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Aula 06 - Variável Aleatória Discreta

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1
Variáveis Aleatórias Discretas
Variável Aleatória
� Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada 
resultado do experimento,i. é. a cada valor do espaço 
amostral.
� Variável aleatória discreta: assume valores num conjunto 
enumerável.
� Variável aleatória contínua: assume valores no conjunto 
dos reais
� Uma variável aleatória é uma descrição numérica do 
resultado de um experimento. 
2
Considere os seguintes experimentos aleatórios
Experimento 1: Contar o número de alunos presentes na sala
de aula
Experimento 2: Sortear um aluno na sala de aula e medir sua
altura
Para os exemplos acima, podemos definir as variáveis:
X: número de alunos presentes na sala
Y: altura do aluno selecionado
X e Y podem assumir diferentes valores e são sabemos a priori 
qual deles ocorrerá
Como descrever uma variável aleatória?
Através de sua distribuição de probabilidade
Distribuição de probabilidade
� valores possíveis da variável 
� frequência de ocorrência destes valores
3
Exemplos de Distribuições de Probabilidade Discretas
Exemplo 1: X – número da face voltada para cima no lançamento de 
um dado equilibrado
1/6
6
11/61/61/61/61/6P(X=x)
Total54321x
Exemplo 2: Um prova de múltipla escolha tem 4 questões com 4 itens 
cada. De cada questão apenas um item está correto. Um aluno marca 
as respostas ao caso. Qual a distribuições de X: número de acertos 
na prova?
Resultados possíveis do experimento aleatório Valores possíveis de X
EEEE 0
CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1
CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2
ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3
CCCC 4
Resultados possíveis do experimento aleatório Valores possíveis de X
EEEE 0
CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1
CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2
ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3
CCCC 4
C = acertar uma questão E = Errar uma questão
EEEE = E ∩ E ∩ E ∩ E P(A) = 1/4 P(E) = 3/4
Como as questões são marcadas ao acaso podemos assumir que ela acerta ou 
erra uma questão independente de errar ou acertar outra questão
P(X = 0) = P(EEEE) = P(E ∩ E ∩ E ∩ E) 
= P(E) x P(E) x P(E) x P(E) = 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4 = (3/4)4
4
Os eventos CEEE, ECEE, EECE,EEEC são mutuamente exclusivos
P(X = 1) = P(CEEE U ECEE U EECE U EEEC) 
= P(CEEE) + P(ECEE) + P(EECE) + P(EEEC) = 4 x 1/4 x (3/4)3
Do mesmo modo
P(X = 2) = P(CCEE U CECE U CEEC U ECCE U ECEC U EECC) 
= P(CCEE) + P(CECE) +P(CEEC) + P(ECCE) + P(ECEC) + P(EECC) 
= 6 x (1/4)2 x (3/4)2
P(X = 3) = P(ECCC U CECC U CCEC U CCCE) 
= P(ECCC) + P(CECC) + P(CCEC) + P(CCCE) 
= 4 x (1/4)3 x (3/4)1
P(X = 4) = P(CCCC) = (1/4)4
5
Função de Probabilidade de X – número de acertos na prova
X – variável aleatória
x - valor da variável aleatória (v.a.)
P(X = x) probabilidade da v.a. assumir o valor x
P(X = 0) = (3/4)4 = 0,3164
P(X = 1) = 4 x (1/4) x (3/4)3 = 0,4219
P(X = 2) = 6 x (1/4)2 x (3/4) = 0,2109
P(X = 3) = 4 x (1/4)3 x (3/4) = 0,0469
P(X = 4) = (1/4)4 = 0,0039
------------------------------------------------------
Soma = 1 
Se vários alunos respondem as questões ao acaso, qual o número médio 
de acertos?
Número médio de acertos =
(0 x 0,3164) + (1 x 0,4219) + (2 x 0,2109) + (3 x 0,0469) + (4 x 0,0039) = 
1
Definição: Para uma v. a. discreta assumindo os valores x1,x2,....xn , o 
valor médio ou valor esperado de X é dado por
 )xX(Px)X(E i
n
1i
i ========∑∑∑∑
====
Se X assume um número infinito enumerável de valores x1,x2,...., então
)xX(Px)X(E i
1i
i ========∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
6
Qual a variância de X? E o desvio padrão?
(((( )))) )xX(P)X(Ex)X(VAR i
n
1i
2
i ====−−−−==== ∑∑∑∑
====
Definição: Para uma v. a. discreta assumindo os valores x1,x2,....xn
a variância de X é dada por
Se X assume um número infinito enumerável de valores x1,x2,...., então
(((( )))) )xX(P)X(Ex)X(VAR i
1i
2
i ====−−−−====∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
Exemplo: 
VAR(X) = (0 – 1)2 x 0,3164 + 
(1 – 1)2 x 0,4219 +
(2 – 1)2 x 0,2109) +
(3 – 1)2 x 0,0469 + 
(4 – 1)2 x 0,0039 = 0,75
Qual o desvio padrão de X? )X(VAR)X(DP ====
Exemplo: 8660,075,0)X(DP ==
0 1 2 3 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Dstribuição de Probabilidade de X: número de acertos na prova
x
P(
X=
x)
7
Exemplo: Suponha que para cada acerto na prova o aluno ganha 1 ponto e para 
cada erro perde um ponto. Seja Y a nota do aluno. Qual a distribuição de Y? Qual 
a nota esperada? E o desvio padrão das notas?
Valores possíveis de 
X Y
EEEE 0 -4
CEEE, ECEE, EECE,EEEC 1 -2
CCEE,CECE,CEEC,ECCE,ECEC,EECC 2 0
ECCC, CECC, CCEC,CCCE 3 2
CCCC 4 4
P(Y = -4) = P(X = 0) = 0,3164
P(Y = -2) = P(X = 1) = 0,4219
P(Y = 0) = P(X = 2) = 0,2109
P(Y = 2) = P(X = 3) = 0,0469
P(Y = 4) = P(X = 4) = 0,0039
-----------------------------------------
Soma = 1 
E(Y) = (-4 x 0,3164) + (-2 x 0,4219) + 0 x 0,2109) + (2 x 0,0469) + (4 x 0,0039) = -2
VAR(Y) = (-4 – (-2))2 x 0,3164 + 
(-2 – (-2))2 x 0,4219 + 
(0 – (-2))2 x 0,2109 +
(2 – (-2))2 x 0,0469 +
(4 – (-2))2 x 0,0039 = 3
DP(Y) = 1,73
-4 -2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Dstribuição de Probabilidade de Y: Nota na prova
y
P(
Y=
y)
8
Exemplo: Uma pessoa está pensando em investir U$100,00 em duas 
empresas diferentes, uma que fabrica de óculos de sol outra que 
fabrica capas de chuva.
As previsões meteorológicas indicam que as probabilidades de sol e 
chuva para o próximo verão são iguais. 
Suponha que os preços unitários das ações das empresas de óculos de 
sol e capas de chuva são iguais a U$10,00. Suponha também que se o 
verão for chuvoso você ganha U$10,00 para cada ação da empresa de 
capas de chuva e perde U$5,00 para cada ação da empresa de óculos 
de sol. Suponha que o inverso acontece se o verão for ensolarado.
Qual o retorno esperado se você investe todo o seu dinheiro na 
empresa de capas de chuva?
Considere a variável aleatória X: condição climática do verão 
Vamos representar os resultados possíveis de X por 0 e 1
X = 0 se o verão é ensolarado
X = 1 se o verão é chuvoso
Distribuição de probabilidade X
0,51
0,50
P(X = x)x
Y – retorno do investimento
Y depende da condição climática → Y é uma variável aleatória
Qual a distribuição de Y se todo o capital é investido em capas de 
chuva?
9
Verão chuvoso: Y = 10 x 10 = 100
Verão ensolarado: Y = 10 x -5 = 50
0,5-50
0,5100
P(Y = y)Y
Distribuição de Probabilidade de Y
E(Y) = 100 x 0,5 + (-50) x 0,5 = 25
VAR(Y) = (100 -25)2 x 0,5 + (-50 -25)2 x 0,5 = 5625
DP(Y) = 75
Qual o retorno esperado se metade do capital é investido na empresa de 
capas de chuva e metade na empresa de óculos de sol?
Verão chuvoso: Y = (5 x 10) + (5 x -5) = 25
Verão ensolarado: Y = (5 x -5) + (5 x 10) = 25
0,525
0,525
P(Y = y)Y
Distribuição de Probabilidade de Y: retorno do investimento
E(Y) = 25 x 0,5 + 25 x 0,5 = 25
VAR(Y) = (25 -25)2 x 0,5 + (25 -25)2 x 0,5 = 0
DP(Y) = 0
Este exemplo mostra que a diversificação do investimento 
reduz o seu risco. Observe que os retornos esperados são os 
mesmos nas duas situações. Entretanto o desvio padrão é
muito maior na primeira situação. Quanto maior o desvio 
padrão maior será a incerteza do retorno do investimento, isto 
é maior será o seu risco. 
10
Propriedades do Valor esperado
Suponha que em certa empresa os salários dos empregados são dados pela 
distribuição de probabilidade
0,402000
0,501000
0,105000
P(X = x)x
Distribuição de X – salários dos empregados
Qual a distribuição de probabilidade, a média e a variânciados salários
a) Se todos os empregados tiverem um aumento de 500 reais: Z = X + 500
b) Se todos os empregados tiverem 20% de aumento: W = 1,2 X
E(X) = 1800 VAR(X) = 1.360.000 DP(X) = 1166,19
0,10
0,40
0,50
P(Z = z) = P(X = x)
5500
2500
1500
Z = 500 + X
6000
2400
1200
W = 1,2 X
0,10
0,40
0,50
P(X = x)
0,402000
0,501000
0,105000
P(W = w) = P(X = x)x
E(Z) = 1500 x 0,5 + 2500 x 0,4 + 5500 x 0,10 = 2300 = 1800 + 500
E(W) = 1200 x 0,5 + 2400 x 0,4 + 6000 x 0,10 = 2160 = 1800 x 1,2
VAR(Z) = (1500 – 2300)2 x 0,5 + (2500 – 2300)2 x 0,4 + (5500 – 2300)2 x 0,10 = 
1.360.000 = VAR(X)
VAR(Z) = (1200 – 2160)2 x 0,5 + (2400 – 2160)2 x 0,4 + (6000 – 2160)2 x 0,10 = 
1.958.400 = 1,22 VAR(X)
DP(Z) = DP(X) DP(W) = 1,2 DP(X)
11
Propriedade: Seja X uma variável aleatória e a e b duas constantes. 
Então:
E(aX + b) = a E(X) + b
VAR(aX + b) = a2 VAR(X)
As propriedades acima resultam do resultado mais geral:
Dada uma v.a. discreta com função de probabilidade P(X = x), a 
esperança
de uma função h(x) é dada por:
(((( )))) )xX(P)x(h)X(hE ii ======== ∑∑∑∑
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
222
i
n
1i
2
i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
i
2
i
n
1i
ii
n
1i
2
i
i
n
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
2
i
i
n
1i
2
i
2
i
i
n
1i
2
i
2
))X(E()X(E))X(E()xX(P)x(
))X(E()X(E)X(E2)xX(P)x(
)xX(P))X(E()xX(Px)X(E2)xX(P)x(
)xX(P))X(E()xX(P )X(Ex2)xX(P)x(
)xX(P ))X(E()X(Ex2)x(
)xX(P)X(Ex)X(EXE)X(VAR
−−−−====−−−−========
====++++−−−−========
====++++====−−−−========
====++++====−−−−========
====++++−−−−====
========−−−−====−−−−====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
============
============
====
====
[[[[ ]]]]22 )X(E)X(E)X(VAR −−−−====
12
1a questão 2a questão
A 0,50 A - acertar 
A 0,60 E 0,30 B - errar
N 0,20 C – não responder
A 0,50 
E 0,10 E 0,30
N 0,20
A 0,50 
N 0,30 E 0,30
N 0,20 
Exemplo: Uma prova tem 2 questões. Para cada questão acertada o aluno 
recebe 1 ponto, para cada questão errada ele perde 1 ponto. Se ele opta por 
não responder ele nem perde nem ganha. As probabilidades de acertar, errar e 
não responder são mostradas no diagrama abaixo.
1a questão 2a questão
A 0,50
A 0,60 E 0,30
N 0,20
A 0,50
E 0,10 E 0,30
N 0,20
A 0,50 
N 0,30 E 0,30
N 0,20 
Eventos Prob. x: 
Acertos 
y: 
Notas 
 x P(X=x) 
AA 0,30 2 2 0 0,20 
AE 0,18 1 0 
 
1 0,50 
AN 0,12 1 1 
 
2 0,30 
EA 0,05 1 0 
EE 0,03 0 -2 
 
y P(Y = y) 
EN 0,02 0 -1 
 
-2 0,03 
NA 0,15 1 1 
 
-1 0,11 
NE 0,09 0 -1 0 0,29 
NN 0,06 0 0 
 
1 0,27 
 
 
2 0,30 
 
13
1,200,600,302
0,70
0,27
0,00
-0,11
-0,06
y P(Y = y) 
1,1
0,60
0,50
0
x P(X = x)
1,71Soma
0,30
0,27
0,29
0,11
0,03
P(Y = y)
0,30
0,50
0,20
P(X = x)
1,7Soma
0,271
0,000
0,11-1
0,12-2
y2 P(Y = y)y
1,22
0,501
00
x2 P(X = x)x µx =E(X) = 1,1
σ2x =VAR(X) = E(X2) – [E(X)]2 =
1,7 – (1,1)2 = 0,49
σx =DP(X) = 0,7
µY =E(Y) = 0,70
σ2Y =VAR(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 =
1,7 – (0,7)2 = 1,21
σx = DP(Y) = 0,8366
Função de distribuição acumulada
Definição: Dada uma variável aleatória X, a sua função de distribuição
acumulada ou simplesmente função distribuição é dada
pela função F(x) = P(X ≤ x), -∞ < x < ∞
Propriedades:
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x
2) F(x) é uma função não decrescente de x
3) F(-∞) = 0 e F(∞) =1
0,0039
0,0469
0,2109
0,4219
0,3164
P(X = x)
14
0,99613
0,94922
0,73831
0,31640
P(X ≤ x)x
Exemplo:
14
0 se < 0
0,3164 se 0 ≤ x < 1 
F(x) = 0,7383 se 1 ≤ x < 2
0,9492 se 2 ≤ x < 3
0,9961 se 3 ≤ x < 4
1 se x ≥ 4
FX(2) = P(X ≤ 2) = 0,9492
FX(2,5) = P(X ≤ 2,5) = P(X ≤ 2) = 0,9492
P(2 < X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = FX(3) - FX(2) =
0,9961 – 0,9492 = 0,0469 = P(X = 2) 
P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 1) = FX(3) - FX(1) = 
0,9961 - 0,7383 = 0,2579 = P(X = 2) + P(X = 3) 
0 1 2 3 4
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
Distribuição Acumulada de X
x
F(
x)
15
Quantis de uma variável aleatoria discreta
Definição: O valor Q(p) tal que P[X ≤ Q(p)] ≥ p e P[X ≥ Q(p)] ≥ 1- p
Para 0 < p < 1 é chamado de quantil de ordem p da variável aleatória X. 
Exemplo: Mediana
P[X ≤ mediana] = P[X ≥ mediana] ≥ 0,5
P[X ≤ 1] = 0,7383 ≥ 0,5
P[X ≥ 1] = 0,7383 ≥ 0,5
Mediana = 1
1
0,9961
0,9492
0,7383
0,3164
P(X ≤ x)
0,0039
0,0469
0,2109
0,4219
0,3164
P(X = x)
0,00394
0,05083
0,26172
0,68361
10
P(X ≥ x)x
1
0,9961
0,9492
0,7383
0,3164
P(X ≤ x)
0,0039
0,0469
0,2109
0,4219
0,3164
P(X = x)
0,00394
0,05083
0,26172
0,68361
10
P(X ≥ x)x
Quantil 25 – Q(0.25)
P[X ≤ Q(0.25)] ≥ 0,25
P[X ≥ Q(0.25)] ≥ 0,75
Q(0.25) = 0
Quantil 75 – Q(0.25)
P[X ≤ Q(0.75)] ≥ 0,75
P[X ≥ Q(0.75)] ≥ 0,25
Q(0.25) = 2
1
0,9961
0,9492
0,7383
0,3164
P(X ≤ x)
0,0039
0,0469
0,2109
0,4219
0,3164
P(X = x)
0,00394
0,05083
0,26172
0,68361
10
P(X ≥ x)x

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