Lista de Exrecícios 1

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Lista de Exerc´ıcios - P1
1. Mostre que as matrizes do tipo A =
[
1 1
y
y 1
]
, com y 6= 0, satisfazem a equac¸a˜o X2 = 2X.
2. Resolva pelo me´todo de Gauss-Jordan o seguinte sistema:

−x + 2y + 3z = 3
2x− 5y + z = 0
3y − z = 2
3. Seja A =
 0 −3 21 −1 0
4 −9 5
. Encontre a soluc¸a˜o geral dos seguintes sistemas:
(a) (A + I3)X3×1 = 0¯3×1.
(b) (A− 2I3)X3×1 = 0¯3×1.
4. (a) Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A =
 0 −3 2−5 −a 0
4 0 1
 seja
invers´ıvel. Encontre a inversa de A quando a = −2.
(b) A matriz A =

0 −2 0 1
−5 4 0 −3
4 0 1 0
2 −2 1 1
 e´ invers´ıvel?
5. Dizemos que uma matriz A e´ ortogonal se A−1 = At, isto e´, se AAt = AtA = I. Verifique
que se A e´ ortogonal enta˜o det(A) = 1 ou det(A) = −1.
6. Se A e´ uma matriz n× n e A4 = 0¯, mostre que
(In − A)−1 = In + A + A2 + A3.
7. (a) Determine o ponto C tal que ~AC = 3 ~AB, sendo A = (−1, 3) e B = (2,−7).
(b) Os pontos A = (−2, 2, 6), B = (8, 4,−6) e C = (14, 4,−15) pertencem a uma mesma
reta?
(c) Verifique se U e´ combinac¸a˜o linear de V e W , onde U = (10, 2,−9), V = (2, 1, 3) e
W = (−2, 0, 5).
(d) Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo ABCD.
8. (a) Verifique se os vetores V1 = (2, 1, 1), V2 = (−3, 0, 1) e V3 = (−1, 1, 2) sa˜o l.i. ou l.d..
(b) Mostre que os vetores ~0, V2, . . . , Vn sa˜o l.d. para quaisquer vetores V2, . . . , Vn.
9. Prove que se os vetore U, V,W sa˜o l.i., enta˜o os vetores U + V + W,U − V, 3V tambe´m
sa˜o l.i..
10. Sendo E = {e1, e2, e3}, F = {f1, f2, f3} bases do espac¸o, encontre a matriz mudanc¸a base
sabendo que f1 = e1 − e2, f2 = e3, f3 = e2 + e3. Determine as coordenadas do vetor
VF = (2,−1, 1)F em relac¸a˜o a` base E.