INCERTEZA DE MEDIÇÃO

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APOSTILAS ESTATÍSTICAS
INCERTEZA DE MEDIÇÃO
SUMÁRIO
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INCERTEZA DE MEDIÇÃO
 1 - Fundamentos do Cálculo de Incerteza em Medição
 1 - Fundamentos do Cálculo de Incerteza em Medição
 1.1 - Erros, Efeitos e 
Correções ......................................................................................02
 1.2 - Incerteza de 
Medição...............................................................................................04
 1.3 - Avaliação da Incerteza 
Padrão................................................................................09
 1.4 - Incerteza do Tipo 
A..................................................................................................12
 1.5 - Incerteza do Tipo 
B..................................................................................................13
 1.6 - Incerteza Padrão 
combinada ..................................................................................19
 1.7 - Incerteza 
Expandida................................................................................................25
 1.8 - Expressão do Resultado da 
Medição......................................................................26
 1.9 - Teste de Valor Extremo 
(Grubbs)............................................................................28
 1.10 - Comparação entre Sistemas de 
Medição..............................................................33
2 - Análise e interpretação do Certificado de Calibração...................................................34
 3 - Aplicações do Cálculo de Incerteza em Calibrações
 3 - Aplicações do Cálculo de Incerteza em Calibrações
 3.1 - Cálculo de Incerteza de um Relógio 
Comparador.....................................................48
 3.2 - Cálculo de Incerteza de um Micrômetro 
Externo.......................................................54
 3.3 - Cálculo de Incerteza de um 
Manômetro....................................................................64
 3.4 - Cálculo de Incerteza de um Voltímetro 
Digital...........................................................72
 3.5 - Cálculo de Incerteza de um 
Termômetro...................................................................76
3
 3.6 - Cálculo de incerteza de um Termopar tipo N a 
1000ºC............................................81
 3.7 - Cálculo de incerteza de um 
Paquímetro....................................................................89
 3.8 - Cálculo de incerteza de uma 
Trena...........................................................................97
INCERTEZA DE MEDIÇÃO
Ao relatarmos o resultado da medição de uma grandeza física é obrigatório que
seja dado alguma indicação quantitativa da qualidade do resultado, de tal forma
que aqueles que utilizam o resultado da medição possam avaliar sua
confiabilidade. Sem essa indicação, os resultados da medição não podem ser
comparados, sejam entre eles mesmos ou com valores de referência
fornecidos em uma especificação ou norma. Portanto, é necessário que haja
um procedimento implementado de fácil compreensão e de aceitação geral
para caracterizar a qualidade do resultado da medição, isto é, para avaliar e
expressar sua incerteza. 
O conceito de incerteza de medição será utilizado como um atributo
quantificável para determinar a qualidade de um sistema de medição. Neste
módulo, vamos discutir em detalhes o conceito de incerteza de medição e
apresentar várias aplicações na calibração de equipamentos de medição e em
ensaios. Nosso texto foi baseado na norma ISO GUM (2008).
- ERROS, EFEITOS E CORREÇÕES
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1.1 - ERROS, EFEITOS E CORREÇÕES
Em geral, uma medição tem imperfeições que dão origem a um erro no
resultado da medição. Tradicionalmente, o erro é visto como tendo dois
componentes, um componente aleatório e um componente sistemático. É
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importante deixarmos claro que erro é um conceito idealizado e os erros não
podem ser conhecidos exatamente. Uma discussão detalhada sobre erro de
medição pode ser encontrada no apêndice D da norma ISO GUM (2008).
O erro aleatório se origina de variações temporais ou espaciais e ocorre de
forma imprevisível. Os efeitos de tais variações (daqui para a frente
denominaremos efeitos aleatórios) são a causa de variações em observações
repetidas da grandeza. Embora não seja possível compensar o erro aleatório
de um resultado de medição, ele pode geralmente ser reduzido aumentando-se
o número de observações. Sua esperança ou valor esperado é zero.
O erro sistemático, assim como o erro aleatório, não pode ser eliminado, porém
ele, frequentemente, pode ser reduzido. Se um erro sistemático se origina de
um efeito reconhecido de uma grandeza de influência em um resultado de
medição, daqui para diante denominado como efeito sistemático, o efeito pode
ser quantificado e, se for significativo com relação à exatidão requerida da
medição, uma correção ou fator de correção pode ser aplicado para compensar
o efeito. Suponhamos, que, após esta correção, a esperança da distribuição de
probabilidade associada ao erro sistemático seja zero.
Como dissemos, o erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser
conhecidos exatamente. Na prática, associamos uma variável aleatória (por
exemplo, a distribuição normal) para representar o erro de medição, como pode
ser observado na Figura 1.1.1. Outras distribuições de probabilidade também
podem ser utilizadas, por exemplo, associamos o erro devido a resolução do
instrumento de medição com a distribuição retangular (ou, uniforme).
 
Figura 1.1.1: Representação do erro de medição.
Muitas vezes, utilizamos o desvio padrão amostral da média de uma série de
observações para estudar o comportamento do erro aleatório. Entretanto, o
desvio padrão amostral da média não é o erro aleatório, embora ele assim seja
designado em algumas publicações. Ele é, em vez disso, uma medida de
incerteza da média devido a efeitos aleatórios. O valor exato do erro da média,
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que se origina destes efeitos, não pode ser conhecido. Devemos tomar muito
cuidado em distinguir entre os termos "erro'' e "incerteza''. Eles não são
sinônimos, ao contrário, representam conceitos completamente diferentes.
A incerteza de uma correção aplicada a um resultado de medição, para
compensar um efeito sistemático, não é o erro sistemático. É, ao contrário, uma
medida de incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor
requerido da correção. O erro originado da compensação imperfeita de um
efeito sistemático não pode ser exatamente conhecido. Os termos "erro'' e
"incerteza'' devem ser usados apropriadamente e devemos tomar cuidado em
distinguir um do outro. Supomos que o resultado de uma medição tenha sido
corrigido para todos os efeitos sistemáticos reconhecidos como significativos e
que todo esforço tenha sido feito para identificar tais efeitos.
 
Exemplo 1.1.1
Uma correção devido à impedância finita de um voltímetro usado para medir
uma diferença de potencial (a grandeza) através de um resistor de alta
impedância é aplicada para reduzir o efeito sistemático sobre no resultado da
medição proveniente do efeito de carregamento do voltímetro. Entretanto, os
valores da impedância do voltímetro e do resistor, que são usados para estimar
o valor da correção e são obtidos a partir de outras medidas, são incertos.
Essas incertezas são usadas para avaliar a componente de incerteza da
determinação de diferença de potencial originada da correção e, assim, do
efeito sistemático devido à impedância finita do voltímetro.Frequentemente, os instrumentos e sistemas de medição são ajustados com
base em padrões de medição e materiais de referência para eliminar os efeitos
sistemáticos. Contudo, as incertezas associadas a esses padrões e materiais
ainda devem ser levadas em consideração.
 
1.2 - INCERTEZA DE MEDIÇÃO
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 1.2 - INCERTEZA DE MEDIÇÃO
A incerteza do resultado de uma medição reflete a falta de conhecimento
associado ao valor da grandeza a ser medida. O resultado de uma medição,
mesmo após correção devido aos efeitos relativos a erros sistemáticos
reconhecidos, é somente uma estimativa do valor da grandeza devido a
incerteza proveniente dos efeitos dos erros aleatórios e da correção imperfeita
do resultado para efeitos devido aos erros sistemáticos.
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O resultado de uma medição (após correção) pode, sem que se perceba, estar
muito próximo do valor da grandeza (e, assim, ter um erro desprezível), muito
embora possa ter uma incerteza grande. Portanto, a incerteza do resultado de
uma medição não deve ser confundida com o erro desconhecido
remanescente.
Na prática, existem muitas fontes possíveis de incerteza em uma medição,
incluindo:
a) Definição incompleta da grandeza;
b) Falhas na definição da grandeza;
c) Amostragem não-representativa - A amostra medida pode não representar a
grandeza definida;
d) Conhecimento inadequado dos efeitos das condições ambientais sobre a
medição ou medição imperfeita das condições ambientais;
e) Erro de tendência pessoal na leitura de instrumentos analógicos;
f) Resolução finita do instrumento ou limiar de mobilidade;
g) Valores inexatos dos padrões de medição e materiais de referência;
h) Valores inexatos de constantes e de outros parâmetros obtidos de fontes
externas e usados no algoritmo para obtenção de dados;
i) Aproximações e suposições incorporadas ao método e procedimento de
medição;
j) Variações nas observações repetidas da grandeza sob condições
aparentemente idênticas.
Essas fontes não são necessariamente independentes e algumas das fontes
de (a) a (i) podem contribuir para a fonte (j). Naturalmente, um efeito
sistemático não reconhecido não pode ser levado em consideração na
avaliação da incerteza do resultado de uma medição, porém contribui para seu
erro.
Em algumas publicações, os componentes da incerteza são categorizados
como "aleatório'' e "sistemático'' e são associados com erros provenientes de
efeitos aleatórios e de efeitos sistemáticos conhecidos, respectivamente. Tal
categorização de componentes de incerteza pode se tornar ambígua quando
aplicada genericamente. Por exemplo, um componente "aleatório'' de incerteza
em uma medição pode se tornar um componente "sistemático'' da incerteza em
outra medição na qual o resultado da primeira medição é usado como dado de
entrada. Categorizando os métodos de avaliação (ou, cálculo) dos
componentes de incerteza, em vez de fazermos com os próprios componentes,
evitamos tal ambiguidade. Ao mesmo tempo, isto não impede designar
componentes individuais que tenham sido avaliados pelos dois diferentes
métodos em grupos distintos, a serem usados para uma finalidade em
particular.
A recomendação da norma ISO GUM (2008) consiste em dividirmos os
componentes de incerteza em dois tipos, denominados "A" e "B". Estas
categorias são aplicados ao método de avaliação da incerteza e não tem
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relação com as palavras aleatório ou sistemático. A incerteza associada a
correção de um efeito relacionado a um erro sistemático pode ser obtido por
uma avaliação do tipo A ou por uma avaliação do tipo B.
O propósito da classificação Tipo A e Tipo B é de indicar as duas maneiras
diferentes de avaliar os componentes da incerteza e serve apenas para
discussão. A classificação não se propõe a indicar que haja qualquer diferença
na natureza dos componentes. Ambos os tipos de avaliação são baseados em
distribuições de probabilidade e os componentes de incerteza resultantes de
cada tipo são quantificados por variâncias ou desvios padrão.
A variância estimada , caracterizando um componente de incerteza obtido de
uma avaliação do Tipo A, é calculada a partir de uma série de observações
repetidas, através da variância amostral da média das medidas . O desvio
padrão estimado é denominado incerteza padrão do Tipo A. Para um
componente de incerteza obtido por uma avaliação do Tipo B, a variância
estimada é avaliada através do conhecimento disponível, e o desvio padrão
estimado é, por vezes, denominado incerteza padrão do Tipo B.
Assim, uma incerteza padrão do Tipo A é obtida a partir de uma função
densidade de probabilidade derivada da observação de uma distribuição de
frequência, enquanto que a incerteza padrão do Tipo B é obtida de uma
suposta função densidade de probabilidade, baseada no grau de credibilidade
de que um evento vá ocorrer (frequentemente chamada probabilidade
subjetiva). Ambos os enfoques empregam interpretações reconhecidas de
probabilidade. Uma avaliação do Tipo B de um componente de incerteza é
usualmente baseada em um conjunto de informações comparativamente
confiáveis.
A incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado
for obtido de valores de outras grandezas, é denominada incerteza padrão
combinada e designada por . Ela é o desvio padrão estimado, associado com
o resultado, obtida a partir de todos os componentes de variância e
covariância, independentemente de como tenham sido avaliados, usando o que
é denominado, de lei da propagação de incerteza.
Para satisfazer as necessidades de algumas aplicações industriais e
comerciais, assim como a requisitos nas áreas da saúde e segurança, uma
incerteza expandida é obtida multiplicando-se a incerteza padrão
combinada por um fator de abrangência . A finalidade pretendida para é
fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medição com o qual se
espera abranger uma grande fração da distribuição de valores que poderiam
razoavelmente ser atribuída a grandeza. A escolha de , o qual está geralmente
na faixa de 2 a 3, é baseada na probabilidade de abrangência ou nível da
confiança requerido do intervalo.
O fator de abrangência deve sempre ser declarado de forma que a incerteza
padrão da grandeza medida possa ser recuperada para uso no cálculo de
incerteza padrão combinada de outros resultados de medição que possam
depender dessa grandeza.
Se houver variação de todas as grandezas das quais o resultado de uma
medição depende, sua incerteza poderá ser calculada por meios estatísticos.
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Entretanto, uma vez que isso, na prática, raramente é possível, devido a tempo
e recursos limitados, a incerteza de um resultado de medição é, geralmente,
avaliada quando utilizamos um modelo matemático da medição e a lei de
propagação da incerteza. Assim, está implícita a suposição de que uma
medição pode ser modelada matematicamente até o grau imposto pela
exatidão requerida na medição.
Uma vez que o modelo matemático pode ser incompleto, todas as grandezas
relevantes devem ser variadas até a maior extensão prática possível, de modo
que a avaliação da incerteza possa ser baseada, tanto quanto possível, nos
dados observados.
Sempre que factível, o uso de modelos empíricos da medição, fundamentados
em dados quantitativos e colecionados ao longo do tempo, e o uso de padrões
de verificação e gráficos de controle que possam indicar se uma medição está
sob controle estatístico, devem ser parte do esforço de obtenção de avaliações
confiáveis de incerteza. O modelo matemático deverá sempreser revisado
quando os dados observados, incluindo o resultado de determinações
independentes da mesma grandeza, demonstrarem que o modelo está
incompleto. Um experimento bem projetado facilita as avaliações confiáveis da
incerteza e é uma parte importante da arte de medição.
De forma a decidir se um sistema de medição está funcionando
adequadamente, a variabilidade observada experimentalmente de seus valores
de saída, conforme medida pelo seu desvio padrão observado é,
frequentemente, comparada com o desvio padrão previsto, obtido através da
combinação dos vários componentes da incerteza que caracterizam a medição.
Em tais casos, somente aqueles componentes (obtidos de avaliações Tipo A ou
Tipo B) que poderiam contribuir para a variabilidade experimentalmente
observada destes valores de saída devem ser considerados.
Tal análise pode ser facilitada, quando reunimos aqueles componentes que
contribuem para a variabilidade e aqueles que não o fazem em dois grupos
separados e adequadamente rotulados.
Em alguns casos, a incerteza de uma correção para um efeito sistemático não
precisa ser incluída na avaliação da incerteza de um resultado de medição.
Embora a incerteza tenha sido avaliada, ela pode ser ignorada se sua
contribuição para a incerteza padrão combinada de um resultado de medição é
insignificante. Se o valor da própria correção for insignificante relativamente à
incerteza padrão combinada, ele também pode ser ignorado.
Muitas vezes ocorre na prática, especialmente no domínio da metrologia legal,
que um equipamento é ensaiado através de uma comparação com um padrão
de medição e as incertezas associadas com o padrão e com o procedimento de
comparação são desprezíveis relativamente à exatidão requerida do ensaio.
Um exemplo é o uso de um conjunto de padrões de massa bem calibrados
para verificar a exatidão de uma balança comercial. Em tais casos, como os
componentes da incerteza são pequenos o bastante para serem ignorados, a
medição pode ser vista como determinação do erro do equipamento sob
ensaio.
 
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Exemplo 1.2.1
Um padrão de tensão Zener de alta qualidade é calibrado por comparação com
uma referência de tensão de efeito Josephson baseado no valor convencional
da constante Josephson recomendada para uso internacional pelo CIPM. A
incerteza padrão combinada relativa da diferença de potencial
calibrada é relatada em termos do valor convencional, mas 
é quando é relatada em termos da unidade SI da diferença de
potencial, Volt ( ), por causa da incerteza adicional associada com o valor SI
da constante Josephson.
Erros grosseiros no registro ou na análise dos dados podem introduzir um erro
desconhecido significativo no resultado de uma medição. Grandes erros
grosseiros podem ser, geralmente, identificados por uma revisão apropriada
dos dados. Pequenos erros grosseiros podem ser mascarados por variações
aleatórios, ou até mesmo podem aparecer como tais. Medidas de incerteza não
são projetadas para levar em conta tais erros.
A avaliação da incerteza não é uma tarefa de rotina nem uma tarefa puramente
matemática, ela depende de conhecimento detalhado da natureza da grandeza
e da medição. A qualidade e utilidade da incerteza indicada para o resultado de
uma medição, dependem, portanto, e em última análise, da compreensão,
análise crítica e integridade daqueles que contribuem para o estabelecimento
de seu valor.
 
Resultado da medição
 
Encontramos a expressão de um resultado de medição incompleta caso esta
não se apresente com a declaração da incerteza de medição associada. A
incerteza de um resultado define uma faixa de valores em torno da média das
medições, dentro da qual o valor verdadeiro da grandeza se encontra com nível
de confiança estabelecido.
Embora não seja ainda de entendimento geral e até mesmo algumas vezes de
desconhecimento de alguns, cumpre-nos observar que dentre as parcelas
mostradas na expressão do resultado de uma medição a IM (incerteza de
medição) é a mais importante, até mesmo do que a média (das medidas) e
mereceria uma maior compreensão e aplicação.
Vejamos um exemplo em que a um metrologista fosse solicitado para medir as
dimensões do seu laboratório de metrologia para a preparação de um layout, e
este não dispusesse de trena ou qualquer outro meio de medição. Neste
poderíamos utilizar as dimensões padronizadas das placas do piso (por
exemplo Paviflex, 30 30 cm) e após uma contagem do número de placas em
cada lado emitir um resultado de medição como o seguinte: 4,0 4,0 m 0,15
m.
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Metrologicamente falando, o resultado da sua medição está correto mesmo se
o solicitante não estivesse satisfeito com a IM apresentada e neste caso o
mesmo poderia propor uma alteração no procedimento de medição utilizado,
como por exemplo, o uso de uma trena.
Sob o mesmo ponto de vista, errado estaria se a medição fosse feita, por
exemplo, com uma trena e o resultado apresentado fosse: 4,010 4,047 m
(sem a declaração da IM).
 
Fluxo para o Cálculo de Incerteza
 
 
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VALIAÇÃO DA
INCERTEZA PADRÃO
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1.3 - AVALIAÇÃO DA INCERTEZA PADRÃO
Em muitos casos, uma grandeza não é medida diretamente, mas é
determinada em função de outras grandezas , através de uma
relação funcional , que vem a ser
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As grandezas de entrada , sobre o qual o valor de saída 
depende, pode ser uma medida ou depender de outras variáveis, incluindo
correções e fatores de correções para efeitos sistemáticos. A função pode ser
determinada experimentalmente, ou existe somente, como um algoritmo que
pode ser avaliado numericamente.
As grandezas de entradas podem ser caracterizadas como:
 Quantidade cujos valores e incertezas são determinados diretamente da medição.
Esses valores e incertezas podem ser obtidos de uma simples observação, repetidas 
observações ou julgamentos baseados na experiência.
Também podem envolver as determinações de correções para indicação dos
instrumentos e correções por grandezas de influências, tais como: temperatura
ambiente, pressão barométrica e umidade;
 Valores e incertezas, os quais são conduzidos para uma medição de fontes 
externas, tais como:
grandezas associadas com calibração de padrões, certificados de materiais de
referência e referência de informações obtidas através de manuais.
 
Exemplo 1.3.1:
Para medirmos o volume, podemos utilizar o seguinte método
, onde a grandeza volume é obtida através das grandezas massa e densidade.
A estimativa do desvio padrão, associado com cada estimativa de entrada é 
denominada de \textbf{incerteza padrão} e indicada por .
A estimativa do desvio padrão, associado com a estimativa do resultado de
medição , é denominada incerteza padrão combinada e indicada por ,
e é determinada pela combinação das incertezas padrão associada com as
estimativas de entrada ( ). Cada estimativa de entrada e sua incerteza
associada são obtidas pela distribuição dos valores de uma grandeza de
entrada ( ).
A avaliação da incerteza de medição "Tipo A" é baseada na distribuição de
frequência, enquanto que a avaliação "Tipo B" é baseada em informações
disponíveis da variabilidade da grandeza de entrada ( ).
 
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Exemplo 1.3.2
(NIS 3003, 1995) Calibração de uma massa padrão com valor nominal 10kg de
classe M1, utilizando um comparador. Neste caso, obtemos a equação da
massa desconhecida , por
Na prática não aplicamos correções para esta classe de massa e o comparador
tem linearidade desconhecida. Entretanto, associamos incertezas para estas
contribuições.
Símbolo Fonte de Incerteza Tipo Limites Média
Massa padrão B ± 30mg(k=2) 10kg
Deriva (drift) massa padrão B ± 15mg 0
Linearidade do comparador B ± 10mg 0
Efeito do ar B ± 10mg 0
Repetitividade A 
 
 Exemplo 1.3.3
Determinar a incerteza da área de um círculo cujo diâmetro foi medido
experimentalmente através de um sistema de medição denominado
paquímetro.
Valor do diâmetro obtido com o paquímetro com resolução de 0,01 mm e
incerteza expandida U= 0,02 mm (k = 2):
Leituras Diâmetro
1 10,28
2 10,26
3 10,28
4 10,3
5 10,28
A expressão para o cálculo da área é dada por
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Exemplo 1.3.4
Determinar a incerteza de medição na composição de dois blocos padrão, que
foram medidos pelo mesmo sistema de medição.
Bloco 1
Dimensão nominal: 10 mm.
Incerteza Expandida: para .
Bloco 2
Dimensão nominal: 20 mm.
Incerteza Expandida: para .
O resultado da combinação dos blocos pode ser expresso matematicamente
por
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 1.4 - INCERTEZA DO TIPO A
Na grande maioria dos casos, a melhor estimativa para o valor esperado de 
uma quantidade que varia aleatoriamente e para o qual temos n leituras 
independentes k obtidas sob condições de repetitividade, corresponde a média 
aritmética.
Assim, quando a estimativa de uma grandeza de entrada tem sido obtida
de n medidas sob condições de repetitividade, a incerteza padrão é
obtida pela estimativa da variância da média. Esta é dada por
em que n número de medidas e s desvio padrão correspondente às n leituras.
 Exemplo 1.4.1
Voltando ao Exemplo 1.3.2. Considerando o processo de calibração da massa
padrão do exemplo anterior, o avaliador realizou cinco medidas da diferença
entre a massa padrão e a massa desconhecida. Os resultados estão abaixo.
Leitura 1 15 mg
15
Leitura 2 25 mg
Leitura 3 20 mg
Leitura 4 13 mg
Leitura 5 18 mg
Média 18,20 mg
Desvio Padrão 4,66 mg
Desvio Padrão da Média 2,08 mg
Calculando a Incerteza do Tipo A, obtemos: 
.
 Exemplo 1.4.1
Voltando ao Exemplo 1.3.3 .
Leituras Diâmetro Área
1 10,28 82,99963
2 10,26 82,67699
3 10,28 82,99963
4 10,3 83,3229
5 10,28 82,99963
Média das Leituras 10,28 82,99976
Desvio Padrão das Leituras 0,014142 0,228364
Desvio Padrão da Média das Leituras 0,006325 0,102128
Para a grandeza Área, Incerteza do Tipo A é dada por:
.
Exemplo 1.4.1
Suponha que um sistema de medição com incerteza do Tipo A, baseada em 4
observações, tenha valor de 3,5 unidades. Existem outras 5 fontes de
incerteza do Tipo B que apresentam incerteza estimada muito pequena, de tal
forma que a incerteza combinada seja igual a 5,7 unidades.
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Como a incerteza do Tipo A é maior que metade da incerteza combinada,
vamos utilizar a distribuição t-Student para determinar o fator . Através da
equação de Welch-Satterwaite, temos
Tomando valor de igual a 20, obtemos que k = 2,13.
 
Exemplo 1.4.2
Voltando ao Exemplo 1.3.2 da calibração da massa padrão, observe que a
incerteza do Tipo A é menor que metade da incerteza combinada.
Vamos calcular os graus de liberdade efetivo
Assim, o fator de abrangência k será de 1,96.
Assim, a incerteza expandida é dada por
 
Exemplo 1.4.3
Voltando ao Exemplo 1.3.3.
Vamos calcular os graus de liberdade efetivo
Assim, o fator de abrangência k será de 2,004045.
Logo, a incerteza expandida é dada por
 
Exemplo 1.4.4
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Voltando ao Exemplo 1.3.4.
Não temos incerteza do tipo A, então o fator de abrangência k é 1,96;
Assim, a incerteza expandida é dada por
 Você está aqui - INCERTEZA DO TIPO B
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 1.5 - INCERTEZA DO TIPO B
Para uma estimativa de uma grandeza de entrada , que não tenha sido obtida
de observações repetidas, a variância estimada ou a incerteza
padrão é avaliada pelo julgamento específico baseado em todas as
informações disponíveis na variabilidade de . No conjunto destas
informações, incluímos:
a) Informações prévias de medição;
b) Experiência ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos
instrumentos e materiais relevantes;
c) Especificações do fabricante;
d) Informações de certificados de calibração e outras especificações;
e) Incerteza transmitida pelas informações de referências obtidas de manuais.
Por conveniência, e avaliados desta maneira são chamados
de Variância Tipo B e Incerteza Padrão Tipo B, respectivamente.
O propósito de usar várias informações disponíveis para a avaliação da
incerteza padrão do Tipo B é para buscar um discernimento baseado na
experiência e nos conhecimentos gerais, e é uma habilidade que pode ser
obtida com a prática. É reconhecido que uma avaliação da incerteza pelo Tipo
B pode ser tanto confiável quanto a do Tipo A, especialmente na situação em
que a avaliação do Tipo A é baseada na comparação de pequenos números de
observações estatisticamente independentes (ISO GUM, 2008).
A seguir, são apresentados 4 suposições disponíveis para as grandezas de
entradas de influência , para a avaliação da incerteza padrão Tipo B.
Caso 1
Se a estimativa é retirada da especificação do fabricante, certificados de
calibração, manuais ou outras fontes, sua incerteza padrão é
simplesmente o valor citado dividido pelo multiplicador.
 
18
Exemplo 1.5.1
Voltando ao exemplo 1.3.2 o certificado de calibração afirma que a massa
padrão com valor nominal de 10kg de classe M1 tem como incerteza 
para o nível de confiança com k = 2.
A incerteza da massa padrão, é então
A incerteza de não necessariamente é relatada como um múltiplo de um
desvio padrão, como abordado acima. Em vez disso, podemos encontrar uma
declaração que a incerteza declarada possui 90%, 95% ou 99% de nível de
confiança.
Salvo indicação contrária, poderá assumir que uma distribuição normal (ou t-
Student) será utilizada para o cálculo da incerteza declarada, e a incerteza
padrão pode ser encontrada dividindo-se a incerteza declarada por um
fator k, apropriado da distribuição normal.
 
Exemplo 1.5.2
 
Um certificado de calibração afirma que a resistência de um resistor padrão 
de valor nominal é a 23ºC e com incerteza de , definindo
um intervalo com nível de significância de 99%.
A incerteza padrão é dada por
Neste caso, utilizamos a tabela da distribuição Normal para determinar o valor
de k.
 
Exemplo 1.5.3
Voltando ao exemplo 1.3.4.
A incerteza padrão obtemos de cada bloco é obtido dividindo a incerteza
expandida pelo fator k. Assim
19
 
Exemplo 1.5.4
Voltando ao exemplo 1.3.3
A incerteza expandida do paquímetro, definida no certificado de calibração do
mesmo, é de 0,02 com fator de abrangência k=2. Desta forma, a incerteza
herdada do equipamento é de
 
Caso 2
 
Em alguns casos, pode ser possível estimar somente os limites (limite
superior e inferior ) para , por exemplo, quando a grandeza de
influência é a variação da temperatura. Neste caso, consideramos que a
probabilidade de que o valor de se encontre dentro do intervalo até ,
para todo propósito prático, é igual a 1 e a probabilidade que esteja fora
deste intervalo é essencialmente zero. Se não há conhecimento
específico sobre a possibilidade do valor estar dentro do intervalo, pode-se
somente admitir que, é igualmente provável encontrá-lo por toda parte, dentro
do intervalo (uma distribuição uniforme ou retangular).
Logo é o ponto médio do intervalo, onde:
, cuja variância associada é dada por
Se a diferença entre os limites , é representada por , ou seja, os
limites são simétricos, então a equação para variância será
 
20
 
Exemplo1.5.5
Um manual estabelece que o valor do coeficiente linear de expansão térmica
de um bloco padrão de aço é determinado por e que o
"erro'' neste valor não deve exceder . Baseado nesta informação
limitada, é razoável assumir que o
coeficiente de expansão térmica pertença ao intervalo: 
até , com probabilidade 1. A incerteza padrão do coeficiente de
expansão térmica é dado por
Caso 3
Os limites superiores e inferiores para uma grandeza de entrada 
podem não ser simétricos, ou seja, se o limite inferior é escrito
como e o limite superior como , então . Neste
caso, não é o centro do intervalo e a distribuição de probabilidade
de não pode ser uniforme. Entretanto, pode não existir informação suficiente 
para escolher uma distribuição apropriada e diferentes modelos conduzirão
para diferentes expressões para a variância.
Na ausência de tais informações, uma simples aproximação é
21
que corresponde a variância da distribuição retangular com
comprimento .
 
Exemplo 1.5.6
Caso o exemplo anterior referente ao coeficiente de expansão térmica
especifique tal que o menor valor possível
seja e que o maior valor possível seja de .
Neste caso, e .
Logo, a incerteza padrão é determinada por
 
Exemplo 1.5.7
 Voltando ao Exemplo 1.3.2 da calibração da massa padrão, vamos estimar as
incertezas padrão do Tipo B.
Símbolo Fonte de Incerteza Limites Distribuição Incerteza
Massa Padrão 30 mg Normal 15 mg
Deriva (drift) massa
padrão 15 mg Retangular 8,66 mg
Linearidade do
comparador 10 mg Retangular 5,77 mg
Ab Efeito do ar 10 mg Retangular 5,77 mg
 
Exemplo 1.5.8
Voltando ao exemplo 1.3.3
A resolução do paquímetro segue uma distribuição retangular com base dada
pela própria resolução que é de 0,01 mm. Assim, a incerteza devido a
resolução é 
 
22
Caso 4
Nos casos acima não temos informação sobre os valor da grandeza , apenas
que ela se encontra dentro dos limites especicados. Por isso, assumimos que
os valores da grandeza são equiprováveis dentro destes limites, e que tem
probabilidade zero de estar fora destes limites. Muitas vezes é mais realista
assumirmos que valores perto dos limites especificados são menos prováveis
do que valores próximos ao centro. Neste caso, é razoável trocarmos a
distribuição triangular. Assumindo uma distribuição triangular para a
grandeza , obtemos como média com incerteza
associada .
 
 
Assim,
2.6 - INCERTEZA PADRÃO COMBINADA
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 1.6 - INCERTEZA PADRÃO COMBINADA
23
Quando a incerteza do resultado do mensurado é obtida pela combinação
das incertezas padrão das estimativas de entrada , esta incerteza
combinada da estimativa é representada por e denominada de
incerteza padrão combinada.
As estimativas de entrada , podem ser classificadas como 
grandezas:
 Estatisticamente independentes ou não correlacionadas;
 Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.
 
Grandezas de entrada não correlacionadas
 
Para as grandezas estatisticamente independentes, consideramos as séries
de medições que foram realizadas com diferentes sistemas de medição. Neste
caso, a incerteza padrão combinada é a raiz quadrada positiva da
variância combinada.
A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso não
correlacionado é apresentada por
em que é a incerteza padrão associada com a grandeza de entrada X . As
derivadas parciais ( ) calculadas no ponto são denominadas
coeficientes de sensibilidade, pois descrevem como a estimativa de y varia com
pequenas mudanças nos valores das estimativas das grandezas de
entrada .
 
 
Exemplo 1.6.1: 
Voltando ao Exemplo 1.3.2. Na calibração da massa padrão, obtemos a 
seguinte incerteza combinada
24
 
 
Exemplo 1.6.1
Voltando ao Exemplo 1.3.3, obtemos:
Admitimos que e são constantes isentas de incerteza ou com incertezas
desprezíveis, somente a variável é considerada para cálculo da incerteza.
Primeiramente calcularemos o coeficiente de sensibilidade da seguinte forma
Assim, a incerteza combinada da área é calculada da seguinte forma
um segundo modo de expressarmos a incerteza é como incerteza combinada
relativa e calculamos da seguinte forma
Assim a incerteza relativa é expressa como
Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa
25
À partir da incerteza combinada relativa, obtemos a incerteza combinada da
Área na forma:
 
Grandezas de entrada correlacionadas
 
Para as grandezas estatisticamente dependentes, consideramos as séries de
medições que foram realizadas com os mesmos sistemas de medição, ou
seja, consideremos o seguinte modelo matemático
Neste caso, a covariância estimada deve ser considerada como uma
contribuição adicional para a incerteza. A expressão para se determinar esta
incerteza padrão combinada no caso correlacionado é apresentada por
em que, é a incerteza correlacionada, associada as
grandezas de entrada e .
Assim, dividindo e multiplicando a equação (1.6.1) por em
(II)obtemos
26
em que é o grau de correlação entre e com e
tomando Logo, substituindo a equação (1.6.3) na equação
(1.6.2), obtemos
Se as variáveis e são independentes, temos que e a equação
(1.6.4) se reduz a equação (1.6.1). Tomaremos o caso extremo em
que obtemos equação aproximada da incerteza de medição no
caso correlacionado da seguinte forma
 
Exemplo 1.6.2
Voltando ao exemplo 1.3.4. Então, obtemos a expressão (1.6.5) da seguinte 
forma
Da expressão do exemplo 1.3.4, obtemos os coeficientes de sensibilidade:
Assim, obtemos a expressão (*) da seguinte forma
Daí, obtemos a seguinte equação
27
Substituindo os valores, temos
- ANÁLISE E
 1.7 - INCERTEZA EXPANDIDA
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 1.7 - INCERTEZA EXPANDIDA
Embora a incerteza combinada possa ser universalmente usada para
expressar a incerteza de um resultado de medição (devido a necessidade de
algumas indústrias e aplicações comerciais, bem como requisitos em áreas de
saúde e segurança) é frequentemente necessário apresentar uma medida de
incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medição. Neste caso, a
incerteza compreende uma fração da distribuição dos valores, que podem ser
razoavelmente atribuídos para um mensurando, denominada de Incerteza
Expandida U. Este requisito foi reconhecido pelo Working Group e
Recomendações do CIPM, INC (1981).
A incerteza expandida U é obtida pela multiplicação da incerteza padrão
combinada por um fator k.
O valor do fator k é escolhido com base no nível de confiança requerido para o
intervalo. Em geral, k é usado entre 2 e 3. Portanto, para aplicações
especiais, k poderá ser determinado conforme o nível de confiança requerido,
de acordo com a distribuição normal ou t-Student.
A Namas (NIS 3003 , 1995) recomenda que o fator k seja igual a 2 para
calcular a incerteza expandida. Este valor corresponde a aproximadamente
95% de confiança. Entretanto, se as contribuições para a incerteza relativa a
repetitividade for grande comparadas com as outras distribuições e o número
de repetições for pequeno, existe uma possibilidade de que a distribuição de
probabilidade normal não seja adequada. Neste caso, o fator k=2 nos garante
um nível de confiança menor que 95%. Aqui, devemos utilizar a distribuição t-
Student para encontrar o valor do fator k que garante 95%.
Regra: Se a incerteza do Tipo A for menor que metade da incerteza combinada,
vamos utilizar o fator Casocontrário, devemos utilizar a distribuição t-
Student para obtermos o valor de k que nos garante um intervalo
com 95% confiança. A norma ISO GUM [ver. 2008] recomenda a utilização da
equação de Welch-Satterwaite para calcular o grau de liberdade, baseado nos
28
graus de liberdade de cada fonte de incerteza. A fórmula para tal cálculo é dada
por
em que , representa os graus de liberdade do fator de
incerteza i e representa os graus de liberdade do Tipo A. Para contribuições
da incerteza Tipo A, consideramos como graus de liberdade o número de
leitura menos 1 vez o número de pontos de calibração. Para os graus de
liberdade referente a contribuições da incerteza Tipo B, vamos considerar 
igual a infinito.
 
T 1.8 - EXPRESSÃO DO RESULTADO DA MEDIÇÃO
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 1.8 - EXPRESSÃO DO RESULTADO DA MEDIÇÃO
Nesta seção, discutimos as formas de apresentação do resultado da medição.
Para facilitar ao usuário, começamos arrendondando o valor da incerteza
expandida conforme a regra abaixo. 
 
Regras de Arredondamento de Valores
 
Quando desejamos arredondar um número para que este seja expresso com
uma certa quantidade de dígitos significativos, devemos aplicar regras
convencionais de arredondamento.
Regra 1:
Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for inferior
a 5, apenas desprezamos os demais dígitos à direita. Exemplo: 3,14159265
para 3,14.
Regra 2:
Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for maior
que 5, adicionamos uma unidade ao último dígito representado e desprezamos
os demais dígitos à direita. Exemplo: 3,14159265 para 3,1416.
29
Regra 3:
Se o algarismo à direita que se pretende representar for igual a 5, então o
arredondamento deve ser tal que o último dígito representado depois do
arredondamento deve ser par. Exemplo: 3,14159265 para 3,142.
Números de algarismo na incerteza de medição
Não existe uma regra bem definida para o número de algarismos que devem
ser indicados para a incerteza de medição. Em geral, utilizamos 2 algarismos
significativos, além dos zeros à esquerda. Em alguns casos, pode ser
necessário utilizar mais dígitos significativos para evitar erros de
arredondamento nos cálculos subsequentes. Em outros casos, não é possível
atribuir mais de 1 algarismo para incerteza de medição.
Resumo:
 Incerteza de medição deve ser apresentada com 2 algarismos quando o
primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2.
 Incerteza de medição pode ser apresentada com 1 algarismo quando o
primeiro algarismo da incerteza for 3 ou maior.
 Incerteza de medição pode ser representada com 2 algarismos em qualquer
caso.
De acordo com as regras acima, apresentamos os exemplos:
Incorreto Correto 
0,144 (mm) 0,14 (mm) 
1,026 (s) 1 (s) 
3,49 (mm) 3,5 (mm) ou 3 (mm)
3,51 (mm) 3,5 (mm) ou 4 (mm)
0,00514 (mm) 0,005 (mm) ou 0,005 (mm)
 
Exemplo 1.8.1
Voltando ao exemplo 1.3.2
Neste caso, o resultado da medição é expresso na forma
ou seja
30
 
Exemplo 1.8.2
Voltando ao exemplo 1.3.3
Neste caso, o resultado da medição é expresso na forma
Quando relatamos o resultado de uma medição devemos:
a) Fornecer uma descrição completa de como o mensurando Y é definido;
b) Expressar o resultado da medição: Y=y +/- U e fornecer as unidades de y e 
U;
c) Incluir a incerteza relativa expandida U / |y|, com y 0, quando apropriado;
d) Fornecer o valor de k utilizado para obter U;
e) Fornecer o nível de confiança aproximado associado com o intervalo y +/- U 
e explicar como foi obtido;
 
1.9 - TESTE DE VALOR EXTREMO (GRUBBS)
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1.9 - TESTE DE VALOR EXTREMO (GRUBBS)
Este teste é desenvolvido para verificar a presença de valores extremos em
observações amostrais. Valores extremos podem ser considerados como
manifestações da variabilidade aleatória inerente aos dados, ou apenas um
erro no cálculo durante o recolhimento dos dados e até mesmo uma anotação
precipitada pelo operador.
Existem inúmeros critérios para testar valores extremos. Em todos eles,
desenvolvemos o cálculo numérico amostral (estatística) e comparamos com
um valor crítico baseado na teoria de amostras aleatórias, para decidirmos se
existe ou não uma observação considerada valor extremo.
No teste de Grubbs, usamos a seguinte estatística
em que:
31
 : é uma observação da amostra ;
 : é a média amostral;
 : é o desvio padrão amostral.
Esta estatística testa as seguintes hipóteses
Rejeitamos a hipótese , com nível de significância , se . No qual é
um valor crítico baseado na distribuição de Z e encontra-se na tabela (ver F. E.
Grubbs (1969)) de valores de unicaudais. Na Tabela 1.9.1 , encontramos
alguns valores críticos para = 10%, 5%, 2,5%, 1% e 0,5%.
n 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
3 1,148 1,153 1,154 1,155 1,155
4 1,425 1,462 1,481 1,492 1,496
5 1,602 1,671 1,715 1,749 1,764
6 1,729 1,822 1,887 1,944 1,973
7 1,828 1,938 2,02 2,097 2,139
8 1,909 2,032 2,127 2,221 2,274
9 1,977 2,11 2,215 2,323 2,387
10 2,036 2,176 2,29 2,41 2,482
11 2,088 2,234 2,355 2,484 2,564
12 2,134 2,285 2,412 2,549 2,636
13 2,176 2,331 2,462 2,607 2,699
14 2,213 2,372 2,507 2,658 2,755
15 2,248 2,409 2,548 2,705 2,806
16 2,279 2,443 2,586 2,747 2,852
17 2,309 2,475 2,62 2,785 2,894
18 2,336 2,504 2,652 2,821 2,932
19 2,361 2,531 2,681 2,853 2,968
20 2,385 2,557 2,708 2,884 3,001
32
21 2,408 2,58 2,734 2,912 3,031
22 2,429 2,603 2,758 2,939 3,06
23 2,449 2,624 2,78 2,963 3,087
24 2,468 2,644 2,802 2,987 3,112
25 2,486 2,663 2,822 3,009 3,135
26 2,503 2,681 2,841 3,029 3,158
27 2,52 2,698 2,859 3,049 3,179
28 2,536 2,714 2,876 3,068 3,199
29 2,551 2,73 2,893 3,086 3,218
30 2,565 2,745 2,908 3,103 3,236
31 2,579 2,76 2,924 3,119 3,253
32 2,592 2,773 2,938 3,135 3,27
33 2,605 2,787 2,952 3,15 3,286
34 2,618 2,799 2,965 3,164 3,301
35 2,63 2,812 2,978 3,178 3,316
36 2,641 2,824 2,991 3,191 3,33
37 2,652 2,835 3,003 3,204 3,343
38 2,663 2,846 3,014 3,216 3,356
39 2,674 2,857 3,025 3,228 3,369
40 2,684 2,868 3,036 3,239 3,381
50 2,772 2,957 3,128 3,337 3,482
60 2,841 3,027 3,2 3,411 3,56
70 2,898 3,084 3,258 3,471 3,622
80 2,946 3,132 3,306 3,521 3,673
90 2,987 3,173 3,348 3,563 3,716
100 3,024 3,21 3,384 3,6 3,754
110 3,056 3,242 3,416 3,633 3,787
120 3,086 3,271 3,445 3,662 3,817
33
130 3,112 3,297 3,471 3,688 3,843
140 3,136 3,321 3,495 3,712 3,867
Tabela 1.9.1: Tabela do teste de Grubbs.
 
Exemplo 1.9.1:
Considere as seguintes medições:
 
Medidas
11,89896
11,9596
11,89856
11,91408
12,04252
12,1531
11,94553
11,8682
11,85949
12,13373
12,6
Vamos calcular a média e o desvio padrão:
Com isso, vamos calcular para o ponto 11 o teste de Grubbs, usando a
seguinte estatística
34
Como então, essa medida é um valor extremo (outlier).
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
 
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode
consultar:
 Para entender como executar essa função do Software Action, você
pode consultar o manual do usuário.
Exercício 1.9.1:
Considere as seguintes medições na tabela 1.9.2 e calcule a média, desvio
padrão e o teste de Grubbs:
 
Medidas
9,988031
10,02081
9,997529
10,06985
9,995944
10,1367
9,936079
35
9,880081
9,99015
10,04604
11
Tabela 1.9.2: Medições.
ER 1.10 - COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE MEDIÇÃO
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 1.10 - COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Vamos apresentar uma técnica para comparar dois sistemas de medição. Para
ilustrar, vamos considerar um exemplo.
Exemplo 1.10.1:
O diâmetro de um anel padrão pode ser medido por dois tipos de sistemas de
medição. Para comparar estes sistemas de medição, um anel padrão foi
medido 5 vezes por cada sistema de medição utilizando o mesmo operador. Os
resultados estão abaixo.
 SM1 SM2
Média 15,601 mm 15,603 mm
Incerteza Expandida 0,001 mm 0,0015 mm
Etapa 1:
Calcular a Estatística
em que
 MSM1: representa a média do sistema de medição 1;
 MSM2: representa a média do sistema de medição 2;
 USM1: representa a incerteza expandida do sistema de medição 1;
 USM2: representa a incerteza expandida do sistema de medição 2.
36
Com isso, temos que
Etapa 2:
 Se EN ≤ 1, os dois sistemas de medição são compatíveis;
 Se EN > 1, os dois sistemas de medição não são compatíveis, isto é, os 
sistemas de medição apresentam diferenças significativas.
Como, no exemplo, EN=1,109 é maior que 1, concluímos que existe uma
diferença significativa entre os dois sistemas de medição.
Exercício:
Durante o processo de acreditação do laboratório de ensaio de potência efetiva
líquida do motor, o INMETRO exigiu um estudo de comparação inter
laboratorial. Com o motor em marcha lenta, foi realizado um ensaio de potência
pelo laboratório participante e um laboratório de referência. Com os dados
apresentados na tabela abaixo, calcule o erro normalizado e faça as devidas
conclusões.
 Lab Ref Laboratório
Média 11,601 12,613
Incerteza Expandida 0,3 0,4
 
PRETAÇÃO DO CERTIFICADO DE CALIBRAÇÃO
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2 - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DO CERTIFICADO DE CALIBRAÇÃO
A Comprovação Metrológica geralmente inclui calibração ou verificação,
qualquer ajuste ou reparo necessário, recalibração, comparação com os
requisitos metrológicos para o uso pretendido do equipamento, assim como
qualquer etiqueta ou lacre necessários. Para alcançarmos ela, necessitamos
que a adequação do equipamento de medição para seu uso tenha sido
demonstrada e documentada. Em resumo, definimos a comprovação
metrológica como sendo o conjunto de operações necessária para assegurar
que um equipamento de medição atenda aos requisitos do seu uso pretendido. 
Esta seção foi elaborada com base na norma ABNT NBR ISO 10012:2004.
Os requisitos para o uso pretendido incluem:
37
 Amplitude;
 Resolução;
 Erro Máximo Permissível.
Apresentamos um diagrama dos processos envolvidos na comprovação
metrológica na Figura 2.1
 
38
Figura 2.1: Processo de Comprovação Metrológica para equipamentos de
medição.
Requisitos metrológicos são derivados de requisitos para o produto. Estes
requisitos são necessários tanto para o equipamento de medição, quanto para
os processos de medição. Estes também podem ser expressos como erros
máximos permissíveis, incerteza permissível, faixa, estabilidade, resolução,
condições ambientais ou habilidades do operador.
39
A orientação é que temos que especificar os processos de medição e o
equipamento de medição que estão sujeitos às provisões da Norma ABNT
NBR ISO 10012:2004. Com a decisão sobre o escopo e a extensão do sistema
de gestão da medição, devemos levar em consideração os riscos e as
consequências de falhas do cumprimento dos requisitos metrológicos.
Nota: o sistema de gestão de medição consiste em:
 No controle de processos de medições indicados;
 Comprovação metrológica de equipamento de medição e dos processos de 
suporte necessários (conforme Figura 2.1).
A recalibração de um equipamento de medição não é necessária se o
equipamento já estiver em uma situação de calibração válida. O procedimento
de comprovação metrológica pode incluir métodos para verificarmos que a
incerteza de medição e/ou erros de equipamento de medição estão dentro dos
limites permissíveis especificados nos requisitos metrológicos. As informações
pertinentes à ela deve estar prontamente disponível para o operador, incluindo
quaisquer limitações ou requisitos especiais.
 
Função Metrológica
 
A função metrológica deve ser definida pela organização. A Alta Direção da
organização deve assegurar a disponibilidade dos recursos necessários para
estabelecer e manter a função metrológica. A função metrológica pode ser um
departamento único ou estar distribuída em toda a organização.
A gestão da função metrológica deve estabelecer, documentar e manter o
sistema de gestão de medição e continuamente melhorar a sua eficiência.
 
Intervalos de Comprovação Metrológica
 
A orientação para os métodos usados para a determinação ou mudança dos
intervalos entre comprovações metrológicas é de que devemos descrever em
procedimentos documentados. Devemos analisar criticamente e ajustarmos
quando necessário para assegurar a contínua conformidade dos requisitos
metrológicos especificados. Para determinação dos intervalos de comprovação
metrológicas podemos usar dados obtidos de histórias de calibração,
comprovação metrológica e avanços de tecnologia e conhecimento. Ao
usarmos registros utilizando técnicas como Controle Estatístico de Processo
(CEP), elas podem ser úteis para a determinação da necessidade ou não de
alterar os intervalos de comprovação metrológica.
Segundo (OIML D10), o intervalo de calibração pode ser igual ao intervalo de
comprovação metrológica.
40
Outro ponto importante é que cada vez que reparamos, ajustamos ou
modificamos um equipamento de medição não conforme o intervalo de
comprovação metrológica deve ser analisado criticamente.
 
Controle de ajustes de equipamento
 
Para o controle de ajustes de equipamento devemos ter alguns cuidados como:
 Acessos aos meios de ajustes e dispositivos sobre equipamentos de medição 
comprovados, cuja posição afeta o desempenho, devemos selá-los ou de alguma forma 
protegê-los afim de prevenir mudanças não autorizadas;
 Devemos projetar ou implementar selos ou proteções de tal forma que mudanças 
não autorizadas sejam detectadas;
 Devemos incluir ações a serem tomadas quando selos ou proteções são violados, 
danificados, contornados ou faltando.
Um ponto importante é que não aplicamos o requisito para a selagem para
meios ou dispositivos de ajustes que são intencionalmente posicionadas pelo
usuário sem a necessidade de referências externas, por exemplo os ajustes de
zero. É importante também prevenirmos de alterações não autorizadas em
programas de computadores e nos procedimentos da organização.
As decisões sobre o selamento, os controles ou ajustes dos materiais de
selagem e dos selos, tais como etiquetas, soldas, fios, tinta, normalmente são
deixadas para a função metrológica e que as implementações de um programa
de selagem sejam documentadas pela mesma. Mas vale lembrar que, nem
todos os equipamentos de medição têm a possibilidade de serem selados.
 
Registros do processo de comprovação 
metrológica
 
Um processo importante dentro da comprovação metrológica são os registros
do processo de comprovação metrológica, eles devem ser datados e
aprovados por uma pessoa autorizada para atestar a correção dos resultados,
como apropriado e os mesmos devem ser mantidos e estar disponíveis.
O tempo mínimo de registros depende de muitos fatores, incluindo os requisitos
do cliente, requisitos estatutários ou regulamentares e responsabilidade do
fabricante. Os registros relacionados com padrões de medição podem precisar
ser mantidos indefinidamente. Devemos demonstrar nosregistros de
comprovação metrológica se cada item do equipamento satisfaz os requisitos
metrológicos especificados e neles devemos incluir, quando necessário a:
41
 Descrição e identificação única do fabricante do equipamento, tipo, 
número de série etc;
 Data na qual a comprovação metrológica foi completada;
 Resultado da comprovação metrológica;
 Intervalo fixado para a comprovação metrológica;
 Identificação do procedimento de comprovação metrológica;
 Erros máximos permissíveis definidos;
 Condições ambientais pertinentes e declaração sobre quaisquer 
correções necessárias;
 Incertezas envolvidas na calibração do equipamento;
 Detalhes de qualquer manutenção, tais como ajustes, reparos ou 
modificações realizadas;
 Quaisquer limitações de uso;
 Identificação das pessoas que realizam a comprovação metrológica;
 Identificação das pessoas responsáveis pela correção da informação 
registrada;
 Identificação única (como número da série) de qualquer relatório ou 
certificado de calibração e outros documentos pertinentes;
 Evidência da rastreabilidade dos resultados de calibração;
 Requisitos metrológicos para o uso pretendido;
 Resultado da calibração após e onde requerido antes de qualquer 
ajuste, modificação ou reparo.
A orientação segundo ABNT NBR 10012:2004 é que os resultados de
calibração sejam registrados de forma que a rastreabilidade de todas medições
possa ser demonstrada e de forma que os resultados das calibrações possam
ser reproduzidos sob condições próximas das condições originais. Algumas
vezes, o resultado da verificação é incluído no relatório ou certificado de
calibração onde é declarado se o equipamento está em conformidade (ou falha
de conformidade) com os requisitos especificados. Os requisitos podem ser
manuscritos, ou datilografados, ou microfilmados, ou meio eletrônico, ou meio
magnético, ou em outro meio de informação.
O erro máximo permissível pode ser determinado pela função metrológica ou
por referência às especificações publicadas do fabricante do equipamento de
medição. É importante saber que a função metrológica deve assegurar que
somente pessoas autorizadas sejam permitidos para gerar, emendar, emitir ou
apagar registros.
 
Análise do Certificado de Calibração
 
42
Como dissemos, a função metrológica deve definir uma estratégia para avaliar
cada equipamento de medição, que é um requisito obrigatório, segundo item
5.5.2 da norma ISO/IEC 17025 [9]. Uma das formas mais utilizadas consiste
em definir o erro máximo permissível (EMP), através da tolerância de produto
ou especificações do fabricante, e compará-la com o resultado da calibração do
equipamento. Para isto, tomamos
O mais utilizado é . Assim
 
Critério:
para todo ponto de calibração ( representa o ponto de calibração e o número
de pontos de calibração).
A comprovação metrológica no caso em que o EMP é função das leituras é
discutido abaixo.
43
Critério:
, para todo ponto de calibração ( representa o ponto de
calibração).
 
Exemplo 2.1.1
Suponha que temos uma tolerância de 1 g para as massas padrão. Após a
calibração das massas, obtivemos as seguintes informações do certificado de
calibração. Essas informações estão apresentadas na Tabela 2.1.1
44
Ponto (g) Tendência (g) U (g) k
1000 0,009 0,015 2
1000 0,01 0,015 2
1000 0,016 0,015 2
1000 0,01 0,015 2
5000 -0,014 0,075 2
5000 -0,069 0,075 2
5000 -0,043 0,075 2
5000 0,025 0,075 2
Tabela 2.1.1: Certificado de Calibração.
Considerando J=10, temos que
A Tabela 2.1.2 apresenta o critério de aprovação para as oito
massas padrão. Como podemos ver, duas massas de 5 kg foram reprovadas.
Com isso, o certificado de calibração cujo os valores foram apresentados na
Tabela 2.1.1, não está aprovado.
 
Ponto (g) |T|+U Critério
1000 0,024 Aprovado
1000 0,025 Aprovado
1000 0,031 Aprovado
1000 0,025 Aprovado
5000 0,089 Aprovado
5000 0,144 Reprovado
5000 0,118 Reprovado
5000 0,1 Aprovado
Tabela 2.1.2: Critério de Aprovação.
Exemplo 2.1.2
45
Vamos aplicar a comprovação metrológica em uma bureta graduada. Suponha
que a bureta controla um processo de tolerância de 2 mL para as medidas de
volume. Na Figura 2.1.3 apresentamos o certificado de calibração da bureta
graduada.
46
47
Valor
nominal Média
Correção
|C|
Incerteza
Expandida
Fator de
abrangência
(k)
Graus de
liberdade
efetivo (veff)
5 4,9077 0,0923 0,002 2,37 10
15 14,8280 0,1720 0,003 2,20 15
25 24,9328 0,0678 0,003 2,06 44
Tabela 2.1.3: Tabela resumida do certificado de calibração.
Considerando J=10, temos que
A Tabela 2.1.3 apresenta o critério de aprovação para as três
medições padrões de volume. Como podemos ver, todas as faixas de volume
estão aprovadas.
 
Ponto (mL) |C|+U Critério
5 0,0943 Aprovado
15 0,175 Aprovado
25 0,0708 Aprovado
Tabela 2.1.3: Critério de Aprovação.
 
TUR (Test Uncertainty Ratio)
 
O processo de calibração envolve uma comparação entre o Equipamento de
Medição e um padrão, tendo melhores requisitos metrológicos. A comparação
entre a exatidão da unidade sob teste e a exatidão do padrão é conhecia como
razão entre as exatidões de teste (TAR). No entanto, esta razão não considera
outras fontes potenciais de erro do processo de calibração. A comparação entre
a exatidão da unidade sob teste e a incerteza de calibração estimada é
conhecida como uma relação entre as incertezas de teste (TUR). Esta relação
é mais confiável, porque considera as fontes de erro envolvidas no processo de
calibração que o TAR não considera.
A relação entre as incertezas de teste (TUR) é uma medida da capacidade de
um determinado instrumento e/ou processo de medição atender uma
especificação de produto (ou processo). Desta forma, TUR é a razão entre a
tolerância e/ou especificação do produto e a incerteza presente no teste desta
48
especificação ou tolerância. Historicamente, uma regra muito utilizada é a de
que o TUR deve ser de pelo menos 10:1. Quanto maior a razão, melhor o
desempenho do teste. Atualmente, uma proporção de 4:1 ou mesmo 3:1 são
considerados aceitáveis em alguns casos. Isto é devido principalmente ao
melhor desempenho dos equipamentos de fabricação. Em muitos casos, não
temos um equipamento com uma incerteza pequena suficiente para um TUR
10:1, ou é muito caro para a aplicação.
Há duas principais aplicações para o TUR:
 O primeiro é na calibração de instrumentos de medição e equipamentos;
 O segundo é na inspeção de componentes fabricados.
De forma geral, temos a seguinte equação para o TUR:
À partir disto, notamos que a razão TUR compara a variação admissível para
o mensurando (o numerador) com a variabilidade associada com a medição do
mensurando (o denominador).
49
Figura 2.1.3: Relação entre a zona de especificação e a zona de
conformidade.
A figura (2.1.3), nos mostra a relação entre a zona de especificação e a zona
de conformidade. Se o "verdadeiro valor" do mensurando está dentro da zona
de especificação, temos que a especificação é satisfeita, caso contrário,
o mensurando está fora de especificação. No entanto, nunca
podemos conhecer o "verdadeiro valor" do mensurando conforme citamos no
módulo 2. Afim de indicar se omensurando está ou não fora da especificação,
temos que conhecer a incerteza no processo de medição. Isso é mostrado na
parte inferior da linha horizontal da figura. Se o mensurando está na zona
de conformidade, temos confiança de que o verdadeiro valor está dentro
da especificação. Da mesma forma, se o mensurando está na zona de não
conformidade, temos confiança de que o verdadeiro valorestá fora
de especificação. Para a região de incerteza mostrado entre conformidade
e não conformidade, não temos confiançasuficiente para determinar se a peça
ou produto está conforme ou não. 
50
Figura 2.1.4: Influência do TUR no resultado final de uma calibração.
Como visto anteriormente, devido ao melhor desempenho dos equipamentos,
consideramos TUR ≥ 5 como uma relação aceitável na escolha de um
equipamento, e um TUR ≥ 3 na escolha do padrão de calibração, o que
assegura e permite que a incerteza do padrão não interfira significativamente
na comprovação metrológica. A Figura (2.1.4) ilustra o comprometimento da
incerteza do padrão em relação ao erro máximo permissível, em função de
diferentes TUR adotados.33.1 - APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE
INCERTEZA EM CALIBRAÇÕES
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Início / Incerteza de Medição / 
3 - APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE INCERTEZA EM CALIBRAÇÕES
Apresentaremos nos próximos módulos, algumas aplicações da Incerteza de
Medição para calibrações , para exemplificar o procedimento dos cálculos e os
passos iniciais antes de iniciarmos o cálculo da incerteza de medição.-
CÁLCULO DE INCERTEZA DE UM RELÓGIO
COMPARADOR
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Início / Incerteza de Medição / Aplicações do Cálculo de Incerteza em Calibrações /
 3.1 - CÁLCULO DE INCERTEZA DE UM RELÓGIO COMPARADOR
Considere o processo de calibração de um relógio de resolução de 0,01 mm. 
Esta calibração é realizada por comparação utilizando-se um calibrador de
relógio. O calibrador apresenta uma resolução 0,001mm com incerteza
expandida de 0,001mm com k=2. Os resultados são apresentados na Tabela
3.1.1
51
Ajusta
do
Leituras (mm) Média Correção
Desvio
Padrão
Desvio
Padrão
da
Média
Avanç
o
Retor
no
Avanç
o
Retor
no
Avanç
o
Retor
no
0,1 0,101 0,098 0,102 0,101 0,102 0,102 0,101 0,001 0,0015492
0,0006
33
0,5 0,503 0,502 0,504 0,501 0,504 0,502 0,502667
0,00266
7
0,00121
11
0,0004
94
0,7 0,7 0,695 0,702 0,697 0,703 0,698 0,699167
-
0,00083
0,00306
05
0,0012
49
1 1,002 1 1,001 1,001 0,996 0,998 0,999667
-
0,00033
0,00225
09
0,0009
19
Tabela 3.1.1: Tabela de dados.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você
pode consultar o manual do usuário.
 
Método de Medição
A calibração corresponde a diferença entre as medições do relógio e do
calibrador
onde
52
 : representa a leitura ajustada no relógio comparador;
 : representa a leitura obtida pelo calibrador.
 
Modelo Matemático
Os desvios obtidos apresentam as seguintes fontes de incerteza
Então
onde,
 Δl: representa a diferença observada entre a medição do relógio e a medição do 
calibrador repetitividade;
 Res(Rel): resolução do relógio;
 Res(Cal): resolução do calibrador;
 ls: representa a contribuição do padrão;
 Histerese: máxima diferença entre a medição no avanço e no retorno.
 
Incerteza Combinada
Através da equação de propagação da incerteza, temos que a expressão da 
incerteza combinada é dada por
 
Cálculo da Incerteza Padrão das Grandezas de 
Entrada
A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.
 
Repetitividade ( )
Incerteza do Tipo A.
Vamos tomar como exemplo o ponto 0,5 mm. Assim, temos
53
em que
 : representa a incerteza do Tipo A;
 : representa o desvio padrão das leituras no ponto de calibração ;
 : representa o número de leituras no ponto de calibração .
 
Incerteza Herdada do Padrão 
Distribuição: Normal.
 
Resolução do Calibrador 
Distribuição: Retangular.
 
Resolução do Relógio 
Distribuição: Retangular.
 
Cálculo da Histerese
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Referência Média do Avanço Média do Retorno |Histerese|
0,1 0,101667 0,100333 0,0013333
54
0,5 0,503667 0,501667 0,002
0,7 0,701667 0,696667 0,005
1 0,999667 0,999667 0
Para o ponto de calibração de 0,5 mm temos:
 
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você
pode consultar o manual do usuário.
 
 
 
 
Cálculo da Incerteza Combinada
 
55
Graus de Liberdade Efetivo
Através da tabela t-Student, encontramos 
 
Incerteza Expandida
O resumo do cálculo de incerteza de medição para o relógio comparador, está
na tabela a seguir.
 
Ponto de 0,5 mm
Fonte Estimativa
Tip
o
Distribuiç
ão Divisor Incerteza GL
Repetitivid
ade
0,0004944
13 A Normal 1
0,0004944
13 5
Resolução
(Rel) 0,01 B
Retangula
r
3,4641016
15
0,0028867
51 999999
Resolução
(Cal) 0,001 B
Retangula
r
3,4641016
15
0,0002886
75 999999
Padrão (ls) 0,001 B Normal 2 0,0005 999999
Histerese 0,002 B Retangular
3,4641016
15
0,0005773
5 999999
Incerteza Combinada 0,003040468
Graus de Liberdade Efetivo 7151,07
Fator de Abrangência 1,96
Incerteza Expandida 0,00596
 
O relógio de medição é utilizado para medir, com uma tolerância de 0,2mm.
Faremos agora, um estudo da comprovação metrológica.
Considerando , temos que
56
Portanto, para o ponto de 0,5 mm, foi aprovada.CULO DE INCERTEZ
A DE UM MICRÔMETRO EXTERNO
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3.2 - CÁLCULO DE INCERTEZA DE UM MICRÔMETRO EXTERNO
Considere o processo de calibração de um micrômetro externo digital de
resolução de 0,001mm. Esta calibração é realizada por comparação utilizando-
se um jogo de blocos padrão. O resultados são apresentados na Tabela 3.2.1.
Valor de
Referência Leituras Média Tendência
25 25,001 25 25 25,0003 0,000333
27,5 27,501 27,501 27,5 27,5007 0,000667
30,1 30,101 30,1 30,1 30,1003 0,000333
32,7 32,7 32,7 32,7 32,7 0
35,3 35,3 35,3 35,3 35,3 0
37,9 37,899 37,9 37,9 37,8997 -0,00033
40 39,999 39,999 40 39,9993 -0,00067
42,6 42,6 42,599 42,599 42,5993 -0,00067
45,2 45,198 45,199 45,199 45,1987 -0,00133
47,8 47,798 47,799 47,799 47,7987 -0,00133
50 49,999 49,998 49,998 49,9983 -0,00167
Tabela 3.2.1: Dados da medição.
Método de Medição
A leitura de um bloco padrão corresponde a diferença entre seus comprimentos
57
onde,
 l: representa a leitura obtida pelo micrômetro;
 lS: representa o comprimento do bloco padrão para uma temperatura de 20ºC.
A correção devido a variação de temperatura é dada por
onde,
 e : correspondem aos coeficientes de expansão térmica do micrômetro 
(escala) e do bloco padrão utilizado na medição, respectivamente;
 e : correspondem a diferença de temperatura do micrômetro e o bloco 
padrão, em relação a , respectivamente.
 
Modelo Matemático
A leitura, do comprimento do bloco, obtida no micrômetro é dada por
Mutiplicando e dividindo por ( ), obtemos
Simplificando a equação acima em relação aos termos desprezíveis, podemos
aproximar o valor do bloco padrão, por
Ao denotarmos a diferença entre as temperaturas do micrômetro e do bloco
padrão, por
58
e a diferença entre os coeficientes de expansão térmica do micrômetro e do
bloco padrão, por
obtemos que
Os desvios obtidos apresentam as seguintes fontes de incerteza
em que,
Δl : representa a diferença observada no comprimento do bloco padrão 
(repetitividade); medida do micrômetro - medida do bloco padrão;
Res : representa a resolução do micrômetro;
Ep : representa o paralelismo do micrômetro.
Assim, a equação matemática do comprimento do bloco é:
 
Fontes de incerteza
 Resolução (Res): A resolução do micrômetro é de 0,001mm. Esta variável é 
considerada com média zero e limites de variação definido pela resolução do 
equipamento;
 Incerteza herdada do bloco padrão (lS): Esta variável tem média dada pelo 
valor do padrão com desvio padrão definido pela incerteza combinada, ambos declaradosno certificado de calibração;
 Paralelismo (Ep): O paralelismo entre as faces é considerada uma variável com 
média zero e limites de variação de (resultado obtido via um paralelo 
óptico);
 Correções de temperatura: Antes da calibração, tomamos cuidado para 
assegurar que o jogo de bloco padrão e o micrômetro estejam à mesma temperatura 
ambiente da sala de medição;
 
59
1. Diferença de temperatura entre o micrômetro e o bloco padrão ( ): diferença 
máxima de , com média zero;
2. Coeficiente de expansão térmico do bloco padrão ( ): média 
de com limite de ;
3. Diferença entre os coeficientes de expansão térmica ( ): média zero com 
limites ;
4. Diferença entre a temperatura do micrômetro e a temperatura de 
referência : limites de , onde foi observado a temperatura 
do micrômetro em .
Além disso, as fontes de incerteza são assumidas não
correlacionadas. Através da equação (3.2.1), leitura obtida no micrômetro para
o comprimento do bloco, observamos que o valor estimado para comprimento é
dado por
OBS: Esta equação é a estimativa da medição do micrômetro que é obtida
desconsiderando as variáveis que tem média zero.
 
Avaliação da Incerteza Combinada (uc(l))
 
Através da equação de propagação da incerteza, temos que
Onde os coeficientes de sensibilidade avaliados no ponto da média são dados
por:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
 Com isso, a expressão incerteza combinada é dada por
60
 
Cálculo da Incerteza Padrão das grandezas de 
entrada
 
A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.
 
Padrão de referência (lS)
 
Distribuição: Normal
Bloco Padrão Incerteza Expandida(mm)
Fator de
Abrangência
Incerteza
Combinada
25 0,00008 2 0,00004
27,5 0,00007 2 0,000035
30,1 0,00009 2 0,000045
32,7 0,00008 2 0,00004
35,3 0,00008 2 0,00004
37,9 0,00008 2 0,00004
40 0,00009 2 0,000045
42,6 0,00009 2 0,000045
45,2 0,00009 2 0,000045
47,8 0,00008 2 0,00004
50 0,00009 2 0,000045
Tabela 3.2.2: Cálculo da incerteza padrão.
 
Paralelismo (Ep)
Distribuição : Retangular
 
61
Resolução do micrômetro (Res)
Distribuição: Retangular
 
Diferença entre os coeficientes de expansão térmico ( )
Distribuição: Retangular
 
Diferença entre a temperatura do micrômetro e a 
temperatura de referência 
Foi registrado uma temperatura média de , resultando
em .
 
Diferença de temperatura entre o micrômetro e o 
bloco padrão ( )
Distribuição: Retangular
 
Coeficiente de expansão térmica ( )
Média de .
 
Cálculo da Incerteza do tipo A~(
Valor de
Ref. Leituras
Desvio
Padrão
Desvio Padrão da
Média
(Repetitividade)
25 25,001 25 25 0,00058 0,0003333
27,5 27,501 27,501 27,5 0,00058 0,0003333
30,1 30,101 30,1 30,1 0,00058 0,0003333
32,7 32,7 32,7 32,7 0 0
62
35,3 35,3 35,3 35,3 0 0
37,9 37,899 37,9 37,9 0,00058 0,0003333
40 39,999 39,999 40 0,00058 0,0003333
42,6 42,6 42,599 42,599 0,00058 0,0003333
45,2 45,198 45,199 45,199 0,00058 0,0003333
47,8 47,798 47,799 47,799 0,00058 0,0003333
50 49,999 49,998 49,998 0,00058 0,0003333
Tabela 3.2.3: Cálculo da incerteza tipo A.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
 
 Para entender como executar essa função do Software Action, você
pode consultar o manual do usuário.
 
 
Cálculo dos Coeficientes de Sensibilidade
Valor de
Referência
25
27,5
63
30,1
32,7
35,3
37,9
40
42,6
45,2
47,8
50
Tabela 3.2.4: Cálculo dos coeficientes de sensibilidade.
 
Contribuição para a Incerteza
Valor de
Referência
25
27,5
30,1
32,7
35,3
37,9
40
42,6
45,2
47,8
50
Tabela 3.2.5: Contribuição para a Incerteza Combinada
 
Incerteza Combinada ( )
64
 
Planilha de Cálculo de Incerteza
A incerteza combinada é dada por:
VR
25 0,00004 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000029 0,000033 0,00047
27,5 0,000035 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000032 0,000037 0,00047
30,1 0,000045 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000035 0,00004 0,00047
32,7 0,00004 0 0,00029 0,00017 0,0000038 0,000043 0,00034
35,3 0,00004 0 0,00029 0,00017 0,0000041 0,000047 0,00034
37,9 0,00004 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000044 0,00005 0,00048
40 0,000045 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000046 0,000053 0,00048
42,6 0,000045 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000049 0,000057 0,00048
45,2 0,000045 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000052 0,00006 0,00048
47,8 0,00004 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000055 0,000063 0,00048
50 0,000045 0,00033 0,00029 0,00017 0,0000058 0,000066 0,00048
Tabela 3.2.6: Cálculo da Incerteza Combinada - Por Ponto
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Na Tabela (3.2.6), calculamos a incerteza combinada para cada ponto de
calibração.
 
Graus de liberdade efetivo
 
65
Através da tabela t-Student encontramos k =2,31
 
Incerteza Expandida (U(l))
Assim, resumimos os resultados do cálculo de incerteza no ponto de 25mm na
Tabela (3.2.7)
Ponto 25 mm 
Fonte Estimativa
Tip
o
Distribuiç
ão Divisor
Incerte
za C.S Contr. GL
Repetitivida
de
0,0003333
33 A Normal 1
0,0003
33 1
0,0003
33 2
Resolução
(Micro) 0,001 B
Retangula
r
3,4641016
15
0,0002
89 1
0,0002
89 999999
Coef.Exp.
Térmico 3,98372E-06 B
Retangula
r
3,4641016
15
1,15E-
06 2,5
2,88E-
06 999999
Dif.Temp.Mi
c. e
Bloco
Padrão
0,3999998
13 B
Retangula
r
3,4641016
15
0,1154
7
0,0002
88
3,32E-
05 999999
Comprim.Bl
oco
Padrão 
0,00008 B Normal 2 0,00004 1
0,0000
4 999999
Paralelismo
(Ep) 0,0006 B
Retangula
r
3,4641016
15
0,0001
73 1
0,0001
73 999999
Incerteza Combinada 0,000476608
Graus de Liberdade Efetivo 8,36
Fator de Abrangência 2,31
Incerteza Expandida 0,00110
Tabela 3.6.7: Resultados do Cálculo de Incerteza para o ponto de 25 mm.
 
Avaliação da incerteza
66
Suponha que este equipamento seja utilizado para medir uma tolerância
de 0,02 mm.
Considerando J=10, temos que
Portanto, para o ponto de 25 mm, foi aprovada.
3.3 - CÁLCULO DE INCERTEZA DE UM MANÔMETRO
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3.3 - CÁLCULO DE INCERTEZA DE UM MANÔMETRO
Considere o processo de calibração de um manômetro em comparação com 
um manômetro padrão, conforme figura 3.3.1.
67
Figura 3.3.1: Manômetro.
Os dados referentes aos equipamentos envolvidos na calibração são dados
por:
Objeto a ser calibrado:
Manômetro.
Resolução: .
Faixa de Indicação (faixa nominal): .
 
Padrão de referência:
Manômetro padrão.
Resolução: 
68
Incerteza expandida - (em relação ao fundo de escala).
Temperatura durante a calibração: .
Faixa de indicação (faixa nominal): .
 
Resultados:
A bancada foi ajustada com o manômetro (a ser calibrado) e as leituras foram 
realizadas com o padrão. A Tabela 3.3.1 apresenta os dados.
Ajusta
do
Avanç
o
Retor
no
Avanç
o
Retor
no
Avanç
o
Retor
no Média
Correç
ão
Desvio
Padrão
Desvio
Padrão
da Média
ou
Repetitivida
de
15 14,9 14,9 14,8 14,9 14,9 14,9 14,883
-
0,11667
0,0408
25 0,016667
30 29,8 29,6 29,7 29,7 29,8 29,7 29,717
-
0,28333
0,0752
77 0,030732
45 45 44,6 45,1 44,7 45,1 44,7 44,867
-
0,13333
0,2250
93 0,091894
60 60,1 59,7 60 59,8 60,1 59,8 59,917
-
0,08333
0,1722
4 0,070317
75 75 74,6 75 74,6 75 74,6 74,8 -0,2 0,219089 0,089443
90 89,9 89,5 89,9 89,6 89,8 89,6 89,717
-
0,28333
0,1722
4 0,070317
105 104,9 104,5 105 104,6 105 104,6 104,767
-
0,23333
0,2250
93 0,091894
120 119,9 119,7 119,8 119,8 119,9 119,7 119,8 -0,2 0,089443 0,036515
140 140,2 140 140,1 140,2 140,2 140 140,117