Integrais duplas e triplas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
 
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 7 – FUNÇÕES A VÁRIAS VARIÁVEIS 
DERIVADAS PARCIAIS 
DERIVADA PARCIAL IMPLÍCITA 
INTEGRAL DUPLA 
INTEGRAL TRIPLA 
ÁREAS POR INTEGRAL DUPLA 
VOLUMES POR INTEGRAL TRIPLA 
 
 
 
 
 
PROFa JURSELEM C. PEREZ 
 
 
 
 
 JANEIRO / 2014 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 2
7.1. Definição de uma função a várias variáveis 3 
 
7.2. Limite de uma função a várias variáveis 4 
 
7.3. Derivadas Parciais 4 
 7.3.1. Derivadas Parciais de Funções a duas variáveis 4 
 7.3.2. Derivadas Parciais Sucessivas 4 
 7.3.3. Derivadas Parciais de Funções com mais de duas variáveis 5 
 7.3.4. Regra da Cadeia 5 
 7.3.5. Derivada Parcial Implícita 6 
 
7.4. Integração Múltipla 6 
 7.4.1. Integrais Duplas 6 
 7.4.1.1. Integral Dupla estendida a uma região R 7 
 7.4.1.2. Propriedades das integrais duplas 8 
 7.4.1.3. Áreas de regiões planas por integração dupla em coordenadas 
cartesianas 8 
 7.4.2. Integrais Triplas 9 
 7.4.2.1. Volume de sólidos por integração tripla em coordenadas 
 cartesianas 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 3
7.1- DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS: 
 
1o) Função a três variáveis: 
Se A é um conjunto de termos ordenados de números reais, então a cada 
termo (x, y, z) de A está associado um único número real w do conjunto B, portanto f 
é uma função a três variáveis no espaço tridimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O volume V de um paralelepípedo de comprimento, largura e 
altura, respectivamente, x, y e z, é representado por: V = x y z. 
Logo, o volume é função de três variáveis. 
 
 
 
 
2o) Função a várias variáveis: 
Uma função f a n variáveis reais é considerada como uma regra que 
associa um único número real v para cada ponto de algum conjunto no espaço n-
dimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 4
7.2. LIMITE DE FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS: 
Seja y),x(f uma função de duas variáveis definida no intervalo aberto 
  f , y,x 00 , então se y),x(f aproxima-se de um número L quando   y,x tende ao 
valor  0 y,x 0 , indicamos que:       Lyx,f lim y,xy,x  00 
 
 
7.3. DERIVADAS PARCIAIS: 
 
7.3.1. Derivadas Parciais de Funções a duas variáveis: 
Sendo y),x(fz  , então a derivada parcial de f em relação a x (também 
chamada derivada parcial de z em relação a x) é a derivada em relação a x, 
mantendo-se a variável y fixa e variando x. E pode ser expressa como o limite: 
 x
 y)f(x,- y)x,f(x lim
 x
z 
0 x 





 
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y (também denominada 
derivada parcial de z em relação a y) é a derivada em relação a y, quando se 
mantém a variável x fixa e varia y. E pode ser escrita como o limite: 
 y
 y)f(x,-y)yf(x, lim
 y
z 
0 y 





 
 
7.3.2- Derivadas Parciais Sucessivas: 
Seja y) ,x(fz  uma função derivável, admitindo-se duas derivadas de 
primeira ordem: 
 x
z 

 e 
 y
z 

 . Se estas derivadas são funções de x e y, então 
podemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem de z, as quais são 
definidas por: 
2 x
z 
 x
z 
 x 










 2 e 
 x y 
z 
 x
z 
 y 










 2 
 
2 y
z 
 y
z 
 y 










 2 e 
 y x 
z 
 y
z 
 x 










 2 
 
As derivadas parciais de 3a ordem, de 4a ordem e de ordens superiores 
podem ser obtidas derivando sucessivamente. Portanto, temos: 













23 x
z 
 x x
z 23 ; 












22 y
z
 x y x 
z 23 ; 












34 y
z
 y y 
z 34 . 
 
Observação: A ordem de derivação numa derivada parcial sucessiva não 
altera o resultado final. 
 
Exemplos: 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 5
7.3.3- Derivadas Parciais de Funções com mais de duas variáveis: 
Para uma função w = f (x, y, z) há três derivadas parciais: 
 x
 w

 , 
 y
 w

 e 
z 
 w

 . A 
derivada 
 x
 w

 é calculada mantendo y e z constantes e derivando em relação a x. 
Para 
 y
 w

 as variáveis x e z mantêm-se constantes e, para 
z 
 w

 as variáveis x e y 
são mantidas constantes. 
 
As derivadas de
 y x 
 w

 2 ordem superior podem ser: 
2 x
 w

 2 , 
2 y
 w

 2 , 
2z 
 w

 2 , 
 y x 
 w

 2 , 
z y 
 w

 2 , 
 y x
 w
2 
 3 , 
z x
 w
2 
 3 , 
z y
 w
2 
 3 , 
z y x 
 w

 3 e, assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
 
 
7.3.4- Regra da Cadeia: 
Utiliza-se a regra da cadeia para o caso de funções de várias variáveis. 
 
1oCaso:Sendo   w..., z, y,,xfu  e h(t) w, h(t),...z h(t), y),t(hx  , então 
essa função composta é diferenciável, dada por: 
t d
 wd
 w
u ...
t d
z d
z 
u 
t d
 yd
 y
u 
t d
 xd
 x
u 
t d
u d












 
 
Exemplos: 
 
2oCaso:Sendo   w..., z, y,,xfu  e )x,...,x,x,x(hx n321 , )x ,..x,x,x(hy n321 , 
)x ,..,x,x,x(hz n321 até )x , ,..x,x,x(hw n321 , de modo que 
 n32 x..., , x, x,xfu 1 , logo a função é diferenciável e definida por: 
11111 x
 w
 w
u ...
 x
z 
z 
u 
 x
 y
 y
u 
 x
 x
 x
u 
 x
u 

























 
22222 x
 w
 w
u ...
 x
z 
z 
u 
 x
 y
 y
u 
 x
 x
 x
u 
 x
u 

























 
 
nnnnn x
 w
 w
u ...
 x
z 
z 
u 
 x
 y
 y
u 
 x
 x
 x
u 
 x
u 

























 
 
Exemplos: 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 6
7.3.5- Derivada Parcial Implícita: 
Seja y = f(x) definida pela equação   0 y,xF , então    0xf ,xF . Logo, a 
derivada desta função implícita é definida por: 
 y
F 
 x
F 
 - 
 xd
 yd




 , onde 0


 y
F 
 
De modo semelhante, a equação   0z y,,xF define z como função implícita 
de duas variáveis independentes x e y. Portanto as derivadas parciais de z em 
relação a x e y são: 
z 
F 
 x
F 
 - 
 x
z 






 e 
z 
F 
 y
F 
 - 
 y
z 






 , sendo 0


z 
F . 
 
Exemplos: 
 
 
 
7.4- INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA: 
 
Quando tratamos da diferenciação das funções de mais de uma variável 
independente encontramos duas espécies de diferenciais parciais e totais. 
Sabendo que integração é a operação inversa da diferenciação, é lógico que 
ao procurar integrar expressões diferenciais de mais de uma variável independente 
temos que considerar o seguinte: 
- a integral de diferenciais parciais; 
- a integral de diferenciais totais. 
 
Vimos que as diferenciais podem ser de 1a, 2a, 3a ... ordem. 
As de 1a ordem resultam em integrais simples e as de ordem superior resultam 
em integrais múltiplas. 
 
 
7.4.1 – INTEGRAIS DUPLAS: 
 
Integrais duplas sãoaquelas cujo integrando contém diferenciais de 2a ordem. 
Sendo  y ,xfz  , a diferencial parcial em relação a x é 
 x
z 

 , cuja diferencial 
parcial de 2a ordem em relação a x é 2 x
z 
 x
 x
z 












 2
. 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 7
Portanto,  



 xd 
 x
z xd xd 
 x
z 2
2
2
2
2
. 
 
Da mesma forma se tivermos: 
 
  






 yd 
 y x 
z xd xd 
 y x 
z y d yd x d 
 y x 
z 
222
 
 
 
7.4.1.1 - INTEGRAL DUPLA ESTENDIDA A UMA REGIÃO “R” : 
 
Considerando-se uma função  y ,xfz  definida numa região fechada e 
limitada R do plano xy. 
 Traçando retas paralelas aos eixos dos x e dos y, respectivamente, 
recobrimos a região R por pequenos retângulos, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, 
numerando-os de 1 até n. 
 
Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto  kk y ,x e formamos a 
soma  

n
1k
kkk A y ,xf  , onde kkk y . x A   é a área do retângulo Rk. 
 
Suponhamos, agora que mais retas paralelas aos eixos dos x e dos y são 
traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores. Nessa situação 
se  



n
1k
kkk n
 A y,xf lim existe, ele é chamado integral dupla de f (x, y) sobre a 
região R. 
 
Denotamos:  
R
 Ad yx,f ou  
R
 yd x d yx,f 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 8
7.4.1.2 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 
 
1a) Sendo c uma constante e f uma função integrável numa região fechada 
R, então c . f é integrável em R e    
RR
 Ad y)f(x, c Ad yx,f .c . 
 
2a) Se as funções f e g são integráveis numa região fechada R, logo a 
função f + g é integrável em R e 
      
RRR
 Ad y)g(x, Ad y)f(x, Ad yx,f yx,g . 
 
3a) Seja f uma função contínua numa região fechada R, tal que a região R 
seja composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não tem pontos em comum, exceto 
os pontos de suas fronteiras. Então:    
21 RRR
 Ad y)f(x, Ad y)f(x, Ad yx,f . 
 
Exemplos: 
 
 
7.4.1.3 – ÁREAS DE REGIÕES PLANAS POR INTEGRAÇÃO DUPLA EM 
COORDENADAS CARTESIANAS: 
 
Sendo a região R percorrida por uma função f(x, y) = 1, então a área será 
expressa pela integral dupla:  
RR
x d y dA ou y d x dA 
 
 
 y2 
 
 
 
 
 y2 
 
 x1 x2 
 
 





by
ay
)y(fx
)y(fx
2
1
2
1
dy dx A ou  





bx
ax
)x(fy
)x(fy
2
1
2
1
dx dy A 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
FURG - IMEF - CÁLCULO DIF. E INTEGRAL I 9
7.4.2- INTEGRAIS TRIPLAS: 
Seja z) y,,x(fw  uma função definida e contínua numa região fechada e 
limitada T do espaço. Subdividimos T em pequenas sub-regiões traçando planos 
paralelos aos planos coordenados, de acordo com a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada um dos 
pequenos paralelepípedos Ti, escolhemos um ponto arbitrário  kkk z , y,x . 
Formamos a soma  


n
k
kkkk V z , y,xf 
1
, onde kkkk z . y . x V  é o 
volume do paralelepípedo Vk. 
Suponhamos, agora que planos paralelos aos planos coordenados são 
traçados, tornando as dimensões dos paralelepípedos cada vez menores. Nessa 
situação se  



n
1k
kkkk n
 V z , y,xf lim existe, ele é chamado integral tripla de f (x, y, z) 
sobre a região T e representamos por: 
T
 Vd z) y,f(x, ou 

T
dzdy dx )z,y,x(f 
Observação: As propriedades são análogas as integrais duplas. 
 
Exemplos: 
 
 
7.4.2.1 – VOLUME DE SÓLIDOS POR INTEGRAÇÃO TRIPLA EM 
COORDENADAS CARTESIANAS 
O volume de um sólido limitado por superfícies, cujas equações são dadas, 
é determinado efetuando-se três sucessivas integrações. 
 

T
V d V ou   







bz
az
)z(fy
)z(fy
)z,y(fx
)z,y(fx
2
1
2
1
2
1
dz dy dx V 
 Exemplos: