Aula Modelo Matem tico

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CURSO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: Cálculo Numérico
Belém
2017.2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
NUMÉRICO
Prof.ª Msc. Renata Câmara
renatakelenc@gmail.com
Bibliografia
Introduzir técnicas numéricas para resolução
de problemas aplicados;
Identificar a qualidade da solução numérica,
estabelecendo uma precisão pré-fixada para
solução;
Aplicar essas técnicas utilizando máquinas de
calcular, planilhas eletrônicas ou softwares
livres;
OBJETIVOS
Aula 1: Introdução à disciplina.
1. Um problema de Matemática pode ser resolvido
analiticamente, mas esse método pode se tornar
impraticável com o aumento do tamanho do
problema.
Exemplo: solução de sistemas de equações
lineares.
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Cálculo Numérico – Introdução
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Cálculo Numérico – Introdução
• A astronomia, a s física e a engenharia
foram as fontes inspiradoras para
proposição de problemas que exigiam
soluções aproximadas.
• Matemáticos de expressão como Newton, 
Euler, Lagrange, Gauss, Jacobi, Fourier, e 
outros, construíram e utilizaram vários 
métodos numéricos 
.. 
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Cálculo Numérico – Introdução
Muitos métodos são utilizados até hoje para 
solucionar diversos problemas:
• Ajustes de Curvas;
• Inclusão de pontos em tabelas 
(interpolação);
• Cálculo de áreas e comprimentos;
• Cálculo de raízes de equações polinomiais;
• Resolução de equações diferenciais,...
• ....
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Cálculo Numérico – Introdução
Com a evolução e popularização dos
computadores, soluções de problemas de alta
complexidades dependem cada vez mais de
técnicas numéricas.
A análise numérica, que teve sua origem com
problemas práticos ou como alternativas Às
soluções exatas, é atualmente uma área de
pesquisa importantíssima, pois os resultados
possibilitam obter informações: complexas,
convergentes, consistentes e estabilidades de
soluções aproximadas.
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1. Cálculos numéricos para que serve?
EXEMPLOS: 
• PROJETAR AVIÕES QUE CONSUMAM MENOS
COMBUSTÍVEIS;
• PREVER COM MAIOR PRECISÃO O TEMPO (VAI CHOVE
OU NÃO);
• CÁLCULO DE UMA ÁREA ATINGIDA PELO
ROMPIMENTO DA BARRAGEM;
• SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO FLUXO HÍDRICO
SUBTERRÂNEO EM UMA BACIA HIDROGRÁFICA
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EXEMPLOS: 
• Tomografia computadorizada,
ressonância magnética, ultrassom e todos
os e todos de reconstrução de imagens
médicas;
• Protocolos de radioterapia;
• Controle de satélites de comunicações;
• Logística de distribuição de mercadorias;
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• O CN Não tem por objetivo obter a solução exta de um 
problema;
• O objetivo principal é obter uma solução aproximada 
mantendo sob controle erros associados a essa solução.
A essência Cálculos numéricos
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• O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas
matemáticos por meio de uma máquina calculadora ou um
computador, sendo de grande importância pois, embora os métodos
analíticos usualmente nos forneçam a resposta em termos de funções
matemáticas, existem problemas que não possuem solução analítica.
Mas, mesmo nestes casos podemos obter uma solução numérica
para o problema.
• Uma solução via Cálculo Numérico é um conjunto de dados
numéricos que fornecem uma aproximação para a solução exata do
problema, aproximação esta que pode ser obtida em grau crescente
de exatidão.
Cálculo Numérico – Introdução
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• Utilizamos apenas as quatro operações aritméticas
(soma, subtração, multiplicação e divisão) e operações
lógicas para computar um resultado numérico, o que
torna a combinação computador-cálculo numérico
perfeita.
Cálculo Numérico – Introdução
 Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas
para as formulações matemáticas.
 Nos problemas reais, os dados são medidas e, como
tais, não são exatos. Uma medida física não é um
número, é um intervalo, pela própria imprecisão das
medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do
erro, inerente à própria medição.
 Os métodos aproximados buscam uma aproximação
do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente
aos métodos se trabalhar com a figura da
aproximação, do erro, do desvio.
Cálculo Numérico – Introdução
Cálculo Numérico – Introdução
Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
• 28 mortos, 98 feridos
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Erro de 0,34 s no cálculo do 
tempo de lançamento
Limitação na representação 
numérica (24 bits)
Cálculo Numérico – Introdução
Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
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Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento 
Limitação na representação 
numérica (64 bits/ 16 bits)
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
Cálculo Numérico – Introdução
Fluxograma – Solução Numérica
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PROBLEMA
MODELO 
MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
modelagem resolução
PROBLEMA
ESCOLHA DO 
MÉTODO 
NUMÉRICO
IMPLEMENTAÇÃO 
COMPUTACIONAL
CONSTRUÇÃO 
DO MODELO 
MATEMÁTICO
LEVANTAMENTO 
DE DADOS
ANÁLISE DOS 
RESULTADOS
VERIFICAÇÃO
Por que técnicas numéricas ?
• “O Cálculo Numérico é uma metodologia
para resolver problemas matemáticos por
intermédio de um computador”.
Aplicações em Matemática:
• Obtenção de soluções numéricas;
• Solução numérica para problemas sem
solução analítica;
Problemas atuais que usam métodos
numéricos:
• Aplicativos para auxílio ao deslocamento
(trânsito, localização do ônibus, etc);
• Sistema de controle do fluxo do metrô,
trens metropolitano, portos, aeroportos;
• Semáforos inteligentes;
• Sistema
• Exames de Dna;
• Produção de energia limpa (eólica);
• Projeção de áreas alagadas;
Ex: Problema 1
Seja um triângulo retângulo cujos os catetos medem C
unidades. Qual o tamanho da HIPOTENUSA?
Solução????
Ex: Problema 1
Seja um triângulo retângulo cujos os catetos medem C
unidades. Qual o tamanho da HIPOTENUSA?
Solução: Teorema de Pitágoras
𝑯𝟐 = 𝑪𝟐 + 𝑪𝟐
f(H)=𝑯𝟐 - [𝑪𝟐 + 𝑪𝟐] = 𝟎
f(H)=𝑯𝟐 - 2𝑪𝟐 = 𝟎
Ex: Problema 1
Solução:
teste C= 1 f(H)=𝑯𝟐 - 2𝑪𝟐 = 𝟎
f(H)=𝑯𝟐 - 2= 𝟎
Qual o valor de H que satisfaz essa equação?
Testar H = 1, ...? 
H F(H) Valor 
procurado é
Valor está 
entre
1 121 − 2 = −1 Maior que 1
2 22 − 2 = 2 Menor que 2 1 e 2
1,5 2,25-2=0,25 Menor que 1,5 1 e 1,5
1,25 1,5625-2 = 0,4375 Maior que 1,25 1,25 e 1,5
1,375 1,890625-2 = 0,109375 Maior que 
1,375
1,375 e 1,5
... ... Maior que ... ... e 1,5
... ... Maior que ... ... e 1,5
Ex: Problema 2
Quanto o cliente X vai pagar por 4 horas de
estacionamento?
Valor do estacionamento?
Hora fixa = R$ 5,00
Hora excedente = R$ 0,75
Hora permanente =
Qual é a função do problema?
Qual é a variável dependente ?
Qual a variável independente ?
Ex: Problema 2
Quanto o cliente X vai pagar por 4 horas de
estacionamento?
Valor do estacionamento?
Hora fixa = R$ 5,00 (a) V.D
Hora excedente = R$ 0,75 (b) V.D
Hora permanente = 4 (h) V.I
Qual é a função do problema?
T(h)= a + b.𝒉
T(h)= 5 + 0,75.4
T(h)= 8 reais 
Aula 2:
Modelos Matemático contínuos e 
discretos.
Problema numérico:
1. O modelo pode representar somente o que foi incluído.
2. Há uma elevada dependência da qualidade da
informação coletada para construir um bom modelo.
3. Quanto maior o conhecimento sobre o problema,
melhor será sua representação matemática.
Problema real
Observação, 
coleta de dados
Síntese: 
Características, 
variáveis, parâmetros.
Solução exata ou 
aproximada 
(numérica)Representação 
Matemática
Modelagem simples
Problema real
Observação, coleta de 
dados
Síntese: Características, 
variáveis, parâmetros.
Solução exata ou 
aproximada 
(numérica)
Representação 
Matemática
Modelagem DinâmicaModelagem Dinâmica
Conceitos iniciais
• Processo que traduz a linguagem do mundo real para o mundo
matemático.
 No Brasil, a Modelagem está ligada à noção de trabalho
de projeto. Trata-se em dividir os alunos em grupos, os
quais devem eleger temas de interesse para serem
investigados por meio da matemática, contando com o
acompanhamento do professor.
 A compreensão de Modelagem é apresentada em termos
do processo de construção do modelo matemático,
traduzido em esquemas explicativos.
Modelo Matemático
 Seja qual for o fenômeno em questão, a resolução de
um problema, em geral quando quantificado, requer
uma formulação matemática detalhada, seja na forma
de expressões numéricas ou fórmulas, diagramas,
gráficos ou representações geométricas, equações
algébricas, tabelas, ou outros.
 Um conjunto de símbolos e relações matemáticas que
traduz, de alguma forma, um fenômeno em questão ou
um problema de situação real, é denominado de
modelo matemático.
Modelo Matemático
Modelo Matemático
Algumas Propriedades
P1: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são 
congruentes.
P2: Quando conhece um lado e dois ângulos adjacentes a este 
lado, conhece o triângulo todo.
P3: Um ângulo inscrito num semicírculo é reto.
P4: Nos triângulos semelhantes, a razão entre os dois lados 
homólogos é constante. 
P5: Os pares de ângulos opostos, formados por duas retas que 
cortam, são congruentes.
P6: Se dois triângulos são tais, que dois ângulos e um lado de um 
são congruentes a dois ângulos e um lado homólogos (mesmo 
lugar relativo no triângulo) de outro, então os triângulos são 
congruentes. 
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Modelagem Matemática
 A Modelagem Matemática é um processo dinâmico de
busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos
de alguma entidade.
 Modelagem é um meio para integrar dois conjuntos
disjuntos: matemática e realidade.
 Para se elaborar um modelo, além de conhecimento de
matemática, o modelador precisa ter uma dose
significativa de intuição e criatividade para interpretar o
contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor
se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as
variáveis envolvidas.
Modelagem Matemática
 A modelagem matemática é a área do conhecimento
que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever
o comportamento dos mesmos, sendo empregada em
diversos campos de estudo, tais como física, química,
biologia, economia e engenharia.
 Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das
leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas
elétricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados
experimentais.
Modelagem Matemática
 Frequentemente, os modelos atingem grau de
sofisticação suficiente para justificar ferramentas
computacionais, envolvendo sistemas de equações
diferenciais. Sofwares como Matlab e Scilab contam
com recursos focados nas soluções de tais modelos.
Procedimentos da Modelagem
Procedimentos da Modelagem
1ª etapa: Interação com o assunto.
- Reconhecimento da situação-problema;
- Familiarização com o assunto a ser modelo – pesquisa.
Nesta etapa, a situação a ser estudada será delineada e
para torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa
sobre o assunto escolhido através de livros, revistas
especializadas e através de dados obtidos junto a
especialistas da área.
Procedimentos da Modelagem
2ª etapa: Matematização.
- Formulação do problema – hipótese;
- Resolução do problema em termos do modelo.
Esta é a fase mais complexa e desafiadora, pois é nesta
que se dará a tradução da situação-problema para a
linguagem matemática. Assim, intuição e criatividade são
elementos indispensáveis.
Formulação e Validação
de Hipóteses
a) classificar as informações (relevantes e não relevantes)
identificando fatos envolvidos;
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos – levantando
hipóteses;
c) selecionar variáveis relevantes e constantes envolvidas; 
d) selecionar símbolos apropriados para essas variáveis; 
e) descrever essas relações em termos matemáticos. 
Ao final desta etapa, deve-se obter um conjunto de expressões e
fórmulas, ou equações algébricas, ou gráficos, ou representações, ou
programa computacional que levem à solução ou permitam a dedução
de uma solução.
Procedimentos da Modelagem
3ª etapa: Modelo Matemático.
- Interpretação da solução – Validação.
Para a conclusão e utilização do modelo será necessária uma
checagem para verificar em que nível este se aproxima da
situação-problema apresentada. Assim, a interpretação do
modelo deve ser feita através de análise das implicações da
solução, derivada do modelo que está sendo investigado, para
então, verificar sua adequabilidade, retornando à situação-
problema investigada, avaliando o quão significativa é a solução.
Se o modelo não atender às necessidades que o gerou, o
processo deve ser retomado na segunda etapa, mudando-se ou
ajustando hipóteses, variáveis, e outros.
Conclusão
A partir dos procedimentos expostos, pode-se verificar que
os aspectos que distinguem Modelagem Matemática de
outras aplicações de matemática são as exigências das
hipóteses e das aproximações simplificadoras como
requisitos na criação do modelo. Os demais aspectos – o
problema, a resolução e a verificação da matemática, a
validação da solução e a decisão – valem para qualquer
tipo de resolução de problema envolvendo matemática.
Conclusão
Esta análise permite assinalar que a Modelagem
Matemática transforma a Matemática fria e acabada
baseada apenas nos livros didáticos em uma ciência viva,
que se desenvolve a cada modelo matemático elaborado,
numa ciência dinâmica, possuidora da mesma dinâmica
que caracteriza a sociedade e a História humana,
propriamente dita, pois conduz professor e aluno à
constante pesquisa, contribuindo para a atualização,
aperfeiçoamento e desenvolvimento de ambos e como
conseqüência, permite que o professor passe de agente
autoridade para agente companheiro.