Exercícios de Capacitores em Física

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
INSTITUTO DE FÍSICA 
LICENCIATURA EM FÍSICA – UAB 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE E MAGNETISMO I – PARTE 2 
ORIENTADOR ACADÊMICO: RHEILLER LUIZ BORGES 
ACADÊMICO: JANDER GOMES DE SOUSA 
 
Questões 
 
1. Em um capacitor de placas planas e paralelas com uma separação d entre as placas e 
capacitância C0, são ajustadas duas camadas de dielétricos, com as constantes k1 e k2, 
cada qual com uma espessura d/2, conforme figura. Sendo Q a carga em cada placa, 
calcular: 
 
 
 
 
 
a) o campo elétrico em cada dielétrico 
 
Ao introduzir um dielétrico no interior de um capacitor temos 
 
 
, como foram 
introduzidos dois dielétricos (um acima do outro) no capacitor, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor. 
 
 A diferença de potencial entre as placas de um capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ache a capacitância deste capacitor. 
 
A capacitância de um capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Mostrar que a montagem deste capacitor fornece a mesma capacitância de uma 
combinação de dois capacitores associados em série, com a espessura d/2, cada um com 
um dielétrico de constantes k1 e k2. 
 
Para o capacitor 1, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o capacitor 2, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância de dois capacitores associados em série é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um capacitor de placas planas e paralelas está preenchido por duas placas de 
dielétricos, de dimensões iguais umas as outras, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a capacitância deste capacitor 
 
Como cada dielétrico tem 
 
 
, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A diferença de potencial entre as placas de um capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 A capacitância de um capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) mostre que esta montagem pode ser imaginada como sendo dois capacitores 
associados em paralelo, cada qual com uma área A/2 nas placas. 
 
Para o capacitor 1, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o capacitor 2, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância de dois capacitores associados em paralelo é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a capacitância do capacitor mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
A capacitância de cada capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O arranjo pode ser considerado como um sistema de capacitores ligados em série e 
paralelo. Os capacitores 1 e 2 estão ligados em série e estes estão ligados em paralelo 
com o capacitor 3. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a associação em paralelo entre , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um capacitor esférico de raio interno a e externo b tem o espaço entre as cascas 
esféricas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes 
superpostas, uma de espessura e constante dielétrica k1, e outra de espessura 
e constante dielétrica k2. Calcule a capacitância deste capacitor e a energia armazenada 
no capacitor, pelo seu campo elétrico. 
 
 
 
Como o espaço entre as cascas esféricas está totalmente 
preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes 
superpostas, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância pode ser dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela expressão acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia armazenada em um capacitor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma esfera de raio R está uniformemente carregada com uma carga Q, com uma 
densidade volumar 
 
 
. 
a) Calcule a densidade de energia eletrostática a uma distância r do centro da esfera, 
para r < R e para r > R. 
 
 Para r < R, a carga interna depende de r, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei de Gauss, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A densidade de energia eletrostática é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r > R, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A densidade de energia eletrostática é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine a energia numa casca esférica de raio r e espessura dr de volume , 
para r < R para r > R. 
 
 Para r < R temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r > R, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcular a energia total pela integração das expressões obtidas no item (b). Mostre 
que este resultado pode ser escrito como 
 
 
 
 
 
 . Explicar por que este resultado 
é maior do que o de um condutor esférico de raio R com uma carga total Q. 
 
A energia total é dada por: