AP1 C2 2016 2 Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
AP1- CÁLCULO II-2016/2 
 
 Questão 1 [2,0 pontos] Determine a área da região sombreada 
 
Solução 
 
Figura 1 
Localize na Figura 1 o ponto de interseção 
 1,e
 das curvas 
xy e
 e 
e
y
x

. Analogamente 
 ,1e
 é o 
ponto de interseção das curvas 
e
y
x

 e 
x
y
e

. A região 
R
 dada é a união das regiões 
1R
 e 
2R
. 
Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável 
x
: 
1 2( ) ( ) ( )A R A R A R 
1
0
[ ]x
x
dx
e
e
 
1
][
e
e x
x e
dx
 
 2 2 2
0
1 01
1
0 1
1 1 1 1 1
ln 0 ln ln1
2 2 2 2 2
x
e
x x e
e e x e e e e e
e e e e e
 
1 1 3
1 1
2 2 2 2
e e
e e
e e
 unidades de área. 
________________________________________________________________________________ 
Cálculo II Gabarito da AP1 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
Questão 2 [1,5 pontos] Seja 2
3
cos
sen
1
( ) 2
x
x t
x
e dtH x 

 
 tal que 
x R
. 
Encontre 
(0)H
 e 
( )H x
 . 
Solução 
Observe que o integrando é uma função contínua para todo número real. 
 
 2 2
3
cos0 1
sen 0 0
1 10 1
0
2 1(0) 2 t t
contínua
e dt e dtH  

     
 
2 2
3
cos
sen
1
( ) 2
xa
x t t
ax
e dt e dtH x  

   
3
2 2
cos1
sen2
xx
x t t
a a
e dt e dt

    
 
Logo, utilizando a fórmula de derivada de uma soma, e a 1ª forma do TFC e a regra da cadeia na 
segunda e terceira parcela, obtemos 
 
3 2 2sen ( 1) 3 (cos )( ) (cos )ln2 ( 1) (cos )2 x x xH x x e x e x       
 
ou seja 
 
3 2 2sen 2 ( 1) (cos )( ) (ln2)(cos ) 3 (sen )2 x x xH x x x e x e     
. 
________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [1,0 ponto] Calcule a seguinte integral imediata 2
3
2
2
x x
dx
x
  
 
 

. 
Solução 
2 2
2 3 5 3 1 3
3 3 3 3
2 2 1 1
2 22 2 2 2
x x x x
dx dx dx dx x dx x dx x dx
x x x x
         
 
      
 
 5 3 8 3 2 3 5 3 8 3 2 33 3 3 3 3
3
2 5 2 8 2 10 16 2
x x x x x x
C C       
. 
________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,5 pontos] Calcule a seguinte integral definida  23
3
2
(3 ) 7
x
x dx
  
 . 
Solução 
Observe que se  231
7
2ln7
( )
x
G x
   


 então 
   
2 2
3 31
7 2(3 )( 1) ln7 7 (3 )
2ln7
( )
x x
x xG x
          

    
 
Logo        2 2 2 23
3
3 3 3 3 2
2 1 7
3
2
(3 )
1 1 1 6 3
7 7 7
2ln7 2ln7 2ln7 2ln7 ln7
7
x x
x dx

                     
 
   


. 
________________________________________________________________________________ 
Cálculo II Gabarito da AP1 2016/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a3
 
Questão 5 [1,0 ponto] Usando a técnica de substituição, calcule 
 cotg ln(sen ) d  
. 
Solução 
Seja cos
ln(sen ) cotg
sen
u du d d
      
. Logo 
 
2 2ln (sen )
cotg ln(sen )
2 2
u
d u du C C
         . 
________________________________________________________________________________ 
Questão 6 [1,5 ponto] Usando a técnica de integração por partes, calcule /2
4
0
xex dx
. 
Solução 
 
Faça 
x dxu du  
 
e 
2 2 21( )
2
( 2) 2x x xdv e dx v e dx e       
 
Assim, 4
/2 /2
0
4 4
/2
0 0
22x x xe xex dx e dx     
 
 
 
 
4 4
/2 /2 2 2 2 2
0 0
4 8 4 4 12 4 4(1 3 )2 x xxe e e e e e                
. 
.________________________________________________________________________________ 
 
Questão 7 [1,5 ponto] Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, 
calcule /3 3 2
0
tg .secx x dx


. 
Solução 
/3
3 2
0
tg .secx x dx


/3
1 2
0
tg .sec .secx x x dx

 
 
Faça a substituição 
3 sec( 3) 2 .
sec tg .sec
0 sec0 1 , u
u x du x x dx
x u x  


  
  
    
 
 
Assim /3 3 2
0
tg .secx x dx


1 2
22 3 2 3 2 3 2
11
2 2(2) 2(1) 2
(2 2 1)
3 3 3 3
u
u du

     


.