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Cálculo 4 - Resumo Geral

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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A) 
 
 
 
 
SÉRIES - TRANSFORMADAS 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 Rudimar Luiz Nós 
 
 2o semestre/2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é paradoxo dizer 
 
que nos nossos momentos de inspiração mais teórica 
 
podemos estar o mais próximo possível 
 
 de nossas aplicações mais práticas. 
 
 
A. N. Whitehead (1861-1947) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rudimarnos@gmail.com 
http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
SUMÁRIO 
 
1. SÉRIES.................................................................................................................................................................................9 
1.1 – SEQUÊNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9 
1.2 – SÉRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9 
1.3 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES..........................................................................................................................................10 
1.3.1 – A série geométrica..............................................................................................................................................10 
1.3.2 – Condição necessária à convergência.................................................................................................................11 
1.3.3 – Teste da divergência...........................................................................................................................................11 
1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................12 
1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções).........................................................................................................12 
1.3.7 – Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13 
2. A SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17 
2.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS .................................................................................................................................................17 
2.2 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS..........................................................................................................................................18 
2.3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................22 
2.3.1 – Definição............................................................................................................................................................22 
2.3.2 – Coeficientes ........................................................................................................................................................22 
2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25 
2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...............................................................................................................25 
2.4 – SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA ................................................................................................27 
2.5 – FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES..........................................................................................................................35 
2.6 – SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39 
2.7 – SÉRIE DE FOURIER DE SENOS.......................................................................................................................................40 
2.8 – O FENÔMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................44 
2.9 – A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER..............................................................................................45 
2.10 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER ..................................................................47 
2.11 – DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................48 
2.12 – A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER...............................................................................50 
2.13 – APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55 
2.13.1 – Equações diferenciais ......................................................................................................................................55 
2.13.2 – Equação do calor .............................................................................................................................................56 
2.13.3 – Equação da onda..............................................................................................................................................59 
2.13.4 – Equação de Laplace .........................................................................................................................................61 
2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65 
2.15 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77 
3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91 
3.1 – A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92 
3.2 – CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92 
3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................93 
3.3 – A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................933.4 – A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94 
3.5 – FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95 
3.6 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97 
3.7 – TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99 
3.8 – TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................100 
3.9 – FUNÇÃO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102 
3.10 – ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................104 
3.11 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................................106 
3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ........................................................................................................107 
3.11.2 – Linearidade ....................................................................................................................................................108 
3.11.3 – Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108 
3.11.4 – Conjugado......................................................................................................................................................109 
3.11.5 – Translação (no tempo) ...................................................................................................................................109 
3.11.6 – Translação (na frequência) ............................................................................................................................110 
 6 
3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...........................................................................110 
3.11.8 – Convolução ....................................................................................................................................................111 
3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)....................................................................................................114 
3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115 
3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116 
3.12 – RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119 
3.13 – DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120 
3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121 
3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122 
3.14 – MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122 
3.14.1 – Uso da definição.............................................................................................................................................122 
3.14.2 – Uso de equações diferenciais .........................................................................................................................126 
3.14.3 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................128 
3.15 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ............................................................................................130 
3.15.1 – A função constante unitária ...........................................................................................................................130 
3.15.2 – A função sinal.................................................................................................................................................131 
3.15.3 – A função degrau .............................................................................................................................................132 
3.15.4 – Exponencial....................................................................................................................................................132 
3.15.5 – Função cosseno..............................................................................................................................................133 
3.16 – RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ...........................................................................134 
3.17 – IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................135 
3.18 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ......................................................................................................................137 
3.19 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141 
3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...................................................................................................................141 
3.19.2 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................142 
Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142 
3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica).................................................................................................................................. 144 
3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ................................................................................................................................. 146 
3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) .................................................................................................................................. 148 
3.20 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................151 
3.21 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154 
3.22 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157 
4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165 
4.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165 
4.1.1 – Motivação.........................................................................................................................................................165 
4.1.2 – Função de Heaviside........................................................................................................................................166 
4.1.2.1- Generalização........................................................................................................................................................................ 167 
4.1.3 – Transformada de Laplace ................................................................................................................................168 
4.2 – FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171 
4.3 – CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174 
4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ..............................................................................................................174 
4.3.2 – Condições suficientes para a convergência .....................................................................................................174 
4.4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES ...............................................................175 
4.4.1 – f(t) = tn..............................................................................................................................................................175 
4.4.2 – f(t) = eat ............................................................................................................................................................177 
4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ..............................................................................................177 
4.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................178 
4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ....................................................................178 
4.5.2 – Linearidade ......................................................................................................................................................178 
4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ....................................................................................181 
4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento.....................................................................................181 
4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ..............................................................................................................182 
4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183 
4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185 
4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) ....................................................186 
4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ..................................................................187 
4.5.10 – Convolução ....................................................................................................................................................189 
4.5.11 – Valor inicial ...................................................................................................................................................190 
4.5.12 – Valor final ......................................................................................................................................................191 
4.6 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNÇÕES PERIÓDICAS......................................................................192 
 7 
4.7 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS........................................................................................................................194 
4.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196 
4.8.1 – Uso da definição...............................................................................................................................................196 
4.8.2 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................196 
4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...........................................................................................................................200 
4.8.4 – Outros métodos ................................................................................................................................................200 
4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200 
4.9 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES.........................................................................200 
4.9.1 – Função nula .....................................................................................................................................................200 
4.9.2 – Função degrau unitário ...................................................................................................................................200 
4.9.3 – Função impulso unitário ..................................................................................................................................201 
4.9.4 – Algumas funções periódicas.............................................................................................................................202 
4.10 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204 
4.10.1 – Completando quadrados ................................................................................................................................204 
4.10.2 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................204 
4.10.3 – Expansão em série de potências.....................................................................................................................209 
4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211 
4.10.5 – A fórmula de Heaviside ..................................................................................................................................211 
4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...................................................................................................212 
4.11 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213 
4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes......................................................................213 
4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis........................................................................219 
4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...............................................................................................221 
4.11.4 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................223 
4.12 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS ....................................................................................................229 
4.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232 
4.14 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................2405. TRANSFORMADAS ZZZZ ...................................................................................................................................................251 
5.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252 
5.2 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS.....................................................................................253 
5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac........................................................................................................253 
5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário .................................................................................................253 
5.2.3 – Exponencial......................................................................................................................................................254 
5.2.4 – Potência............................................................................................................................................................255 
5.3 – SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA ....................................................................................256 
5.4 – EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258 
5.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260 
5.5.1 – Linearidade ......................................................................................................................................................260 
5.5.2 – Translação (ou deslocamento) .........................................................................................................................264 
5.5.3 – Similaridade .....................................................................................................................................................265 
5.5.4 – Convolução ......................................................................................................................................................266 
5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ..........................................................................................267 
5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...............................................................................................269 
5.5.7 – Valor inicial .....................................................................................................................................................270 
5.5.8 – Valor final ........................................................................................................................................................271 
5.6 – RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272 
5.7 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272 
5.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ..............................................................273 
5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273 
5.8.2 – Decomposição em frações parciais..................................................................................................................274 
5.8.3 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................277 
5.8.4 – Estratégia geral de inversão ............................................................................................................................279 
5.9 – TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280 
5.9.1 - Série de Laurent................................................................................................................................................280 
5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280 
5.9.2 – Definição..........................................................................................................................................................282 
5.10 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS .....................................................................................................................................286 
5.10.1 – Definição........................................................................................................................................................286 
5.10.2 – Equações de diferenças lineares ....................................................................................................................287 
 8 
5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ..................................................................................................287 
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294 
5.12 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301 
6. FORMULÁRIO ...............................................................................................................................................................307 
REFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................317 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
1. SÉRIES 
1.1 – Sequências infinitas 
 
 Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é { }0\N . 
 Notação: { } { } ( )nfa ,0\Nn ,a nn =∈ 
 
Exemplos 
 
 1o) { } ( ) { } ,
14
25
,
11
16
,
8
9
,
5
4
,
2
1
 a
1n3
n1a n
2
1n
n






−−=⇒
−
−=
+
L 
 2o) A sequência { }
1n2
n
a n
+
= é convergente ou divergente? 
 { }
 ,
3n2
1n
,
1n2
n
,,
11
5
,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
 a n






+
+
+
= KL 
 
 Se n
n
alim
∞→
 existe, então { } a n é convergente. Caso contrário, { } a n é divergente. 
 
 Como
2
1
n
12
1lim
1n2
nlim
nn
=
+
=
+ ∞→∞→
, { } a n é convergente. 
 
1.2 – Séries infinitas 
 
 Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita. 
 Notação: LL +++++=∑
∞
=
n321
1n
n aaaaa 
 Somas parciais: 
n321n
3213
212
11
aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
 
 
 Se SSlim n
n
=
∞→
 
, então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série 
infinita é divergente. 
 
Exemplo 
 
 ( ) ( ) LL +++++++=+∑
∞
=
1nn
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
1nn
1
1n
 
 10 
 
( )
1
1n
nlimSlim
1n
n
1n
11S
1n
1
n
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11aaaaS
1n
1
n
1
1nn
1
a
n
n
n
n
n321n
n
=
+
=
+
=
+
−=






+
−++




−+





−+





−=++++=
+
−=
+
=
∞→∞→
LL
 
 
 Logo, a série infinita é convergente. 
 
1.3 – Convergência de séries 
 
 Diferenciar: 
 
• Condições necessárias à convergência; 
• Condições suficientes à convergência; 
• Condições necessárias e suficientes à convergência. 
 
1.3.1 – A série geométrica 
 
 Teorema: A série geométrica 
 
K++++=∑
∞
=
32
1n
1-n arararar a , com a≠0, 
 
 (i) converge, e tem por soma 
r1
a
−
, se ( )1r1 1r <<−< ; 
 (ii) diverge, se ( )1rou -1r 1r ≥≤≥ . 
 
Exemplos 
 
 1o) 2
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
1n432
1n
1n =
−
=+++++++=
−
∞
=
−
∑ LL 
 
 2o) 
9
5
10
9
10
5
10
11
10
5
10000
5
1000
5
100
5
10
55555,05,0 ==
−
=++++== KK
 
 
 
 11 
1.3.2 – Condição necessária à convergência 
 
 Teorema: Se a série infinita ∑
∞
=1n
na é convergente, então 0alim n
n
=
∞→
. 
 
A recíproca não é sempre verdadeira. 
 
 
1.3.3 – Teste da divergência 
 
 Se 
 
n
n
alim
∞→
 não existir ou 0alim n
n
≠
∞→
 , então a série infinita ∑
∞
=1n
na é divergente. 
 
 
1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral 
 
 Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo 1x ≥ , então 
a série infinita 
( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=∑
∞
=
nf2f1fnf
1n
 
(i) converge se a integral imprópria ( )∫
∞ 
1 
dx xf converge; 
(ii) diverge se a integral imprópria ( )∫
∞ 
1 
dx xf diverge. 
 
Exemplo 
 
A série harmônica L+++++=∑
∞
=
5
1
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
 é divergente. 
0
n
1lim
n
=
∞→
 (condição necessária, porém não suficiente) 
 
( )[ ] ( )[ ] ∞=−===
∞→∞→∞→
∞
∫∫ 0blnlimxlnlimdxx
1
 limdx
x
1
 
b
b
1b
b 
1 
b
 
1 
 
 
Como a integral diverge, a série harmônica diverge. 
 
 
 12 
1.3.5 – Convergência absoluta e condicional 
 
 A série∑
∞
=1n
na é dita absolutamente convergente se K+++=∑
∞
=
321
1n
n aaaa convergir. 
Se ∑
∞
=1n
na convergir mas ∑
∞
=1n
na divergir, então ∑
∞
=1n
na é dita condicionalmente convergente. 
 
 Teorema: Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1n
na também converge. 
 
 
Exemplo 
 
 A série L+−−++−−+ 2222222 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 é absolutamente convergente, uma vez que 
6n
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1n
22222222
pi
==++++++++ ∑
∞
=
L (provaremos usando a série de Fourier). 
 
1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções) 
 
 Série de números reais 
 
 K+++=∑
∞
=
321
1n
n aaaa 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
Série de funções 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) K+++=∑
∞
=
xuxuxuxu 321
1n
n 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
K+++++=∑
∞
=
!5
32
!4
16
!3
8
!2
42
!n
2
1n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=∑
∞
=
!4
x4sen
!3
x3sen
!2
x2sen
xsen
!n
nxsen
1n
 13 
A série de Fourier ∑
∞
=












+





+
1n
nn
0
L
 xn
senb
L
 xn
cosa
2
a pipi é uma série de funções trigonomé-
ricas. 
Sejam a série ( )∑
∞
=1n
n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n = é uma sequência de funções definidas em 
[a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da série e ( ) ( )xSxSlim n
n
=
∞→
. A série 
converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0>ε e cada [ ]b,ax ∈ existe um 0N > tal que 
( ) ( ) ε<− xSxSn para todo Nn > . O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende 
somente deε , então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em [ ]b,a . 
 
Teorema 1: Se cada termo da série ( )∑
∞
=1n
n xu é uma função contínua em [a,b] e a série é 
uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é, 
( ) ( )∑ ∫∫ ∑
∞
=
∞
=








=








1n
b 
a 
n
b 
a 1n
n dxxu dxxu . 
 
Teorema 2: Se cada termo da série ( )∑
∞
=1n
n xu é uma função contínua com derivada contínua 
em [a,b] e se ( )∑
∞
=1n
n xu converge para S(x) enquanto ( )∑
∞
=1n
'
n xu converge uniformemente em [a,b], 
então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é, ( ) ( )∑∑
∞
=
∞
=






=








1n
n
1n
n xudx
d
xu
dx
d
. 
 
 
1.3.7 – Teste M de Weierstrass 
 
 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão. 
 
 Se existe uma sequência de constantes ,1,2,3,n ,M n K= tal que para todo x em um intervalo 
 
 (a) ( ) nn Mxu ≤
 
 e 
 (b) ∑
∞
=1n
nM converge, 
então ( )∑
∞
=1n
n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo. 
 14 
Observações: 
 
1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias. 
 
2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou vice-
versa. 
 
Exemplo 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
++++=
1n
2222 4
x4cos
3
x3cos
2
x2cos
xcos
n
nxcos
L é uniforme e absolutamente 
convergente em [0,2pi] (ou em qualquer intervalo), uma vez que 
 
 
( )
22 n
1
n
nxcos ≤ e 
6n
1 2
1n
2
pi
=∑
∞
=
. 
 
 
Exercícios 
 
01. Mostre que a série ∑
∞
=
+
1n
2
2
4n5
n
 diverge. 
 
 R.: Use o teste da divergência. 
 
 
02. Mostre que a série ( )( )∑
∞
=
+−
1n
1n21n2
1
 converge e determine sua soma. 
 
 R.: 
2
1
 
 
03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes. 
 
 a) ∑
∞
=
+
1n
2 1n
n
 R.: A série é divergente: ∞=
+∫
∞ 
1 
2 dx1x
x
. 
 
 b) ( )∑
∞
=1n
3n
nln
 R.: A série é convergente: ( )
4
1dx
x
xln
 
1 
3 =∫
∞
. 
 
 15 
 c) ∑
∞
=
−
1n
nne
 
 R.: A série é convergente:
e
2dxxe 
 
1 
x
=∫
∞
−
. 
 
 d) ( )∑
∞
=2n
nlnn
1
 R.: A série é divergente: ( ) ∞=∫
∞ 
2 xlnx
dx
. 
 
 
04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x . 
 
 a) ( )∑
∞
=1n
n2
nxcos
 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 
 
 b) ∑
∞
=
+
1n
22
xn
1
 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 
 
 c) ( )∑
∞
=
−
1n
n
2
12
nxsen
 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 
 
 
05. Seja ( ) ( )∑
∞
=
=
1n
3n
nxsen
xf . Prove que ( ) ( )∑∫
∞
=
−
=
1n
4
 
0 1n2
12dxxf 
pi
. 
 
 R.: Use ( ) 33 n
1
n
nxsen ≤ , o teste M de Weierstrass (prove que ∑
∞
=1n
3n
1
 converge usando o teste da 
integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo. 
 
 Observação: Mostraremos futuramente que ( ) 961n2
1 4
1n
4
pi
=
−
∑
∞
=
. Assim, ( )
48
dx
n
nxsen 4
 
0 1n
3
pi
=∫ ∑
pi ∞
=
. 
 
 
 
06. Prove que ( ) ( ) ( ) 0dx
7.5x6cos
5.3
x4cos
3.1
x2cos
 
0 
=



+++∫
pi
L . 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
2. A SÉRIE DE FOURIER 
 
 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais 
contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas. 
 
 Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos? 
 
Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno 
e cosseno são periódicas de período fundamental pi2 , contínuas, limitadas e de classe ∞C , ou seja, são 
infinitamente diferenciáveis. 
 
2.1 – Funções periódicas 
 
 Uma função RR:f → é periódica de período fundamental P se 
 
( ) ( ) 0P x, xfPxf >∀=+ . 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) (d) 
 
Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , função de período fundamental pi2P = ; (b) ( ) ( )xcosxf = , função de 
período fundamental pi2P = ; (c) ( ) 5xf = , função de período fundamental 0k ,kP >= ; (d) função 
onda triangular, de período fundamental 2P = . 
 
 18 
 Como as funções ( )xsen e ( )xcos são 2pi-periódicas, temos que 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) L
L
=+=+=+=
=+=+=+=
pipipi
pipipi
6xcos4xcos2xcosxcos
6xsen4xsen2xsenxsen
. 
 
 Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as 
vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu 
eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os 
movimentos ondulatórios em geral. 
 
2.2 – Séries trigonométricas 
 
 Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa
2
a
332211
0
 
 
ou 
( ) ( )[ ]∑
∞
=
++
1n
nn
0 nxsenbnxcosa
2
a
 (2.2.1)
 
ou
 ∑
∞
=












+





+
1n
nn
0
L
 xn
senb
L
 xn
cosa
2
a pipi
. (2.2.2) 
 
Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de 
amplitude L2 em um intervalo de amplitude pi2 . 
 
 Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n
 
temos um harmônico da série e 0a , na e nb são os 
coeficientes da série. 
 
 0a : constante 
 
 ( )nfa n = e ( )nfbn = : sequências infinitas 
 
Exemplo 
 
( ) ( ) { }






−−−=⇒
−
== K,
5
2
,
2
1
,
3
2
,
1
,
2
a
n
12
ncos
n
2
a n
n
n pipipipipipi
pi
pi
 
 
A série trigonométrica (2) também pode ser escrita na forma 
 
 19 
 
∑
∞
=





 φ+pi+
1n
nn
0 nsenA
2
a
L
 x
, (2.2.3) 
 
onde 2n
2
nn baA += , ( )nnn senAa φ= e ( )nnn cosAb φ= . 
 
 A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2n ba + .
 
 
∑
∞
=
+
+











 pi
+




 pi
+
+
+
1n
2
n
2
n
2
n
2
n
nn2
n
2
n
2
n
2
n0
ba
ban
senbncosa
ba
ba
2
a
L
 x
L
 x
 
 
∑
∞
=













 pi
+
+




 pi
+
++
1n
2
n
2
n
n
2
n
2
n
n2
n
2
n
0 nsen
ba
bn
cos
ba
aba
2
a
L
 x
L
 x
 
 
Considerando n
2
n
2
n Aba =+ , ( )n
n
n sen
A
a φ= e ( )n
n
n cos
A
b φ= , temos que: 
 
( ) ( )∑
∞
=











 piφ+




 piφ+
1n
nnn
0 nsencos
n
cossenA
2
a
L
 x
L
 x
 
 
∑
∞
=





 φ+pi+
1n
nn
0 nsenA
2
a
L
 x
 
 
Em (2.2.3), o termo 




 φ+pi nn nsenA L
 x
 é chamado harmônico de ordem n e pode ser 
caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ângulo de fase nφ . 
 
 Questões 
 
01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma 
série trigonométrica convergente para ela? 
 
02. Sendo Nn,m ∈ , mostre que: 
 
(a) 0n ,0dx
L
 xn
cos
L 
L 
≠=





∫
−
pi
 
 
 
 
 20 
 du
n
Ldx dx
L
ndu 
L
 xn
u
pi
pipi
===
 
 
 ( ) ( )[ ] 0nsennsen
n
L
L
xn
sen
n
Ldx
L
xn
cos
L
L
L 
L 
=pi−−pi
pi
=










 pi
pi
=




 pi
−−
∫ 
 
 [ ] ( ) L2LLxdx dx
L
xn
cos0n LL
L 
L 
L 
L 
=−−===




 pi
⇒=
−
−−
∫∫ 
 
 
 (b) 0dx
L
 xn
sen
L 
L 
=





∫
−
pi
 ( ( ) 




 pi
=
L
 xn
senxf é ímpar no intervalo [ ]L,L− ) 
 
 du
n
Ldx dx
L
ndu 
L
 xn
u
pi
pipi
===
 
 
 ( ) ( )[ ] 0ncosncos
n
L
L
 xn
cos
n
Ldx
L
 xn
sen
L
L
L 
L 
=pi−−pi
pi
−=










 pi
pi
−=




 pi
−−
∫ 
 
 00dx dx
L
 xn
sen0n
L 
L 
L 
L 
==




 pi
⇒= ∫∫
−−
 
 
 
 
 (c) 



≠=
≠
=











∫
−
0nm se L,
nm se 0,
dx
L
 xn
cos
L
 xm
cos
L 
L 
pipi
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
nm se 0dx
L
 xn-m
cos
L
 xnm
cos 
2
1dx
L
 xn
cos
L
 xm
cos
vucosvucos
2
1
vcosucos : que Lembrando
L 
L 
L 
L 
≠=










+


 +
=











−++=
∫∫
−−
pipipipi
 
 
[ ] Lx
2
1dx 
2
1dx1
L
 xn2
cos
2
1dx
L
 xn
cos0nm LL
L 
L 
L 
L 
L 
L 
2
===





+




 pi
=




 pi
⇒≠=
−
−−−
∫∫∫
 
 
[ ] L2xdx2 
2
1dx
L
 xn
cos
L
 xm
cos0nm LL
L 
L 
L 
L 
===




 pi





 pi
⇒==
−
−−
∫∫
 
 
 
 
 (d) 



≠=
≠
=











∫
−
0nm se L,
nm se 0,
dx
L
 xn
sen
L
 xm
sen
L 
L 
pipi
 (o produto de duas funções ímpares é par) 
 21 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos
2
1
vsenusen : que Lembrando +−−=
 
 
( ) ( )
nm se 0dx
L
 xnm
cos
L
 xn-m
cos 
2
1dx
L
 xn
sen
L
 xm
sen
L 
L 
L 
L 
≠=








 pi+
−


 pi
=




 pi





 pi ∫∫
−−
 
 
 
 [ ] Lx
2
1dx 
2
1dx
L
 xn2
cos1
2
1dx
L
 xn
sen0nm LL
L 
L 
L 
L 
L 
L 
2
===










 pi
−=




 pi
⇒≠=
−
−−−
∫∫∫
 
 
0dx0 
2
1dx
L
 xn
sen
L
 xm
sen0nm
L 
L 
L 
L 
==




 pi





 pi
⇒== ∫∫
−−
 
 
 
 (e) 0dx
L
 xn
sen
L
 xm
cos
L 
L 
=











∫
−
pipi
 (o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar) 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
 0dx
L
 xm-n
sen
L
 xmn
sen 
2
1dx
L
 xn
cos
L
 xm
sen
vusenvusen
2
1
vcosusen : que Lembrando
L 
L 
L 
L ∫∫ −− =








+


 +
=











−++=
pipipipi
 
 
 
Observações: 
 
1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L 
são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ . 
 
2a) Funções ortogonais 
 
 Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções ( )xf e ( )xg em um 
intervalo [a,b] é o número 
 
( ) ( ) ( )∫=
b 
a 
dx xgxf g|f . 
 
 Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo [ ]b,a se 
 
( ) ( ) ( ) 0dx xgxf g|f
b 
a 
== ∫ . 
 
 Assim, as funções ( ) 





=
L
 xn
senxf pi e ( ) 





=
L
 xn
cosxg pi são ortogonais no intervalo ( )L,L− . 
 
 22 
2.3 – Série de Fourier 
2.3.1 – Definição 
 
 Seja a função f(x) definida no intervalo ( )L,L− e fora desse intervalo definida como 
( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier 
correspondente a f(x) é dada por 
 
∑
∞
=












+





+
1n
nn
0
L
 xn
senb
L
 xn
cosa
2
a pipi
 
 
sendo que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a são dados pelas expressões a seguir. 
 
( )∫
−
=
L 
L 
0 dxxf L
1
a 
 
( )∫
−






=
L 
L 
n dxL
 xn
cosxf
L
1
a
pi
 
 
( )∫
−





 pi
=
L 
L 
n dxL
 xn
sen xf
L
1b
 
 
2.3.2 – Coeficientes 
 
 Se a série 
∑
∞
=












+





+
1n
nn L
 xn
senb
L
 xn
cosaA pipi 
 
converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L− , mostre que, para K,3,2,1n = , 
 
 1. ( )∫
−






=
L 
L 
n dxL
 xn
cosxf
L
1
a
pi
; 
 
 2. ( )∫
−





 pi
=
L 
L 
n dxL
 xn
sen xf
L
1b ; 
 
 3. 
2
aA 0= . 
 
 23 
1. Multiplicando ( ) ∑
∞
=












+





+=
1n
nn L
 xn
senb
L
 xn
cosaAxf pipi por 





L
 xm
cos
pi
 e integrando de –L 
a L, obtemos: 
 
 
( )
∑ ∫∫
∫∫
∞
=
=
−−
−−













 pi





 pi
+




 pi





 pi
+
+




 pi
=




 pi
1n
m,,1,2,3,n II
L 
L 
n
L 
L 
n
I
L 
L 
L 
L 
dx
L
 xn
sen
L
 xm
cosbdx
L
 xn
cos
L
 xm
cosa 
dx
L
 xm
cosAdx
L
 xm
cosxf
4444444444444 34444444444444 21
444 3444 21
KK
 
 
 
 Considerando 0≠m em I e mn = em II: 
 
 ( ) Ladx
L
 xm
cosxf m
L 
L 
=




 pi∫
−
 
 
 ( )∫
−





 pi
=
L 
L 
m dxL
 xm
cosxf
L
1
a ou ( )∫
−





 pi
=
L 
L 
n dxL
 xn
cosxf
L
1
a 
 
 Para 0n = , ( )∫
−
=
L 
L 
0 dxxf L
1
a . (2.3.2.1) 
 
 
2. Multiplicando ( ) ∑
∞
=












+





+=
1n
nn L
 xn
senb
L
 xn
cosaAxf pipi por 





L
 xm
sen
pi
 e integrando de –L 
a L, obtemos: 
 
( )
∑ ∫∫
∫∫
∞
=
=
−−
−−













 pi





 pi
+




 pi





 pi
+
+




 pi
=




 pi
1n
m,,1,2,3,n I
L 
L 
n
L 
L 
n
L 
L 
L 
L 
dx
L
 xn
sen
L
 xm
senbdx
L
 xn
cos
L
 xm
sena 
dx
L
 xm
senAdx
L
 xm
sen xf
4444444444444 34444444444444 21
KK
 
 
 Considerando mn = em I: 
 
 24 
 
( ) Lbdx
L
 xm
sen xf m
L 
L 
=




 pi∫
−
 
 
 
( )∫
−





 pi
=
L 
L 
m dxL
 xm
sen xf
L
1b ou ( )∫
−





 pi
=
L 
L 
n dxL
 xn
sen xf
L
1b 
 
 
3. Integrando ( ) ∑
∞
=












+





+=
1n
nn L
 xn
senb
L
 xn
cosaAxf pipi de –L a L, obtemos: 
 
 ( ) ∑ ∫∫∫∫
∞
=
−−−−














+





+=
1n
L 
L 
n
L 
L 
n
L 
L 
L 
L 
dx
L
 xn
senbdx
L
 xn
cosadx Adxxf pipi 
 
 
 Para ,,3,2,1n K= obtemos: 
 
 ( ) AL2dxxf 
L 
L 
=∫
−
 
 
 ( ) dxxf 
L2
1A
L 
L ∫−= (2.3.2.2) 
 
 Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que 
2
aAAL2La 00 =⇒= . 
 
Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são 
substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ . 
 
 
 Teorema 1: Se ( )∑
∞
=1n
n xu e ( )∑
∞
=1n
n xv são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ e se 
( )xh é contínua em bxa ≤≤ , então as séries ( ) ( )[ ]∑
∞
=
+
1n
nn xvxu , ( ) ( )[ ]∑
∞
=
−
1n
nn xvxu , 
( ) ( )[ ]∑
∞
=1
 
n
n xuxh e ( ) ( )[ ]∑
∞
=1n
n xv xh são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ . 
 
 Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 393. 
 
 25 
 Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier. 
Mais precisamente, se a série 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa
2
a
332211
0
 
 
converge uniformemente a ( )xf para todo x , então ( )xf é contínua para todo x , ( )xf tem período 
pi2 e a série trigonométrica é a série de Fourier de ( )xf .
 
 
2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes 
 
 Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo βα ≤≤ t se 
este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é 
contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos. 
 
Exemplo 
 
 
Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13]. 
 
2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet 
 
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. 
 
 Suponha que: 
 
 (1) ( )xf é definida em ( )L,L− , exceto em um número finito de pontos; 
 
 (2) ( )xf é 2L-periódica fora de ( )L,L− ; 
 
 (3) ( )xf e ( )xf ' são seccionalmentecontínuas em ( )L,L− . 
 
 Então, a série 
∑
∞
=












+





+
1n
nn
0
L
 xn
senb
L
 xn
cosa
2
a pipi
, 
 
 26 
com coeficientes de Fourier, converge para: 
 
 (a) f(x), se x é um ponto de continuidade; 
 
 (b) ( ) ( )
2
xfxf
−+ +
, se x é um ponto de descontinuidade. 
 
Observações: 
 
1a) ( )+xf e ( )−xf representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente. 
 
 ( ) ( )hxflimxf
0h
+=
+→
+ e ( ) ( )hxflimxf 0h −= +→− 
 
2a) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não 
necessárias. 
 
 Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: 
Bookman. 
 
 
 Teorema fundamental: Seja ( )xf uma função definida e muito lisa por partes no intervalo 
pi≤≤pi− x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período pi2 . Então a série 
de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que não contenha 
descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a série converge para 
 
( ) ( )



 +
−→+→
xflimxflim
2
1
00 xxxx
. 
 
 
 Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461. 
 
 
Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada 
primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua. 
 
 
 Teorema da unicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funções seccionalmente contínuas no intervalo 
pi≤≤pi− x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, ( ) ( )xfxf 21 = , 
exceto talvez nos pontos de descontinuidade. 
 
 Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 456. 
 
 
 
 27 
2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada 
 
Exemplo 1 
 
 Seja ( )



<<
<<
=
5x0 se 3,
0x5- se ,0
xf , ( ) ( )10xfxf += . 
 
 a) Construa o gráfico de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Gráfico de ( )



<<
<<
=
5x0 se 3,
0x5- se ,0
xf , ( ) ( )10xfxf += . 
 
 
b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet? 
 
• ( )xf é definida em ( )5,5− , exceto em 0x = (há um número finito de 
descontinuidades no intervalo); 
• ( )xf é periódica de período fundamental 10P = , isto é, ( ) ( )10xfxf += ; 
• ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )5,5− . 
 Assim, a série de Fourier converge para ( )xf nos pontos de continuidade e para 
2
3
 (média 
dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade. 
 
 
 c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). 
 
 5L10L2P =⇒== 
 
 ( ) [ ] ( ) 305
5
3
x
5
3dx3 dx0 
5
1dxxf 
L
1
a
5
0
5 
0 
0 
5 
L 
L 
0 =−==








+== ∫∫∫
−−
 
 
 
 3a 0 = 
 28 
 
( )













 pi
+




 pi
=




 pi
= ∫∫∫
−−
5 
0 
0 
5 
L 
L 
n dx5
 xn
cos3dx
5
 xn
cos0
5
1dx
L
 xn
cosxf
L
1
a 
 
 ( ) ( )[ ] 00sennsen
n
3
5
 xn
sen
n
5
5
3
a
5
0
n =−pi
pi
=










 pi
pi
= 
 
 0a n = 
 
 
 ( )













 pi
+




 pi
=




 pi
= ∫∫∫
−−
5 
0 
0 
5 
L 
L 
n dx5
 xn
sen3dx
5
 xn
sen0
5
1dx
L
 xn
senxf
L
1b 
 
 ( ) ( )[ ] ( )[ ]pi−
pi
=−pi
pi
−=










 pi
pi
−= ncos1
n
30cosncos
n
3
5
 xn
cos
n
5
5
3b
5
0
n 
 
 ( )[ ] ( )[ ]11
n
311
n
3b 1nnn +−
pi
=−−
pi
=
+
 
 
 
 ( )[ ]11
n
3b 1nn +−
pi
=
+
 
 
 
 Série de Fourier de ( )xf : 
 
 ( ) ( )∑
∞
=
+





 pi+−
pi
+=
1n
1n
5
x n
sen
n
113
2
3
xf 
 
 ( ) 





+




 pi
+




 pi
+




 pi
+




 pi
pi
+= K
5
 x7
sen
7
2
5
 x5
sen
5
2
5
 x3
sen
3
2
5
 x
sen
1
23
2
3
xf 
 
 ( ) 





+




 pi
+




 pi
+




 pi
+




 pi
pi
+= K
5
 x7
sen
7
1
5
 x5
sen
5
1
5
 x3
sen
3
1
5
 x
sen
6
2
3
xf 
 
 ( ) ( )∑
∞
=



 pi−
−pi
+=
1n
5
 x1n2
sen
1n2
16
2
3
xf 
 
 
 
 
 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 19n = ; (b) expansão de f(x) em série de 
Fourier com 49n = . 
 
 
 d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 ≤≤− . 
 
 ( )








=
<<
=
<<
=
=
5 x,23
5x0 3,
0 x,23
0x5- 0,
-5 x,23
xf 
 
Exemplo 2 
 
 Seja ( ) pi2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )pi+= 2xfxf . 
 
 a) Esboce o gráfico de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Gráfico de ( ) pi2x0 ,xxf 2 <<= ,
 
( ) ( )pi+= 2xfxf . 
 
 
 30 
 
 
 b) Expanda f(x) em uma série de Fourier. 
 
 pi=⇒pi== L2L2P 
 
 Lembre-se de que a função está definida em ( )L2,0 , e não em ( )L,L− . 
 
 
( ) ( )
3
808
3
1
3
x1dx x1dxxf 
L
1
a
2
3
2
0
3
2 
0 
2
L2c 
c 
0
pi
=−pi
pi
=





pi
=
pi
==
pipi+
∫∫ 
 
 
3
8
a
2
0
pi
= 
 
 
 ( ) ( )∫∫
pi+
pi
=




 pi
=
2 
0 
2
L2c 
c 
n dxnxcos x
1dx
L
 xn
cosxf 
L
1
a (2.4.1) 
 
 Usando integração por partes, temos que: 
 
 ∫∫ −= vduuvudv 
 
 ( ) ( )
n
nxsen
 v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2 ==== 
 
 ( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxnxsen xn
2
n
nxsenxdxnxcosx
2
2
 
 
 ( ) ( )
n
nxcos
 v,dxnxsendv dx,du ,xu −==== 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ 





+−−= dxnxcos
n
1
n
nxcosx
n
2
n
nxsenxdxnxcosx
2
2
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )∫ +−+= Cn
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenxdxnxcosx 32
2
2
 
 
 Voltando a (2.4.1), obtemos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
pipi






−+
pi
=
pi
= ∫
2
0
32
2
2 
0 
2
n
n
nxsen2
n
nxcosx2
n
nxsenx1dxnxcos x1a 
 31 
 
 22n n
40
n
41
a =



−
pi
pi
= 
 
 
 2n n
4
a = 
 
 
 ( ) ( )∫∫
pi+
pi
=




 pi
=
2 
0 
2
L2c 
c 
n dxnxsenx
1dx
L
 xn
senxf 
L
1b (2.4.2) 
 
 Usando integração por partes, temos que: 
 
 ( ) ( )
n
nxcos
 v,dxnxsendv 2xdx,du ,xu 2 −==== 
 
 ( ) ( ) ( )∫ ∫+−= dxnxcos xn
2
n
nxcosxdxnxsenx
2
2
 
 ( ) ( )
n
nxsen
 v,dxnxcosdv dx,du ,xu ==== 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ 





−+−= dxnxsen
n
1
n
nxsen x
n
2
n
nxcosxdxnxsenx
2
2
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )∫ +++−= Cn
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosxdxnxsenx 32
2
2
 
 
 Voltando a (2.4.2), obtemos: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
pipi






++−
pi
=
pi
= ∫
2
0
32
2
2 
0 
2
n
n
nxcos2
n
nxsen x2
n
nxcosx1dxnxsen x1b 
 
 
 
n
4
n
2
n
2
n
41b 33
2
n
pi
−=





−+
pi
−
pi
= 
 
 
 
n
4bn
pi
−= 
 
 
 
 32 
 
 Série de Fourier de ( )xf : 
 
 ( ) ( ) ( )∑
∞
=



 pi
−+
pi
=
1n
2
2
n
nxsen
n
nxcos4
3
4
xf (2.4.3) 
 
 
 Em 0x = , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja 
 
 
2
2
2
2
04
pi=
+pi
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 10n = ; (b) expansão de f(x) em série de 
Fourier com 20n = . 
 
 c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que 
64
1
3
1
2
11
n
1 2
222
1n
2
pi
=++++=∑
∞
=
L . 
 
 Considerando 0x = em (3), temos que: 
 
 ∑
∞
=
+
pi
=pi
1n
2
2
2
n
14
3
42 
 
 
3
2
3
42
n
14
22
2
1n
2
pi
=
pi
−pi=∑
∞
=
 
 
 
 
 33 
( )







>
≤≤+−
<+
=
3x ,
x
1
3x1 ,4x
1x ,2x
xf
2
 
 
6n
1 2
1n
2
pi
=∑
∞
=
 
 
 
Observações: 
 
1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças:: 
 
 joinx( ) 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 joinx 





+−+
x
1
,3|4x,1|2x 2 
 
 
2a) Comando do winplot para uma soma: 
 
 sum(f(n,x),n,a,b): soma de ( )x,nf de an = até bn = 
 
Exemplo 
 
( ) ( )∑
∞
=
+
pi
=
1n
nx2sen
n
14
xf 
 
 
(4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
Exercícios 
 
01. Seja ( ) pi+= xxf , pipi <<− x , uma função pi2 -periódica. 
 
 a) Verifique se ( )xf satisfaz às condições de Dirichlet. 
 
 b) Expanda ( )xf em uma série de Fourier. 
 
 R.: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
+=
1n
1n
nxsen
n
12xf pi 
 
 c) Mostre que ( )
412
1
1
1 pi
=
−
−
∑
∞
=
+
n
n
n
. 
 
 d) Como ( )xf deveria ser definida em pi−=x e pi=x para que a série de Fourier convergisse para 
( )xf em pipi ≤≤− x ? 
 
 e) Plote simultaneamente o gráfico de ( )xf e da série de Fourier que converge para ela. 
 
 
02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com 5n = . 
 
 
 R.: ( ) ∑
∞
=












−
+=
1n
22 2
 xn
cos
n
2
n
cos1
8
2
1
xf pi
pi
pi
 
 
 
 35 
03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Figura 8: Sinal. 
 
a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal. 
 
 R.: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
pi
+−
pi
+=
1n
1n
xnsen
n
1141xf 
 
 b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em 1x = ? E em 2x = ? 
 
 R.: 1 
 
 c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica 
∑
∞
=1n
2n
1
. 
 
 R.: 
6
2pi
 
 
 d) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf . 
 
 
2.5 – Funções pares e funções ímpares 
 
 Uma função f(x) é par se 
 
( ) ( )xfxf =− . 
 
 
 Assim, ( ) 21 xxf = , ( ) 5x4x2xf 262 +−= , ( ) ( )xcosxf3 = e ( ) xx4 eexf −+= são funções pares. 
 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Gráfico da função ( ) xx eexf −+= . 
 
 
 Uma função f(x) é ímpar se 
 
( ) ( )xfxf −=− . 
 
 
 Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf 352 +−= , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf 4 = são funções ímpares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: Gráfico da função ( ) x2x3xxf 35 +−= . 
 
 
 Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares 
 
 (a) O produto de duas funções pares é par. 
 
 (b) O produto de duas funções ímpares é par. 
 
 (c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. 
 
 (d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par. 
 
 
 37 
 (e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar. 
 
 (f) Se f é par, então ( ) ( )∫∫ =
−
a 
0 
a 
a 
dxxf 2dxxf . 
 
 (g) Se f é ímpar, então ( ) 0dxxf 
a 
a 
=∫
−
. 
 
 Demonstração 
 
 Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = . 
 
 (a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. 
 Assim: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−
==−
 
 
 b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. 
 Logo: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
==−=−=−
−=−=−
 
 
 (c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar. 
 Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ímpar é xF
xFxg xf xg-xfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−==−=−
−==−
 
 
 Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF ±= . 
 
 (d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. 
 Dessa forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) par é xF
xF xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
=±=±−=−
==−
 
 
 (e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. 
 Assim: 
 38 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
ímpar é xF
xFxgxf xgxfx-g xfxF
xgx-g ,xfxf
∴
−=−−=+−=−−=−
∴
−=+−=−−=+−=−
−=−=−
 
 
 (f) f(x) é par ( ) ( )xfxf =−⇒ 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
=+=+=
=−=−−=
−−
−
a 
0 
a 
0 
a 
0 
a 
0 
0 
a 
a 
a 
a 
0 
a 
0 
0 
a 
0 
a 
dxxf 2dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf 
dxxf dxxf dxxf dxxf(g) f(x) é ímpar ( ) ( )xfxf −=−⇒ 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf 
dxxf dxxf dxxf dxxf 
a 
0 
a 
0 
a 
0 
0 
a 
a 
a 
a 
0 
a 
0 
0 
a 
0 
a 
=+−=+=
−=−=−−=
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
−−
−
 
Exemplo 
 
 
( ) ( ) ( ) ] [∞∞∈= ,- x,x3senx2cosxxf 5
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )xf 
x3senx2cosx 
x3senx2cos-x 
x3senx2cosxxf
5
5
5
=
=
−=
−−−=−
 
 ( )xf é função par 
 
Exercícios 
 
Verifique a paridade das seguintes funções: 
 
01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [∞∞−∈ ,x 
 
02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [∞∞−∈ ,x 
 
03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [∞∞−∈ ,x 
 
04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [∞∞−∈ ,x 
 
 39 
05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf 7= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [∞∞−∈ ,x 
 
09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx −+= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
11. ( ) xexxf += , ] [∞∞−∈ ,x 
 
12. ( )
x
1
xf = , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x 
 
13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10senee
x
1
xf xx2
−+= , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x 
 
14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx −−= , ] [∞∞−∈ ,x 
 
2.6 – Série de Fourier de cossenos 
 
 Se f(x) é uma função par em ( )L,L− , então temos que: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0dx
L
 xn
senxf
L
1b
 dx
L
 xn
cosxf 
L
2
 xd
L
 xn
cosxf 
L
1
a
dxxf 
L
2dxxf 
L
1
a
L 
L 
ímpar função
n
L 
0 
L 
L 
par função
n
L 
0 
L 
L 
0
=





=






=





=
==
∫
∫∫
∫∫
−
−
−
44 344 21
44 344 21
pi
pipi
 
 Série de Fourier de cossenos: ( ) ∑
∞
=






+=
1n
n
0
L
 xn
cosa
2
a
xf pi
 
 
Exemplos 
 
01. Expanda ( )



<<
<<−
=
 2x0 se x,
0x2- se ,x
xf , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de cossenos. 
 40 
 R.: ( ) ( )∑
∞
=





−−
+=
1n
2
n
2 2
 xn
cos
n
1141xf pi
pi
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Figura 11: Gráfico da função ( )



<<
<<−
=
 2x0 se x,
0x2- se ,x
xf , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em 
série de Fourier de cossenos com 5n = e 100n = . 
 
 
02. Mostre que ( )∑
∞
=
=
−
1n
2
2 81n2
1 pi
. 
03. Determine para quanto converge a soma ( )∑
∞
=1n
2
n2
1
. R.: 
24
2pi
 
 
2.7 – Série de Fourier de senos 
 
 Se f(x) é uma função ímpar em ( )L,L− , então temos que: 
 
 
( )
( ) 0 xd
L
 xn
cosxf 
L
1
a
0dxxf 
L
1
a
L 
L 
ímpar função
n
L 
L 
0
=





=
==
∫
∫
−
−
44 344 21
pi
 
 41 
 
 
( ) ( )∫∫ ==
−
L 
0 
L 
L 
par função
n dxL
 xn
senxf
L
2dx
L
 xn
senxf
L
1b pipi
44 344 21
 
 
 Série de Fourier de senos: ( ) ∑
∞
=






=
1n
n L
 xn
senbxf pi 
 
Exemplo 
 
Expanda ( ) 2x2- ,xxf <<= , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de senos. 
 
R.: ( ) ( )∑
∞
=
+





−
=
1n
1n
2
 xn
sen
n
14
xf pi
pi
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
Figura 12: Gráfico da função ( ) xxf = , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em série de Fourier de 
senos com 10n = e 100n = . 
 
 
Exercícios 
 
01. Seja ( ) 3x3- ,x2xf <≤= ,
 
( ) ( )6xfxf += . 
 
 a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier. 
 
 R.: ( ) ( )∑
∞
=
+





−
=
1n
1n
3
 xn
sen
n
112
xf pi
pi
 
 42 
 b) Determine para quanto converge a série ( )∑
∞
=
+
−
−
1n
1n
1n2
1
. 
 R.: 4pi 
 
 
02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos. 
 
 R.: ( ) ∑
∞
=






−





+=
1n
22 2
 xn
cos
n
1
2
n
cos
8
2
3
xf pi
pi
pi
 
 
 
03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 14: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com vinte harmônicos. 
 
 43 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
 
 R.: ( )
( )
∑
∞
=












−−
=
1n
n
2
 xn
sen
n
2
n
sen
n
21
6
xf pi
pi
pi
pi
 
 
 
04. Seja ( )







<≤
≤≤
≤≤
≤<
=
4x2 4, 
2x0 2,-3x 
0x2- 2,-3x-
-2x4- ,4 
xf , ( ) ( )8xfxf += . Determine a série de Fourier de ( )xf . 
 
 R.: ( ) ∑
∞
=






−





+=
1n
22 4
 xn
cos
n
1
2
n
cos
24
2
5
xf pi
pi
pi
 
 
05. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =pi+pi<<pi= , representada graficamente abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =pi+pi<<pi= . 
 
a) Determine a série de Fourier de ( )xf . 
 
 R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+
−
−
−−+−=
3n
2
1n
nxcos
4n
14x2cos
4
1
xcos
3
4
2
1
xf 
 
b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica 
 
( )
( ) K+−+−+−=+
−∑
∞
=
+
10.6
1
9.5
1
8.4
1
7.3
1
6.2
1
5.1
1
4nn
1
1n
1n
. 
 
 R.: 
48
7
 
 
 44 
06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3cosxxf/RR:f =pi+pi<<pi=→ . 
 
 a) Calcule a série de Fourier de ( )xf . 
 
 R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )∑
∞
=
+−
−
+−−=
4n
n
nxsen
3n3n
1n2x3sen
6
1
x2sen
5
4
xsen
4
1
xf 
 b) Determine para quanto converge a série numérica 
 
( ) ( )
( ) K+−+−+−=+
+−∑
∞
=
+
9.6
15
8.5
13
7.4
11
6.3
9
5.2
7
4.1
5
3nn
3n21
1n
1n
. 
 
 R.: 
6
5
 
 
2.8 – O fenômeno de Gibbs 
 
 Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais 
contribuições: análise vetorial e mecânica estatística. 
 O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma 
função ( )xf periódica e seccionalmente contínua se

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