Hektor-metodologia-5

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Por que tão especial?
Teorema do limite central
Na teoria da probabilidade, o teorema do limite 
central afirma que, dadas certas condições, a 
média de um número suficientemente grande de 
variáveis aleatórias independentes, cada um com 
média e variância finita, serão aproximadamente 
normalmente distribuídos (forma de 
gaussiana).
 
Por que tão especial?
Teorema do limite central
Executar applet JAVA...
 
Um caso real: Pendulo simples
Ponto de 
suspenção
Período 
(s)
12,9
13,7
13,6
14,6
13,3
14,3
15,2
14,0
13,9
13,6
13,9
14,4
13,2
13,2
Sabemos pela estatística 
que:
MÉDIAMÉDIA
Essa é a estimativa do valor 
REAL da grandeza medida 
(período)
 
Os erros graficamente
EX: No momento de registrar a medida alguém esbarra na régua...
Valor verdadeiro
Erro sistemático
Valor mais provável
(média)
Erro 
aleatório
Valor medido
Fr
eq
uê
nc
ia
 
Estimando os erros
Ponto de 
suspenção
Período 
(s)
12,9
13,7
13,6
14,6
13,3
14,3
15,2
14,0
13,9
13,6
13,9
14,4
13,2
13,2
Podemos estimar o erro 
aleatório:
Desvio Desvio 
PadrãoPadrão
Essa é a estimativa do valor 
do erro ALEATÓRIO!
 
A média é uma estimativa
Como a média é uma estimativa, 
temos também erro!
Erro da médiaErro da média
Valor real!
Também conhecido 
como Erro Padrão
 
A média é uma estimativa
Com o erro da média escrevemos 
a medida como:
Este é o valor mais provável da 
medida e o intervalo de confiança 
que temos nele!
Supondo distribuição NORMAL de 
erros!!!
 
Erros e desvios são diferentes
a média e o desvio padrão são 
estatísticas descritivas
IMPORTANTE:
Nos dizem o grau em que os indivíduos de uma 
amostra diferem da média da amostra.
nos dizem quão próximos do valor real da média 
estamos
a média e o erro padrão descrevem limites 
em um processo de amostragem aleatória
Erro padrão diminui com amostras maiores. O desvio padrão não é afetado pelo 
tamanho da amostra.
 
Nem sempre temos dist. Normais
Para 
distribuições em 
geral, a média 
não 
necessariamente 
coincide com o 
valor mais 
provável!
Média
Valor mais 
provável
Mostrar no applet
 
Erro da média para medidas
Vale a pena distinguir aqui:
→ Erro do processo de medida
Erro da média que diminui com mais medidas
→ Erro devido a variáveis físicas do sistema 
sendo medido
Desvio padrão, independe do processo de medida 
sendo utilizado
 
Intervalos de confiança
Relação entre a 
probabilidade de um 
evento ocorrer e o 
desvio padrão da 
distribuição Normal
99,7%
95,5%
68,3% 


 
Erros em mais dimensões
As distribuições podem ser multidimensionais
 
Mais um exemplo real
Queremos medir a 
densidade do etanol
CH
3
 CH
2
OH
Obtemos o seguinte conjunto de medidas:
0.792 0.792 0.789 0.802 0.790
0.784 0.787 0.790 0.787 0.790
0.786 0.787 0.792 0.789 0.788
0.789 0.789 0.792 0.795 0.796
Valores em g/m³
 
Explorando os dados
Podemos fazer um histograma
Valores em g/m³
 
Explorando os dados
Algumas informações que podemos obter
Valores em g/m³
Variação aleatória
Valor mais 
provável
Erro Grosseiro
Forma 
aproximadamente 
gaussiana
 
Mais um exemplo real
Quantificando melhor
0.792 0.792 0.789 0.802 0.790
0.784 0.787 0.790 0.787 0.790
0.786 0.787 0.792 0.789 0.788
0.789 0.789 0.792 0.795 0.796
Valores em g/m³
MÉDIAMÉDIA
Desvio Desvio 
PadrãoPadrão
 
Mais um exemplo real
0.792 0.792 0.789 0.802 0.790
0.784 0.787 0.790 0.787 0.790
0.786 0.787 0.792 0.789 0.788
0.789 0.789 0.792 0.795 0.796
Valores em g/m³
Repare que o valor destacado está a 
3 da média!
Lembre-se dos intervalos de 
confiança e das respectivas 
probabilidades!
 
Mais um exemplo real
Podemos melhorar nossas estimativas 
eliminando o possível erro grosseiro
0.792 0.792 0.789 0.802 0.790
0.784 0.787 0.790 0.787 0.790
0.786 0.787 0.792 0.789 0.788
0.789 0.789 0.792 0.795 0.796
Valores em g/m³
MÉDIAMÉDIA
Desvio Desvio 
PadrãoPadrão
 
Mais um exemplo real
Escrevemos nosso resultado final como:
Onde usamos o erro padrão para expressar nossa incerteza 
na melhor estimativa da densidade
A 20 celsius⁰
O valor aceito para essa 
densidade é:
Note que dado o erro, 
nosso valor medido está de 
acordo com o valor aceito
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