Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Variáveis Aleatórias Discretas Variável Aleatória � Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado do experimento,i. é. a cada valor do espaço amostral. � Variável aleatória discreta: assume valores num conjunto enumerável. � Variável aleatória contínua: assume valores no conjunto dos reais � Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um experimento. 2 Considere os seguintes experimentos aleatórios Experimento 1: Contar o número de alunos presentes na sala de aula Experimento 2: Sortear um aluno na sala de aula e medir sua altura Para os exemplos acima, podemos definir as variáveis: X: número de alunos presentes na sala Y: altura do aluno selecionado X e Y podem assumir diferentes valores e são sabemos a priori qual deles ocorrerá Como descrever uma variável aleatória? Através de sua distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade � valores possíveis da variável � frequência de ocorrência destes valores 3 Exemplos de Distribuições de Probabilidade Discretas Exemplo 1: X – número da face voltada para cima no lançamento de um dado equilibrado 1/6 6 11/61/61/61/61/6P(X=x) Total54321x Exemplo 2: Um prova de múltipla escolha tem 4 questões com 4 itens cada. De cada questão apenas um item está correto. Um aluno marca as respostas ao caso. Qual a distribuições de X: número de acertos na prova? Resultados possíveis do experimento aleatório Valores possíveis de X EEEE 0 CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1 CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2 ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3 CCCC 4 Resultados possíveis do experimento aleatório Valores possíveis de X EEEE 0 CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1 CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2 ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3 CCCC 4 C = acertar uma questão E = Errar uma questão EEEE = E ∩ E ∩ E ∩ E P(A) = 1/4 P(E) = 3/4 Como as questões são marcadas ao acaso podemos assumir que ela acerta ou erra uma questão independente de errar ou acertar outra questão P(X = 0) = P(EEEE) = P(E ∩ E ∩ E ∩ E) = P(E) x P(E) x P(E) x P(E) = 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = (3/4)4 4 Os eventos CEEE, ECEE, EECE,EEEC são mutuamente exclusivos P(X = 1) = P(CEEE U ECEE U EECE U EEEC) = P(CEEE) + P(ECEE) + P(EECE) + P(EEEC) = 4 x 1/4 x (3/4)3 Do mesmo modo P(X = 2) = P(CCEE U CECE U CEEC U ECCE U ECEC U EECC) = P(CCEE) + P(CECE) +P(CEEC) + P(ECCE) + P(ECEC) + P(EECC) = 6 x (1/4)2 x (3/4)2 P(X = 3) = P(ECCC U CECC U CCEC U CCCE) = P(ECCC) + P(CECC) + P(CCEC) + P(CCCE) = 4 x (1/4)3 x (3/4)1 P(X = 4) = P(CCCC) = (1/4)4 5 Função de Probabilidade de X – número de acertos na prova X – variável aleatória x - valor da variável aleatória (v.a.) P(X = x) probabilidade da v.a. assumir o valor x P(X = 0) = (3/4)4 = 0,3164 P(X = 1) = 4 x (1/4) x (3/4)3 = 0,4219 P(X = 2) = 6 x (1/4)2 x (3/4) = 0,2109 P(X = 3) = 4 x (1/4)3 x (3/4) = 0,0469 P(X = 4) = (1/4)4 = 0,0039 ------------------------------------------------------ Soma = 1 Se vários alunos respondem as questões ao acaso, qual o número médio de acertos? Número médio de acertos = (0 x 0,3164) + (1 x 0,4219) + (2 x 0,2109) + (3 x 0,0469) + (4 x 0,0039) = 1 Definição: Para uma v. a. discreta assumindo os valores x1,x2,....xn , o valor médio ou valor esperado de X é dado por )xX(Px)X(E i n 1i i ========∑∑∑∑ ==== Se X assume um número infinito enumerável de valores x1,x2,...., então )xX(Px)X(E i 1i i ========∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== 6 Qual a variância de X? E o desvio padrão? (((( )))) )xX(P)X(Ex)X(VAR i n 1i 2 i ====−−−−==== ∑∑∑∑ ==== Definição: Para uma v. a. discreta assumindo os valores x1,x2,....xn a variância de X é dada por Se X assume um número infinito enumerável de valores x1,x2,...., então (((( )))) )xX(P)X(Ex)X(VAR i 1i 2 i ====−−−−====∑∑∑∑ ∞∞∞∞ ==== Exemplo: VAR(X) = (0 – 1)2 x 0,3164 + (1 – 1)2 x 0,4219 + (2 – 1)2 x 0,2109) + (3 – 1)2 x 0,0469 + (4 – 1)2 x 0,0039 = 0,75 Qual o desvio padrão de X? )X(VAR)X(DP ==== Exemplo: 8660,075,0)X(DP == 0 1 2 3 4 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Dstribuição de Probabilidade de X: número de acertos na prova x P( X= x) 7 Exemplo: Suponha que para cada acerto na prova o aluno ganha 1 ponto e para cada erro perde um ponto. Seja Y a nota do aluno. Qual a distribuição de Y? Qual a nota esperada? E o desvio padrão das notas? Valores possíveis de X Y EEEE 0 -4 CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1 -2 CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2 0 ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3 2 CCCC 4 4 P(Y = -4) = P(X = 0) = 0,3164 P(Y = -2) = P(X = 1) = 0,4219 P(Y = 0) = P(X = 2) = 0,2109 P(Y = 2) = P(X = 3) = 0,0469 P(Y = 4) = P(X = 4) = 0,0039 ----------------------------------------- Soma = 1 E(Y) = (-4 x 0,3164) + (-2 x 0,4219) + 0 x 0,2109) + (2 x 0,0469) + (4 x 0,0039) = -2 VAR(Y) = (-4 – (-2))2 x 0,3164 + (-2 – (-2))2 x 0,4219 + (0 – (-2))2 x 0,2109 + (2 – (-2))2 x 0,0469 + (4 – (-2))2 x 0,0039 = 3 DP(Y) = 1,73 -4 -2 0 2 4 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Dstribuição de Probabilidade de Y: Nota na prova y P( Y= y) 8 Exemplo: Uma pessoa está pensando em investir U$100,00 em duas empresas diferentes, uma que fabrica de óculos de sol outra que fabrica capas de chuva. As previsões meteorológicas indicam que as probabilidades de sol e chuva para o próximo verão são iguais. Suponha que os preços unitários das ações das empresas de óculos de sol e capas de chuva são iguais a U$10,00. Suponha também que se o verão for chuvoso você ganha U$10,00 para cada ação da empresa de capas de chuva e perde U$5,00 para cada ação da empresa de óculos de sol. Suponha que o inverso acontece se o verão for ensolarado. Qual o retorno esperado se você investe todo o seu dinheiro na empresa de capas de chuva? Considere a variável aleatória X: condição climática do verão Vamos representar os resultados possíveis de X por 0 e 1 X = 0 se o verão é ensolarado X = 1 se o verão é chuvoso Distribuição de probabilidade X 0,51 0,50 P(X = x)x Y – retorno do investimento Y depende da condição climática → Y é uma variável aleatória Qual a distribuição de Y se todo o capital é investido em capas de chuva? 9 Verão chuvoso: Y = 10 x 10 = 100 Verão ensolarado: Y = 10 x -5 = 50 0,5-50 0,5100 P(Y = y)Y Distribuição de Probabilidade de Y E(Y) = 100 x 0,5 + (-50) x 0,5 = 25 VAR(Y) = (100 -25)2 x 0,5 + (-50 -25)2 x 0,5 = 5625 DP(Y) = 75 Qual o retorno esperado se metade do capital é investido na empresa de capas de chuva e metade na empresa de óculos de sol? Verão chuvoso: Y = (5 x 10) + (5 x -5) = 25 Verão ensolarado: Y = (5 x -5) + (5 x 10) = 25 0,525 0,525 P(Y = y)Y Distribuição de Probabilidade de Y: retorno do investimento E(Y) = 25 x 0,5 + 25 x 0,5 = 25 VAR(Y) = (25 -25)2 x 0,5 + (25 -25)2 x 0,5 = 0 DP(Y) = 0 Este exemplo mostra que a diversificação do investimento reduz o seu risco. Observe que os retornos esperados são os mesmos nas duas situações. Entretanto o desvio padrão é muito maior na primeira situação. Quanto maior o desvio padrão maior será a incerteza do retorno do investimento, isto é maior será o seu risco. 10 Propriedades do Valor esperado Suponha que em certa empresa os salários dos empregados são dados pela distribuição de probabilidade 0,402000 0,501000 0,105000 P(X = x)x Distribuição de X – salários dos empregados Qual a distribuição de probabilidade, a média e a variânciados salários a) Se todos os empregados tiverem um aumento de 500 reais: Z = X + 500 b) Se todos os empregados tiverem 20% de aumento: W = 1,2 X E(X) = 1800 VAR(X) = 1.360.000 DP(X) = 1166,19 0,10 0,40 0,50 P(Z = z) = P(X = x) 5500 2500 1500 Z = 500 + X 6000 2400 1200 W = 1,2 X 0,10 0,40 0,50 P(X = x) 0,402000 0,501000 0,105000 P(W = w) = P(X = x)x E(Z) = 1500 x 0,5 + 2500 x 0,4 + 5500 x 0,10 = 2300 = 1800 + 500 E(W) = 1200 x 0,5 + 2400 x 0,4 + 6000 x 0,10 = 2160 = 1800 x 1,2 VAR(Z) = (1500 – 2300)2 x 0,5 + (2500 – 2300)2 x 0,4 + (5500 – 2300)2 x 0,10 = 1.360.000 = VAR(X) VAR(Z) = (1200 – 2160)2 x 0,5 + (2400 – 2160)2 x 0,4 + (6000 – 2160)2 x 0,10 = 1.958.400 = 1,22 VAR(X) DP(Z) = DP(X) DP(W) = 1,2 DP(X) 11 Propriedade: Seja X uma variável aleatória e a e b duas constantes. Então: E(aX + b) = a E(X) + b VAR(aX + b) = a2 VAR(X) As propriedades acima resultam do resultado mais geral: Dada uma v.a. discreta com função de probabilidade P(X = x), a esperança de uma função h(x) é dada por: (((( )))) )xX(P)x(h)X(hE ii ======== ∑∑∑∑ (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 222 i n 1i 2 i 2 i n 1i 2 i n 1i i 2 i n 1i ii n 1i 2 i i n 1i 2 i n 1i ii n 1i 2 i i n 1i 2 i 2 i i n 1i 2 i 2 ))X(E()X(E))X(E()xX(P)x( ))X(E()X(E)X(E2)xX(P)x( )xX(P))X(E()xX(Px)X(E2)xX(P)x( )xX(P))X(E()xX(P )X(Ex2)xX(P)x( )xX(P ))X(E()X(Ex2)x( )xX(P)X(Ex)X(EXE)X(VAR −−−−====−−−−======== ====++++−−−−======== ====++++====−−−−======== ====++++====−−−−======== ====++++−−−−==== ========−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ==== ==== ============ ============ ==== ==== [[[[ ]]]]22 )X(E)X(E)X(VAR −−−−==== 12 1a questão 2a questão A 0,50 A - acertar A 0,60 E 0,30 B - errar N 0,20 C – não responder A 0,50 E 0,10 E 0,30 N 0,20 A 0,50 N 0,30 E 0,30 N 0,20 Exemplo: Uma prova tem 2 questões. Para cada questão acertada o aluno recebe 1 ponto, para cada questão errada ele perde 1 ponto. Se ele opta por não responder ele nem perde nem ganha. As probabilidades de acertar, errar e não responder são mostradas no diagrama abaixo. 1a questão 2a questão A 0,50 A 0,60 E 0,30 N 0,20 A 0,50 E 0,10 E 0,30 N 0,20 A 0,50 N 0,30 E 0,30 N 0,20 Eventos Prob. x: Acertos y: Notas x P(X=x) AA 0,30 2 2 0 0,20 AE 0,18 1 0 1 0,50 AN 0,12 1 1 2 0,30 EA 0,05 1 0 EE 0,03 0 -2 y P(Y = y) EN 0,02 0 -1 -2 0,03 NA 0,15 1 1 -1 0,11 NE 0,09 0 -1 0 0,29 NN 0,06 0 0 1 0,27 2 0,30 13 1,200,600,302 0,70 0,27 0,00 -0,11 -0,06 y P(Y = y) 1,1 0,60 0,50 0 x P(X = x) 1,71Soma 0,30 0,27 0,29 0,11 0,03 P(Y = y) 0,30 0,50 0,20 P(X = x) 1,7Soma 0,271 0,000 0,11-1 0,12-2 y2 P(Y = y)y 1,22 0,501 00 x2 P(X = x)x µx =E(X) = 1,1 σ2x =VAR(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 1,7 – (1,1)2 = 0,49 σx =DP(X) = 0,7 µY =E(Y) = 0,70 σ2Y =VAR(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 = 1,7 – (0,7)2 = 1,21 σx = DP(Y) = 0,8366 Função de distribuição acumulada Definição: Dada uma variável aleatória X, a sua função de distribuição acumulada ou simplesmente função distribuição é dada pela função F(x) = P(X ≤ x), -∞ < x < ∞ Propriedades: 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x 2) F(x) é uma função não decrescente de x 3) F(-∞) = 0 e F(∞) =1 0,0039 0,0469 0,2109 0,4219 0,3164 P(X = x) 14 0,99613 0,94922 0,73831 0,31640 P(X ≤ x)x Exemplo: 14 0 se < 0 0,3164 se 0 ≤ x < 1 F(x) = 0,7383 se 1 ≤ x < 2 0,9492 se 2 ≤ x < 3 0,9961 se 3 ≤ x < 4 1 se x ≥ 4 FX(2) = P(X ≤ 2) = 0,9492 FX(2,5) = P(X ≤ 2,5) = P(X ≤ 2) = 0,9492 P(2 < X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = FX(3) - FX(2) = 0,9961 – 0,9492 = 0,0469 = P(X = 2) P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 1) = FX(3) - FX(1) = 0,9961 - 0,7383 = 0,2579 = P(X = 2) + P(X = 3) 0 1 2 3 4 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 Distribuição Acumulada de X x F( x) 15 Quantis de uma variável aleatoria discreta Definição: O valor Q(p) tal que P[X ≤ Q(p)] ≥ p e P[X ≥ Q(p)] ≥ 1- p Para 0 < p < 1 é chamado de quantil de ordem p da variável aleatória X. Exemplo: Mediana P[X ≤ mediana] = P[X ≥ mediana] ≥ 0,5 P[X ≤ 1] = 0,7383 ≥ 0,5 P[X ≥ 1] = 0,7383 ≥ 0,5 Mediana = 1 1 0,9961 0,9492 0,7383 0,3164 P(X ≤ x) 0,0039 0,0469 0,2109 0,4219 0,3164 P(X = x) 0,00394 0,05083 0,26172 0,68361 10 P(X ≥ x)x 1 0,9961 0,9492 0,7383 0,3164 P(X ≤ x) 0,0039 0,0469 0,2109 0,4219 0,3164 P(X = x) 0,00394 0,05083 0,26172 0,68361 10 P(X ≥ x)x Quantil 25 – Q(0.25) P[X ≤ Q(0.25)] ≥ 0,25 P[X ≥ Q(0.25)] ≥ 0,75 Q(0.25) = 0 Quantil 75 – Q(0.25) P[X ≤ Q(0.75)] ≥ 0,75 P[X ≥ Q(0.75)] ≥ 0,25 Q(0.25) = 2 1 0,9961 0,9492 0,7383 0,3164 P(X ≤ x) 0,0039 0,0469 0,2109 0,4219 0,3164 P(X = x) 0,00394 0,05083 0,26172 0,68361 10 P(X ≥ x)x
Compartilhar