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Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Per. Letivo: 2016.1 Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral - I C.H: 83.33H/83HA Professor: José Doval Nunes Martins Assunto: Pré_AV2 Data: Nº de aula(s): 2 Aluno(a):_____________________________________________________________Nota____________ 01. Use a definição de derivada para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo: (a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 3 (b) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 1) 02. Seja 𝑓(𝑥) = 1 √𝑥 uma curva. (a) Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, no ponto da abscissa x = 1. (b) Dê a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Dê os pontos da curva onde a tangente a curva tem inclinação de 60°. 03. Obtenha a primeira derivada das funções abaixo e escreva-as na forma mais simples, sempre que possível. (a) 𝑓(𝑥) = (√𝑥2 3 + 𝑥) 2 (e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥3)) (b) 𝑓(𝑥) = − √𝑎2− 𝑥2 𝑎2𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℝ∗ (f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3(3𝑥2) (c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑥+1 𝑥−1 ) (g) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 ( 𝑥 √𝑥−1 ) (d) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(3−𝑥) (h) 𝑓(𝑥) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑥) 1+4𝑥2 04. Seja 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 uma curva, se existir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta r : x + y = 1. 05. Determine a reta tangente à curva de equação h(x) = f(g(x)) no ponto de abscissa x = 1, sabendo que g é derivável em x = 1, g(1) = -3 e 𝑔′(1) = −1 e que f é derivável em -3 e f(-3) = 4 e 𝑓′(−3) = −1 2 . 06. Sejam 𝑓: ℝ → ℝ uma função diferenciável (derivável) duas vezes e 𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2cos (3𝑥). (a) Calcule 𝑔′′(𝑥). (b) Supondo 𝑓′(2) = 1 e 𝑓′′(2) = 8, calcule 𝑔′′(0). 07. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = (𝑎 + 𝑏𝑥)𝑚 08. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 +4t2 + t - 1 e s2 = 2t3 - 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e as posições desses dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere como unidades de s1 e s2 o metro e como unidade do tempo t o segundo. 09. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo se enche de água à razão de 7m3/min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade? 10. Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede e sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30°C com a horizontal, como ilustrado na figura abaixo. Sabendo que o "pé" da escada é arrastado com uma velocidade de 2m/s, encontre a velocidade do topo da escada quando esta estiver a 4 m de distância da parede.
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