Aula 07 - Modelos Probabilísticos Discretos

Prévia do material em texto

1
Modelos Probabilísticos 
Discretos
Modelo Bernoulli
Considere um experimento aleatório com 2 resultados possíveis 
denominados de sucesso e fracasso. Seja X a variável indicadora de 
sucesso, isto é: 
X = 1 se ocorre sucesso e X = 0 se ocorre fracasso 
Seja p a probabilidade de sucesso 
P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1 - p
Diz-se que X é uma variável aleatória Bernoulli. 
Propriedades:
E(X) = 0 (1 - p) + 1(p) = p
VAR(X) = E(X2) - (E(X))2 = p – p2 = p(1-p)
2
Exemplo 1: Uma moeda é lançada e observa-se a face voltada para cima. 
X = 0 se ocorre cara X = 1 se ocorre coroa
P(X = 0) = ½ P(X = 1) = ½
X segue um modelo Bernolli com parâmetro p = ½.
Exemplo 2: Pergunta-se a um eleitor de Belo Horizonte se ele aprova a 
administração municipal. Seja X a resposta do eleitor
X = 0 se não aprova X = 1 se aprova 
P(X = 0) = 1 - p P(X = 1) = p
X segue um modelo Bernolli com parâmetro p
Exemplo 3: Suponha que 10% dos indivíduos de certa população são desempregados.
Seja X a condição de emprego de uma pessoa selecionada ao acaso desta população.
X = 0 se desempregado X = 1 se empregado 
P(X = 0) = 0,10 P(X = 1) = 0,90
X segue um modelo Bernolli com parâmetro p = 0,90
Modelo Binomial
4,...,0x 0,67 0,33 
x
4)xX(P x- 4x =





==
X: número de questões marcadas corretamente numa prova com 4 questões
de múltipla escolha com 3 itens cada onde apenas um está correto e onde 
cada questão é respondida ao acaso
P(X = 0) = 0,674 = 1 x 0,330 x 0,674 = 1 x 0,330 x 0,674-0 
P(X = 1) = 4 x 0,33 x 0,673 = 4 x 0,331 x 0,673 = 4 x 0,331 x 0,674-1
P(X = 2) = 6 x 0,332 x 0,672 = 6 x 0,332 x 0,672 = 6 x 0,332 x 0,674-2
P(X = 3) = 4 x 0,333 x 0,67 = 4 x 0,333 x 0,671 = 4 x 0,333 x 0,674-3
P(X = 4) = 0,334 = 1 x 0,334 x 0,670 = 1 x 0,334 x 0,674-4
questões n em sucessosx ter podemos maneiras quantas de 
x
n
−−−−





3
1)....1(!
4
!1
4
!|3!1
!34
!3!1
!4
1
4
 )!(!
!
1
4
4
 4
3
4
 6
2
4
 4
1
4
 1
0
4
−=
====





−
=





=





=





=





=





=





nnn
x
xnx
n
x
n
Modelo Binomial:
Considere n realizações independentes de um experimento aleatório 
com 2 resultados possíveis chamados de sucesso (S) e fracasso (F), 
que resulta em sucesso com probabilidade p , isto é P(S) = p.
Seja X: número de sucessos nas n realizações do experimento, 
Diz-se que X segue um modelo binomial com parâmetros n e p,
e
P X x
n
x
x n( ) , , ,...,= = 




 = p (1- p)x n-x 0 1
Notação: X ~ B(n,p)
X segue modelo binomial com parâmetros n e p
E(X) = np VAR(X)= np (1-p)
4
Para o exemplo:
X ~B(4,0,33) E(X) = 4 x 0,33 = 1,32 VAR(X) = 4 x 0,33 x 0,67 = 0,88
Exemplo: Em certa população 10% das pessoas estão desempregadas. Se 15 
pessoas são selecionadas ao caso com reposição, qual a probabilidade de que 2 
delas estejam desempregadas?
X: número de desempregados numa amostra de 15 pessoas
X ~B(15, 010)
2669,0)9,0()1,0(1050.1)-(1 0,1 2
15)2X(P 132132 ==





==
Qual a probabilidade de encontramos no máximo 2 desempregados?
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2059 + 0,3431 + 0,2669 = 0,8116 
Qual o número esperado de desempregados numa amostra de 15 pessoas? E 
a variância?
E(X) = 15 x 0,10 = 1,5 VAR(X) = 15 x 0,10 x 0,90 = 1,35
Seja Y o número de empregados numa amostra de 15 pessoas
Qual a distribuição de Y?
Y ~ B(15, 0.90)
Qual a probabilidade da amostrar conter 13 empregados?
)2X(P2669,0)9,0()1,0(1050.1)-(1 0,1 13
15)13Y(P 132132 ====





==
1
14
023456789101112131415Y
15131211109876543210X
5
Exemplo: Um pesquisador acredita que 10% da população está
desempregada. Considerando que a hipótese de pesquisador está
correta, qual a probabilidade de numa amostra de 100 pessoas obtida 
com reposição encontrarmos uma proporção de desempregados maior 
ou igual a 0,20?
X – número de desempregados numa amostra de 100 pessoas
X ~ b(100;0,20)
pessoas 100 de amostra numa dosdesemprega de proporção 
n
Xpˆ =
[ ] ∑
=
==≥=


 ≥=


 ≥=≥
100
20x
)xX(P20XP20,0
100
XP20,0
n
XP)20,0pˆ(P
Obtendo probabilidade no R para uma B(n,p)
pbinom(x,n,prob) para obter P( X ≤ x) 
dbinom(x,n,prob) para obter P( X = x)
pbinom(x,n,prob, lower.tail=FALSE) para obter P( X > x) B(n,p)
qbinom(p,n,prob) para obter quantil de ordem p Q(p) i.e. o menor x tal que P(X ≤ x) ≥ p
P(X = 20) > dbinom(20,100,0.1)
[1] 0.001170987
P(X ≤ 20) > pbinom(20,100,0.10)
[1] 0.9991924
P(X > 20) = P(X ≥ 19) > pbinom(20,100,0.10,lower.tail=F)
[1] 0.0008075739
Q(0.20) > qbinom(0.20,100,0.1)
[1] 7
0 20 40 60 80 100
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
0.
12
Binomial(100,0.10))
x
P(
X=
x
)
> plot(0:100, dbinom(0:100,100,0.10), 
type="h", ylab="P(X=x)",xlab="x",
main="Binomial(100,0.10))")
6
Como o valo de p influencia a forma da B(n,p)?
0 5 1 0 1 5 2 0
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
B in o m ia l (2 0 ,0 .1 0 ))
x
P(
X=
x
)
0 5 1 0 1 5 2 0
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
B in o m ia l (2 0 ,0 .3 0 ))
x
P(
X=
x
)
0 5 1 0 1 5 2 0
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
B in o m ia l (2 0 ,0 .5 0 ))
x
P(
X=
x
)
0 5 1 0 1 5 2 0
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
B in o m ia l (2 0 ,0 .9 0 ))
x
P(
X=
x
)
0 5 1 0 1 5 2 0
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
B in o m ia l (2 0 ,0 .7 0 ))
x
P(
X=
x
)
Modelo Hipergeométrico






10
50
50? em alunos 10obter podemos maneiras quantas De












5
20
x5
30
 
 
mulheres? 5 e homens 5 sendo 50, em alunos 01 podemos maneiras quantas De
Uma turma possui 50 alunos sendo 30 homens e 20 mulheres. Se uma amostra 
de 10 alunos é obtida sem reposição dentre os 50 alunos qual a probabilidade de 
que 5 sejam homens?
Como as combinações são equiprováveis


















=
10
50
5
20
x5
30
)H5(P
7
Distribuição Hipergeométrica
Considere uma população com N objetos: r objetos do tipo 1. 
N – r objetos do tipo 2.
Uma amostra de n objetos é selecionada aleatoriamente e sem reposição desta 
população. Seja X: número de objetos do tipo 1 na amostra.
Então:
)n,rmin(,...,0x
n
N
x-n
r-N
x
r
)xX(P =


















==
Total
Objetos
Tipo de Objeto
NN - nnTotal
N - rN – r – n - xn - xTipo 2
rr - xxTipo 1
Não SelecionadosSelecionados
1 tipodo objetos de proporção a é
N
rp
1-N
n-Np)-np(1 = VAR(X)
 np)X(E
=
=
Se N é grande, quando comparado com n, amostragem com ou sem reposição são 
praticamente equivalentes. Então as probabilidades calculadas pelo modelo 
binomial e hipergeométrica serão aproximadamente iguais. A esperança e 
variância também serão aproximadamente iguais. 
 p)-np(1
1-N
n-Np)-np(1 = VAR(X) ≈
8
X ~ B(100,0.10)
X ~ Hipergeometrica(N = 10.000, n=100, r= 1000)
Comparação da Binomial e Hipergeométrica 
Caso de n pequeno relativo a N
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.08
0.
10
0.
12
B (1 0 0 ,0 .1 0 ) e H ip e r (N = 1 0 0 0 0 , r = 1 0 0 0 ,n = 1 0 0 )
x
P(
X=
x)
b ino m ia l
hip e rg e o m e tric a
NO R:
m número de objetos do tipo 1
N número de objetos do tipo 2
K numero de objetos selecionados
X ~ Hipergeométrica(N = 10.000, n=100, r= 1000)
P(X = 20) 
> dhyper(20,m=1000,n=9000,k=100)
[1] 0.001117507
P(X ≤ 20) 
> phyper(20,m=1000,n=9000,k=100)
[1] 0.999244
Q(0,20)
> qhyper(0.20,m=1000,n=9000,k=100)
[1] 7
9
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson pode ser vista como o limite da distribuição Binomial 
quando n →∞ e q é pequeno
Faça X ~B(n , p = λ/n)) )exp(
n
1
n0
n)0X(P
n
n0
λλλ −=





−











==
∞→






+
→
=
+=
⇒
→





−+






+
→





+−
→






−+
−





+−
=





−+
−
=





 −






+
−
=






−






+
−
=






−
−






−−+
=






−

















+
=






−

















−











+
=
=
+=
−
−−+
1k)kX(P
)1kX(P
0
n1k
k
 e 
1k1kn
n
 0n Quando
n1k
k
1kn
n
n1k
kn
n
n
n1k
kn
n
1
n1k
kn
n
1)!kn(!k
!n
n)!1kn(!1k
!n
n
1k
n
n1k
n
n
1
nk
n
n
1
n1k
n
)kX(P
)1kX(P
11knk
1kn1k
λ
λ
λλλ
λ
λ
λλ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λλ
!x
e)xX(P
1 x 2 x 3
e
31 x 2
e
3
)2X(P)3X(P
1 x 2
e
21
e
2
)1X(P)2X(P
1
e
1
)0X(P)1X(P
x
32
2
λ
λλ
λλ
λ
λ
λλλλ
λλλλ
λλ
−
−−
−−
−
==
=====
=====
====
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson se 
λ
λ λ
==
===
−
)X(VAR)X(E:opriedadePr
......2,1,0x,
!x
e)xX(P
x
10
Comparação de uma B(100,0.05) com uma Poisson(5)
0 5 10 15 20 25 30
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
B(300,0.05) e Poisson(15)
x
P(
X=
x)
binomial
Poisson
Aplicações da distribuição de Poisson
• Descrever eventos que ocorrem aleatoriamente e independentemente no 
espaço ou no tempo
Exemplo: Suponha que o número de acidentes automobilísticos ocorridos por dia
num trecho de uma rodovia tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ = 4.
Qual a probabilidade de num dia qualquer ocorrerem 2 acidentes?
X – número de acidentes por dia
1465,0
!2
4e)2X(P
24
===
−
11
Obtendo Quantis e probabilidades para uma v.a. Poisson no R
X – número de acidentes por dia
X ~ Poisson(λ = 4)
1) Calculando P(X = 3)
> dpois(3,4)
[1] 0.1953668
2) Calculando P(X ≤ 3)
> ppois(3,4)
[1] 0.4334701
3) Obtendo Q(0,25)
> qpois(0.25,4)
[1] 3
Exemplo: Uma certa região florestal foi dividida em 109 quadrados de 
mesma área. Para cada quadrado foram contadas o número de árvores. 
Os resultados são dados na tabela abaixo:
109Total
0Acima de 8
18
47
56
45
114
143
232
211
260
Número de quadrados 
com X plantas
X – número de plantas 
por quadrado Qual a distribuição de X se 
as plantas se distribuem
completamente ao acaso
na área estudada?
X ~ Poisson(λ)
λ – número médio de plantas
por quadrado.
λ desconhecido → estimá-lo
1926,2
109
)1 x 8(......)4 x 14()23 x 2()21 x 1()26 x 0(
xˆ =
+++++
==λ
12
Se o modelo Poisson é adequado quais seriam as freqüências esperadas de 
quadrados com X plantas, X = 0,1,2,..., ?
1
0,0004
0,0015
0,0054
0,0172
0,0471
0,1075
0,1961
0,2683
0,2447
0,1116
P(X = x)
109
0
1
4
5
4
11
14
23
21
26
Número de quadrados 
com X plantas
109Total
0,04Acima de 8
0,168
0,597
1,886
5,145
11,724
21,383
29,252
26,681
109 x 0,1116 = 12,170
Número esperado de 
quadrados com X plantas
X – número de plantas 
por quadrado
Observe que as freqüências observadas (coluna 2) são bastante distintas das
frequências esperadas sob o modelo Poisson (coluna 4), indicando que a
distribuição das plantas não região não é completamente aleatória
Processo de Poisson
Processo Estocástico: coleção de variáveis aleatórias indexadas pelo tempo
Exemplos: 
1) Número de usuários em uma fila de banco em um determinado instante
2) Índice pluviométrico em cada dia do mês 
3) Número de dias que choveram em cada mês do ano
Processo de Contagem
N(t) número de eventos ocorridos até o tempo t
Propriedades: 
1)N(t) ≥ 0 N(0) = 0
2) N(t) assume valores inteiros
3) Se s < t N(s) ≤ N(t)
4) Se s < t, N(t) – N(s) é igual ao numero de eventos ocorridos no intervalo (s,t]
Exemplo: Número de acidentes de transito ocorridos até o tempo t
13
Processo de Poisson
1) Os números de eventos em intervalos de tempos disjuntos são independentes.
Considere os tempos 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤...... ≤ tn para n > 0
N(t0), N(t1) - N(t0), N(t2) - N(t1), ....., N(tn) - N(tn - 1) são variáveis aleatórias
independentes
2) Considere dois intervalos de tempo de mesmo comprimento ∆: (t , t + ∆) e (s, t + ∆).
P[N(t + ∆) - N(t) = k] = P[N(s + ∆) - N(s) = k] para qualquer inteiro K, ∆ > 0 e s ≤ t
A probabilidade de ocorrer k eventos num intervalo de comprimento ∆ depedende 
somente do comprimento do intervalo, não da sua localização.
3) Para h suficientemente pequeno P(N(h) = 1) ≈ λh
P(N(h) = 0) ≈ 1 – λh
P(N(h) ≥ 2) ≈ 0
Num intervalo suficientemente pequeno a probabilidade de ocorrência de 2 ou mais 
acidentes é desprezível.
Relação entre o Processo de Poisson e a distribuição de Poisson: 
Para qualquer processo de Poisson o número de eventos em um intervalo de 
comprimento t tem distribuição de Poisson com média λt.
Exemplo
N(t) – Número de acidentes por envolvendo um segurado de seguro 
automóvel até o tempo t 
1) Suposição 1 indica que o fato de envolver-se em um acidente não 
modifica a probabilidade de envolver-se em uma acidente no 
futuro.
2) Suposição 2 indica que condições que podem afetar a ocorrência 
de acidentes, tais como condições metereológicas e condições 
de segurança podem ser negligenciadas no modelo. 
3) Suposição 3 indica que comparada às probabildades de sofrer 0 
ou 1 acidentes, a probabilidade de envolver-se em 2 ou mais 
acidentes num intervalo de tempo pequeno é muito pequena.
14
Suponha que o número de acidentes automobilísticos ocorridos por dia
um trecho de uma rodovia tenha distribuição de Poisson com 
parâmetro λ = 4.
Considerando que o número de acidentes ocorridos até o tempo t pode 
ser descrito por um processo de Poisson, qual a distribuição de:
a) Y - Número de acidentes observados por semana?
Y ~ Poisson(λ = 4 x 7 = 28) 
a) Z - Número de acidentes observados por hora?
Z ~ Poisson(λ = 4/24 = 0,17)