Unidade 02 - Limite

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE
FACULDADE DE FARMÁCIA
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE ANÁLISES DE DADOS
Prof. Antonio dos Santos Silva 
Matemática
Unidade II: Limite e Continuidade
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Considere a função:
 f(x) = x2 – 1. 
Bem definida para qualquer valor xo !
Imagens
 de f(x)
Domínio
 de f(x)
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Considere a função:
 g(x) = x2 – 1.
 x – 1 
Não é definida para xo = 1!
	g(x) = 0
 0 
?
A f(x) só é definida para:
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Qual o comportamento de g(x) quando x assume valores muito próximos de 1, porém diferente de 1?
Aproximação pela esquerda
Aproximação pela direita
2
2
 O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2.
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Simbolicamente:
Aproximação pela esquerda
Aproximação pela direita
Limites Laterais
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Graficamente:
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Unidade II: Limite e Continuidade
1- Noção Intuitiva de Limite
 Seja f uma função definida em um intervalo I contido em R, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L (pertencente a R), e escrevemos:
se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é,
Caso contrário, dizemos que o limite não existe.
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Unidade II: Limite e Continuidade
2- Reta Tangente e Limite
  Em Geometria Plana diz-se que uma reta é tangente a um círculo se o encontra precisamente em um único ponto P.
  Em Geometria Plana diz-se que uma reta é secante a um círculo se o encontra precisamente em dois pontos, P e Q.
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Unidade II: Limite e Continuidade
2- Reta Tangente e Limite
  A reta tangente pode ser tomada como sendo um caso de limite, quando o ponto Q tende ao ponto P, pelo “giro” da reta que passa em P e Q, em relação ao ponto P.
Q
P (fixo)
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Unidade II: Limite e Continuidade
3- Regras Para Cálculos de Limites
  A seguir são apresentadas algumas regras básicas para o cálculo de limites de funções.
 Regra 1: Função Constante
 Exemplo 1
 Regra 2: Função Identidade
 Exemplo 2
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Unidade II: Limite e Continuidade
3- Regras Para Cálculos de Limites
 Regra 3: Função Afim
 Exemplo 3
 Regra 4: Função Inversa de x
Valor numérico da função!
Valor numérico da função,  a  0!
 Exemplo 4
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Unidade II: Limite e Continuidade
3- Regras Para Cálculos de Limites
 Regra 4: Função Inversa de x
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Unidade II: Limite e Continuidade
3- Regras Para Cálculos de Limites
 Regra 4: Função Inversa de x
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Unidade II: Limite e Continuidade
3- Regras Para Cálculos de Limites
 Regra 4: Função Inversa de x
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
  Os limites de funções reais, f(x) e g(x), apresentam as seguintes propriedades algébricas.
  Sendo:
  Então:
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
  Sendo:
  Então:
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
8)
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
9) Determine o limite quando x tende a 3 do seguinte polinômio:
 Aplicando-se as propriedades dos limites:
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
 Note que o resultado final é o próprio valor numérico da função no ponto dado!!!
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Unidade II: Limite e Continuidade
4- Propriedades Algébricas dos Limites
 Exemplos
10) Determine os seguintes limites:
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
  Os limites de funções reais para x tendendo a +∞ ou -∞ repre-sentam, respectivamente, a situação na qual a função cresce ou decres-ce sem parar.
  Os limites de funções reais do tipo xn, para x tendendo a +∞ ou -∞ obedecem as regras já estudadas.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
  Se tem que:
 A multiplicação de xn por um número k positivo não altera os resultados acima, mas por um número k negati-vo ocorre a inversão de sinais.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Exemplo 1: Determine os limites a seguir.
 Solução
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Solução
 Para as funções constantes, os limites são as próprias constantes!
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Solução
  Os limites de funções reais do tipo x-n, para x tendendo a +∞ ou -∞ é igual a zero.
 Exemplo 2: Determine os limites a seguir.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Solução
  O comportamento final (limite) de um polinômio coincide com o comportamento final (limite) de seu termo de maior grau.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Exemplo 3: Determine os limites a seguir.
 Solução
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Exemplo 4: Determine os limites a seguir.
 Solução
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Exemplo 5: Determine os limites a seguir.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
  Tem-se as seguintes regras:
 Exemplo 6: Determine os limites a seguir.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Solução
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 Exemplo 7: Determine os limites a seguir.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
Exemplo 8: Determine os seguintes limites:
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
Exemplo 9: A concentração de um medicamento no sangue de um paciente t horas após uma injeção é C(t) miligramas por mililitros, onde:
Qual é a concentração do medicamento imediatamente após a injeção (ou seja, t = 0 hora)?
b) Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração “a longo prazo”?
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
Solução
Qual é a concentração do medicamento imediatamente após a injeção (ou seja, t = 0 hora)?
Basta achar o valor numérico de C para zero!
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
b) Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração “a longo prazo”?
Isto indica um limite do tempo tendendo ao infinito!
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
Graficamente:
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
Exemplo 10: Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é N, a produtividade Y pode ser modelada pela função de Michaellis-Menten:
Onde A e B são constantes positivas. O que acontece com a produtividade se o teor de nitrogênio aumenta indefinidamente?
Solução
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
 A produtividade tende ao valor A se o teor N de nitrogênio aumenta indefinidamente.
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
  Os símbolos de mais ou de menos infinitos obedecem as seguintes regras algébricas:
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Unidade II: Limite e Continuidade
5- Limites no Infinito
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do tipo 0/0
 Quando a função apresenta uma indeterminação do tipo 0 divido por 0, devemos tentar remover tal indeterminação simplificando a expressão envolvida.
 Fatoração.
 Briot Ruffini.
 Conjugado de radical.
 Etc.
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
Exemplo 4: Determine onde
Exemplo 5: Determine onde
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
Relembrando!!
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
Relembrando!!
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Unidade II: Limite e Continuidade
6- Indeterminações do Tipo 0/0
Relembrando!!
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Unidade II: Limite e Continuidade
7- Continuidade de Funções
 Dizemos que uma função real f(x) é contínua em certo ponto c, se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas:
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Unidade II: Limite e Continuidade
7- Continuidade de Funções
Exemplo 1: Determine se as seguintes funções são contínuas em x = 2.
Solução
 Não é definida, logo é des-contínua!
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Unidade II: Limite e Continuidade
7- Continuidade de Funções
 Como o limite em x = 2 é diferente do valor da função em 2, logo a função é descontínua em x = 2!
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Unidade II: Limite e Continuidade
7- Continuidade de Funções
 Como o limite em x = 2 é igual ao valor da função em 2, logo a função é contínua em x = 2!
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Unidade II: Limite e Continuidade
7- Continuidade de Funções
Exemplo 2: Determine se as seguintes funções são contínuas em x = 3.
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Unidade II: Limite e Continuidade
Fim
Prof. Antonio Silva