Densidade de Sólidos Homogêneos

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Experiência I: Densidade de sólidos homogêneos e regulares 
 
 
1. Objetivos 
2. Introdução 
3. Procedimento experimental 
4. Análise de dados 
5. Referências 
6. Apêndice: Propagação de incertezas 
 
 
 
1. Objetivos 
 
O objetivo desta experiência consiste em medir a densidade de objetos sólidos 
homogêneos e regulares (cilindros). A densidade de um sólido não pode ser obtida a 
partir de uma medição direta; é preciso medir a massa e o volume do objeto para em 
seguida calcular a sua densidade. Portanto, o valor da densidade e sua incerteza irão 
depender de outras duas medições, ou, em outras palavras, a avaliação de incerteza para 
a densidade é do tipo C. Esse processo leva à propagação (combinação) de incertezas 
que iremos estudar nesta aula. Também iremos discutir como combinar medições com 
diferentes incertezas e a compatibilidade entre duas medições ou entre uma medição e 
um valor esperado. 
 
 
2. Introdução 
 
A densidade de um sólido homogêneo é definida por: 
,
V
m
=ρ 
onde m é a massa do sólido e V é o seu volume (para condições fixadas de temperatura, 
pressão, umidade do ar, etc...). Para a identificação de um material, a incerteza na 
densidade é tão importante quanto o próprio valor medido. Por exemplo, se a densidade 
obtida de um plástico X é ρX = 1,15 g/cm3 e a incerteza correspondente é 
uX = 0,20g/cm3, o resultado é praticamente inútil para a identificação do plástico, pois a 
grande maioria dos plásticos têm densidades entre 0,9 g/cm3 e 1,4 g/cm3. Se, por outro 
lado, a incerteza é uX =0,052 g/cm3, então o número de possibilidades é bem menor e o 
plástico pode ser identificado com a ajuda de outros critérios mais simples, tais como 
transparência, consistência e coloração. Assim, podemos perceber a necessidade de uma 
teoria para a propagação das incertezas das medições diretas (volume e massa) para 
obter a densidade e, em particular, o cálculo da incerteza no resultado final. 
 
 
3. Procedimento Experimental 
 
A parte experimental desta aula consiste em determinar a massa m e o volume V 
de um cilindro metálico. A massa é determinada por meio de balanças e o volume deve 
ser calculado a partir das dimensões geométricas do sólido, medidas por meio de fitas 
métricas e paquímetros. Para a determinação de V é necessário aplicar um modelo 
tridimensional conveniente para o cilindro. O volume será também aferido diretamente 
por meio de um copo béquer contendo água. 
Cada equipe receberá um cilindro metálico, uma fita métrica, uma régua, um 
paquímetro e um copo béquer. Serão disponibilizadas balanças digitais e recipientes com 
água para encher parcialmente os béqueres. 
Cada equipe deverá proceder a 3 determinações diferentes da densidade do 
sólido, envolvendo determinações indireta e diretas do volume. 
 
Determinação 1: 
Meçam primeiramente a massa do sólido utilizando uma balança digital. Meçam 
suas dimensões (altura e circunferência) com uma fita métrica. Determinem um modelo 
de medição para ρ, que contemple explicitamente as grandezas medidas. 
 
Determinação 2: 
Meçam as dimensões do cilindro (altura e diâmetro) utilizando um paquímetro. 
Determinem um novo modelo de medição para ρ, que contemple explicitamente as 
grandezas medidas (utilize o valor da massa precedentemente aferido). 
 
Determinação 3: 
Desta vez, utilize o béquer parcialmente preenchido com água e mergulhe nele o 
cilindro para determinar diretamente o volume do sólido. Mais uma vez escrevam um 
novo modelo de medição para ρ, contemplando explicitamente as grandezas medidas 
diretamente (utilize o valor da massa precedentemente aferido). 
 
Exemplo: No caso da Determinação 3 o modelo de medição é simplesmente: 
( ) ,,
V
mVm =ρ 
 
Importante 1: 
Como regra geral de procedimento em física experimental, é fundamental anotar 
os dados da maneira mais clara e organizada possível. O significado de um determinado 
número pode ser perfeitamente claro no momento em que se faz a experiência, mas pode 
se tornar um pouco obscuro alguns dias após e totalmente confuso depois de algumas 
semanas. O melhor, neste caso, é desenhar uma figura para cada objeto, indicando as 
grandezas relevantes (massa, comprimento, diâmetro, etc.) e posteriormente anotar em 
tabelas os valores medidos de cada grandeza. Também devem ser anotadas as 
características dos instrumentos utilizados, em particular, as resoluções. 
 
Importante 2: 
Determinem primeiramente a massa do objeto. Repitam algumas vezes a medição 
da massa com a balança digital e confiram que as flutuações dos valores de m não são 
significativas. Isto é, verifiquem que para m a avaliação de incerteza é do tipo B. 
Repitam também algumas vezes as medições das dimensões do cilindro com a 
fita métrica e o paquímetro e, mais uma vez, verifiquem que para tais grandezas a 
avaliação de incerteza é do tipo B. 
No caso da aferição do volume com o copo béquer, não é possível repetir a 
medição, portanto, a avaliação de incerteza será necessariamente de tipo B. 
 
Importante 3: 
Para avaliação de incerteza de tipo B: 
3
∆r
ux = , onde r∆ é a resolução do 
instrumento. 
 
 
 
 
 
 
4. Análise de dados 
 
Para calcular a densidade nas três situações propostas, determine a expressão 
analítica do volume V do cilindro em função das dimensões medidas nas Determinações 
1 e 2 (no caso da Determinação 3, o volume é aferido diretamente). 
 
Exemplo: Na Determinação 1 medem-se a altura h e a circunferência c da base 
do cilindro, portanto: 
 
pi4
2hcV = . 
 
A partir disso, explicitem os modelos de medição, ou seja, expressem a densidade como 
função das grandezas medidas diretamente. 
 
Exemplo: Na Determinação 1, em virtude dos cálculos anteriores, obtém-se: 
 
hc
mhcm 24),,( piρ = . 
 
Organizem os resultados obtidos em cada situação em tabelas diferentes. 
Calculem as incertezas relativas sobre as grandezas medidas diretamente. Isso poderá 
sucessivamente simplificar enormemente os cálculos relativos à propagação das 
incertezas. 
Lembrem que as incertezas devem ser propagadas corretamente a partir das 
incertezas das grandezas medidas diretamente. Leiam o Apêndice no final destas notas e 
consultem o capítulo 8 da Ref. [1] e o capitulo 3 da Ref. [2]. 
Novamente com o auxílio da teoria de propagação das incertezas, determinem a 
densidade do cilindro (e sua incerteza!), considerando as três situações. 
Organizem os valores de densidade estimados nos três diferentes procedimentos 
numa mesma tabela, a fim de comparar os resultados obtidos por instrumentos de 
medição diferentes. Qual situação propiciou o resultado com menor incerteza? Por quê? 
Os resultados são compatíveis, isto é, eles concordam entre si? Como podemos compará-
los? Para serem considerados compatíveis é preciso que os valores numéricos das 
medidas sejam iguais? Que critério usar para definir a compatibilidade entre os 
resultados? 
 
Utilizando uma tabela de densidade de materiais (disponível, por exemplo, em 
http://www.euroaktion.com.br/Tabela%20de%20Densidade%20dos%20Materiais.pdf), 
identifiquem o material do cilindro a partir da compatibilidade do valor obtido com as 
medições com o valor esperado. Os valores de densidade que vocês obtiveram 
permitiram uma identificação do tipo de material (sem ambigüidades)? Todas as três 
situações de medições realizadas permitem essa identificação? Discuta em detalhes. 
 
 
Referências: 
 
[1] J. H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de ErrosEditora Edgard Blucher, , São Paulo, 2ª 
edição (2012) 
[2] J. R. Taylor, Introdução à Análise de Erros: O Estudo de Incertezas em Medições 
Físicas, Editora Bookman, Porto Alegre (2012). 
 
6. Apêndice: Propagação de incertezas 
 
Quando medimos uma grandeza física de forma indireta,o resultado apresentará 
uma incerteza final que dependerá das incertezas das grandezas (medidas diretamente), 
que entram na definição matemática da grandeza em estudo. De que forma as incertezas 
das grandezas de entrada irão influir na incerteza da grandeza de saida a ser 
determinada? 
Para exemplificar, consideremos a Determinação 2 da densidade do cilindro. 
Como sabemos, o modelo de medição é dado pela equação: 
 
hd
mhdm 2
 
4),,(
pi
ρ = 
 
onde d e h são, respectivamente o diâmetro, e a altura do cilindro, medidos com o 
paquímetro. 
Fica claro, que a incerteza na densidade do cilindro depende das incertezas sobre o 
diâmetro, sobre a altura e sobre a massa. Diâmetro, altura e massa influirão da mesma 
maneira na incerteza da densidade? 
A resposta é não, pois a densidade do cilindro varia com o diâmetro d de uma 
maneira diferente do que varia com a altura h. Da mesma forma a densidade varia de 
maneira diferente em relação à massa e ao diâmetro. Dessa forma, as influência de 
diâmetro, altura e massa serão diferentes no resultado final. 
 
Pode-se mostrar que a incerteza σw de uma grandeza hipotética w = w(x,y,z,...,), 
que depende das variáveis x, y, z, ... , é dada pela equação: 
 
 
 
onde os termos dentro dos parênteses são derivadas parciais da função w = w(x,y,z,...,) 
com relação as variáveis x, y, z, ... . A soma quadrática pode ser justificada pelo fato de 
que não seria razoável somá-las simplesmente, porque isto implicaria dizer que cada vez 
que o efeito da grandeza x estivesse no seu extremo, as demais também deveriam estar. 
Faria menos sentido ainda combiná-las com uma subtração, uma vez que quando 
combinamos várias grandezas com incertezas, o resultado final deve ter uma incerteza 
maior e não menor. 
 
Ainda no exemplo do cálculo da densidade do cilindro na Determinação 2, a 
incerteza uρ no cálculo da densidade é dada pela expressão: 
 
2
2
22
2
2
3
2
2
2
214
hdm uhd
m
u
hd
m
u
hd
u 




+




+





=
piρ
 
 
onde as expressões dentro dos parênteses são os resultados das derivadas parciais de ρ 
com relação a m, d e h, respectivamente. 
 
Importante: 
Muitas vezes é vantajoso calcular as incertezas relativas, pois isso simplifica os 
cálculos da incerteza final. De fato, quando a incerteza relativa de uma (ou mais) das 
grandezas de entrada é pelo menos uma ordem de grandeza menor em relação às outras 
grandezas de entrada, a incerteza sobre tal grandeza pode ser desprezada. 
 
Exemplo: Na Determinação 3 o modelo de medição é: 
 
V
mVm =),(ρ . 
 
Vamos supor que resultou 032,0=
V
uV
 e 0012,0=
m
um
, ou seja, 
V
u
m
u Vm << . 
Nesse caso, em lugar de calcular: 
 
2
2
2
2
21
Vm uV
m
u
V
u 




+





=ρ , 
 
é possível avaliar a incerteza sobre a densidade como: 
 
VV uV
m
u
V
m
u 2
2
2
2 =





=ρ 
 
 
Relações úteis: 
 
VV
m
m
1
=





∂
∂
 
 
2V
m
V
m
V
−=





∂
∂
 
 
hchc
m
m
22
44 pipi =





∂
∂
 
 
hc
m
hc
m
c 32
84 pipi −=





∂
∂
 
 
222 44 hc
m
hc
m
h
pipi −=





∂
∂
 
 
hdhd
m
m
22
 
4
 
4
pipi
=





∂
∂
 
 
hd
m
hd
m
d 32 
8
 
4
pipi
−=





∂
∂
 
 
222
 
4
 
4
hdhd
m
h pipi
−=





∂
∂
 
 
 
 
 
 
Roteiro para o Relatório I: Densidade de sólidos 
 
Data limite para a entrega: próxima aula de Laboratório de Física 1 e/ou Física 
Experimental 1 
 
O objetivo deste trabalho é, com o uso de diferentes instrumentos de medição, 
determinar um valor experimental para a densidade volumétrica de alguns sólidos, 
supostos homogêneos. A partir dos dados obtidos, cabe avaliar qual procedimento de 
medição permite identificar de forma melhor a densidade do material estudado. 
 
Recomendações sempre úteis 
• Reportem todos os dados experimentais de maneira correta, focando 
especialmente na expressão das incertezas e, por consequência, no numero de 
algarismos significativos. Lembrem-se, por exemplo, que qualquer incerteza associada a 
uma medida indireta deve ser expressa com, no máximo, 2 (dois) algarismos 
significativos. 
 
• Se houver necessidade de apresentar os dados experimentais em tabelas, que 
estas sejam enumeradas e que esteja claro a que elas referem-se. A mesma 
recomendação vale para os gráficos. 
 
• Não esqueçam das unidades de medida na apresentação de cada uma das 
medições realizadas. 
 
 
Sobre o relatório 
 
Este trabalho deve ser dividido essencialmente em três partes experimentais: a 
primeira que envolve medições e resultados obtidos por meio de uma fita métrica e de 
uma balança; a segunda que envolve medições e resultados obtidos utilizado uma 
balança e um paquímetro; a ultima que envolve medições e resultados obtidos por meio 
de uma balança e de um copo béquer. A partir de medições diretas das dimensões dos 
objetos estudados, assim como as de suas respectivas massas, devem ser obtidos valores 
para a densidade ρ ± uρ, através dos procedimentos precedentemente mencionados. 
É necessário deixar claro qual foi o modelo de medição adotado, ou seja, qual é a 
expressão analítica utilizada para determinar a grandeza medida indiretamente como 
função das grandezas medidas diretamente. Além disso, é fundamental descrever como 
foram estimadas as incertezas sobre as grandezas de entrada e a grandeza de saída no 
modelo de medição. Para isso deve ficar claro ao leitor quais são as hipóteses feitas para 
cada determinação, ou seja, quais são as hipóteses e as limitações de cada modelo de 
medição, dentre as quais podem ser citadas, por exemplo, a homogeneidade da 
distribuição de massa dos objetos, assim como as características regulares de suas 
geometrias. 
Perante os resultados obtidos para as densidades, é importante comentar se os 
procedimentos utilizados permitem identificar com clareza qual o material que constitui 
o objeto. Caso não seja possível, é preciso comentar sobre o motivo disso (caso seja 
conhecido) ou realizar alguma conjectura. 
 
Exemplo: Algum dos procedimentos adotados permite a obtenção de medições com uma 
menor incerteza associada? Se sim, expliquem o porquê e como isso se relaciona com a 
boa identificação do material estudado. 
 
 
Facultativo: Independentemente da identificação do material, e havendo 
compatibilidade dos resultados associados às densidades volumétricas, estimem um 
único valor representativo para a densidade do material estudado, através de uma média 
ponderada. 
 
 
Sobre o critério de compatibilidade 
 
Supondo que os valores experimentais resumidos em xuxx ±= e yuyy ±= , diremos 
que eles são compatíveis (confira o cápitulo 5 da Ref. [2]) se: 
 
.2
 
22
≤
+
−
yx uu
yx
 
 
 
Informações para o cálculo da média ponderada 
 
Considerando n valores experimentais resumidos em jxjj uxx ,±= (com j = 1, 2,..., n), 
se os valores forem compatíveis, é possível fornecer um único resultado através de uma 
média ponderada na forma mpxmp uxx ,±= , sendo: 
 
∑
∑
=
=
=
n
j
j
j
n
j
j
mp
P
Px
x
1
1 ; 
∑
=
=
n
j
j
mpx
P
u
1
,
1
 e 2
,
)(
1
jx
j
u
P =