aula01 fundamentos

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AULA 01 - Produto Cartesiano e Relação Binária 
Olá! 
 
O estudo das relações entre os elementos de dois ou mais conjuntos é um assunto muito 
importante em Matemática, pois “abre” um grande leque de aplicações, tanto na Matemática quanto 
nas demais ciências. Por exemplo, na área de informática temos o teclado (conjuntos de teclas), os 
discos de armazenamento de dados (conjunto de registros, pastas), o monitor, a impressora e outros 
periféricos. Os elementos de cada um desses conjuntos estão relacionados com os elementos dos 
outros na maioria das vezes por meios físicos, os cabos de conexão. Ao teclarmos A, U, L, A essas 
teclas estão relacionadas com os registros do disco e estes com os pontos do monitor, que fazem com 
que apareça nele a palavra AULA escrita. Assim, vamos começar nosso curso estudando as relações. 
Produto Cartesiano de Conjuntos 
Dados dois conjuntos E e F, não vazios, definimos o produto cartesiano de E por F como um 
novo conjunto, formado de todos os pares ordenados (x, y), em que x ∈ E e y ∈ F. Representamos o 
produto cartesiano dos conjuntos E e F por E x F (lemos: “E cartesiano F”). Em símbolos: 
 
E x F = { (x, y) / x ∈ E , y ∈ F} 
 
 
Observações 1: 
 
1 Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A. 
2 Normalmente, escrevemos E2 para representar E x E. 
3 Representamos o conjunto dos números reais por IR. Então, IR2 = IR x IR é o conjunto dos pares 
ordenados de números reais. A representação geométrica de IR2 é feita por pontos do plano. 
Cada ponto é um par ordenado (x,y) de números reais e vice-versa. IR2 freqüentemente é 
chamado de plano cartesiano. Observe a representação do ponto A (2,1). 
 
 
 
Exemplo 1: Se E = {2, 5}, F = {1, 3, 4,}, então E x F = {(2,1), (2,3), (2,4 ),(5,1), (5,3), (5,4)}. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Se E = {-1, 2}, então E2 = E x E = {(-1,-1), (-1,2), (2,-1), (2,2)}. 
 
 
 
Exemplo 3: Se E = {1, 2, 3}, F = [1, 2], então E x F = {(1, y), (2, y), (3,y) ; 1 ≤ y ≤ 2}. 
 
 
 
Exemplo 4: Se E = {1, 2, 3}, F = [1, 2], então F x E = {(x, 1), (x, 2), (x, 3) ; 1 ≤ x ≤ 2}. 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Se E = [1, 2], F = [1, 4], então E x F = {(x, y) ; 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 4}. 
 
 
 
Observações 2: 
 
1 Se o conjunto E tem n elementos e o conjunto F tem p elementos, então o conjunto E x F 
tem n.p elementos. 
2 Podemos, também, fazer o produto cartesiano de três ou mais conjuntos. Por exemplo, IR3 = IR x 
IR x IR = {(x,y,z); x, y, z ∈ IR}. 
Relação Binária 
De modo intuitivo, podemos dizer que uma relação binária é uma sentença aberta que exprime 
uma relação entre os elementos de E e os elementos de F. 
Uma relação binária R do conjunto E no conjunto F é qualquer subconjunto do produto 
cartesiano E x F. 
 
R é relação de E em F se, e somente se, R ⊂ E x F 
 
O conjunto E é chamado conjunto de partida e o conjunto F é chamado conjunto de chegada 
da relação R. 
Note que toda relação é um conjunto de pares ordenados. Para indicar que um par ordenado (x,y) 
pertence a uma relação R, também escrevemos x R y. Isto significa que x está relacionado com y pela 
relação R. Se (x,y) ∉ R, então escrevemos x R y. 
 
 
 
Exemplo 6: Sejam os conjuntos E = {1,2,3} e F = {a,b}, temos que: 
 
E x F = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} 
 
Qualquer subconjunto de E x F é uma relação binária de E em F, tais como: 
 
R1 = {(1,a), (1,b)} 
R2 = {(1,a), (2,a), (3,a)} 
R3 = {(1,b), (2,b), (3,b)} 
R4 = {(1,b), (2,a), (3,a), (3,b)} 
 
Se E = F dizemos que temos uma relação binária em E ou simplesmente uma relação em E. 
 
Exemplo 7: Sejam E = {2, 5, 7} e F = {1, 3, 4, 6} e a relação R “x é menor que y”, isto é: 
 
R = {(x,y) ∈ E x F; x < y} 
 
Temos que E x F = {(2,1), (2,3), (2,4), (2,6), (5,1), (5,3), (5,4), (5,6), (7,1), (7,3), (7,4), (7,6)}. A relação R é 
formada por elementos de E x F, tais que x é menor que y, ou seja, o primeiro termo é menor que o 
segundo termo do par ordenado. Que pares são esses? 
 
E x F = {(2,1), (2,3), (2,4), (2,6), (5,1), (5,3), (5,4), (5,6), (7,1), (7,3), (7,4), (7,6)} 
 
Logo, R = {(2,3), (2,4), (2,6), (5,6)}. 
 
Também podemos representar uma relação por gráficos cartesianos ou por diagramas de flechas. 
Observe a representação de R por 
 
GRÁFICO CARTESIANO DIAGRAMA DE FLECHAS 
 
 
Exemplo 8: Sejam A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 12, 15, 18} e a relação S “x divide y”, isto é: 
 
S = {(x,y) ∈ A x B; x divide y} 
 
Não é necessário listar todos os elementos de A x B para identificarmos os elementos de S. Se S = 
{(x,y) ∈ A x B; x divide y}, então (x,y) ∈ A x B, ou seja, x ∈ A e y ∈ B e, além disso, x tem que dividir y. 
 
 
Logo, os elementos de S serão formados da seguinte forma: tome para o primeiro termo do par um 
elemento do conjunto A e para o segundo termo, um elemento do conjunto B que é divisível 
pelo primeiro termo. Isto é: 
 
ƒ Se x = 1, então y pode ser 1, 2, 12, 15 ou 18, pois 1 divide 1, 2, 12, 15 e 18. 
ƒ Se x = 2, então y pode ser 2, 12 ou 18, pois 2 divide 2, 12 e 18 (mas 2 não divide 1 nem 15). 
ƒ Se x = 3, então y pode ser 12, 15 ou 18, pois 3 divide 12, 15 e 18 (mas 3 não divide 1 nem 2). 
ƒ Se x = 6, então y pode ser 12 ou 18, pois 6 divide 12 e 18 (mas 6 não divide 1, 2 nem 15). 
 
Logo, S = {(1,1), (1,2), (1,12), (1,15), (1,18), (2,2), (2,12), (2,18), (3,12) (3,15), (3,18), (6,12), (6,18)}. 
 
Exemplo 9: Sejam E = {1, 2, 3, 6} e F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a relação “x T y se, e somente se, y = x +1”, 
isto é: 
 
T = {(x,y) ∈ E x F; y = x + 1} 
 
ƒ Se x = 1, então y = 1 + 1 = 2. Logo, (1,2) ∈ T. 
ƒ Se x = 2, então y = 2 + 1 = 3. Logo, (2,3) ∈ T. 
ƒ Se x = 3, então y = 3 + 1 = 4. Logo, (3,4) ∈ T. 
ƒ Se x = 6, então y = 6 + 1 = 7. Mas como 7 ∉ F, então 6 T 7, ou seja, (6,7) ∉ T. 
 
Logo, T = {(1,2), (2,3), (3,4)}. A seguir a representação da relação T por 
 
GRÁFICO CARTESIANO DIAGRAMA DE FLECHAS 
 
 
Exemplo 10: Sejam A = [1, 2] e B = [1, 4] e a relação U dada por “ x U y se, e somente se, y = x”, isto 
é: 
U = {(x,y) ∈ A x B; y = x} 
 
A relação U tem infinitos elementos. Não podemos enumerar todos os elementos de U, mas 
podemos representá-la no gráfico cartesiano (veja a figura a seguir). 
 
 
 
 
Observação 3: 
 
Dados n conjuntos E1, E2, ..., En, com n > 2, uma relação n-ária em E1 x E2 x ... x En é um 
subconjunto de E1 x E2 x ... x En. 
Domínio e Imagem de uma Relação 
Seja R uma relação de um conjunto E em um conjunto F. O domínio de R, representado por D(R), 
é o conjunto dos elementos x ∈ E que possuem algum correspondente em F, ou seja, é o conjunto 
dos elementos de E que participam da relação R. A imagem de R, representada por Im(R), é o 
conjunto dos elementos y ∈ F que são correspondentes de algum x ∈ E, ou seja, é o conjunto dos 
elementos de F que participam da relação R. 
 
Em outras palavras, o domínio de R é o conjunto de todos os primeiros termos dos pares 
ordenados de R e a imagem de R é o conjunto de todos os segundos termos dos pares ordenados R. 
Simbolicamente, temos: 
 
D(R) = {x ∈ E, tal que xRy para algum y ∈ F} 
 
e 
 
Im(R) = { y ∈ F, tal que xRy para algum x ∈ E } 
 
 
Exemplo 11: Sejam E = {2, 5, 7} e F = {1, 3, 4, 6} e a relação R = {(2,3), (2,4), (2,6), (5,6)}. Temos que 
D(R) = {2,5} e Im(R) = {3,4,6}. 
 
 
 
Exemplo 12: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e F = {a, b, c} e a relação T = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (5,c)}. 
Temos que D(T) = {1,3,5} e Im(T) = {a,b,c}. 
 
 
 
Exemplo 13: Sejam A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 12, 15, 18} e S = {(1,1), (1,2), (1,12), (1,15), (1,18), (2,2), 
(2,12), (2,18), (3,12) (3,15), (3,18), (6,12), (6,18)}. Temos que D(S) = {1,2,3,6} e Im(S) = {1,12,15,18}. 
 
Exemplo 14: Sejam A = [1, 2] e B = [1, 4] e a relação U = {(x,y) ∈ A x B; y = x}. Temos que D(U) = [1,2] 
e Im(U) = [1,2]. 
 
 
Inversade uma Relação 
Seja R uma relação de E em F. A relação inversa de R, representada por R-1, é definida por 
 
 R-1 = {(y,x) ∈ F x E/ (x,y) ∈ R}a 
 
Assim, y R-1 x ⇔ x R y. Em palavras, os elementos de R-1 são obtidos trocando-se a ordem dos 
termos dos elementos de R. 
 
Exemplo 15: A inversa da relação R = {(2,3), (2,4), (2,6), (5,6)} do exemplo 11 é a relação R-1 = {(3,2), 
(4,2), (6,2), (6,5)}. 
 
Vimos que D(R) = {2,5} e Im(R) = {3,4,6}. Agora, observe que D(R-1) = {3,4,6} e Im(R-1) = {2,5}. 
 
 
 
Exemplo 16: A inversa da relação T = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (5,c)} do exemplo 12 é a relação T-1 = 
{(a,1), (b,1), (a,3), (b,3), (c,5)}. 
 
Temos que D(T) = {1,3,5} e Im(T) = {a,b,c}. e D(T-1) = {a,b,c} e Im(T-1) = {1,3,5}. 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
a) D(R-1) = Im(R), isto é, o domínio da relação inversa de R é igual à imagem da relação R. 
b) Im(R-1) = D(R), isto é, a imagem da relação inversa de R é igual ao domínio da relação R. 
c) (R-1)-1 = R, isto é, a inversa da inversa de R é a relação R. 
 
PARA VOCÊ PESQUISAR E RESPONDER: 
1 O que é uma relação injetora? 
2 O que é uma relação sobrejetora? 
3 O que é uma relação bijetora? 
 
Faça um diagrama para ilustrar cada tipo de relação (injetora, sobrejetora e bijetora). 
 
SÍNTESE 
Nesta aula, vimos o que é o produto cartesiano de conjuntos, bem como o que é uma relação 
binária entre dois conjuntos. Aprendemos a determinar o domínio e a imagem de uma relação, assim 
como a sua relação inversa. Na próxima aula, veremos o que é uma relação de equivalência e classes 
de equivalência.