Cálculo Avançado e Métodos 1a Lista de Exercícios 2015.1

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Universidade Salvador – UNIFACS
Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo IV
Professores: Geciara de Carvalho; Ilka Freire e Ricardo Luiz Queiroz
1ª Lista de Exercícios: Transformada de Laplace 2015.1
1) Usando a Tabela de Transformada e a linearidade calcule as transformadas das seguintes funções:
a) ; b) ; c) d) 
2) Utilizando a Tabela de Transformadas e os resultados vistos encontre f(t), se L[f(t)] = F(s) é igual a 
a) ; b) ; c) ; d) ; 
e) ; f) ; g) ; h) 
i) ; j) ; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p); q) ;
3) Use as Transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) y´´(t) + 9y(t) = 0; y(0) = 0 e y´ (0) = 2 b) y´´(t) + 2y´(t) – 8y(t) = 0 ; y(0) = 1 e y´(0) = 8 
c) ; y(0) = 0 e y´(0) = 1 d) ; y(0) = 0 e y´(0) = 0 
e) y´´(t) – y(t) = sent; y( 0 ) = 1 e y´(0) = 1 f) ; 
4) Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
a) f(t) = ( t – 1) u1(t) ; b) f(t) = t u1(t) ; c) 
d) ; e) f) 
( Escreva )
5) Escreva as seguintes funções em termos da função degrau e encontre a transformada
a) ; b) ; c) 
d) ; e) f(t) = ; f) 
6) Encontre a transformada inversa das seguintes funções:
a) ; b) ; c) ; d) e) ; f) ; g) ; h) 
7) Use as Transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
a) y´(t) + 2y(t ) = f(t), sendo f(t) = ; y(0) = 0 
b) y´´ (t) + y (t) = f(t); em que ; y(0) = 0; y´(0) = 1
c) 
d) ; sendo e y(0) = 0;
8) Use a transformada de Laplace para determinar:
1 2 3 
Eo
a) A carga no capacitor em um circuito em série RC, 
sabendo que q(0) = 0, R = 50, C = 0,01 farad 
e E(t) é a voltagem dada na diagrama ao lado
(Use a equação: )
b) A corrente i(t) em um circuito em série RL quando i(0) = 0, L = 1H, R = 10 e E(t) é a função 
(Use a equação )
c) A carga q(t) no capacitor em um circuito LRC, em série, quando L = 1 H, R = 20 , 
C = 0,005 F, E(t) = 150 V, q(0) = 0 e i(0) = 0.
( Use a equação )
d) Uma massa de 1Kg atada a uma mola de constante elástica está inicialmente com velocidade de () e passando pela posição de equilíbrio . O movimento tem uma constante de amortecimento e está sob a ação de uma força externa conforme gráfico abaixo. Use as transformadas de Laplace para determinar a função que define a posição da partícula para um instante qualquer . Lembre-se que o modelo linear para este sistema físico (MHS forçado) é: . 
e) Uma massa de atada a uma mola de constante elástica está, inicialmente com velocidade nula () e passando pela posição . Despreze os atritos. Se o sistema é submetido no tempo a uma força externa Newtons, use as transformadas de Laplace para determinar a equação que define a posição da partícula para um instante qualquer . Lembre-se que o modelo linear para este sistema físico (MHS forçado sem amortecimento) é: . 
f) A corrente i(t) em um circuito em série RL satisfaz a equação diferencial Considere um circuito RL em que R = 2 ; L = 20 H ; i(0) =0 e a força eletromotriz é dada por 
Nessas condições, a alternativa que representa a corrente no circuito é 
g) A carga q(t) em um circuito em série RC satisfaz a equação diferencial 
.Considere um circuito RC em que R = 5 ; C= 0,04 F; q(0) =0 e 
Analise as seguintes alternativas 
É correto o que se afirma apenas em 
I e III
II e III
I e IV
I, II e IV
II, III e IV
Respostas: 
1) a) ; b) ; c) ; 
d) 
2) a) ; b) ; c) ; d) ; e) 
f) ; g) ; h) 
 i) ; j) ; k) ; 
l) ; m); 
n) ; o) ; p) ; q) 
3) a) y = (2/3)sen3t; b) y = 2e2t – e –4t; c) y = te2t; d) ; e) y = (5/4)et –(1/4)e–t –(1/2) sent ; f) 
4) a) L[f] = ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 
5) a) ; b) ;
; c) ; 
d) ; ; 
e) ; ; f) e 
6) a) f(t) = u3(t) – u1(t); b) f(t) = 2ua(t) – 1; c) f(t) = u(t)(1 – cos( t – )); 
d) ; e) ; 
f) ; g) ; 
h) 
7) a) 
b) 
c) ; d) 
8) a) 
b) 
c) 
d) 
e) ; f) a) g) d)