Cálculo Diferencial e Integral

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CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL
Professora Me. Alexandra Yatsuda Fernandes Brescansin
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; BRESCANSIN, Alexandra Yatsuda Fernandes. 
 
 Cálculo Diferencial e Integral. Alexandra Yatsuda Fernandes 
Brescansin.
 Reimpressão.
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
 307 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Cálculo. 2. Diferencial. 3. Integral. 4. EaD. I. Título.
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção Operacional de Ensino
Kátia Coelho
Direção de Planejamento de Ensino
Fabrício Lazilha
Direção de Operações
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Direção de Mercado
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Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Head de Produção de Conteúdos
Rodolfo Encinas de Encarnação Pinelli
Gerência de Produção de Conteúdos
Gabriel Araújo
Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais
Nádila de Almeida Toledo
Supervisão de Projetos Especiais
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Coordenador de Conteúdo
Ivnna Gurniski de Oliveira
Design Educacional
Yasminn Zagonel
Iconografia
Amanda Peçanha dos Santos
Ana Carolina Martins Prado
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
André Morais de Freitas
Editoração
Victor Augusto Thomazini
Matheus Felipe Davi
Revisão Textual
Yara Martins Dias
Daniela Ferreira dos Santos
Ilustração
Marta Sayuri Kakitani
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou 
seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de 
Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista 
às aulas ao vivo e participe das discussões. Além dis-
so, lembre-se que existe uma equipe de professores 
e tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendiza-
gem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e 
segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
R
Professora Me. Alexandra Yatsuda Fernandes Brescansin
Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade 
Estadual de Maringá (UEM) no ano de 1995. Mestrado em Matemática pela 
Universidade de São Paulo (USP) no ano de 1999. Atualmente, é professora 
titular da Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari (FAFIMAN). 
Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Álgebra e Cálculo. 
SEJA BEM-VINDO(A)!
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)! Preparei este material com a pretensão de apre-
sentar a você os conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral, para que eles sejam 
aplicados em diversas áreas do conhecimento, que fazem uso desta importante teoria. 
Os assuntos abordados neste livro são os de limite, derivada e integral de funções de 
uma variável real. O material foi desenvolvido de forma que os conceitos e resultados 
apresentados, sempre que possível, sejam acompanhados do seu significado geomé-
trico. A visualização de gráficos referentes a problemas e resultados serão um auxiliar 
valioso na aprendizagem. Minha intenção é apresentar as ideias de cada assunto, os re-
sultados e demonstrações mais interessantes, acompanhados de exemplos ilustrativos, 
e desenvolver, dessa forma, competência técnica e compreensão dos conceitos. Espero 
que as atividades propostas em cada unidade direcionem você para isso. Vamos percor-
rer juntos essa jornada? Este material está dividido em cinco unidades.
O conjunto dos números reais e as funções reais de uma variável real são os objetos prin-
cipais de estudo da unidade I e constituem uma base fundamental para a compreensão 
do cálculo. Você irá perceber que esses conteúdos estiveram presentes no decorrer de 
seus anos de estudo no ensino fundamental e médio. Trata-se, portanto, de uma revisão 
e um aprofundamento de tais temas.
Os principais conceitos do cálculo são definidos em termos de limites de uma função. 
Neste texto, a noção de limite, conteúdo da unidade II, é discutida e motivada de manei-
ra intuitiva, utilizando tabelas e gráficos, de forma a facilitar a compreensão da comple-
xa definição formal de limite.
O cálculo consiste de duas partes essenciais:o cálculo diferencial e o cálculo integral. 
Na unidade III, tratarei do cálculo diferencial, que se baseia na derivada. Além de uma 
abordagem geométrica, irei apresentar a relação do conceito de derivada com outra 
interpretação importante: a taxa de variação instantânea.
Assim como o conceito de derivada está intimamente ligado ao problema de encontrar 
uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto, o problema básico do cál-
culo integral é o problema das áreas. Na unidade IV, usarei esse problema geométrico 
como motivação para definir o conceito básico do cálculo integral: a integral definida.
Na unidade V, finalizo com algumas aplicações da derivada e da integral definida. Entre 
elas, problemas que envolvem máximo e mínimos e podem ser tratados com o auxílio 
da derivada e o cálculo de volume de sólidos de revolução, conceito que pode ser inves-
tigado utilizando a integral definida.
Sugiro que você estude o texto, acompanhe atentamente os exemplos ilustrativos e 
depois, resolva as atividades propostas, inclusive, se possível, faça uso de um software 
matemático na construção de gráficos e análise crítica dos resultados.
APRESENTAÇÃO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Enfim, resta-me desejar bom trabalho a você, aluno(a). Que este material consiga 
despertar uma fagulha do seu interesse pela pesquisa e pelo conhecimento do Cál-
culo Diferencial e Integral.
Especiais agradecimentos para a Professora Mestre Edvania Gimenez de Oliveira Go-
doy pela leitura, correções e sugestões para aprimoramento do texto.
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
15 Introdução
16 Números Reais 
26 Funções e seus Gráficos 
36 Álgebra das Funções 
39 Classes de Funções 
60 Funções Inversas 
71 Considerações Finais 
81 Referências 
82 Gabarito 
UNIDADE II
LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
87 Introdução
88 O Conceito de Limite 
95 Cálculo de Limites usando suas Propriedades 
104 Limites Laterais 
108 Limites Infinitos, Limites no Infinito e Assíntotas 
120 Funções Contínuas 
125 Considerações Finais 
SUMÁRIO
10
134 Referências
136 Gabarito 
UNIDADE III
DERIVADAS
141 Introdução
142 Reta Tangente e a Derivada 
156 Regras de Derivação 
165 Regra da Cadeia 
169 Derivada das Funções Exponenciais e Trigonométricas 
175 Derivação Implícita e Derivada de Funções Inversas 
182 Considerações Finais 
189 Referências 
190 Gabarito 
UNIDADE IV
INTEGRAIS
195 Introdução
196 Primitivas e a Integral Indefinida 
203 Integração por Substituição e Integração por Partes 
209 Área e a Integral Definida 
219 Teorema Fundamental do Cálculo 
SUMÁRIO
11
225 Tópicos Adicionais de Integração
237 Considerações Finais 
247 Referências 
248 Gabarito 
UNIDADE V
APLICAÇÕES DA DERIVADA E DA INTEGRAL DEFINIDA
253 Introdução
254 Aplicações da Derivada 
285 Aplicações da Integral Definida 
296 Considerações Finais 
305 Referências 
306 Gabarito 
 
307 CONCLUSÃO 
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Professora Me. Alexandra Yatsuda Fernandes Brescansin
FUNÇÕES DE UMA 
VARIÁVEL REAL
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Revisar o conjunto dos números reais.
 ■ Compreender o conceito de Função e reconhecer formas de 
representá-la matematicamente, relacionando-as.
 ■ Definir e aplicar Operações Algébricas com funções.
 ■ Identificar Funções Polinomiais, Racionais, Trigonométricas e 
Exponenciais e aplicar algumas de suas propriedades básicas.
 ■ Analisar as características da Função Inversa e conhecer algumas de 
suas propriedades básicas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Números Reais
 ■ Funções e seus gráficos
 ■ Álgebra das funções 
 ■ Classes de funções
 ■ Funções inversas
Introdução
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INTRODUÇÃO
Olá, seja bem-vindo(a)! Nesta primeira unidade, você irá estudar basicamente 
dois conteúdos: o conjunto dos números reais e as funções. Esses conteúdos 
estão presente em todas as séries do Ensino Fundamental e Médio e 
constituem uma base fundamental para compreensão do Cálculo Diferencial e 
Integral. Inicialmente, faremos uma breve revisão do conjunto dos números 
reais, apresentando definições, propriedades e exemplos que envolvem 
desigualdades e módulo de um número real. Ressaltamos que nosso curso 
será pautado neste conjunto. 
Em seguida, vamos estudar o conceito de função, uma das noções principais 
da matemática. A noção de função foi construída e aperfeiçoada ao longo de 
vários séculos e seu conceito atual resultou da investigação de vários 
matemáticos. De forma geral, o conceito de função trata essencialmente da 
correspondência entre conjuntos, não necessariamente numéricos. Em nosso 
estudo, os conjuntos envolvidos serão subconjuntos do conjunto dos números 
reais, , e as funções neles definidas são chamadas funções reais de uma 
variável real. Nesse contexto, podemos dizer que função é uma regra que nos 
diz como uma quantidade variável depende de outra, o que permite descrever 
muitos fenômenos do mundo real. 
Enfatizamos que uma função pode ser representada de várias maneiras, e, 
para possibilitar a representação geométrica dessas funções (gráficos), 
introduzimos o sistema de coordenadas cartesianas, que nos permite 
representar os pontos no plano utilizando pares ordenados e números reais. 
Estudaremos, também, os principais tipos de funções que ocorrem no cálculo: 
polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais, explorando e discutindo 
suas propriedades e gráficos. 
Finalizamos esta unidade com o estudo das funções inversas, utilizando seu 
conceito e propriedades na definição das funções logarítmicas e das funções 
trigonométricas inversas. 
reais, , e as funções neles definidas são chamadas 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E16
NÚMEROS REAIS NÚMEROS REAIS 
Números naturais, inteiros e racionais 
Indicaremos com o símbolo o conjunto dos números naturais:
.
Designaremos com o símbolo o conjunto dos números inteiros: 
. 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma de 
uma fração, em que e são inteiros e . O conjunto dos números 
racionais é indicado por , assim: 
. 
Exemplos: 
Para obtermos a representação decimal de uma fração , basta efetuar a 
divisão de por . 
Exemplos: 
Assim, a representação decimal de um número racional (fracionário) pode ser 
uma decimal exata ou uma decimal infinita periódica (dízima periódica) . 
Conjunto dos números reais 
Vimos anteriormente que os números racionais admitem uma representação 
decimal exata, ou infinita periódica. Aqueles números cuja representação 
decimal é infinita não periódica, chamam-se números irracionais. 
Indicaremos com o símbolo o conjunto dos 
Designaremos com o símbolo o conjunto dos 
 são inteiros e . O conjunto dos números 
racionais é indicado por , assim: 
divisão de por .divisão de por .
Números Reais
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Exemplos de números irracionais: 
(número de Euler) 
O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais e será indicado por . 
Representação geométricados números reais 
Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de 
uma reta, chamada reta real ou reta numérica. 
Como construir a reta real? 
Inicialmente, considere um ponto arbitrário de uma reta orientada, chamado 
de origem, a ele associe o número 0. Escolha uma unidade conveniente de 
medida, e à direita da origem, marque um ponto para representar o número 
1:
Figura 1 - Unidade de Comprimento
Fonte: a autora. 
À partir da medida do segmento de extremidades 0 e 1, marque os 
representantes dos demais números reais. 
Assim, é possível associar os números reais aos pontos de uma reta de forma 
que cada número real corresponda um único ponto, e, reciprocamente, cada 
ponto da reta corresponda a um único número real. Os números reais 
associados a pontos à direita da origem são os números reais positivos, e os 
associados a pontos à esquerda da origem, os números reais negativos. O 
número zero não é positivo, nem negativo. 
Exemplos de números irracionais: 
(número de Euler) 
O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais e será indicado por . 
Representação geométrica dos números reais 
Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de 
uma reta, chamada reta real ou reta numérica. 
Como construir a reta real? 
Inicialmente, considere um ponto arbitrário de uma reta orientada, chamado 
de origem, a ele associe o número 0. Escolha uma unidade conveniente de 
medida, e à direita da origem, marque um ponto para representar o número 
1:
Figura 1 - Unidade de Comprimento
Fonte: a autora. 
À partir da medida do segmento de extremidades 0 e 1, marque os 
representantes dos demais números reais. 
Assim, é possível associar os números reais aos pontos de uma reta de forma 
que cada número real corresponda um único ponto, e, reciprocamente, cada 
ponto da reta corresponda a um único número real. Os números reais 
associados a pontos à direita da origem são os números reais positivos, e os 
associados a pontos à esquerda da origem, os números reais negativos. O 
número zero não é positivo, nem negativo. 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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O número associado a um ponto da reta numérica é chamado de coordenada
ou abscissa do ponto. 
Figura 2 - Reta numérica
Fonte: a autora. 
Desigualdades
A construção da reta numérica sugere que o conjunto dos números reais é 
ordenado, ou seja, existe uma relação de ordem que permite compará-los e 
dizer quando um número real é maior ou menor que outro. 
Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a esquerda de .
Dizemos que é maior do que e escrevemos se for um 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a direita de .
O símbolo ( menor ou igual que ) significa que ou e o 
símbolo ( maior ou igual que ) significa que ou . 
Propriedades para desigualdades: se e são números reais quaisquer, 
então: 
I. Se , então, .
II.Se e , então, .
III.Se e , então, .
Observe que as propriedades (II) e (III) significam que uma desigualdade é 
mantida quando seus membros são multiplicados por um número positivo, mas 
é invertida quando são multiplicados por um número negativo. 
Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a esquerda de 
Dizemos que é maior do que e escrevemos Dizemos que é maior do que e escrevemos 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a direita de 
 ( menor ou igual que ) significa que ( menor ou igual que ) significa que 
símbolo ( maior ou igual que ) significa que símbolo ( maior ou igual que ) significa que símbolo ( maior ou igual que ) significa que . 
O número associado a um ponto da reta numérica é chamado de coordenada
ou abscissa do ponto. 
Figura 2 - Reta numérica
Fonte: a autora. 
Desigualdades
A construção da reta numérica sugere que o conjunto dos números reais é 
ordenado, ou seja, existe uma relação de ordem que permite compará-los e 
dizer quando um número real é maior ou menor que outro. 
Dizemos que é menor do que e escrevemos se for um 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a esquerda de .
Dizemos que é maior do que e escrevemos se for um 
número positivo. Na reta numérica, temos que está a direita de .
O símbolo ( menor ou igual que ) significa que ou e o 
símbolo ( maior ou igual que ) significa que ou . 
Propriedades para desigualdades: se e são números reais quaisquer, 
então: 
I. Se , então, .
II.Se e , então, .
III.Se e , então, .
Observe que as propriedades (II) e (III) significam que uma desigualdade é 
mantida quando seus membros são multiplicados por um número positivo, mas 
é invertida quando são multiplicados por um número negativo. 
Números Reais
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Expressões que envolvem os símbolos acima são chamadas desigualdades
ou inequações. 
Resolver uma inequação é encontrar todos os valores de que satisfaçam uma 
desigualdade, para isso, usaremos, principalmente, as propriedades 
apresentadas neste tópico. 
Exemplo 1 (inequações): resolva a inequação .
Propriedade (I) 
Propriedade (II) 
A solução da inequação será, então, o conjunto de todos os valores de que 
são menores ou iguais a 2, ou seja: 
Exemplo 2 (inequações): resolva a inequação .
Propriedade (I) 
Propriedade (I) 
Propriedade (III) 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E20
Logo, é o conjunto solução da inequação dada. 
Exemplo 3 (inequações): resolva as desigualdades .
Propriedade (I) 
Propriedade (II) 
Assim, obtemos o conjunto solução . 
Exemplo 4 (inequações): resolva a inequação .
Primeiro, vamos fatorar o lado esquerdo, obtendo a inequação equivalente: 
. 
Resolver essa inequação significa encontrar todos os valores de que tornam 
a desigualdade verdadeira, ou seja, que tornam o produto 
positivo. Assim, a desigualdade terá solução se os fatores e
forem ambos positivos ou ambos negativos. Inicialmente, vamos verificar para 
quais valores de cada fator é positivo, negativo ou nulo: 
 é o conjunto solução da inequação dada. 
Resolver essa inequação significa encontrar todos os valores de que tornam 
positivo. Assim, a desigualdade terá solução se os fatores 
Números Reais
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21
Essa discussão pode ser representada da seguinte forma: 
Assim, 
Logo, o conjunto a solução da inequação será: 
#QR-CODE#
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, a resolução desse problema. 
#QR-CODE#
Essa discussão pode ser representada da seguinte forma: 
Assim, 
Logo, o conjunto a solução da inequação será: 
#QR-CODE#
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, a resolução desse problema. 
#QR-CODE#
Essa discussão pode ser representada da seguinte forma: 
Assim, 
Logo, o conjunto a solução da inequação será: 
#QR-CODE#
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, a resoluçãodesse problema. 
#QR-CODE#
Essa discussão pode ser representada da seguinte forma: 
Assim, 
Logo, o conjunto a solução da inequação será: 
#QR-CODE#
Para melhor compreensão, assista, no vídeo, a resolução desse problema. 
#QR-CODE#
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E22
#Saiba mais# 
 Quando a equação possui as raízes reais e , podemos 
escrever sua forma fatorada: 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
Intervalos 
Destacaremos certos subconjuntos infinitos dos números reais, chamados 
intervalos, os quais correspondem geometricamente a segmentos de reta. 
Sejam e dois números reais, com . Um intervalo em é um 
subconjunto de que tem uma das seguintes formas: 
Quadro 1 - Intervalos
Tipos de intervalo Notação Representação geométrica 
Intervalo aberto 
Intervalo fechado 
Intervalos mistos
Fonte: a autora. 
Podemos ter intervalos que não são limitados em alguma extremidade, 
chamados de intervalos infinitos. 
Sejam dois números reais, com . Um intervalo em é um 
#Saiba mais# 
 Quando a equação possui as raízes reais e , podemos 
escrever sua forma fatorada: 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
Intervalos 
Destacaremos certos subconjuntos infinitos dos números reais, chamados 
intervalos, os quais correspondem geometricamente a segmentos de reta. 
Sejam e dois números reais, com . Um intervalo em é um 
subconjunto de que tem uma das seguintes formas: 
Quadro 1 - Intervalos
Tipos de intervalo Notação Representação geométrica 
Intervalo aberto 
Intervalo fechado 
Intervalos mistos
Fonte: a autora. 
Podemos ter intervalos que não são limitados em alguma extremidade, 
chamados de intervalos infinitos. 
 possui as raízes reais 
Números Reais
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Quadro 2 - Intervalos infinitos
Intervalos 
infinitos
Fonte: a autora. 
O conjunto solução de desigualdades é, em geral, dado por um intervalo ou 
uma reunião de intervalos. 
Valor absoluto ou módulo de um número real 
Vimos anteriormente que, se é um número real, então, é a coordenada de 
algum ponto da reta numérica. Usa-se o símbolo para denotar o número 
de unidades (ou a distância) entre e a origem, independentemente do 
sentido.
Figura 3 - Módulo de um número real
Fonte: a autora. 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E24
De modo geral, temos a seguinte definição: 
Definição (módulo ou valor absoluto): seja um número real; definimos o 
módulo (ou valor absoluto) de por: 
Exemplos (módulo):
Observações: 
1) De acordo com a definição acima, o módulo de um número real é sempre
positivo ou nulo. 
2) Considerando os números reais e coordenadas dos pontos e sobre a 
reta, o módulo da diferença representa a distância (sempre positiva) 
entre os pontos e . 
Figura 4 - Módulo da diferença de dois números reais
Fonte: a autora. 
3) Não cometa o erro de escrever que . Essa afirmação só é
verdadeira se for um número real não negativo. Se considerarmos ,
por exemplo, temos:
2) Considerando os números reais coordenadas dos pontos coordenadas dos pontos sobre a 
entre os pontos 
3) Não cometa o erro de escrever que . Essa afirmação só 
verdadeira se for um número real não negativo. 
Números Reais
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Portanto, para todo número real, a afirmação correta é: 
. 
As seguintes propriedades são válidas e frequentemente usadas para resolver 
equações e desigualdades envolvendo módulo de um número real. 
Seja , então: 
.Exemplo 5 (equação modular): resolva a equação
Usando a propriedade , temos:
Portanto as duas soluções da equação dada são: 
Exemplo 6 (inequação modular): determinar o intervalo que satisfaz a
inequação .
Usando a propriedade de módulo , temos: 
Portanto o conjunto solução será: 
inequação .
Usando a propriedade de módulo , temos: 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E26
Graficamente, 
Apresentamos a seguir mais duas importantes propriedades de módulo: 
Suponhamos e números reais quaisquer, então: 
#Saiba mais# 
Desde que não sejam axiomas ou definições, afirmações matemática, tais 
como teoremas, proposições e propriedades, só são verdadeiras se tiverem 
uma demonstração formal. As demostrações das propriedades de 
desigualdades e valor absoluto apresentadas neste tópico podem ser 
encontradas em Flemning, Diva Marília, Gonçalves, Mirian Buss (2006). 
Fonte: a autora.
#Saiba mais# 
FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS 
Conceito de função 
Estudamos no ensino básico muitas situações que relacionam números 
utilizando alguma regra. Podemos citar os seguintes exemplos:
1) A fórmula ou regra que relaciona a área e o raio de um círculo 
é:
Graficamente, 
Apresentamos a seguir mais duas importantes propriedades de módulo: 
Suponhamos e números reais quaisquer, então: 
#Saiba mais# 
Desde que não sejam axiomas ou definições, afirmações matemática, tais 
como teoremas, proposições e propriedades, só são verdadeiras se tiverem 
uma demonstração formal. As demostrações das propriedades de 
desigualdades e valor absoluto apresentadas neste tópico podem ser 
encontradas em Flemning, Diva Marília, Gonçalves, Mirian Buss (2006). 
Fonte: a autora.
#Saiba mais# 
FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS 
Conceito de função 
Estudamos no ensino básico muitas situações que relacionam números 
utilizando alguma regra. Podemos citar os seguintes exemplos:
1) A fórmula ou regra que relaciona a área e o raio de um círculo 
é:
Graficamente, 
Apresentamos a seguir mais duas importantes propriedades de módulo: 
Suponhamos e números reais quaisquer, então: 
#Saiba mais# 
Desde que não sejam axiomas ou definições, afirmações matemática, tais 
como teoremas, proposições e propriedades, só são verdadeiras se tiverem 
uma demonstração formal. As demostrações das propriedades de 
desigualdades e valor absoluto apresentadas neste tópico podem ser 
encontradas em Flemning, Diva Marília, Gonçalves, Mirian Buss (2006). 
Fonte: a autora.
#Saiba mais# 
FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS 
Conceito de função 
Estudamos no ensino básico muitas situações que relacionam números 
utilizando alguma regra. Podemos citar os seguintes exemplos:
1) A fórmula ou regra que relaciona a área e o raio de um círculo 
é:
A fórmula ou regra que relaciona a área e o raio de um círculo A fórmula ou regra que relaciona a área e o raio de um círculo 
FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS
Funções e seus Gráfi cos
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2) A distância , em metros, percorrida por um corpo em queda livre
sob a ação da gravidade, após ser solto do estado de repouso, na
ausência de atrito com o ar, é dada pela regra:
, 
na qual representa a aceleração da gravidade ( ) e 
 representa o tempo (em segundos). 
Os dois exemplos anteriores têm em comum o fato de representarem uma 
relação de dependência entre grandezas: 
“área do círculo depende do raio”,“distância percorrida depende do tempo”.
Além disso, 
“cada raio corresponde a uma única área ”,
“cada instante corresponde a uma única distância percorrida ”.
Essas são características que definem uma função em termos matemáticos e 
podem ser sintetizadas de várias formas, iremos adotar a seguinte: 
Definição (funções): sejam e subconjuntos de . Uma função real de 
variável real definida em e com valores em é uma regra ou lei de 
correspondência que associa a cada elemento de um único elemento de
. 
O conjunto é o domínio de e indicaremos por . 
O conjunto é chamado de contradomínio da função. 
O único elemento de associado ao elemento de é denotado por 
(leia: de ).
O conjunto de todos os valores de , quando percorre o 
domínio da é denominado conjunto imagem de e indicado por . 
A distância , em metros, percorrida por um corpo em queda livre
na qual representa a aceleração da gravidade (
 corresponde a uma 
 corresponde a uma 
subconjuntos de . 
 um
O conjunto é o e indicaremos por . 
O conjunto é chamado de 
O conjunto de todos os valores de , quando percorre o O conjunto de todos os valores de , quando percorre o 
domínio da é denominado e indicado por . 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E28
Uma função de domínio e contradomínio é usualmente denotada 
por: 
; . 
O número é chamado variável independente da função e variável 
dependente da função. 
Exemplo 7 (função): retomando o exemplo da área do círculo, a regra
que define a área em função do raio, pode ser escrita como:
Para calcular a área de um círculo com raio de 3 centímetros , basta substituir 
por 3. Assim, a área desse círculo é:
Apesar do domínio da função não estar explícito, os possíveis valores para 
são os números reais não negativos. Nesse exemplo, é a variável 
independente e a variável dependente. 
Exemplo 8 (função): considere a função definida pela regra 
. Calcule: e
. 
Como determinar o domínio de uma função?
Em nosso estudo, estamos considerando somente as funções reais de variável 
real, que usualmente são caracterizadas apenas pela fórmula que a define. 
Nesse caso, ficará implícito que o contradomínio é , e o domínio, o conjunto 
de todos os números reais para os quais a fórmula faz sentido. Por exemplo, 
na função dada por:
Uma função de domínio e contradomínio é usualmente denotada Uma função de domínio e contradomínio é usualmente denotada Uma função de domínio e contradomínio é usualmente denotada 
O número é chamado da função e variável 
são os números reais não negativos. Nesse exemplo, é a variável 
independente e a variável dependente. 
Calcule: 
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, 
o domínio consiste em todos os números reais , exceto quando , o qual 
pode ser representado da seguinte forma: 
. 
Sistema de coordenadas cartesianas no plano e gráficos de funções
Da mesma maneira que os números reais podem ser representados por pontos 
na reta numérica, pares ordenados de números reais podem ser representados 
em um plano cartesiano, que consiste em um plano munido de um sistema de 
coordenadas cartesianas.
Como construir o plano cartesiano? 
Considere duas retas reais perpendiculares, uma das quais normalmente é 
escolhida como sendo horizontal. Tais retas se interceptam em um ponto ,
chamado origem. A reta horizontal é chamada eixo ou eixo das abscissas,
e a reta vertical é chamada eixo , ou eixo das ordenadas. Os dois eixos 
dividem o plano em quatro partes denominadas quadrantes. Uma escala 
numérica é colocada ao longo do eixo , com números positivos à direita da 
origem e os números negativos à esquerda da origem. De maneira análoga, 
uma escala numérica é colocada ao longo do eixo , com os números positivos 
acima da origem e os números negativos abaixo da origem. 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E30
Figura 5 - Sistema de coordenadas cartesianas
Fonte: a autora. 
Podemos associar a qualquer par ordenado de números reais um único 
ponto do plano, da seguinte maneira: marcamos no eixo das abscissas o 
ponto associado ao número real e, por esse ponto, traçamos a reta paralela 
ao eixo das ordenadas. Analogamente, marcamos no eixo das ordenadas o 
ponto associado ao número real e, por esse ponto, traçamos a reta paralela 
ao eixo das abscissas. O ponto de intersecção das duas retas, assim traçadas, 
é o ponto associado ao par ordenado . 
Cada ponto do plano está associado a um único par ordenado de números 
reais, da seguinte forma: traçamos por a reta paralela ao eixo das 
ordenadas, cuja intersecção com o eixo das abcissas determina um único 
número real . Analogamente, traçamos por a reta paralela ao eixo das 
abscissas, cuja intersecção com o eixo das ordenadas determina um único 
número real . Assim, ao ponto, associa-se um único par ordenado de 
números reais. 
Fonte: a autora.
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A correspondência um a um entre os pontos do plano e os pares 
ordenados de números reais é indicada pela notação . Dizemos 
que o os números e são as coordenadas do ponto , em que o número 
é chamado de abcissa do ponto e o número é chamado de ordenada do 
ponto .
Figura 6 - Ponto 
Fonte: a autora.
As funções de uma variável real podem ser representadas geometricamente 
por seu gráfico no plano cartesiano. De que forma, podemos fazer isso? 
Observe que, se é uma função com domínio , então, para cada número 
real em , está associado um único número real , fato que pode ser 
expresso utilizando pares ordenados. 
Observe que, se é uma função com domínio , então, para cada número 
real em , está associado um único número real , fato que pode ser 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E32
Figura 7 - Gráfico de 
Fonte: a autora. 
Definição (gráfico de função): seja . O gráfico de é o conjunto de 
todos os pontos de um plano cartesiano, em que pertence ao 
domínio de . 
Para facilitar o esboço do gráfico de uma função, utilizaremos uma tabela com 
as coordenadas de uma série de pontos pertencentes ao seu gráfico, em 
seguida, marcamos esses pontos no plano cartesiano e traçamos uma curva 
suave como mostra os exemplos seguintes:
Exemplo 9 (gráfico de função): esboce o gráfico da função .
A expressão está definida para todos os números reais, ou seja, 
. Para obtermos o esboço do gráfico, marcamos alguns pontos e 
traçamos, por eles, uma curva suave. O gráfico mostra, ainda, que o conjunto 
imagem de é .
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Figura 8 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Observe nesse exemplo que:
 e . 
Generalizando, temos: 
. 
Isso caracteriza uma função par conforme definição a seguir: 
Definição (função par): seja . Diremos que é par se para todo ,
. 
Exemplo 10 (gráfico de função): esboce o gráfico da função .
Para que a expressãopossa ser calculada, é preciso que , então, 
. A figura a seguir mostra o gráfico dessa 
função, em que é possível observar que .
 e 
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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E34
Figura 9 - Gráfico de 
Fonte: a autora. 
Observação: de modo geral, para determinar o gráfico de uma função, é 
preciso muito mais que fazer tabelas com coordenadas de pontos. Nos 
próximos tópicos, estudaremos algumas classes de funções e faremos o 
esboço de seus gráficos utilizando as propriedades dessas funções.
Será que toda curva no plano cartesiano representa o gráfico de 
uma função? 
A resposta é não. Toda função real de uma variável real pode ser representada 
por um gráfico no plano cartesiano, no entanto considere a curva representada 
pela figura a seguir: 
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Figura 10 - Gráfico da equação 
Fonte: a autora. 
A curva é a representação geométrica no plano da equação , ou de 
forma equivalente, . Observe que os pontos e
estão ambos sobre a curva. Isso implica que o número está associado a 
dois números e .
Esse exemplo sugere que dada uma curva no plano cartesiano, ela só 
representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva 
no máximo em um ponto. 
Até o momento, trabalhamos com duas formas de representar uma função: 
algebricamente, utilizando fórmulas e, geometricamente, com gráficos.
Podemos citar mais duas formas: Verbal e Tabular. 
Verbal: “a população de uma colônia da bactérias E. Coli dobra a cada vinte 
minutos.”
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E36
Quadro 3 - Representação de função tabular
Fonte: IBGE (on-line).1
Se uma função puder ser representada por mais de uma forma, a habilidade de 
ir de uma representação para outra, permite uma melhor compreensão sobre a 
ideia de função e a possibilidade de utilizá-las na compreensão de diferentes 
fenômenos do mundo real e na resolução de problemas. 
ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES 
Muitas funções são obtidas a partir da combinação de outras, em geral, mais 
simples. É comum encontrarmos funções definidas como somas, subtrações, 
produtos e quocientes de várias outras funções. Por exemplo, podemos 
considerar como a soma de duas funções, e ;
por sua vez, pode ser vista como o produto das funções e
. Em outras palavras, dadas as funções e , é possível definir as 
operações , , e , como segue: 
Quadro 3 - Representação de função tabular
Fonte: IBGE (on-line).1
Se uma função puder ser representada por mais de uma forma, a habilidade de 
ir de uma representação para outra, permite uma melhor compreensão sobre a 
ideia de função e a possibilidade de utilizá-las na compreensão de diferentes 
fenômenos do mundo real e na resolução de problemas. 
ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES 
Muitas funções são obtidas a partir da combinação de outras, em geral, mais 
simples. É comum encontrarmos funções definidas como somas, subtrações, 
produtos e quocientes de várias outras funções. Por exemplo, podemos 
considerar como a soma de duas funções, e ;
por sua vez, pode ser vista como o produto das funções e
. Em outras palavras, dadas as funções e , é possível definir as 
operações , , e , como segue: 
Quadro 3 - Representação de função tabular
Fonte: IBGE (on-line).1
Se uma função puder ser representada por mais de uma forma, a habilidade de 
ir de uma representação para outra, permite uma melhor compreensão sobre a 
ideia de função e a possibilidade de utilizá-las na compreensão de diferentes 
fenômenos do mundo real e na resolução de problemas. 
ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES 
Muitas funções são obtidas a partir da combinação de outras, em geral, mais 
simples. É comum encontrarmos funções definidas como somas, subtrações, 
produtos e quocientes de várias outras funções. Por exemplo, podemos 
considerar como a soma de duas funções, e ;
por sua vez, pode ser vista como o produto das funções e
. Em outras palavras, dadas as funções e , é possível definir as 
operações , , e , como segue: 
ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES
Álgebra das Funções
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Quadro 4 - Operações com funções
Soma/diferença 
Produto 
Quociente 
Fonte: a autora. 
O domínio das funções , e é a intersecção dos domínios de e ,
. O domínio da função é ,
ou seja, é a intersecção dos domínios da e , excluindo-se os pontos , em 
que . 
Exemplo 11 (operações com funções): considere as funções e
. Determine , , e e os respectivos domínios. 
. 
Como e , então, 
. 
Excluímos o número 1 do domínio de pois . 
 é a intersecção dos domínios de 
. O domínio da função 
, excluindo-se os pontos , em 
que . 
, , e os respectivos domínios. 
Como 
Excluímos o número 1 do domínio de pois . Excluímos o número 1 do domínio de pois . 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E38
Uma outra forma de construir uma função a partir de outras é utilizando 
um processo conhecido como composição de funções. 
Considere a função . Sejam e .
Lembrando que é um número real, podemos aplicar no ponto ,
desde que , obtendo: 
. 
Definição (função composta): dadas as funções e , tais que 
, definimos a função composta por 
.
O domínio de é conjunto de todos os no domínio de tais que 
está no domínio de , ou seja, .
 e .Exemplo 12 (composição de funções): sejam
Determine e . 
Nesse caso, temos:
, com .
,
com . 
Exemplo 13 (composição de funções): determine as funções e , tal que
.
Basta considerar, 
e . 
 Assim, 
. 
Lembrando que é um número real, podemos aplicar no ponto Lembrando que é um número real, podemos aplicar no ponto 
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Classes de Funções
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CLASSES DE FUNÇÕES 
Neste tópico, estudaremos com mais detalhes algumas funções que serão 
classificadas em categorias conforme suas especificidades. Veremos as 
seguintes classes de funções: polinomiais, racionais, trigonométricas e
exponenciais.
Funções Polinomiais
Uma função dada por 
,
em que são números reais fixos, chamados
de coeficientes e , inteiro não negativo, denomina-se função polinomial
de grau .
Por exemplo, 
é uma função polinomial de grau 5.
Exemplo 14 (função polinomial): esboce o gráfico da função .
de coeficientes e , inteiro não negativo, denomina-se 
CLASSES DE FUNÇÕES
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E40
Quadro 5 - Gráfico de 
Fonte: a autora. 
Observe nesse exemplo que:
 e . 
Generalizando, temos: 
. 
Isso caracteriza uma função ímpar conforme definição a seguir: 
Definição (função ímpar): seja . Diremos que é ímpar se para 
todo , . 
Estudaremos com mais detalhes a função polinomial de grau 1, também 
conhecida como Função Afim, e a função polinomial de grau 2, chamada
de Função Quadrática.
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Classes de Funções
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Função Afim
Uma função definida por , em que e são números 
reais constantes, denomina-se Função Afim ou Função Polinomial 
do Primeiro Grau.
A constante é o coeficiente angular dessa reta, e a constante é o 
determina o 
coeficiente linear.
O gráfico da função afim é uma reta não vertical. O valor de
aspecto do gráfico de uma função afim, observe as figuras que seguem. 
Figura 11 - O coeficiente angular determina o aspecto da função afim
Fonte: a autora. 
Algumas funções afim recebem nomes especiais: 
i) Função constante
No caso de , temos a função constante , para todo . O 
gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo , passando 
pelo ponto . Por exemplo, o gráfico da função constante está 
ilustrado na figura 12. 
No caso de , temos a , para todo . O , para todo . O 
pelo ponto . Por exemplo, o gráfico da função constante está 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E42
Figura 12 - Gráfico de 
Fonte: a autora. 
Temos que o e a . 
ii) Função identidade 
Se , temos a função identidade . Seu gráfico tem o 
seguinte aspecto. 
Figura 13 - Gráfico da função identidade 
Fonte: a autora. 
Classes de Funções
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iii) Função linear
Se , temos a função , chamada função linear. Seu 
gráfico é uma reta não vertical que passa pela origem, uma vez que .
No caso da função definida por , temos o seguinte gráfico: 
Figura 14 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Função Quadrática 
Uma função definida por , em que , e são
, chama-se Função Quadrática ou Funçãonúmeros reais constantes, com
Polinomial do Segundo Grau.
, temos a função , chamada 
No caso da função definida por , temos o seguinte gráfico: 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E44
Exemplo 15 (função quadrática): listamos dois exemplos de
funções quadráticas:
a) , . 
b) , . 
O gráfico da função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo 
ao eixo . 
Ao esboçar o gráfico de uma função quadrática , é 
importante saber verificar algumas características da parábola: 
● Se , a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
Se , a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
● A parábola intersepta o eixo no ponto . 
● A parábola pode interceptar o eixo em um, dois ou nenhum ponto, 
dependendo do valor de , da equação correspondente 
. 
● A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado
vértice e pode ser calculado da seguinte forma:
. 
Assim, o vértice tem coordenadas: 
. 
Se , a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
Se , a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
A parábola intersepta o eixo no ponto . A parábola intersepta o eixo no ponto . 
A parábola pode interceptar o eixo em um, dois ou nenhum ponto, 
Classes de Funções
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O quadro abaixo resume as possibilidades, tendo em vista as características 
citadas acima, para gráficos de funções quadráticas: 
Figura 15 - Gráfico de funções quadráticas segundo suas características
Fonte: a autora. 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
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Exemplo 16 (função quadrática): esboçar o gráfico da função quadrática
.
Temos que: , e . 
● Como , a concavidade da parábola é voltada para cima. 
● A intersecção da parábola com o eixo é o ponto . 
● , temos dois pontos de intersecção com o 
eixo . Para determiná-los, basta resolver a equação .
Nesse caso, os pontos de intersecção são e .
● As coordenadas do vértice são:
. 
Determinando mais alguns pontos e organizando os pontos encontrados em 
uma tabela, podemos esboçar o gráfico da função. 
Figura 16 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Como , a concavidade da parábola é voltada para cima. 
A intersecção da parábola com o eixo é o ponto . A intersecção da parábola com o eixo é o ponto . 
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.
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#Reflita# 
Você sabe a diferença entre uma função polinomial do segundo grau e uma 
equação do segundo grau? (a autora). 
#Reflita# 
Função definida por partes 
Nos próximos dois exemplos, a regra que define a função muda 
dependendo do valor de . Nesses casos, dizemos que é uma função 
definida por partes.
Exemplo 17 (função definida por partes): considere a função modular:
.
Seu gráfico tem o seguinte aspecto:
Figura 17 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
#Reflita# 
Você sabe a diferença entre uma função polinomial do segundo grau e uma 
equação do segundo grau? (a autora). 
#Reflita# 
Função definida por partes 
Nos próximos dois exemplos, a regra que define a função muda 
dependendo do valor de . Nesses casos, dizemos que é uma função 
definida por partes.
Exemplo 17 (função definida por partes): considere a função modular:
.
Seu gráfico tem o seguinte aspecto:
Figura 17 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E48
Exemplo 18 (função definida por partes): esboce o gráfico da função
.
Figura 18 - Gráfico da função definida partes
Fonte: a autora. 
Observe que o ponto (1,0) pertence ao gráfico de , mas o ponto (1,1) não. 
Indicaremos esse fato com o “pontinho cheio” e o “pontinho vazio”.
Uma perspectiva interessante na análise dos gráficos de funções é que alguns 
deles podem ser obtidos por meio de um deslocamento no plano que 
chamamos translação. Considere a função e o seu gráfico. . Considere a função e o seu gráfico. 
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Figura 19 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Considere, agora, as funções e
e seus respectivos gráficos. 
Figura 20 - Translações do gráfico de
Fonte: a autora. 
Assim, observando os gráficos das funções e , vemos que eles foram 
obtidos por meio de translações do gráfico de .
(deslocamento do gráfico de , uma unidade para 
cima). 
(deslocamento do gráfico de , uma unidade para 
direita). 
(deslocamento do gráfico de , uma unidade para 
(deslocamento do gráfico de , uma unidade para 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E50
Funções racionais 
Definição (função racional): uma função definida por em que e
são duas funções polinomiais, chama-se função racional. O domínio de é
o conjunto de todos os números reais para os quais . 
Exemplo 19 (função racional): esboce o gráfico da função . 
A função está definida para número real , ou 
seja, .
Se , podemos observar que amedida que cresce se aproxima de 
zero.
Quadro 6 - Valores de à medida que cresce
10 100 1000 
Fonte: a autora. 
Por outro lado, à medida que vai se aproximando de zero, , vai se 
tornando cada vez maior.
Quadro 7 - Valores de à medida que se aproxima de 0
1 0,1 0,01 
1 10 100 
Fonte: a autora. 
Podemos pensar de forma análoga se , obtendo assim, um esboço do 
gráfico de :
Classes de Funções
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Figura 21 - Gráfico de
#Saiba mais# 
A curva do exemplo anterior é um caso particular de hipérbole, que, juntamente 
com a elipse e a parábola, formam uma classe especial de curvas planas 
conhecidas como seções cônicas. 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
Fonte: a autora
Figura 21 - Gráfico de
#Saiba mais# 
A curva do exemplo anterior é um caso particular de hipérbole, que, juntamente 
com a elipse e a parábola, formam uma classe especial de curvas planas 
conhecidas como seções cônicas. 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
Fonte: a autora
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E52
Funções Trigonométricas 
Função seno e função cosseno 
Para definir as funções seno e cosseno, considere, no plano cartesiano, uma 
circunferência de centro na origem e raio unitário. Dado um número real ,
marque sobre a circunferência, a partir do ponto , o arco de medida 
radianos. Se é um número positivo, o arco é marcado sobre a circunferência 
no sentido anti-horário; se negativo, no sentido horário. Dessa maneira, cada 
número real determina um único arco e, portanto, um único ponto .
Denominamos seno de e indicamos por a ordenada do ponto e, 
analogamente, denominamos cosseno de e indicamos por a abscissa de 
. 
Figura 22 - Círculo trigonométrico
Fonte: a autora. 
marque sobre a circunferência, a partir do ponto , o arco de medida 
radianos. Se é um número positivo, o arco é marcado sobre a circunferência 
número real determina um único arco e, portanto, um único ponto 
Denominamos seno de e indicamos por a ordenada do ponto e, Denominamos seno de e indicamos por a ordenada do ponto e, 
analogamente, denominamos cosseno de e indicamos por 
Classes de Funções
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À medida que o ponto se move sobre a circunferência, tanto sua abscissa 
como sua ordenada variam, mantendo-se no intervalo . 
Definição (função seno): uma função definida por , isto 
é, que a cada número real associa o número real , denomina-se função 
seno. 
a) .
b) . 
c) Para nos auxiliar na determinação do gráfico, vamos fazer uma tabela
para alguns valores de no intervalo , que nos permite visualizar
uma volta completa no círculo trigonométrico.
0 1 0 -1 0 
Figura 23 - Gráfico de no intervalo 
Fonte: a autora. 
À medida que o ponto se move sobre a circunferência, tanto sua abscissa 
como sua ordenada variam, mantendo-se no intervalo . 
para alguns valores de no intervalo , que nos permite visualizarpara alguns valores de no intervalo , que nos permite visualizar
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E54
d) O gráfico completo da função , chamado senoide, consiste
em infinitas repetições da curva acima e tem o seguinte aspecto. 
Figura 24 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Definição (função cosseno): uma função definida por 
associa o número real , denomina-se isto é, que a cada número real 
função cosseno. 
a) .
b) ;.
c) O gráfico da função cosseno pode ser esboçado de maneira análoga.
Considere o quadro 8 para alguns valores de no intervalo .
Quadro 8 - Valores de no intervalo
1 0 -1 0 1 
Fonte: a autora. 
Considere o quadro 8 para alguns valores de no intervalo .Considere o quadro 8 para alguns valores de no intervalo .
,
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Figura 25 - Gráfico de no intervalo
Fonte: a autora. 
d) O gráfico completo da função , chamado cossenoide, tem o 
seguinte aspecto:
Figura 26 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Uma característica importante das funções seno e cosseno e que pode ser 
observada nos gráficos acima é que elas são periódicas com período , pois 
para todo : 
 e . 
observada nos gráficos acima é que elas são periódicas com período , pois 
para todo : 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E56
As funções: tangente, cotangente, secante e cossecante 
Definição (função tangente): a função definida por 
denomina-se função tangente. Seu domínio é o conjunto de todos os 
tais que . O gráfico da função tangente tem o seguinte aspecto: 
Figura 27 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
As funções (secante), (cotangente) e (cossecante) são definidas 
por: 
. 
tais que . O gráfico da função tangente tem o seguinte aspecto: 
As funções (secante), (cotangente) e (cossecante) são definidas As funções (secante), (cotangente) e (cossecante) são definidas As funções (secante), (cotangente) e (cossecante) são definidas 
Classes de Funções
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Funções exponenciais 
Muitos fenômenos naturais e sociais, como o crescimento populacional, a 
meia-vida de uma substância e o cálculo de juros compostos, são exemplos de 
aplicações das funções exponenciais. 
Consideremos a seguinte situação, apenas para fins didáticos: 
A taxa anual de crescimento da população de um país em um dado período é
de 1,3%. Escreva uma fórmula algébrica para a população, em função do 
tempo, sabendo que a população inicial era de 160 milhões de habitantes 
(FLEMNING; GONÇALVES, 2006). 
Vamos chamar a variável tempo (em anos) de e a população (em milhões) de 
habitantes de . Considere a população inicial, então: 
Prosseguindo com o raciocínio anterior, percebemos um certo padrão que pode 
ser generalizado com a seguinte fórmula algébrica: 
. 
Dizemos que é uma função exponencial de base . 
Quando é um número real positivo e um número real qualquer, a expressão 
 é um número real. 
Isso nos permite definir função exponencial da seguinte forma: 
Definição (função exponencial): dado um número real , tal que e
, chamamos função exponencial de base a função definida em 
dada por . 
O domínio da função exponencial é e o conjunto imagem é 
. 
Vamos chamar a variável tempo (em anos) de e a população (em milhões) de 
Considere a população inicial, então: 
 é uma função exponencial de base . 
Quando é um número real positivo e um número real qualquer, a expressão Quando é um número real positivo e um número real qualquer, a expressão 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E58
#Reflita#
Por que as restrições e dadas na definição de função exponencial 
são necessárias? (a autora). 
#Reflita# 
O gráfico da funçãoexponencial tem o seguinte aspecto conforme o 
valor de . 
Figura 28 - é crescente se e decrescente se 
Fonte: a autora. 
Observe nos gráficos que: 
Se , para todo , esse fato caracteriza uma 
função crescente.
Se , para todo , esse fato caracteriza 
uma função decrescente. 
De forma geral, temos a seguinte definição: 
Seja uma função definida em um intervalo , com e elementos quaisquer 
em , então: 
é crescente em , se e somente se, .
é decrescente em , se e somente se, .
O gráfico da função exponencial tem o
valor de . 
 é crescente se e decrescente se 
Se , para todo , esse fato caracteriza uma para todo , esse fato caracteriza uma 
Se , para todo , esse fato caracteriza 
#Reflita#
Por que as restrições e dadas na definição de função exponencial 
são necessárias? (a autora). 
#Reflita# 
O gráfico da função exponencial tem o seguinte aspecto conforme o 
valor de . 
Figura 28 - é crescente se e decrescente se 
Fonte: a autora. 
Observe nos gráficos que: 
Se , para todo , esse fato caracteriza uma 
função crescente.
Se , para todo , esse fato caracteriza 
uma função decrescente. 
De forma geral, temos a seguinte definição: 
Seja uma função definida em um intervalo , com e elementos quaisquer 
em , então: 
é crescente em , se e somente se, .
é decrescente em , se e somente se, .
Por que as restrições dadas na definição de função exponencial 
Classes de Funções
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Exemplo 20 (função exponencial): seja .
a) Determine , , , e ; 
b) Esboce o gráfico da função .
a)
 , , , 
 , . 
b) A função é crescente e seu domínio é o conjunto de todos os 
números reais. A intersecção da com o eixo é o ponto . O esboço do 
gráfico está na figura 27. 
Figura 29 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Observação: um número irracional importantíssimo para a análise matemática 
é conhecido como número de Euler e indicado pela letra . Seu valor 
aproximado é:
Esboce o gráfico da função .
b) A função é crescente e seu domínio é o conjunto de todos os 
números reais. A intersecção da com o eixo é o ponto . O esboço do números reais. A intersecção da com o eixo é o ponto . O esboço do números reais. A intersecção da com o eixo é o ponto . O esboço do 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E60
Exemplo 21 (função exponencial): como , a função exponencial de base 
, ou seja, tem o seguinte aspecto:
Figura 30 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
FUNÇÕES INVERSAS 
Quando associamos o raio e o comprimento de uma circunferência, podemos 
pensar na função que a cada medida do raio determina a medida do 
comprimento da circunferência: 
. 
Mas podemos pensar em outra função que, a cada circunferência de 
comprimento , associe a medida de seu raio : 
. 
Em casos assim, dizemos que uma função é a inversa da outra. 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função ,
denotada por , é a função que desfaz a operação executada pela função .
, ou seja, tem o seguinte aspecto:Exemplo 21 (função exponencial): como , a função exponencial de base 
, ou seja, tem o seguinte aspecto:
Figura 30 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
FUNÇÕES INVERSAS 
Quando associamos o raio e o comprimento de uma circunferência, podemos 
pensar na função que a cada medida do raio determina a medida do 
comprimento da circunferência: 
. 
Mas podemos pensar em outra função que, a cada circunferência de 
comprimento , associe a medida de seu raio : 
. 
Em casos assim, dizemos que uma função é a inversa da outra. 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função ,
denotada por , é a função que desfaz a operação executada pela função .
pensar na função que a cada medida do raio determina a medida do 
comprimento da circunferência: 
comprimento , associe a medida de seu raio : comprimento , associe a medida de seu raio : 
FUNÇÕES INVERSAS
Funções Inversas
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Como obter a inversa de uma função? 
Podemos definir um roteiro simples para a determinação da inversa de uma 
função: 
1) Troque o termo por . 
2) Resolva essa equação para em termos de , ou seja isole .
3) Para expressar como função de , troque por . 
Exemplo (função inversa): determine a inversa da função .
Usando o roteiro acima 
Quadro 8 - Obtendo a inversa de 
( substitua por ) 
(isole )
(trocando por ) 
Fonte: a autora. 
Portanto a função inversa é . 
Qual a relação entre os gráficos de uma função e de sua inversa 
? 
Vimos que as função e , definidas por 
e 
são inversas uma da outra. Observe os gráficos das funções e
representados no mesmo sistema de eixos. 
Troque o termo por . Troque o termo por . 
Resolva essa equação para em termos de , ou seja isole .Resolva essa equação para em termos de , ou seja isole .Resolva essa equação para em termos de , ou seja isole .
 Para expressar como função de , troque por . Para expressar como função de , troque por . Para expressar como função de , troque por . Para expressar como função de , troque por . 
Qual a relação entre os gráficos de uma função e de sua inversa 
Vimos que as função 
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IU N I D A D E62
Figura 31 - Gráficos de e representados no mesmo sistema de eixos
Fonte: a autora. 
Existe uma relação interessante entre o gráfico da função e o de sua inversa 
: os dois gráficos são simétricos em relação à reta de equação .
Será que todas as funções possuem inversa? 
A reposta é não! Para que a função possua inversa, é necessário 
que a regra que “desfaça” a operação executada pela função também seja 
uma função. 
Suponha, por exemplo, que queiramos inverter a função , definida 
para todo . 
A reposta é não! Para que a função possua inversa, é necessário 
Suponha, por exemplo, que queiramos inverter a função , definida 
para todo . 
Funções Inversas
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Figura 32 -
Fonte: a autora. 
Usando o roteiro para determinação da inversa, obtemos: 
. 
Veja que, apesar de ser uma regra que “desfaça” a operação 
executada pela função , ela não representa uma função, pois, por exemplo, 
para , corresponde dois valores distintos: e . 
Graficamente, é fácil encontrar uma reta vertical que cruza o gráfico de 
 em dois pontos, o que indica que a curva não corresponde ao gráfico 
de uma função. 
Veja que, apesar de 
para , corresponde dois valores distintos: para , corresponde dois valores distintos: 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E64
Figura 33 - Gráfico de
Fonte: a autora.
Observe na figura anterior que o fato de dois elementos diferentes do domínio 
terem a mesma imagem, por exemplo, , impossibilita a existência 
da inversa. É preciso, então, garantir que sempre que . 
Portanto uma das condições para que exista a inversa de uma função é que 
ela satisfaça aseguinte propriedade: 
Definição (função injetora): dizemos que uma função é injetora se quaisquer 
que sejam e no seu domínio, 
ou de forma equivalente
.
de uma função é que 
Funções Inversas
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Podemos, agora, definir função inversa: 
Definição (Função Inversa): seja uma função injetora com domínio 
e conjunto imagem . Então, sua função inversa tem domínio e
conjunto imagem e é definida por: 
para todo .
Observações: 
1) Se o interesse for ressaltar características da função inversa, podemos
escrever:
. 
2) e . 
3) Se é uma função que admite função inversa, então, diremos que é
uma função inversível. Observe que se for uma função inversível, com 
inversa , então, também será inversível e sua inversa será 
. 
#Saiba mais#
É possível demonstrar que toda função crescente ou decrescente em um 
determinado intervalo é injetora. Assim, caso a função seja 
crescente (ou decrescente) em todo seu domínio, podemos determinar a 
função inversa . 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
Podemos, agora, definir função inversa: 
Definição (Função Inversa): seja uma função injetora com domínio 
e conjunto imagem . Então, sua função inversa tem domínio e
conjunto imagem e é definida por: 
para todo .
Observações: 
1) Se o interesse for ressaltar características da função inversa, podemos
escrever:
. 
2) e . 
3) Se é uma função que admite função inversa, então, diremos que é
uma função inversível. Observe que se for uma função inversível, com 
inversa , então, também será inversível e sua inversa será 
. 
#Saiba mais#
É possível demonstrar que toda função crescente ou decrescente em um 
determinado intervalo é injetora. Assim, caso a função seja 
crescente (ou decrescente) em todo seu domínio, podemos determinar a 
função inversa . 
Fonte: a autora. 
#Saiba mais# 
 seja 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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IU N I D A D E66
Função Logarítmica 
Quando estudamos as funções exponenciais, vimos um exemplo de 
crescimento populacional, o qual determinava o número de habitantes em 
função do tempo. 
. 
Vamos supor que estivéssemos interessados em saber quanto tempo demora 
para a população alcançar determinado número de habitantes. Teríamos, 
então, que determinar o tempo em função do número de habitantes, no caso, a 
inversa de .
Observemos, inicialmente, que as funções exponenciais são crescentes ou 
decrescentes em seu domínio, logo, possuem inversas. Essas inversas são 
chamadas de funções logarítmicas.
Para definir função logarítmica, precisamos relembrar a definição da 
expressão . 
Se e , com um valor positivo de , a expressão (logaritmo de 
na base ) denota aquele expoente ao qual devemos elevar para obter . 
Por exemplo:
, pois, .
, pois, .
Observação: quando , escrevemos, apenas , quando ,
usamos a notação especial, . 
Definição (função logarítmica): dado um número real , tal que e ,
chamamos função logarítmica de base a função definida em dada por 
. 
expressão . 
 quando , escrevemos, apenas , quando quando , escrevemos, apenas , quando 
usamos a notação especial, .
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O domínio da função logarítmica é e o conjunto imagem é 
. 
O gráfico da função logarítmica tem o seguinte aspecto 
conforme o valor de . 
Figura 34 - é crescente se e decrescente se 
Fonte: a autora. 
#Saiba Mais 
Se fizermos a substituição , temos a função , denominada 
função logaritmo natural . Sua inversa é a função . 
Fonte: a autora. 
#Saiba Mais# 
conforme o valor de . 
 é crescente se e decrescente se 
O domínio da função logarítmica é e o conjunto imagem é 
. 
O gráfico da função logarítmica tem o seguinte aspecto 
conforme o valor de . 
Figura 34 - é crescente se e decrescente se 
Fonte: a autora. 
#Saiba Mais 
Se fizermos a substituição , temos a função , denominada 
função logaritmo natural . Sua inversa é a função . 
Fonte: a autora. 
#Saiba Mais# 
Se fizermos a substituição , temos a função 
função logaritmo natural . Sua inversa é a função . 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
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rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E68
Funções trigonométricas inversas 
Basta olhar os gráficos das funções seno e cosseno para saber que elas não 
admitem inversa em seu domínio. No entanto podemos restringir o domínio de 
cada uma delas, de modo a possibilitar a obtenção das inversas.
Função arco seno 
Observe no gráfico que a função , restrita ao intervalo , é 
crescente, portanto inversível. 
Figura 35 - Gráfico de , restrita ao intervalo
Fonte: a autora. 
Podemos, então, definir sua inversa nesse intervalo. Ela é denominada função 
arco seno e denotada por .
Assim, da definição da inversa, temos que : 
,
ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo seno é . 
, restrita ao intervalo , é 
ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo seno é . ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo seno é . ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo seno é . 
Funções Inversas
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Temos que e seu gráfico será obtido da reflexão, em torno da 
reta , do gráfico da função , e está ilustrado a 
seguir: 
Figura 36 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
Função arco cosseno 
A função inversa do cosseno pode ser tratada de modo análogo a inversa do 
seno. Observe que a função cosseno restrita ao intervalo é decrescente,
portanto inversível.
reta , do gráfico da função , reta , do gráfico da função , 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E70
Figura 37 - Gráfico de , restrita ao intervalo
Fonte: a autora. 
Podemos, então, definir sua inversa nesse intervalo. Ela é denominada função 
arco cosseno e denotada por .
Assim, da definição da inversa, temos que : 
, 
ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo cosseno é . 
Temos que e seu gráfico será obtido da reflexão, em torno da 
reta , do gráfico da função , e está ilustrado a seguir: 
Figura 38 - Gráfico de
Fonte: a autora. 
ou seja, é a medida do ângulo no intervalo cujo cosseno é . 
reta , do gráfico da função , 
Considerações Finais
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71
Considerações finais 
O cálculo diferencial e integral está baseado no sistema dos números reais e 
as funções definidas em seus subconjuntos são seus objetos fundamentais.
Nesta unidade, estudamos o conjunto dos números reais e as funções reais de 
variáveis reais. 
Além de revisar propriedades dos números reais, aprendemos a forma 
bastante conveniente de representá-los graficamente por meio de pontos em 
uma reta horizontal, o que facilitou a visualização e compreensão do conjunto 
solução de inequações. 
Desenvolvemos o conceito de função, que descreve