
projeções em verdadeira grandeza. São denominadas retas PROJETANTES.
Grupo 2 - Grupo das retas que estão paralelas a somente um dos planos de projeção,
consequentemente oblíqua aos outros dois. Assim possuem apenas uma projeção em
verdadeira grandeza.
Grupo 3 - Grupo das retas que estão oblíquas aos três planos de projeção,
consequentemente nenhuma de suas projeções possuem verdadeira grandeza.
VG
VG
(s) 
s' s"
s
PPPV
PH
(s) 
s'
s"
s
VG
VG
PH
PPPV
s'
s
PPPV
PH
(s) 
s"
VG
VG
RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO-HORIZONTAL
(s) 
s' s"
s
PPPV
PH
VG
VG
(s) 
s'
s'
s"
s
PPPV
PH
(s) 
s"
s
PPPV
PH
VG
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
PPPV
PH
RETA QUALQUER
18GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Agora estudaremos, uma a uma, as retas. . Você deverá utilizar a maquete do triedro
para analisar a reta que será apresentada por sua perspectiva e épura.
a - RETA VERTICAL
a - RETA DE TOPO
P H
P PP V
VG
VG
P PP V
P H
VG
VG
NO ESPAÇO a reta é:
perpendicular ao PH;
paralela ao PV;
paralela ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é pontual;
vertical é perpendicualar à LT.
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas iguais;
afastamentos iguais;
cotas diferentes.
CARACTERÍSTICAS
NO ESPAÇO a reta é:
paralela ao PH;
perpendicular ao PV;
paralela ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é perpendicualar à LT;
vertical é pontual.
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas iguais;
afastamentos diferentes;
cotas iguais.
CARACTERÍSTICAS
c - RETA FRONTO-HORIZONTAL
V G
V G
P H
P PP V
V G
V G
P H
P PP V
NO ESPAÇO a reta é:
paralela ao PH;
paralela ao PV;
perpendicular ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é paralela à LT
vertical é paralela à LT
a terceira projeção é pontual
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas diferentes
afastamentos iguais
cotas iguaisCARACTERÍSTICAS
VG
VG
(s) 
s' s"
s
PPPV
PH
VG VG
s' s"
s
PH
PPPV
19GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
P PP V
P H
VG
P H
P PP V
VG
d - RETA HORIZONTAL
V G
P PP V
P H P H
P PP V
f - RETA DE PERFIL
P PP V
P H
VG
P H
P PP V
VG
No espaço a reta é:
paralela ao PH;
oblíqua ao PV;
oblíqua ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é oblíqua à LT;
vertical é paralela à LT.
Os pontos da reta possuem:
abcissas diferentes;
afastamentos diferentes;
cotas iguais.
CARACTERÍSTICAS
NO ESPAÇO a reta é:
oblíqua ao PH;
paralela ao PV;
oblíqua ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é paralela à LT;
vertical é oblíqua à LT.
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas diferentes;
afastamentos iguais;
cotas diferentes.
CARACTERÍSTICAS
NO ESPAÇO a reta é:
oblíqua ao PH;
oblíqua ao PV;
paralela ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é perpendicular à LT
vertical é perpendicular à LT
possui VG na terceira projeção.
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas iguais
afastamentos diferentes
cotas diferentes
CARACTERÍSTICAS
RETAS PARALELAS A SOMENTE UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
e - RETA FRONTAL
ORTOGONAL A LINHA DE TERRA
20GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
f - RETA QUALQUER
P H
P PP V
VGP PP V
P H
VG
P PP V
P H P H
P PP V
P PP V
P H P H
P PP V
NO ESPAÇO a reta é:
oblíqua ao PH;
oblíqua ao PV;
oblíqua ao PP.
EM ÉPURA a projeção:
horizontal é oblíquar à LT;
vertical é oblíqua à LT.
OS PONTOS da reta possuem:
abcissas diferentes;
afastamentos diferentes;
cotas diferentes.
CARACTERÍSTICAS
PERPENDICULAR A LINHA DE TERRA
CONCORRENTE À LINHA DE TERRA
REVERSA À LINHA DE TERRA
Esta é a única reta que possui verdadeira grandeza somente na terceira projeção, daí
alguns autores tratarem do assunto terceira projeção, voltados quase que exclusivamente para
a reta de perfil.
A reta de perfil pode espacialmente tocar ou não a Linha de Terra, isto se reflete em
épura através de suas projeções. Observe as terceiras projeções destas retas de perfil, e
compare-as. A última delas, possui afastamento nulo no mesmo ponto em que a cota também
é nula, portanto é uma reta de perfil perpendicular à LT. A outra portanto será ortogonal à LT.
Da mesma forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT
sendo calssificada de concorrente ou reversa à LT respectivamente. Faça com elas a mesma
comparação que foi feita entre as retas de perfil.
21GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
D - PARTICULARIDADES
O estudo das retas envolvem algumas particularidades, que destacaremos a seguir.
Toda a reta paralela a um plano de projeção, pode pertencer a ele, bastando que a
coordenada correspondente seja nula. Isto implica que, espacialmente, a reta se torna
coincidente com a própria projeção e pertencente ao plano.
Assim sendo, as retas horizontal, frontal e de perfil que são paralelas a um dos planos
de projeção ...
(A) A (B) B
VG
(A)
A
(B)
B
VG
Para evidenciarmos esta condição particular da reta vamos acrescentar por "sobrenome"
,tal característica.
s'
(s) 
s"
s
PV
PH
VG
RETA HORIZONTAL
(s) 
s' s"
s
PPPV
PH
VG
VG
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PH
PP
RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
RETA HORIZONTAL do PH RETA FRONTAL do PV RETA DE PERFIL do PP
(s) s
PPPV
PH
VG
s' s"
VG
(s) s'
PPPV
PH
s"
s
(s) s"
PPPV
PH
VG
s'
s
... podem pertencer a somente um dos planos de projeção.
22GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Já, as retas projetantes, podem pertencer até dois planos de projeção.
A única reta que não pode pertencer a nenhum dos planos de projeção é a reta qualquer,
pois a mesma se encontra oblíqua aos três planos de projeção.
RETA VERTICAL do PV
VG
VG
(s) s'
s"
s
PPPV
PH
RETA VERTICAL do PP RETA VERTICAL do PV e do PP
VG
VG
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PH
VG (s) s's"
s
PPPV
PH
RETA de TOPO do PH
s
PPPV
PH
(s) VG
s"
VG
s'
RETA de TOPO do PP RETA de TOPO do PP
s'
PPPV
PH
(s) s"
VG
s
VG
RETA FRONTO-HORIZONTAL
do PH
RETA FRONTO-HORIZONTAL
do PV
RETA FRONTO-HORIZONTAL
do PV e do PH (Linha de Terra)
(s) 
s
VG
PH
PPPV s"
s'
VG
(s) s
VG
PH
PPPV
s"
s'
(s) s
VG
PH
PPPV
s"s'
VG
PPPV
PH
s'
(s) s"
VG
s
23GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
PPPV
PH
s'
s"
s
PH
PPPV
P’
P’
P”
P”
PP
(P)
E - PERTINÊNCIA DE PONTO À RETA
Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções pertencem às projeções de mesmo
nome da reta, ou seja:
- a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta
- a projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical da reta
- a terceira projeção do ponto sobre a terceira projeção da reta
Qualquer que seja a reta e um ponto pertencente a ela, estas três condições deverão
ser satisfeitas; mas, excetuando-se a reta de perfil, as demais retas podem ser analisadas
apenas no diedro (PH e PV), ou seja, um ponto pertencerá a reta se as projeções do ponto
pertencerem as respectivas projeções horizontal e vertical da reta.
Portanto, a reta de perfil deverá necessariamente ser analisada nas três
projeções, o que implica na obtenção da terceira projeção.
(s) 
(P) 
P’ P’
P”
P”
P
P
s' s'
s"
s"
s
s
PPPV
PH
VG
VG
RETA DE PERFIL 3ª PROJEÇÃO
24GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
F - PONTO NOTÁVEIS DA RETA
São pontos nos quais uma reta atravessa planos
também notáveis. Estaremos enfocando a interseção das
retas com os planos horizontal e vertical de projeção. Estes
pontos onde a reta "fura" o plano sãodenominados de traços
de reta. (Na GD traço = interseção)
Uma reta somente possui traço
sobre um plano quando for concorrente a
este; estando equidistante (paralela ou
pertencente) não possuirá o traço. Assim
sendo, uma reta numa determinada
posição pode possuir um ou mais traços.
Traços da Reta nos Planos Horizontal e Vertical de Projeção
O traço de uma reta é sempre um ponto único, que pertence à reta e ao plano
correspondente. Em relação aos planos horizontal e vertical no ambiente do Primeiro Diedro,
a reta pode concorrer com eles em três posições genéricas: PH, PV e sobre a Linha de Terra.
Então o que temos a fazer é a identificação da existência destes pontos na reta.
(r)
(r)
(r)
A exceção fica para a reta fronto-horizontal, que é a única
reta equidistante dos planos analisados.
O traço horizontal (H) sempre
pertencerá ao plano horizontal; assim,
sempre terá cota nula.
Portanto, em épura prolonga-
se a projeção vertical até a LT (onde
a cota se torna nula) e determina-se
a linha de chamada do ponto (H)
procurado.
A projeção H pertencerá a
projeção s e a projeção H' pertencerá
a projeção s'.
H’
H
A'
A B
B'
s’
s
VG
(s) 
s'
s"
s
H"
H'
H(H)
PPPV
PH
DETERMINAÇÃO DO TRAÇO HORIZONTAL
PV
PH
(V)
(H)
PV
PH
PONTO NO PH PONTO NO PV PONTO NA LT
A
B CA’
B’
C’
25GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
A'V’
V
A
B
B's’
s
V"
(s) 
s' s"
sV
V'(V)
PPPV
PH
O traço vertical (V) sempre
pertencerá ao plano vertical; assim,
sempre terá afastamento nulo.
Portanto, em épura prolonga-
se a projeção horizontal até a LT
(onde o afastamento se torna nulo) e
determina-se a linha de chamada do
ponto (V) procurado.
A projeção V pertencerá a
projeção s e a projeção V' pertencerá
a projeção s'.
DETERMINAÇÃO DO TRAÇO VERTICAL
EM RESUMO TEMOS:
Para determinarmos um traço prolonga-se inicialmente a projeção de nome contrário
até que a mesma concorracom a LT, onde será deteminda a linha de chamado correspondente
ao traço procurado.
Atenção: esta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de
seus pontos na terceira projeção. Vejamos outros exemplos em épura.
VG
A
A'
B'
H’
r'
r B H
H’
V’
H
V
r'
r
VG
A
V
B
r
A' B' V’r'
H'H(H)
VV'(V)
PPPV
PH
(s) 
s'
s"
H" V"
s
Se a reta é concorrente à LT, mas possui dois traços
(retas de perfil e qualquer), eles estarão coincidentes na
própria LT, ou seja, o ponto de afastamento nulo, também é o
ponto de cota nula. Atente para o fato de que dois pontos
coincidentes não definem uma reta.
26GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Observe nos exemplos anteriores que duas projeções encontram-se obrigatoriamente
sobre a LT. São elas:
V - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afastamento nulo);
H' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula).
Ou seja, V H' na LT. Tome isto como regra.
TRAÇOS HORIZONTAL E VERTICAL NA RETA DE PERFIL
A obtenção dos traços horizontal e vertical na reta de perfil é realizada através da
utilização da terceira projeção (vista lateral), pois neste tipo de reta a simples análise no diedro
não é suficiente para a identificação da pertinência do ponto à reta.
Desta maneira, temos que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará as
projeções H" e V" e retornar com as informações para a abcissa correspondente deteminando
assim as projeções dos traços horizontal e vertical respectivamente.
G - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
a - Quando coplanares podem ser:
RETAS QUE ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
(a) (b)
COINCIDENTES
CONCORRENTES
PARALELAS
PERPENDICULARES
(a)
(b)
(a)
(b)
(a)
(b)
Quando concorrentes, e formarem um ângulo
reto, são denominadas de retas perpendiculares
Tanto as retas paralelas, quanto as
concorrentes, podem pertencer a planos
distintos, mas ainda assim são
consideradas coplanares, pois sempre
existirá um plano que as contenham.
27GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
b - Quando não coplanares podem ser:
RETAS QUE NÃO ADMITEM A POSSIBILIDADE DE PERTENCEREM A UM MESMO PLANO
REVERSAS
(a)
(b)
(c)
(r)
ORTOGONAIS
(a)
(b)
(r)
(c)
Todas as retas de um plano que
não concorrem com uma reta oblíqua a
ele são denominadas reversas, ou ainda
revessas em relação à referida reta.
Todas as retas de um plano que
não concorrem com uma reta
perpendicular a ele são denominadas
ortogonais em relação à referida reta.
Duas retas podem:
 - não possuir ponto comum (paralelas e reversas) ;
 - possuir um único ponto comum ( concorrentes ou incidentes) ;
 - possuir mais de um ponto comum (coincidentes) .
ANÁLISE DAS POSIÇÕES RELATIVAS EM ÉPURA
Com excessão das retas de perfil, poderemos, através da análise das projeções no
diedro (PH e PV), conhecer qual é a posição relativa entre ambas, isto porque a reta de perfil
necessita de ser analisada no triedro.
a -Retas Concorrentes: duas retas coplanares que possuem um único ponto comum
são denominadas concorrentes ou incidentes.
Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções
concorrentes.
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
SE CONFUNDEM, E AS OUTRAS DUAS
SÃO CONCORRENTES.
UMA PROJEÇÃO PONTUAL PERTENCE
A PROJEÇÃO DE MESMO NOME DA
OUTRA RETA.
SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO
a’
b
a
b’
a’
ba
b’a’
b
a
28GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
b -Retas Paralelas: duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são
denominadas, retas paralelas.
Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SÃO PARALELAS ENTRE SI.
DUAS PROJEÇÕES DE MESMO NOME
SE CONFUNDEM E AS OUTRAS DUAS
SÃO PARALELAS.
DUAS PROJEÇÕES PONTUAIS DE
MESMO NOME SÃO DISTINTAS.
SEGUNDO CASO TERCEIRO CASO
a’
b
a
b’
a’
ba
b’
a’
b
a
c -Retas Reversas: duas retas são reversas quando não possuirem ponto comum e
não forem paralelas; portanto, poderemos identificá-las por exclusão, ou observando os dois
casos abaixo.
b’
PRIMEIRO CASO
AS PROJEÇÕES DE MESMO NOME,
DAS DUAS RETAS, CONCORREM EM
UMA MESMA LINHA DE CHAMADA.
NÃO
UMA PROJEÇÃO PONTUAL 
PERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO
NOME DA OUTRA RETA.
NÃO
SEGUNDO CASO
a’
b
a
b’a’
b
a
d -Retas Coicidentes: duas retas são coicidentes quando suas projeções de mesmo
nome se confundem. Na prática, é uma única reta com dois nomes.
b’
b’
a’
a’ A’
A
B’
B
R’
R
S’
Sb
b
a
a
Atenção: podemos ter segmentos não
coicidentes sobre retas coincidentes.
29GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
e -Perpendicularismo
Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço,
sendo uma delas paralela a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as
projeções destas duas retas sobre o plano são perpendiculares entre si.
Em épura, isto significa que, se uma projeção de
uma reta forma um ângulo reto com a projeção em
VG de uma outra, as retas serão perpendiculares
se concorrentes, e ortogonais se reversas
Mas quando uma for paralela e a outra
perpendicular ao plano, basta a projeção pontual
pertencer à outra projeção , e serão
perpendiculares entre si no espaço ...
... contudo, se a projeção pontual estiver fora, serão
ortogonais.
Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos
particulares de retas concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um
plano dado, serão identificadas como tal, quando da aplicação de métodos descritivos, que
envolvem conteúdos avançados; mas por hora poderemos identificá-las como concorrentes
ou reversas.
ORTOGONAIS
(s)
r
s
(r)
PERPENDICULARES
(s)
(r)
r
s
VG
PERPENDICULARES
(s)
(r)
r
s
VG
30GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
H - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS DE PERFIL
No estudo das posições relativas entre duas retas de perfil, iremos recorrer ao uso da
terceira projeção, também conhecida por vista lateral. Podemos encontrá-las em duas situações
genéricas: quando possuírem a mesma abcissa e quando as abcissas forem distintas.
a - Duas Retas de Perfil em uma mesma abcissa.
POSSUINDO A MESMA ABCISSA JAMAIS SERÃO REVERSAS OU ORTOGONAIS
b - Duas Retas de Perfil em abcissas diferentes
POSSUINDO ABCISSAS DIFERENTES, JAMAIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULARES
terceiras projeções
paralelas
terceiras projeções
conicidentes
terceiras projeções
concorrentes
terceiras projeções
perpendiculares
terceiras projeções
paralelas
terceiras projeções
conicidentes
terceiras projeções
concorrentes
terceiras projeções
perpendiculares
a” b”
PARALELAS
PPPV
PH
(a)
(b)
a” b”
PV
PARALELAS
PPPV
PH
(a)
(b) a”
b”
ORTOGONAIS
PPPV
PH
(b)
(a)
PP
a”
b”
REVERSAS
PV
PH
(b)
(b)
(a)
PARALELAS COICIDENTES CONCORRENTES PERPENDICULARES
PP PP
PP
PPPV PV PV PV
PH PH PH PH
(a)
(a) (a)
(b)
(b)
(b)
(a)
a” a” a”
a”
b” b”
b”
b”(b)
31GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
ESTUDO DOS PLANOS
A - DETERMINAÇÃO DE PLANOS
Na geometria elementar temos planos definidos por:
(A)
(B)
(C)
PH
PV
PP
(A)
PH
PV
PP
PH
PV
PP
PH
PV
PP
PH
PV
PP
TRÊS PONTOS DISTINTOS
NÃO COLINEARES
UMA REAT E UM PONTO
EXTERIOR A ELA
DUAS RETAS
CONCORRENTES
DUAS RETAS
PARALELAS
UMA RETA E
UMA DIREÇÃO
Tal qual as retas, os planos podem ocuparvárias posições em relação aos planos de
projeção, recebendo por isso nomes diferentes.
A GD representa os planos, além dos modos fornecidos pela geometria elementar,
pelos seus traços.
Traço de plano é a reta resultante da interseção deste em outro plano.
32GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
O traço de um plano sobre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula,
sendo denominada de TRAÇO HORIZONTAL.
O traço de um plano sobre o plano vertical de projeção é uma reta de afastamento nulo,
sendo denominada de TRAÇO VERTICAL.
Denominaremos de TERCEIRO TRAÇO ou traço de perfil,a interseção do plano com o
plano de perfil. Este traço será uma reta de abcissa constante.
TRAÇO HORIZONTAL TRAÇO VERTICAL TERCEIRO TRAÇO
Estaremos adotando as iniciais dos nomes genéricos dados aos planos na língua
portuguesa. Utilizando por exemplo o plano (Q) temos:
As posições dos traços de um plano em relação à LT são variáveis, isto é, podem os
traços ocupar posições diferentes, conforme a situação do plano, mas quando um plano for
oblíquo à LT , determinará sobre ela um único ponto de concorrência. Deste ponto nascem os
traços horizontal e vertical.
O valor da abcissa deste ponto, permite
determinar os traços dos planos à partir do
conhecimeto da angulação destes com a LT.
Este ponto recebe a notação em épura de
Qo para um plano (Q), To para um plano (T) e assim
por diante. Lembre-se que ele possui afastamento
e cota nulos, podendo sua abcissa, assumir
diferentes valores.
Q'
Qo
Q
33GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
B - POSIÇOES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
Um plano em relação a outro plano poderá estar oblíquo ou equidistatante.
a) - quando equidistantes
paralelos coicidentes
b) - quando oblíquos
concorrentes perpendiculares
Observe que as linhas projetantes ao
incidirem perpendicularmente sobre o plano de
projeção tem suas trajetórias sobre o plano (a) , o
que implica na localização das projeções dos
elementos pertencentes a este plano, sobre o
próprio traço projetante.
Quando um plano é projetante, seu traço
representa, não somente a si próprio, mas também
a toda infinita superfície plana.
Na GD quando um plano está perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado
de plano projetante. Esta particularidade, se bem entendida, facilitará em muito o estudo dos
planos, portanto antes de classificarmos os planos segundo suas posições em relalção aos
planos de projeção, detalharemos melhor os planos projetantes.
Denominaremos o traço de um plano perpendicular a outro, de traço projetante, sendo
portanto, o resultado do perpendicularismo de um plano em relação a um plano de projeção.
34GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Quando um plano não é projetante, seu
traço traduz tão somente sua interseção com o
plano de projeção, portanto os elementos
pertencentos ao plano, mas que não estão no traço,
projetam-se fora deste.
Então podemos concluir que:
O traço projetante recebe sobre si todas as projeções de mesmo nome, dos
elementos pertencentes ao plano.
Tome isto como regra.
Isto significa que:
- o traço horizontal quando projetante recebe as projeções horizontais dos elementos
pertencentes ao plano;
- o traço vertical quando projetante recebe as projeções verticais dos elementos
pertencentes ao plano;
- se analisarmos o plano ao nível do triedro então um plano projetante em relação ao
plano de perfil terá seu terceiro traço recebendo as terceiras projeções dos elementos
pertencentes ao plano.
C - CLASSIFICAÇÃO DOS PLANOS
Os planos são ilimitados, o que permite que os mesmos alcancem mais de um diedro.
Contudo, priorizaremos o estudo dos planos às suas porções úteis no primeiro diedro. Chama-
se porção útil de um plano num diedro à parte do plano compreendida por seus traços nesse
diedro.
PORÇÃO ÚTIL DO PLANO
NO PRIMEIRO DIEDRO
Analisados em relação aos três planos de
projeção, os planos podem ser distribuídos em três
grupos.
35GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e
consequentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.
Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de
projeção, e consequentemente, oblíquos aos outros dois.
Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção,
consequentemente, jamais será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.
PH
PV PP
Plano de PerfilPlano Horizontal
PH
PV PP
PH
PV PP
Plano Frontal
PHPV
PP
PV
Plano Qualquer
Plano de Topo
PH
PV PP
Plano Vertical
PH
PV PP
Plano Paralelo à LT
PH
PV PP
Plano que Passa pela LT
PV PP
PH
36GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
1 - PLANO HORIZONTAL OU DE NÍVEL (plano projetante no PV e no PP)
Características no Espaço
perpendicular ao PH
paralelo ao PV
perpendicular ao PP
Características em Épura (diedro)
possui apenas o traço horizontal paralelo à LT
Características em Épura (diedro)
possui apenas o traço vertical paralelo à LT
Características no Espaço
paralelo ao PH
perpendicular ao PV
perpendicular ao PP
2 - PLANO FRONTAL OU DE FRENTE (plano projetante no PH e no PP)
PH
PV PP
(L)
L' L''
L'
3 - PLANO DE PERFIL (plano projetante no PH e PV)
Características em Épura (diedro)
os traços horizontal e vertical são
perpendiculares à LT
Características no Espaço
perpendicular ao PH
perpendicular ao PV
paralelo ao PP
PH
PV PP
(F)
F
F"
F
PH
PV PP
(P)
P
P'
Po
P’
P
Po
37GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
4 - PLANO DE TOPO (plano projetante no PV)
Características no Espaço
oblíquo ao PH
perpendicular ao PV
oblíquo ao PP
Características em Épura (diedro)
o traço vertical oblíquo à LT
o traço horizontal perpendicular à LT
PH
PV PP
(T)To
T'
T"
T
Características em Épura (diedro)
traço horizontal oblíquo à LT
traço vertical perpendicular à LT
Características no Espaço
oblíquo ao PH
oblíquo ao PV
perpendicular ao PP
Características em Épura (diedro)
traço horizontal e vertical paralelos à LT
Características no Espaço
perpendicular ao PH
oblíquo ao PV
oblíquo ao PP
6 - PLANO PARALELO À LT (plano projetante no PP)
5 - PLANO VERTICAL (plano projetante no PH)
PH
PV PP
(Z)
Z
Z"Z'
Zo
Z’
Z
Zo
PH
PV PP
(K)
K
K'
K''
K"
K’
K
38GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Características no Espaço
oblíquo ao PH
oblíquo ao PV
oblíquo ao PP
Características em Épura (diedro)
traço horizontal oblíquo à LT
traço vertical oblíquo à LT
Este plano não consegue ser definido por seus traços no diedro, pois para os mesmos
traços pode o plano assumir diferentes angulações com o PV e o PH, necessitando portanto,
de um ponto que o fixe no espaço. No exemplo abaixo o ponto (A) é o ponto auxiliar.
Características no Espaço
oblíquo ao PH
oblíquo ao PV
perpendicular ao PP
Características em Épura (diedro)
traços horizontal e vertical coincidentes com a LT
8 - PLANO QUALQUER ( ÚNICO PLANO NÃO PROJETANTE )
7 - PLANO QUE PASSA PELA LT (plano projetante no PP)
PV PP
PH
X" (A)
A'
A
(X)
X"
X X'
A’ A”
A
PHPV
PP
PV
(Q)
Q"Q'
Q
Qo
Q'
Q
Qo
39GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
D - RETAS DO PLANO
Antes de analisarmos em épura, a pertinência das retas aos planos, apresentaremos
os tipos de retas genéricas que cada plano pode conter. Atente para o fato deque o plano
qualquer é o único plano que contém quatro tipos diferentes de retas, enquanto os demais,
apenas três. Lembre-se que os traços dos planos (que são retas), já revelam tipos de retas
pertencíveis ao plano.
P HP V P P
(t)
(v) (p)
P lano de P e rfil
P lano de Topo
P H
P V P P
(t)
(f)
(q)
P H
P V P P
(fh)
(h)
(t)
P lano H o rizon ta l
P H
P V P P
(fh)
(f)
P lano F ron ta l
P lano P a ra le lo à LT
P H
P V P P(fh)
(p)
(q)
P lano Ve rtica l
P H
P V P P
(v) (q)
(h)
P HP V
P P
P V
(q)
(f)
(p)
(h)
P lano Q ua lque rP lano que P assa pe la LT
P V P P
P H
(fh)
(q)
(p)
h = horizontal f = frontal v = vertical t= de topo fh = fronto-horizontal p = de perfil q = qualquer
40GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
E - PERTINÊNCIA DE RETA A PLANO EM ÉPURA
De maneira prática uma reta pertence a um plano quando possui dois pontos distintos
sobre ele. Apresentaremos cinco condições para uma reta pertencer a um plano para analise
em épura.
As condições 1 e 2 não requerem a utilização dos traços do plano.
1 - Toda reta concorrente com duas retas de um plano, em pontos distintos, pertence
ao plano
2 - Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do mesmo
plano está contida no plano.
x’
x
s’ s’
s s
r’ r’
r r
A' A'
A A
1’
1
2’
2
PH
PV
(s) 
(r) 
(x) 
s’ s’
x’
x
s s
r’ r’
r r
A' A'
A A
1’
1
PH
PV
(s) 
(r) 
(x) 
41GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
4 - Toda reta que se apóia em um dos traços do plano e é paralela ao outro, está
contida no plano.
Quando uma reta ( qualquer ou perfil ) possuir
os dois traços, e estes forem coincidentes (isto só
acontece na LT), embora sejam dois, geometricamente
se constituem em um único ponto, o que não é suficiente
para determinar a pertinência da reta sobre o plano.
Neste caso, faz-se necessário a utilização de um
ponto auxiliar sobre o plano. Veja o exemplo em épura
na página 54 para a reta de perfil e 60 para a reta
qualquer.
3 - Toda reta que tem seus traços (V) e (H) distisntos, sobre os traços de mesmo
nome do plano, está contida no plano.
As condições 3 e 4 utilizam-se dos traços do plano
PV
PH
Qo
Q(H)
(V)
(s) 
Q’
H'
A'
s'
s
A
B'
Q'
Q
Qo
B
V'
H
V
PV
PH
Qo
Q
(A)
(V) (H)
(s) 
Q'
PV
PH
Qo Q(H)
(s) 
Q'
42GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
5 - CASO IMEDIATO (PLANOS PROJETANTES) - Toda reta (neste caso válido para
qualquer ente geométrico póssivel de pertencer a um plano) que possui sua projeção sobre o
traço projetante de mesmo nome, pertence ao plano. (Ver páginas 41e42)
Observe que o único plano não projetante é o plano qualquer, portanto este
está fora desta análise.
 Os demais planos poderão ser analisados no diedro, exceto os planos paralelos à LT
e os planos que passam pela LT, que deverão ser analisados no triedro (uso da terceira
projeção).
É importante salientar que nesta condição de análise, não se necessita dos traços da
reta, mas quando determinados obedecerão às condições respectivas expostas anteriormente.
A seguir apresentaremos através da perspectiva e da épura as retas pertencentes a
cada plano, observe que os traços das retas pertencem aos traços de mesmo nome do plano.
 B 
 a' 
a
A'
A
B'
T'
T
To
 B 
A
 r' A' B'
T'
T
To
Plano de Topo
PH
PV PP
(a)
a
T
To
a'T'
K"
K’
K
A'
H’ H”
V”
s'
s
AH
B'
V’
B
V
s”
A”
B"
K"K'
K
H'
(s) s'
s"
s
H"
V"
V
H(H)
V'(V)
PPPV
PH
(K)
PLANO PARALELO À LT
PLANO PROJETANTE NO PP
43GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO HORIZONTAL
L'
L"
(s) 
s'
s"
s
PPPV
PH
(L)
L"L'
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PH
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s
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RETA DE TOPO
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44GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO FRONTAL
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s
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PH
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RETA VERTICAL
RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETA FRONTAL
H
H
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(H)
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45GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO DE PERFIL
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P
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VG
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P’
P
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RETA DE TOPO
RETA VERTICAL
RETA DE PERFIL 
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Perpendicular à LT
Ortogonal à LT
PPPV
PH
PPPV
PH
PPPV
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(V)
(H)
(H)
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46GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO DE TOPO
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s
A
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H
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V V’ H H’
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RETA FRONTAL
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Reversa à LT
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(H)
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47GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO VERTICAL
CONCORRENTE A L.T.
A' s’
s
A
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B
V'
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RETA QUALQUER
RETA QUALQUER
Reversa à LT
Concorrente à LT
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H”
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(V)
(H)
(H)
(H)
48GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO PARALELO À LT.
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RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETA QUALQUER
Este plano admite somente 
Reta Qualquer Reversa à LT
Este plano admite somente 
Reta de Perfil Ortogonal à LT
RETA DE PERFIL
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s
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(V)
V
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H
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(H)
(H)
49GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO que PASSA Pela LINHA DE TERRA
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VG
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PH
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PPPV
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RETA FRONTO-HORIZONTAL
RETA DE PERFIL
RETA QUALQUER
Este plano admite somente 
Reta Qualquer Concorrente à LT
Este plano admite somente 
Reta de Perfil Perpendicular à LT
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V
V
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H
H’
H’
(V)
(V)
(H)
(H)
X
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50GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO QUALQUER
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V
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s
PPPV
PH
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
Ortogonal à LT
VG
VG
VG
V'
V'
V”
H
H
H”
(V)
(V)
(H)
(H)V H’
51GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Retas pertencentes ao PLANO QUALQUER (continuação)
Quando uma reta qualquer possuir os dois traços coincidentes (isto só acontece na
LT), embora nominalmente sejam dois pontos, geometricamente se constituem em um único
ponto, o que não é suficiente para determinar a pertinência da reta sobre o plano. Assim, faz-
se necessária a utilização de um ponto auxiliar sobre o plano (P) que por sua vez necessita
de uma reta auxiliar (preferencialmente as retas horizontal e frontal do plano).
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RETA QUALQUER
Reversa à LT
Concorrente à LT
(Faz-se necessário o uso de
uma reta e um ponto auxiliar)
VG (da reta auxiliar)
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V
V”
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H”
H”
(V)
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H
H
H’
(V)
(H)
(H)
52GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
PH
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v
F - QUADRO SÍNTESE DE PERTINÊNCIA DE RETA A PLANOS
53GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
O plano (A) pode conter infinitas retas sobre si. Estas retas poderão formar com o o
plano (B) diferentes ângulos que podem variar de 0º a 45º (neste caso o valor de alfa=45º)
A reta (s), perpendicular ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo de
45º.
A reta (t), oblíqua ao traço entre os planos, forma com o plano (B) um ângulo superior a
0º e inferior a 45º.
A reta (u), paralela ao traço entre os planos, forma um ângulo igual a 0º com o plano (B),
estando portanto equidistante em relação ao referido plano.
Observando a reta (s), podemos concluir que toda reta pertencente ao plano (A) que
formar um ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo possível com o plano (B), que é
o valor de alfa.
Se esta análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o Plano Horizontal
de projeção (PH), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o
traço horizontal também formará o maior ângulo possivel com o PH. Estas retas são
denominadas de Retas de Máximo Declive.
(s)
(i)
(A)
(B)
(t)
(u)
(t)
(u)
(s)
G - RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (MD) E MÁXIMA INCLINAÇÃO (MI).
São as retas de um plano que formam o maior ângulo possível com os planos Horizontal
e/ou Vertical de projeção respectivamente, ou seja, formam o mesmo ângulo que o plano, ao
qual pertencem, forma com o PV e ou com o PH.
Sendo a reta (i) o traço (interseção) entre os planos genéricos (A) e (B), que formam
entre si um ângulo alfa, podemos fazer as seguintes considerações. (Tomemos alfa = 45º por
exemplo)
(s)
PH
TRAÇO HORIZONTAL
RETA DE MÁXIMO DECLIVE RETA DE MÁXIMA INCLINAÇÃO
(s)
PV
TR
AÇ
O 
VE
RT
IC
AL
No entanto se a mesma análise for estendida aos planos que possuem traços sobre o
Plano Vertical de projeção (PV), podemos afirmar que: toda reta do plano, que formar um
ângulo reto com o traço vertical também formará o maior ângulo possivel com o Pv. Estas
retas são denominadas de Retas de Máxima Inclinação
54GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNES FERREIRA
Todo este raciocínio exemplificado através de planos não projetantes é extensivo aos
planos projetantes em relação ao PH e PV (Os planos projetantes são aqueles perpendiculares
aos planos de projeção). O fato do plano ser ou não ser projetante interfere apenas na
representação em épura.
Observe que nos planos NÃO PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço do plano
gera sobre o PH ou PV, uma projeção também perpendicular ao traço.
Já nos planos PROJETANTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular
ao PH ou PV, gerando assim, uma projeção pontual sobre o traço correspondente.
(s) (s)
(A)
(A)
(s)
(s)
(A)
(A)
(PH)
(PV) (PV)
(PH)
TRAÇO HORIZONTAL
TRAÇO HORIZONTAL
TR
AÇ
O 
VE
RT
OC
AL
TR
AÇ
O 
VE
RT
OC
AL
Vejamos estas retas de MD e MI no plano Qualquer.
Em épura a reta de máximo declive de planos não projetantes no PH, é caracterizada
por possuir sua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal.
Na página seguinte, apresentamos um quadro síntese com todos os Planos e suas
respectivas retas de máximo declive e/ou máxima inclinação.
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90º
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55GEOMETRIA DESCRITIVA
EBER NUNESFERREIRA
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(t)
PH
PV
(v)
PH
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PH
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PH
PV
(h)
PH
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(t)
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PH
PH
PV
(v)
PV
(p)
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Q’
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V’
V H’
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Q’
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Qo
s'
90º
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M”
M
MÁXIMA
 INCLINAÇÃO
MÁXIMO
DECLIVE
MÁXIMO
DECLIVE
MÁXIMA
 INCLINAÇÃO
H - QUADRO SÍNTESE DE RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCILNAÇÃO.