2016-2 AP1-HM-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
1
a
 Avaliação Presencial de História da Matemática – 2016-2 
(Gabarito) 
 
Questão 1 [1,5 pt] – Resolva o problema o seguinte problema do papiro de Ahmes, 
usando o método da falsa posição: 
Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade? 
. 
 
Solução: 
O problema equivale a resolver a equação 
𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 
7 é 1. Somando 7 a 
1
7
 de 7 obtemos 8. 
7 + 
1
7
 × 7 = 8 
Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 
𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples: 
Quantidade Resultado 
 7 8 
 x 19 
Portanto, 
 
7
𝑥
= 
8
19
 ⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 = 
133
8
 . 
 
 
 
 
Questão 2 [1,5 pt] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional 
sexagesimal (base 60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os 
dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2,..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) 
utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a parte inteira da parte “sexagesimal” 
usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). Por exemplo: o 
número 15x60
2
 + 7x60
0
 +26x60
-1
 + 51x60
-2
 será representado por 15;0;7,26;51. Agora 
resolva o seguinte problema. 
 
No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram a diagonal de um quadrado de lado 
medindo 0,30 como sendo o produto de 0,30 por 1,24;51;10. Determine a medida da 
diagonal, isto é, calcule (0,30) x (1,24;51;10). (indique o resultado usando a 
representação sexagesimal). 
 
Solução: 
(0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) 
 
30
60
 x (1 + 
24
60
+
51
602
+
10
603
) = 
30
60
 + 
720
602
+
1530
603
+
300
604
 = 
30
60
 + 
12
60
+
1500 + 30
603
+
5
603
 = 
42
60
 + 
25
602
+
30
603
+
5
603
 
= 
42
60
 + 
25
602
+
35
603
= 0,42;25;35 
 
 
Questão 3 [1,5 pt] – O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um 
triângulo retângulo. Tal conhecimento passou dos egípcios a Pitágoras, que o 
imortalizou. Com base nas figuras abaixo faça uma demonstração do Teorema de 
Pitágoras. 
 
 
Solução: Alguns historiadores sugerem a seguinte demonstração geométrica como 
viável para Pitágoras. Conforme indicado no enunciado considere as figuras abaixo: 
 
 
 
Do diagrama (I) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 4
𝑎𝑏 
2
= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 
 
Do diagrama (II) tem-se: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑐2 + 4
𝑎𝑏 
2
= 𝑐2 + 2𝑎𝑏 
 
Logo, (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 . 
 
Questão 4 [2,0 pts] – Na figura abaixo, o lado do quadrado AEFG mede o dobro do 
lado do quadrado ABCD. 
 
Responda: 
a) Os segmentos AB e AC são comensuráveis? 
Solução de (a): 
Não. Leia novamente a parte final do texto 5 da Unidade 2 do caderno impresso ou o 
texto complementar. 
b) Os segmentos AC e AF são comensuráveis? 
c) No(s) caso(s) em que os segmentos forem comensuráveis, expresse a medida do 
maior em relação ao menor. 
Solução de (b) e (c) : 
Sim, os segmentos AC e AF são comensuráveis. Neste caso: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐹̅̅ ̅̅
 = 
2
1
 isto é, AF̅̅̅̅ =
2 AC̅̅̅̅ . 
Questão 5 [1,5 pt] – Dados dois números a e b inteiros positivos, a < b, prove que MG 
= √𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 , onde MA , MH e MG são, respectivamente, a média aritmética, a média 
harmônica e a média geométrica de a e b. 
 
Solução: 
Como 𝑀𝐴 = 
𝑎+𝑏
2
 e 𝑀𝐻 = 
2
1
𝑎
+
1
𝑏
= 
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
 , tem-se que: 𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 = 
𝑎+𝑏
2
 .
2 𝑎𝑏
𝑎+𝑏
= 𝑎𝑏 
Daí, 
𝑀𝐺 = √𝑎𝑏 = √𝑀𝐴 . 𝑀𝐻 
 
 
Questão 6 [2,0 pts] – Resolva o seguinte problema nas Aritméticas de Diofanto 
(Problema 17, Livro I): “Encontre quatro números, sendo dadas as somas das quatro 
combinações de três quaisquer deles, digamos, 22, 24, 27 e 20.” 
Solução: 
Sejam a, b, c e d os quatro números inteiros e positivos procurados. As combinações 3 a 
3 desses números serão em número de quatro, pois: 𝐶4
3 = 
4!
3!( 4−3)!
= 
4 ×3!
3! ×1
= 4. 
Daí, temos o sistema: 
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 (𝐼)
𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = 24 (𝐼𝐼)
𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 (𝐼𝐼𝐼)
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 20 (𝐼𝑉)
 
 
De (I) e (II), obtemos d – c = 2 (V). 
De (III) e (IV), obtemos a – b = 7 (VI) e a + b + 2c + 2d = 47 (VII) 
De (I) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐⏟ 
=22
+ 𝑐 + 2𝑑 = 47 ⇒ 𝑐 + 2𝑑 = 25 (VIII) 
Com as equações (V) e (VIII), obtemos o sistema: 
{
𝑑 − 𝑐 = 2 
2𝑑 + 𝑐 = 25
 ⇔ 𝑐 = 7 𝑒 𝑑 = 9 
 
De (IV) e (VII), temos que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑⏟ 
20
= 47 ⇒ 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 27 ⇒ 𝑎 + 7 = 27 ⇒
𝑎 = 11. 
Segue, de (I), que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 22 ⇒ 11 + 𝑏 + 7 = 22 ⇒ 𝑏 = 4 
 Logo, os números procurados são: 11, 4, 7 e 9.