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Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Per. Letivo: 2016.1 
Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral - I C.H: 83.33H/83HA 
Professor: José Doval Nunes Martins 
Assunto: Pré_AV2 
Data: Nº de aula(s): 2 
 
Aluno(a):_____________________________________________________________Nota____________ 
 
01. Use a definição de derivada para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo: 
(a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
3
 (b) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 1) 
 
02. Seja 𝑓(𝑥) = 
1
√𝑥
 uma curva. 
(a) Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, no ponto da abscissa x = 1. 
(b) Dê a equação da reta tangente no ponto mencionado. 
(c) Dê os pontos da curva onde a tangente a curva tem inclinação de 60°. 
 
03. Obtenha a primeira derivada das funções abaixo e escreva-as na forma mais simples, sempre que 
possível. 
(a) 𝑓(𝑥) = (√𝑥2
3
+ 𝑥)
2
 (e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥3)) 
(b) 𝑓(𝑥) = − 
√𝑎2− 𝑥2
𝑎2𝑥
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℝ∗ (f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3(3𝑥2) 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
𝑥+1
𝑥−1
) (g) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (
𝑥
√𝑥−1
) 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
+ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(3−𝑥) (h) 𝑓(𝑥) 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑥)
1+4𝑥2
 
 
04. Seja 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 uma curva, se existir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a 
esta curva e que seja(m) paralela(s) a reta r : x + y = 1. 
 
05. Determine a reta tangente à curva de equação h(x) = f(g(x)) no ponto de abscissa x = 1, sabendo que 
g é derivável em x = 1, g(1) = -3 e 𝑔′(1) = −1 e que f é derivável em -3 e f(-3) = 4 e 𝑓′(−3) = 
−1
2
. 
 
06. Sejam 𝑓: ℝ → ℝ uma função diferenciável (derivável) duas vezes e 𝑔: ℝ → ℝ dada por 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2cos (3𝑥). 
(a) Calcule 𝑔′′(𝑥). 
(b) Supondo 𝑓′(2) = 1 e 𝑓′′(2) = 8, calcule 𝑔′′(0). 
 
07. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso: 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = (𝑎 + 𝑏𝑥)𝑚 
08. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 +4t2 + t - 1 e 
s2 = 2t3 - 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e as posições desses dois corpos no instante em que as 
suas acelerações são iguais. Considere como unidades de s1 e s2 o metro e como unidade do tempo t o 
segundo. 
 
09. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo se enche de 
água à razão de 7m3/min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de 
profundidade? 
 
10. Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede e sobre um plano inclinado que 
faz um ângulo de 30°C com a horizontal, como ilustrado na figura abaixo. 
 
Sabendo que o "pé" da escada é arrastado com uma velocidade de 2m/s, encontre a velocidade do topo 
da escada quando esta estiver a 4 m de distância da parede.

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